دوران (زاوية)

وقد تم اقتراح دمج مسودة :Tau (الثابت الرياضي) في هذه المقالة. ( مناقشة ) تم اقتراحه منذ يوليو 2024.

دور
الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة المركز بدءًا من اليمين، حيث يتوافق الدوران الكامل مع زاوية دوران مقدارها دورة واحدة.
معلومات عامة
وحدة من	زاوية مستوية
رمز	tr، pla، rev، cyc
التحويلات
1 طن في ...	... يساوي ...
راديان	2 π  راد ≈6.283 185 307 ... راد
ميليراديان	2000 π  مراد ≈6 283 .185 307 ... مراد
درجات	360 درجة
غراديانس	400 جرام

الدورة (الرمز tr أو pla ) هي وحدة قياس زاوية المستوى وهي مقياس الزاوية الكاملة - الزاوية التي تحدها دائرة كاملة في مركزها. دورة واحدة تساوي 2 π راديان ، 360  درجة أو 400  غراد . كوحدة زاوية ، تتوافق دورة واحدة أيضًا مع دورة واحدة (الرمز cyc أو c ) ^[1] أو دورة واحدة (الرمز rev أو r ). ^[2] وحدات التردد الشائعة ذات الصلة هي الدورات في الثانية (cps) والدورات في الدقيقة (rpm). ^[أ] الوحدة الزاوية للدورة مفيدة فيما يتعلق، من بين أشياء أخرى، بالملفات الكهرومغناطيسية (مثل المحولات )، والأشياء الدوارة، وعدد لفات المنحنيات . تشمل التقسيمات الفرعية للدورة نصف الدورة وربع الدورة، التي تمتد على زاوية مستقيمة وزاوية قائمة ، على التوالي؛ يمكن أيضًا استخدام البادئات المترية كما في، على سبيل المثال، السنتيتورن (ctr)، والمليتورن (mtr)، وما إلى ذلك. 

نظرًا لأن الدورة الواحدة هي راديان، فقد اقترح البعض تمثيل 2π بحرف واحد. في عام 2010، اقترح مايكل هارتل استخدام الحرف اليوناني ( tau )، وهو ما يساوي نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها ( ) ويقابل دورة واحدة، لمزيد من البساطة المفاهيمية عند تحديد الزوايا بالراديان. ^[3] لم يحظ هذا الاقتراح بقبول واسع النطاق في البداية في المجتمع الرياضي، ^[4] لكن الثابت أصبح أكثر انتشارًا، ^[5] بعد إضافته إلى العديد من لغات البرمجة والآلات الحاسبة الرئيسية. ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 2\pi }$

في ISQ ، يتم صياغة "عدد الدورات" التعسفي (المعروف أيضًا باسم "عدد الدورات" أو "عدد الدورات") على أنه كمية بلا أبعاد تسمى الدوران ، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة زاوية معينة إلى دورة كاملة. يتم تمثيلها بالرمز N. (انظر أدناه للصيغة.)

هناك العديد من رموز الوحدة للدورة.

اقترح المعيار الألماني DIN 1315 (مارس 1974) رمز الوحدة "pla" (من اللاتينية: plenus angulus "زاوية كاملة") للدوران. ^{[6] [7] لا تعد} وحدة Vollwinkel ("الزاوية الكاملة") ، التي وردت في DIN 1301-1  [de] (أكتوبر 2010) ، وحدة قياس قانونية في الاتحاد الأوروبي ^{[8] [9]} وسويسرا. ^[10]

تدعم الحاسبات العلمية HP 39gII و HP Prime رمز الوحدة "tr" للدورات منذ عامي 2011 و2013 على التوالي. كما تمت إضافة دعم "tr" إلى newRPL لـ HP 50g في عام 2016، ولـ hp 39g+ و HP 49g+ و HP 39gs و HP 40gs في عام 2017. ^{[11] [12]} كما تم اقتراح وضع الزاوية TURN لـ WP 43S أيضًا، ^[13] لكن الحاسبة تنفذ بدلاً من ذلك "MUL π " ( مضاعفات π ) كوضع ووحدة منذ عام 2019. ^{[14] [15]}

يمكن تقسيم الدورة إلى 100 سنتيتورن أو1000 ملي دورة، حيث يتوافق كل ملي دورة مع زاوية مقدارها 0.36 درجة، والتي يمكن كتابتها أيضًا على هيئة 21′ 36″ . ^{[16] [17] يُطلق} على المنقلة المقسمة إلى سنتيمترات عادةً اسم " منقلة النسبة المئوية ".

