التفاضل (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 66 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يشير التفاضل إلى عدة مفاهيم مترابطة [ 1 ] مستمدة من الأيام الأولى لحساب التفاضل والتكامل، ووضعت على أساس دقيق، مثل الفروق المتناهية الصغر ومشتقات الدوال. [ 2 ]

يُستخدم هذا المصطلح في فروع مختلفة من الرياضيات مثل حساب التفاضل والتكامل ، والهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية، والطوبولوجيا الجبرية .

مقدمة

يُستخدم مصطلح التفاضل في حساب التفاضل والتكامل بشكل غير دقيق للإشارة إلى تغير متناهي الصغر ("صغير للغاية") في كمية متغيرة . على سبيل المثال، إذا كان x متغيرًا ، فإن التغير في قيمة x يُرمز إليه غالبًا بـ Δx ( يُنطق دلتا x ). يُمثل التفاضل dx تغيرًا متناهي الصغر في المتغير x . إن فكرة التغير المتناهي الصغر أو المتناهي البطيء مفيدة للغاية، وهناك عدة طرق لجعل هذا المفهوم دقيقًا رياضيًا.

باستخدام حساب التفاضل والتكامل، من الممكن ربط التغيرات المتناهية الصغر لمتغيرات مختلفة ببعضها البعض رياضيًا باستخدام المشتقات . إذا كانت y دالة في x ، فإن مشتقة y ، dy ، ترتبط بـ dx بالصيغة التالية: دy=دyدxدx،{\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,} أيندyدx{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}لا يُشير هذا إلى "dy مقسومًا على dx" كما قد يُفهم بديهيًا، بل إلى " مشتقة y بالنسبة إلى x". تُلخص هذه الصيغة فكرة أن مشتقة y بالنسبة إلى x هي نهاية نسبة الفروق Δy / Δx عندما تقترب Δx من الصفر .

المفاهيم الأساسية

التاريخ والاستخدام

لعبت الكميات المتناهية الصغر دورًا هامًا في تطور علم التفاضل والتكامل. استخدمها أرخميدس ، رغم أنه لم يكن يعتقد أن الحجج التي تتضمنها دقيقة. [ 3 ] أشار إليها إسحاق نيوتن باسم التدفقات . مع ذلك، فإن غوتفريد لايبنتز هو من صاغ مصطلح التفاضلات للكميات المتناهية الصغر، وقدم الترميز المستخدم لها حتى اليوم.

في ترميز لايبنتز ، إذا كان x كمية متغيرة، فإن dx يرمز إلى تغير متناهي الصغر في المتغير x . وبالتالي، إذا كانت y دالة في x ، فإن مشتقة y بالنسبة إلى x غالبًا ما يُرمز لها بـ dy / dx ، والتي يُرمز لها (في ترميز نيوتن أو لاغرانج ) بـ ẏ أو y ′ . وقد لاقى استخدام التفاضلات بهذا الشكل انتقادات كثيرة، كما في الكتيب الشهير "المحلل" للأسقف بيركلي. ومع ذلك، ظل هذا الترميز شائعًا لأنه يوحي بقوة بفكرة أن مشتقة y عند x هي معدل تغيرها اللحظي ( ميل المماس للرسم البياني )، والذي يمكن الحصول عليه بأخذ نهاية النسبة Δy / Δx عندما تصبح Δx صغيرة جدًا. كما أن التفاضلات متوافقة مع التحليل البُعدي ، حيث يكون للتفاضل مثل dx نفس أبعاد المتغير x .

تطورت حسابات التفاضل والتكامل لتصبح فرعًا مستقلًا من الرياضيات خلال القرن السابع عشر الميلادي، على الرغم من وجود جذور تعود إلى العصور القديمة. اتسمت عروض نيوتن وليبنيز، على سبيل المثال، بتعريفات غير دقيقة لمصطلحات مثل التفاضل، والطلاقة ، و"الصغر اللانهائي". وبينما تتسم العديد من الحجج في كتاب " المحلل " للأسقف بيركلي ، الصادر عام 1734، بطابع لاهوتي، يُقرّ علماء الرياضيات المعاصرون بصحة حجته ضد " أشباح الكميات الراحلة "؛ ومع ذلك، لا تعاني المناهج الحديثة من نفس المشكلات التقنية. وعلى الرغم من عدم الدقة، فقد تحقق تقدم هائل في القرنين السابع عشر والثامن عشر. في القرن التاسع عشر، طور كوشي وآخرون تدريجيًا منهج إبسيلون-دلتا للاستمرارية والنهايات والمشتقات، مما وفر أساسًا مفاهيميًا متينًا لحسابات التفاضل والتكامل.