في حين أن أجهزة قياس النسبة المئوية كانت موجودة منذ عام 1922، ^[18] إلا أن مصطلحات السنتيتورن والمليتورن والميكروتورن تم تقديمها بعد ذلك بكثير بواسطة عالم الفلك البريطاني فريد هويل في عام 1962. ^{[16] [17]} تحمل بعض أجهزة القياس للمدفعية ومراقبة الأقمار الصناعية مقاييس المليتورن. ^{[19] [20]}

تُستخدم أيضًا كسور ثنائية للدورة . يقسم البحارة الدورة تقليديًا إلى 32 نقطة بوصلة ، والتي يكون لها ضمناً فصل زاوي بمقدار 1/32 دورة. الدرجة الثنائية ، والمعروفة أيضًا بالراديان الثنائي (أو براد )، هي1/256⁠  دورة. ^[21] تُستخدم الدرجة الثنائية في الحوسبة بحيث يمكن تمثيل الزاوية بأقصى دقة ممكنة في بايت واحد . قد تستند مقاييس الزاوية الأخرى المستخدمة في الحوسبة إلى تقسيم دورة كاملة إلى 2 ⁿ جزء متساوٍ لقيم أخرى من n . ^[22]

الرقم 2 π (حوالي 6.28) هو نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها ، وعدد الراديان في دورة واحدة.

لم يكن معنى الرمز محددًا في الأصل بنسبة المحيط إلى القطر. في عام 1697، استخدم ديفيد جريجوري ⁠${\displaystyle \pi }$π/ρ( باي على رو) للإشارة إلى محيط الدائرة (أي المحيط ) مقسومًا على نصف قطرها. ^{[23] [24]} ومع ذلك، في وقت سابق من عام 1647،استخدم ويليام أوتريدδ/π( دلتا على باي) لنسبة القطر إلى المحيط. كان أول استخدام للرمز π بمفرده بمعناه الحالي (المحيط مقسومًا على القطر) في عام 1706 بواسطةعالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز . ^{[25] [26]}

أول استخدام معروف لحرف واحد للإشارة إلى الثابت 6.28... كان في مقال ليونهارد أويلر عام 1727 الذي يشرح خصائص الهواء ، حيث تمت الإشارة إليه بالحرف π . ^{[27] [28]} سيستخدم أويلر لاحقًا الحرف π للثابت 3.14... في كتابه ميكانيكا ^{عام 1736 [29] وكتاب} مقدمة في التحليل اللانهائي عام 1748 ، ^[30] على الرغم من تعريفه بأنه نصف محيط دائرة نصف قطرها 1 - دائرة الوحدة - بدلاً من نسبة المحيط إلى القطر. في مكان آخر في مقدمة في التحليل اللانهائي ، استخدم أويلر بدلاً من ذلك الحرف π لربع محيط دائرة الوحدة، أو 1.57... . انتشر استخدام الحرف π ، أحيانًا لـ 3.14... وأحيانًا أخرى لـ 6.28...، مع اختلاف التعريف حتى عام 1761؛ ^[31] وبعد ذلك، تم توحيد π بحيث يساوي 3.14... ^{[32] [33]}

اقترح العديد من الأشخاص بشكل مستقل استخدام 𝜏 = 2 π ، بما في ذلك: ^[34]

• جوزيف ليندنبورج ( حوالي عام 1990)
• جون فيشر (2004)
• بيتر هاريموس (2010)
• مايكل هارتل (2010)

في عام 2001، اقترح روبرت باليه استخدام عدد الراديان في دورة واحدة باعتباره ثابت الدائرة الأساسي بدلاً من π ، والذي يعادل عدد الراديان في نصف دورة، وذلك لتبسيط الرياضيات وجعلها أكثر بديهية. استخدم اقتراحه رمز "π بثلاثة أرجل" للإشارة إلى الثابت ( ). ^[35]${\displaystyle \pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi }$

في عام 2008، اقترح روبرت ب. كريس فكرة تعريف الثابت كنسبة المحيط إلى نصف القطر، وهو الاقتراح الذي أيده جون هورتون كونواي . استخدم كريس الحرف اليوناني psi : . ^[36]${\displaystyle \psi =2\pi }$

في العام نفسه، اقترح توماس كوليجناتوس الحرف اليوناني الكبير ثيتا ، Θ، لتمثيل 2 π . ^[37] الحرف اليوناني ثيتا مشتق من الحرف الفينيقي والعبراني تيث ، 𐤈 أو ט، وقد لوحظ أن النسخة الأقدم من الرمز، والتي تعني العجلة، تشبه عجلة بأربعة أضلاع. ^[38] كما تم اقتراح استخدام رمز العجلة، تيث، لتمثيل القيمة 2 π ، ومؤخرًا تم إجراء اتصال بين الثقافات القديمة الأخرى حول وجود رمز عجلة أو شمس أو دائرة أو قرص - أي أشكال أخرى من تيث - لتمثيل 2 π . ^[39]

في عام 2010، اقترح مايكل هارتل استخدام الحرف اليوناني tau لتمثيل ثابت الدائرة: τ = 2 π . وقد قدم عدة أسباب لاختيار الثابت، في المقام الأول أنه يسمح بالتعبير عن كسور الدورة بشكل أكثر مباشرة: على سبيل المثال، ⁠3/4 سيتم تمثيل الدور على النحو التالي3 ط/4⁠  راد بدلا من ⁠3π​/2⁠  rad. أما بالنسبة لاختيار التدوين، فقد قدم سببين. أولاً، τ هو عدد الراديان في دورة واحدة ، ويبدأ كل من τ و turn بصوت / t / . ثانيًا،يشبه τ بصريًا π ، الذي لا مفر من ارتباطه بثابت الدائرة. يقدم بيان تاو لهارتل ^[b] العديد من الأمثلة على الصيغ التي يُزعم أنها أكثر وضوحًا حيثيتم استخدام τ بدلاً من π . ^{[41] [42] [43]} على سبيل المثال، يؤكد هارتل أن استبدال متطابقة أويلر e ^iπ = −1 بـ e ^iτ = 1 (التي يسميها هارتل أيضًا "متطابقة أويلر") أكثر جوهرية وذات مغزى. كما يدعي أن صيغة المساحة الدائرية من حيث τ ، A = ⁠1/2⁠ 𝜏 r ² ، يحتوي على عامل طبيعي ⁠1/2الناشئة عن التكامل .

في البداية، لم يحظ هذا الاقتراح بقبول كبير من قبل المجتمعات الرياضية والعلمية. ^[4] ومع ذلك، أصبح استخدام τ ^{أكثر انتشارًا. [5]} على سبيل المثال:

• في عام 2012، بدأ موقع أكاديمية خان التعليمي في قبول الإجابات المعبر عنها من حيث τ . ^[44]
• يتم توفير الثابت τ في حاسبة جوجل، حاسبة الرسوم البيانية Desmos ^[45] وفي العديد من لغات البرمجة مثل Python ، ^{[46] [47]} Raku ، ^[48] Processing ، ^[49] Nim ، ^[50] Rust ، [ ^51] GDScript ، ^[52] UE Blueprints ، ^[53] Java ، ^{[54] [55]} .NET ، ^{[56] [57]} وOdin. ^[58]
• لقد تم استخدامه في مقالة بحثية رياضية واحدة على الأقل، ^[59] من تأليف بيتر هاريموس، المروج لـ τ . ^[60]
• يعبر خيار تحويل الزاوية في iPhone عن الدوران بـ τ . ^[61]

يوضح الجدول التالي كيفية ظهور الهويات المختلفة عند استخدام τ = 2 π بدلاً من π . ^{[62] [35]} للحصول على قائمة أكثر اكتمالاً، راجع قائمة الصيغ التي تتضمن π .