في القرن العشرين، بدت العديد من المفاهيم الجديدة في مجالات مثل حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والهندسة التفاضلية وكأنها تجسد الغرض من المصطلحات القديمة، وخاصة التفاضلية ؛ حيث يتم استخدام كل من التفاضلية والمتناهية الصغر بمعانٍ جديدة وأكثر دقة.

تُستخدم التفاضلات أيضًا في ترميز التكاملات لأن التكامل يُمكن اعتباره مجموعًا لانهائيًا لكميات متناهية الصغر: تُحسب المساحة تحت منحنى بياني بتقسيم المنحنى إلى شرائح رقيقة جدًا وجمع مساحاتها. في تعبير مثل ∫و(x)دx،{\displaystyle \int f(x)\,dx,} تشير علامة التكامل (وهي عبارة عن s طويلة معدلة ) إلى المجموع اللانهائي، وتشير f ( x ) إلى "ارتفاع" شريط رقيق، ويشير التفاضل dx إلى عرضه الرقيق للغاية.

الأساليب

توجد عدة طرق لجعل مفهوم التفاضلات دقيقًا رياضيًا.

  1. التفاضلات كخرائط خطية . هذا النهج هو أساس تعريف المشتقة والمشتقة الخارجية في الهندسة التفاضلية . [ 4 ]
  2. التفاضلات كعناصر عديمة القوة في الحلقات التبادلية . هذا النهج شائع في الهندسة الجبرية. [ 5 ]
  3. التفاضلات في النماذج الملساء لنظرية المجموعات. يُعرف هذا النهج بالهندسة التفاضلية التركيبية أو التحليل اللامتناهي الصغر الأملس ، وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالنهج الهندسي الجبري، باستثناء استخدام أفكار من نظرية التوبوس لإخفاء الآليات التي يتم من خلالها إدخال اللامتناهيات الصغر العديمة القوة. [ 6 ]
  4. التفاضلات ككميات متناهية الصغر في أنظمة الأعداد الفائقة الحقيقية ، وهي امتدادات للأعداد الحقيقية تحتوي على كميات متناهية الصغر قابلة للعكس وأعداد لا نهائية. هذا هو نهج التحليل غير القياسي الذي رائده أبراهام روبنسون . [ 7 ]

تختلف هذه الأساليب اختلافًا كبيرًا عن بعضها البعض، لكنها تشترك في فكرة كونها كمية ، أي أنها لا تقول فقط أن التفاضل صغير جدًا، بل تقول أيضًا كم هو صغير.

التفاضلات كخرائط خطية

هناك طريقة بسيطة لفهم التفاضلات بدقة، وقد استُخدمت لأول مرة على خط الأعداد الحقيقية من خلال اعتبارها تحويلات خطية . ويمكن استخدامها علىR{\displaystyle \mathbb {R} }،Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}فضاء هيلبرت ، أو فضاء باناخ ، أو بشكل أعم، فضاء متجهي طوبولوجي . حالة خط الأعداد الحقيقية هي الأسهل شرحًا. يُعرف هذا النوع من التفاضل أيضًا باسم المتجه المتغير أو المتجه المماسي ، وذلك حسب السياق.