صيغة	استخدام π	استخدام τ	ملحوظات
الزاوية التي يحددها ⁠1/4من دائرة	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}{\text{ rad}}}$	${\displaystyle {\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}{\text{ rad}}}$	⁠ط/4راد =​1/4⁠ دور
محيط الدائرة	${\displaystyle C={\color {orangered}2\pi }r}$	${\displaystyle C={\color {orangered}\tau }r}$	طول قوس الزاوية θ هو L = θr .
مساحة الدائرة	${\displaystyle A={\color {orangered}\pi }r^{2}}$	${\displaystyle A={\color {orangered}{\frac {1}{2}}\tau }r^{2}}$	مساحة قطاع الزاوية θ هي A = ⁠1/2⁠ θr 2 .
مساحة مضلع منتظم مكون من n ضلع ونصف قطر محيطه وحدة	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}2\pi {n}}}$	${\displaystyle A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}\tau }{n}}}$
علاقة تكرار حجم الكرة n والكرة n	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$ ${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}2\pi }rV_{n-1}(r)}$	${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)}$ ${\displaystyle S_{n}(r)={\color {orangered}\tau }rV_{n-1}(r)}$	ف 0 ( ر ) = 1 س 0 ( ر ) = 2
صيغة كوشي التكاملية	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\, دي زي}$	${\displaystyle f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz }$	${\displaystyle \gamma }$هي حدود القرص المحتوي على المستوى المركب. ${\displaystyle أ}$
التوزيع الطبيعي القياسي	${\displaystyle \varphi(x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$	${\displaystyle \varphi(x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$
تقريب ستيرلنغ	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$	${\displaystyle n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$
ن جذور الوحدة	${\displaystyle e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}}$	${\displaystyle e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}}$
ثابت بلانك	${\displaystyle h={\color {orangered}2\pi }\hbar }$	${\displaystyle h={\color {orangered}\tau }\hbar }$	ħ هو ثابت بلانك المختزل .
التردد الزاوي	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}2\pi }f}$	${\displaystyle \omega ={\color {orangered}\tau }f}$

دورة واحدة تساوي 2π (  ≈6.283 185 307 179 586 ) ^[63] راديان ، أو 360 درجة ، أو 400 غراد .

تحويل الزوايا المشتركة

المنعطفات	راديان		درجات	جراديانس
0 دورة	0 راد		0°	0 جرام
⁠1/72⁠ دور	⁠𝜏/72⁠ راد	⁠π/36⁠ راد	5°	5+5/9⁠ ج
⁠1/24⁠ دور	⁠𝜏/24⁠ راد	⁠π/12⁠ راد	15 درجة	16+2/3⁠ ج
⁠1/16⁠ دور	⁠𝜏/16⁠ راد	⁠π/8⁠ راد	22.5 درجة	25 جرام
⁠1/12⁠ دور	⁠𝜏/12⁠ راد	⁠π/6⁠ راد	30 درجة	33+1/3⁠ ج
⁠1/10⁠ دور	⁠𝜏/10⁠ راد	⁠π/5⁠ راد	36 درجة	40 جرام
⁠1/8⁠ دور	⁠𝜏/8⁠ راد	⁠π/4⁠ راد	45 درجة	50 جرام
⁠1/2π​⁠ دور	1 راد		ج. 57.3 درجة	حوالي 63.7 جرام
⁠1/6⁠ دور	⁠𝜏/6⁠ راد	⁠π/3⁠ راد	60 درجة	66+2/3⁠ ج
⁠1/5⁠ دور	⁠𝜏/5⁠ راد	⁠2π​/5⁠ راد	72 درجة	80 جرام
⁠1/4⁠ دور	⁠𝜏/4⁠ راد	⁠π/2⁠ راد	90 درجة	100 جرام
⁠1/3⁠ دور	⁠𝜏/3⁠ راد	⁠2π​/3⁠ راد	120 درجة	133+1/3⁠ ج
⁠2/5⁠ دور	⁠2𝜏/5⁠ راد	⁠4π​/5⁠ راد	144 درجة	160 جرام
⁠1/2⁠ دور	⁠𝜏/2⁠ راد	π راد	180 درجة	200 جرام
⁠3/4⁠ دور	⁠3𝜏/4⁠ راد	⁠3π​/2⁠ راد	270 درجة	300 جرام
دورة واحدة	𝜏 راد	2 π راد	360 درجة	400 جرام

تناوب
أسماء أخرى	عدد الدورات، عدد الدورات، عدد اللفات، عدد الدورات
الرموز الشائعة	ن
وحدة النظام الدولي للوحدات	بدون وحدة
البعد	1

في النظام الدولي للكميات (ISQ)، الدوران (الرمز N ) هو كمية فيزيائية يتم تعريفها على أنها عدد الدورات : ^[64]

N هو عدد (ليس بالضرورة عددًا صحيحًا) دورات الجسم الدوار حول محور معين، على سبيل المثال. تُعطى قيمته بالمعادلة التالية:

${\displaystyle N={\frac {\varphi }{2\pi {\text{ rad}}}}}$

حيث يشير 𝜑 إلى مقياس الإزاحة الدورانية .

التعريف المذكور أعلاه هو جزء من ISQ، والذي تم صياغته رسميًا في المعيار الدولي ISO 80000-3 (المساحة والوقت)، ^[64] وتم اعتماده في النظام الدولي للوحدات (SI). ^{[65] [66]}

عدد الدورات أو عدد الدورات هو كمية ذات بعد واحد ، ناتجة عن نسبة الإزاحة الزاوية. يمكن أن تكون سالبة وأيضًا أكبر من 1 في معامل المرونة. يمكن التعبير عن العلاقة بين كمية الدوران، N ، ووحدة الدورات، tr، على النحو التالي:

${\displaystyle N={\frac {\varphi }{\text{tr}}}=\{\varphi \}_{\text{tr}}}$

حيث {𝜑} _tr هي القيمة العددية للزاوية 𝜑 بوحدات الدورات (انظر الكمية الفيزيائية § المكونات ).

في ISQ/SI، يتم استخدام الدوران لاستنتاج التردد الدوراني ( معدل تغير الدوران بالنسبة للوقت)، والذي يُشار إليه بـ n :

${\displaystyle n={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}}$

وحدة التردد الدوراني في النظام الدولي للوحدات هي الثانية العكسية (s ⁻¹ ). الوحدات الشائعة ذات الصلة للتردد هي الهرتز (Hz)، والدورات في الثانية (cps)، والدورات في الدقيقة (rpm).

ثورة
وحدة من	تناوب
رمز	ريف، ر، سي سي، سي
التحويلات
1 دورة في ...	... يساوي ...
الوحدات الأساسية	1

وقد عرّف الإصدار السابق ISO 80000-3:2006 "الدوران" كاسم خاص للوحدة عديمة الأبعاد "واحد"، ^[ج] والتي تلقت أيضًا أسماء خاصة أخرى، مثل الراديان. ^[د] وعلى الرغم من تجانسهما البعدي ، فإن هاتين الوحدتين عديمتي الأبعاد المسميتين بشكل خاص يمكن تطبيقهما على أنواع غير قابلة للمقارنة من الكميات : الدوران والزاوية، على التوالي. ^[68] كما تم ذكر "الدورة" في ISO 80000-3، في تعريف الفترة . ^[هـ]

يوثق الجدول التالي لغات برمجة مختلفة طبقت ثابت الدائرة للتحويل بين الدورات والراديان. تدعم جميع اللغات أدناه الاسم "Tau" في بعض الحالات، لكن لغة Processing تدعم أيضًا "TWO_PI" وتدعم لغة Raku أيضًا الرمز "τ" للوصول إلى نفس القيمة.

لغة	المعرفات	النسخة الأولى	سنة الإصدار
سي شارب / .نت	نظام.Math.Tau ونظام.MathF.Tau	5.0	2020
كريستال	جامعة تاو	0.36.0	2021
ايفل	ثوابت الرياضيات.تاو	كيرتس	لم يتم إصداره بعد
جي دي سكريبت	جامعة تاو	جودو 3.0	2018
جافا	الرياضيات.TAU	19	2022
نيم	جامعة تاو	0.14.0	2016
يعالج	TAU وTWO_PI	2.0	2013
بايثون	الرياضيات.تاو	3.6	2016
راكو	تاو وτ
الصدأ	std::f64::consts::TAU	1.47.0	2020
زيج	الرياضيات القياسية	0.6.0	2019

• أمبير-دوران
• هرتز (حديث) أو دورة في الثانية (قديم)
• زاوية الدوران
• دورة في الدقيقة
• دائرة متكررة
• السبات (وحدة الزاوية) - نظير الزاوية الصلبة للدوران، وهو ما يعادل 4 π  ستراديان .
• فاصل الوحدة
• النسب الإلهية: من علم المثلثات النسبية إلى الهندسة الكونية
• عملية نمطية
• التواء (رياضيات)

• بيان تاو