التفاضلات كخرائط خطية على R

يفترضو(x){\displaystyle f(x)}هي دالة ذات قيم حقيقية علىR{\displaystyle \mathbb {R} }يمكننا إعادة تفسير المتغيرx{\displaystyle x}فيو(x){\displaystyle f(x)}باعتبارها دالة وليست عددًا، أي دالة التطابق على خط الأعداد الحقيقية، والتي تأخذ عددًا حقيقيًاص{\displaystyle p}لنفسه:x(ص)=ص{\displaystyle x(p)=p}. ثمو(x){\displaystyle f(x)}هو مركب منو{\displaystyle f}معx{\displaystyle x}، والتي تبلغ قيمتها فيص{\displaystyle p}يكونو(x(ص))=و(ص){\displaystyle f(x(p))=f(p)}التفاضليد⁡و{\displaystyle \operatorname {d} f}(وهذا يعتمد بالطبع علىو{\displaystyle f}) هي دالة قيمتها عندص{\displaystyle p}(يشار إليه عادةً بـدوص{\displaystyle df_{p}}) ليس رقمًا، بل هو تحويل خطي منR{\displaystyle \mathbb {R} }لR{\displaystyle \mathbb {R} }بما أن الخريطة الخطية منR{\displaystyle \mathbb {R} }لR{\displaystyle \mathbb {R} }يُعطى بواسطة1×1{\displaystyle 1\times 1}المصفوفة ، هي في جوهرها نفس الشيء الذي هو عليه العدد، لكن تغيير وجهة النظر يسمح لنا بالتفكير فيدوص{\displaystyle df_{p}}ككمية متناهية الصغر وقارنها بالكمية المتناهية الصغر القياسيةدxص{\displaystyle dx_{p}}، وهو ما يمثل مرة أخرى خريطة الهوية منR{\displaystyle \mathbb {R} }لR{\displaystyle \mathbb {R} }(أ)1×1{\displaystyle 1\times 1}مصفوفة ذات مدخلات1{\displaystyle 1}تتميز خريطة الهوية بالخاصية التالية: إذاε{\displaystyle \varepsilon }صغير جدًا، إذندxص(ε){\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}صغيرة جدًا، مما يسمح لنا باعتبارها متناهية الصغر. التفاضلدوص{\displaystyle df_{p}}له نفس الخاصية، لأنه مجرد مضاعف لـدxص{\displaystyle dx_{p}}وهذا المضاعف هو المشتقو′(ص){\displaystyle f'(p)}بحسب التعريف. ومن ثم نستنتج أندوص=و′(ص)دxص{\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}وبالتاليدو=و′دx{\displaystyle df=f'\,dx}وهكذا نستعيد فكرة أنو′{\displaystyle f'}هي نسبة التفاضلاتدو{\displaystyle df}ودx{\displaystyle dx}.

سيكون هذا مجرد خدعة لولا حقيقة أن:

  1. إنها تجسد فكرة المشتق منو{\displaystyle f}فيص{\displaystyle p}كأفضل تقريب خطي لـو{\displaystyle f}فيص{\displaystyle p}؛
  2. يحتوي على العديد من التعميمات.

التفاضلات كخرائط خطية على R n

لوو{\displaystyle f}هي دالة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لR{\displaystyle \mathbb {R} }ثم نقول ذلكو{\displaystyle f}قابلة للتفاضل [ 8 ] عندص∈Rن{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}إذا كان هناك خريطة خطيةدوص{\displaystyle df_{p}}منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لR{\displaystyle \mathbb {R} }بحيث يكون لأيε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد حيشمال{\displaystyle N}لص{\displaystyle p}بحيث يكون لـx∈شمال{\displaystyle x\in N}، |و(x)-و(ص)-دوص(x-ص)|<ε|x-ص|.{\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(xp)\right|<\varepsilon \left|xp\right|.}

يمكننا الآن استخدام نفس الحيلة كما في الحالة أحادية البعد والتفكير في التعبيرو(x1،x2،...،xن){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}باعتباره مزيجًا منو{\displaystyle f}باستخدام الإحداثيات القياسيةx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(لهذا السببxج(ص){\displaystyle x_{j}(p)}هوج{\displaystyle j}المكون رقم - منص∈Rن{\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}ثم التفاضلات(دx1)ص،(دx2)ص،...،(دxن)ص{\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}في نقطةص{\displaystyle p}تشكل أساسًا للفضاء المتجهي للتحويلات الخطية منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لR{\displaystyle \mathbb {R} }وبالتالي، إذاو{\displaystyle f}قابلة للتفاضل عندص{\displaystyle p}يمكننا كتابة d f p كتركيبة خطية من عناصر الأساس هذه: دوص=∑ج=1ندجو(ص)(دxج)ص.{\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}

المعاملاتدجو(ص){\displaystyle D_{j}f(p)}هي (بحكم التعريف) المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}فيص{\displaystyle p}بالنسبة إلىx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}وبالتالي، إذاو{\displaystyle f}قابلة للتفاضل على جميعRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يمكننا أن نكتب بشكل أكثر إيجازًا: دو=∂و∂x1دx1+∂و∂x2دx2+⋯+∂و∂xندxن.{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}

في الحالة أحادية البعد، يصبح هذا دو=دودxدx{\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx} كما كان من قبل.

يمكن تعميم هذه الفكرة بسهولة على الدوال منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لRم{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}علاوة على ذلك، يتميز هذا التعريف بميزة حاسمة على التعريفات الأخرى للمشتقة، وهي ثباته عند تغيير الإحداثيات. وهذا يعني أنه يمكن استخدام الفكرة نفسها لتعريف تفاضل الدوال الملساء بين المشعبات الملساء .

ملاحظة جانبية: تجدر الإشارة إلى أن وجود جميع المشتقات الجزئية لـو(x){\displaystyle f(x)}فيx{\displaystyle x}يُعد شرطًا ضروريًا لوجود تفاضل عندx{\displaystyle x}لكن هذا ليس شرطاً كافياً . للاطلاع على أمثلة مضادة، انظر مشتقة جاتو .

التفاضلات كخرائط خطية على فضاء متجهي

ينطبق الإجراء نفسه على فضاء متجهي ذي بنية إضافية كافية للحديث عن الاستمرارية بشكل معقول. وأبرز مثال على ذلك هو فضاء هيلبرت، المعروف أيضًا بفضاء الضرب الداخلي الكامل ، حيث يُعرّف الضرب الداخلي ومعياره المرتبط به مفهومًا مناسبًا للمسافة. وينطبق الإجراء نفسه على فضاء باناخ، المعروف أيضًا بفضاء متجهي معياري كامل . مع ذلك، بالنسبة لفضاء متجهي طوبولوجي أكثر عمومية، تكون بعض التفاصيل أكثر تجريدًا لعدم وجود مفهوم للمسافة.

في حالة الأبعاد المحدودة، وهي حالة مهمة، يكون أي فضاء جداء داخلي فضاء هيلبرت، وأي فضاء متجهي معياري فضاء باناخ، وأي فضاء متجهي طوبولوجي كامل. ونتيجة لذلك، يمكننا تعريف نظام إحداثيات من أي أساس واستخدام نفس الأسلوب المتبع فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

التفاضلات كبذور للوظائف

هذا الأسلوب فعال على أي مشعب قابل للتفاضل . إذا

  1. U و V مجموعتان مفتوحتان تحتويان على p
  2. و:يو→R{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }متصل
  3. ز:V→R{\displaystyle g\colon V\to \mathbb {R} }متصل

إذن ، f تساوي g عند النقطة p ، ويرمز لها بـو∼صز{\displaystyle f\sim _{p}g}، إذا وفقط إذا كان هناك مفتوحدبليو⊆يو∩V{\displaystyle W\subseteq U\cap V}يحتوي على p بحيثو(x)=ز(x){\displaystyle f(x)=g(x)}لكل x في W. جرثومة f عند p ، ويرمز لها بـ[و]ص{\displaystyle [f]_{p}}، هي مجموعة جميع الدوال الحقيقية المتصلة المكافئة للدالة f عند النقطة p ؛ إذا كانت f دالة سلسة عند النقطة p فإن[و]ص{\displaystyle [f]_{p}}هو جرثومة ملساء. إذا

  1. يو1{\displaystyle U_{1}}،يو2{\displaystyle U_{2}}V1{\displaystyle V_{1}}وV2{\displaystyle V_{2}}هي مجموعات مفتوحة تحتوي على p
  2. و1:يو1→R{\displaystyle f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R} }،و2:يو2→R{\displaystyle f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R} }،ز1:V1→R{\displaystyle g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R} }وز2:V2→R{\displaystyle g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R} }هي دوال سلسة
  3. و1∼صز1{\displaystyle f_{1}\sim _{p}g_{1}}
  4. و2∼صز2{\displaystyle f_{2}\sim _{p}g_{2}}
  5. r عدد حقيقي

ثم

  1. ر*و1∼صر*ز1{\displaystyle r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}}
  2. و1+و2:يو1∩يو2→R∼صز1+ز2:V1∩V2→R{\displaystyle f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }
  3. و1*و2:يو1∩يو2→R∼صز1*ز2:V1∩V2→R{\displaystyle f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R} }

هذا يدل على أن الجراثيم عند النقطة p تشكل جبرًا .

يُعرِّفأناص{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}}أن تكون مجموعة جميع الجراثيم الملساء التي تختفي عند p و أناص2{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}^{2}}أن يكون نتاجًا للمثل العلياأناصأناص{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}}إذن، يكون التفاضل عند النقطة p (متجه الظل التمام عند النقطة p ) عنصرًا منأناص/أناص2{\displaystyle {\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}التفاضل لدالة سلسة f عند النقطة p ، ويرمز له بـدوص{\displaystyle \mathrm {d} f_{p}}، يكون[و-و(ص)]ص/أناص2{\displaystyle [f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}}.

يتمثل نهج مماثل في تعريف التكافؤ التفاضلي من الرتبة الأولى بدلالة المشتقات في رقعة إحداثيات عشوائية. عندئذٍ، يكون تفاضل الدالة f عند النقطة p هو مجموعة جميع الدوال المتكافئة تفاضليًا معو-و(ص){\displaystyle f-f(p)}في الصفحة .

الهندسة الجبرية

في الهندسة الجبرية ، تُعالج التفاضلات والمفاهيم المتناهية الصغر الأخرى بطريقة صريحة للغاية من خلال قبول أن حلقة الإحداثيات أو حزمة البنية للفضاء قد تحتوي على عناصر معدومة القوة . أبسط مثال على ذلك هو حلقة الأعداد الثنائية R [ ε ]، حيث ε² = 0.

يمكن تبرير ذلك من خلال المنظور الجبري الهندسي لمشتقة الدالة f من R إلى R عند النقطة p . لهذا، تجدر الإشارة أولًا إلى أن f − f ( p ) تنتمي إلى المثالي Ip للدوال على R التي تتلاشى عند p . إذا كانت مشتقة f تتلاشى عند p ، فإن f − f ( p ) تنتمي إلى مربع Ip² لهذا المثالي . بالتالي ، يمكن تمثيل مشتقة f عند p بفئة التكافؤ [ f − f ( p )] في فضاء القسمة Ip / Ip² ، ويكون النفاث الأحادي لـ f ( الذي يرمز إلى قيمتها ومشتقتها الأولى) هو فئة التكافؤ لـ f في فضاء جميع الدوال بتردد Ip² . يعتبر علماء الهندسة الجبرية فئة التكافؤ هذه بمثابة تقييد للدالة f على نسخة مُكثّفة من النقطة p التي لا تنتمي حلقة إحداثياتها إلى R (وهي فضاء القسمة للدوال على R modulo I p ) بل إلى R [ ε ]، وهو فضاء القسمة للدوال على R modulo I p² . تُعدّ هذه النقطة المُكثّفة مثالًا بسيطًا على المخطط . [ 5 ]   

مفاهيم الهندسة الجبرية

تعتبر التفاضلات مهمة أيضاً في الهندسة الجبرية ، وهناك العديد من المفاهيم المهمة.

الهندسة التفاضلية التركيبية

يُعدّ أسلوب الهندسة التفاضلية التركيبية [ 9 ] أو تحليل المتناهيات الصغر السلسة [ 10 ] نهجًا خامسًا لدراسة المتناهيات الصغر . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالنهج الجبري الهندسي، إلا أن المتناهيات الصغر فيه أكثر ضمنية وبديهية. وتتمثل الفكرة الرئيسية لهذا النهج في استبدال فئة المجموعات بفئة أخرى من المجموعات المتغيرة بسلاسة، وهي فئة طوبولوجية . في هذه الفئة، يمكن تعريف الأعداد الحقيقية والدوال السلسة، وما إلى ذلك، ولكن الأعداد الحقيقية تحتوي تلقائيًا على متناهيات صغر معدومة القوة، لذا لا حاجة لإدخالها يدويًا كما في النهج الجبري الهندسي. مع ذلك، فإن المنطق في هذه الفئة الجديدة لا يتطابق مع المنطق المألوف لفئة المجموعات: على وجه الخصوص، لا ينطبق قانون الوسط المرفوع . هذا يعني أن الحجج الرياضية في نظرية المجموعات لا تمتد إلى تحليل المتناهيات الصغر السلسة إلا إذا كانت بنائية (أي لا تستخدم البرهان بالتناقض ). يعتبر البنائيون هذا العيب ميزة، لأنه يُجبر المرء على البحث عن حجج بنائية حيثما وُجدت.

تحليل غير قياسي

يتضمن النهج الأخير للتعامل مع المتناهيات في الصغر توسيع نطاق الأعداد الحقيقية، ولكن بطريقة أقل جذرية. في نهج التحليل غير القياسي، لا توجد متناهيات في الصغر عديمة القوة، بل متناهيات في الصغر قابلة للعكس فقط، والتي يمكن اعتبارها مقلوبات لأعداد لانهائية. [ 7 ] يمكن بناء هذه التوسعات للأعداد الحقيقية صراحةً باستخدام فئات التكافؤ لمتتاليات الأعداد الحقيقية ، بحيث تمثل المتتالية (1،  1/2،  1/3،  ...،  1/ n ،  ...) متناهية في الصغر. منطق الرتبة الأولى لهذه المجموعة الجديدة من الأعداد الفائقة الحقيقية هو نفسه منطق الأعداد الحقيقية المعتادة، لكن بديهية الاكتمال (التي تتضمن منطق الرتبة الثانية ) لا تتحقق. ومع ذلك، يكفي هذا لتطوير نهج أولي وبديهي إلى حد كبير في حساب التفاضل والتكامل باستخدام المتناهيات في الصغر، انظر مبدأ النقل .

الهندسة التفاضلية

إن مفهوم التفاضل يحفز العديد من المفاهيم في الهندسة التفاضلية (والطوبولوجيا التفاضلية ).

معانٍ أخرى

وقد تم اعتماد مصطلح التفاضل أيضًا في الجبر المتماثل والطوبولوجيا الجبرية، نظرًا للدور الذي يلعبه المشتق الخارجي في علم التماثل لـ de Rham: في مركب السلسلة المشتركة(ج∙،د∙)،{\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet }),}تُسمى الخرائط (أو مؤثرات الحدود المشتركة ) d i غالبًا بالتفاضلات. وبالمثل، تُسمى مؤثرات الحدود في مركب السلسلة أحيانًا بالتفاضلات المشتركة .

كما أن خصائص التفاضل تحفز المفاهيم الجبرية للاشتقاق والجبر التفاضلي .

انظر أيضاً

ملحوظات

الاقتباسات

  1. ↑ "التفاضلي" . وولفرام ماث وورلد . تم الاطلاع عليه في 24 فبراير 2022. لكلمة "تفاضلي" عدة معانٍ مترابطة في الرياضيات. في السياق الأكثر شيوعًا، تعني "المتعلق بالمشتقات". فعلى سبيل المثال، يُعرف فرع حساب التفاضل والتكامل الذي يتعامل مع حساب المشتقات (أي التفاضل) باسم حساب التفاضل والتكامل التفاضلي. كما أن لكلمة "تفاضلي" معنىً أكثر تخصصًا في نظرية الأشكال التفاضلية من الرتبة k، باعتبارها شكلًا من الرتبة الأولى.
  2. ↑ "التفاضلي - تعريف التفاضلي في اللغة الإنجليزية الأمريكية من قواميس أكسفورد" . قواميس أكسفورد - الإنجليزية . مؤرشف من الأصل في 3 يناير 2014. تم الاطلاع عليه في 13 أبريل 2018 .
  3. ↑ بوير 1991 .
  4. ↑ دارلينج 1994 .
  5. 1 2 إيزنبد وهاريس 1998 .
  6. ^ انظر كوك 2006 و مورديك ورييس 1991 .
  7. 1 2 انظر روبنسون 1996 وكيسلر 1986 .
  8. ↑ انظر، على سبيل المثال، أبوستول 1967 .
  9. ↑ انظر Kock 2006 و Lawvere 1968 .
  10. ^ انظر مورديجك ورييس 1991 وبيل 1998 .

مراجع