بديهية الاتحاد

في نظرية المجموعات البديهية ، تُعد بديهية الاتحاد إحدى بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات . وقد قدم هذه البديهية إرنست زيرميلو . ^{[ 1 ]}

بشكل غير رسمي، تنص البديهية على أنه إذا${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة من المجموعات، فإن اتحاد جميع المجموعات في هو${\displaystyle X}$لا تزال مجموعة. بعبارة أبسط، لكل مجموعة${\displaystyle X}$هناك مجموعة​${\displaystyle Y}$عناصرها هي بالضبط عناصر عناصر${\displaystyle X}$⁠ .

في اللغة الرسمية لبديهيات زيرميلو-فرانكل، تنص البديهية على ما يلي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \forall X\,\exists Y\,\forall u\,(u\in Y\leftrightarrow \exists z\,(u\in z\land z\in X))}$$ أو بالكلمات:

بالنظر إلى أي مجموعة X ، توجد مجموعة Y بحيث يكون، لأي عنصر u ، u عضوًا في Y إذا وفقط إذا كانت هناك مجموعة z بحيث يكون u عضوًا في z و z عضوًا في X.

أو ببساطة:

لأي مجموعة${\displaystyle X}$هناك مجموعة${\displaystyle \bigcup X}$والتي تتكون فقط من عناصر عناصر تلك المجموعة${\displaystyle X}$.

تسمح بديهية الاتحاد بتفكيك مجموعة من المجموعات، وبالتالي إنشاء مجموعة أكثر تسطحًا. وبالاقتران مع بديهية الاقتران ، فإنها تعني أنه لأي مجموعتين ⁠${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$، اتحادهما الثنائي​${\displaystyle A\cup B}$⁠ هي أيضاً مجموعة.

إلى جانب مخطط البديهية للاستبدال ، فإن بديهية الاتحاد تعني أنه يمكن للمرء أن يشكل اتحاد عائلة من المجموعات المفهرسة بواسطة مجموعة.

تُستخدم بديهية الاتحاد غالبًا لبناء نهاية متتالية لانهائية من المجموعات .${\displaystyle X_{0}\subseteq X_{1}\subseteq X_{2}\subseteq \cdots }$على سبيل المثال ، يمكن استخدامه لإنشاء القيمة العليا لأي مجموعة من الأعداد الترتيبية . ^{[ 3 ]}

في سياق نظريات المجموعات التي تتضمن مخطط بديهية الفصل ، تُصاغ بديهية الاتحاد أحيانًا بصيغة أضعف تُنتج فقط مجموعة شاملة لاتحاد مجموعة ما. على سبيل المثال، يذكر كونين ^{[ 4 ]} البديهية على النحو التالي: $${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A]}$$ لتسهيل التحقق منه في نماذج مختلفة . هذا الشكل مكافئ منطقيًا لـ $${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].}$$ بالمقارنة مع البديهية المذكورة في أعلى هذا القسم، يؤكد هذا التباين اتجاهًا واحدًا فقط من الاستلزام، بدلاً من كلا الاتجاهين.

في عموميتها الكاملة، تُعتبر بديهية الاتحاد مستقلة عن بقية بديهيات ZFC. وهي البديهية الوحيدة التي تؤكد وجود أعداد حدية قوية مفردة مثل ⁠${\displaystyle \beth _{\omega }}$( بيث-أوميغا ،نهاية المتتالية )${\displaystyle \aleph _{0},2^{\aleph _{0}},2^{2^{\aleph _{0}}},\ldots }$) . وبشكل ملموس، إذا ⁠${\displaystyle \kappa }$إذا كان ⁠ عددًا أصليًا ذا حد قوي منفرد، فإن مجموعة المجموعات ⁠${\displaystyle X}$بحيث​​${\displaystyle \vert X\vert <\kappa }$و​​${\displaystyle \vert y\vert <\kappa }$للجميع​​${\displaystyle y}$في الإغلاق المتعدي لـ​${\displaystyle X}$[ ^{أ ]} يشكل نموذجًا لـ^​​${\displaystyle {\text{ZFC}}-{\text{Union}}}$( مسلمات ZFC مطروحًا منها مسلمة الاتحاد). ^{[ 3 ]}

مع ذلك، تظل العديد من النتائج في ZF(C) صالحة حتى بدون بديهية الاتحاد. يسمح مخطط بديهية الاستبدال بتكوين اتحاد إذا أمكن إنشاء مجموعة لها نفس العدد أو عدد أكبر ، بالإضافة إلى تطبيق شامل قابل للتعريف منها على ذلك الاتحاد، وهو ما يمكن تحقيقه غالبًا باستخدام بديهية مجموعة القوى . على سبيل المثال، الاتحاد الثنائي ⁠${\displaystyle A\cup B}$يمكن بناء ⁠ عندما تكون الأعداد ⁠${\displaystyle \vert A\vert }$و​​${\displaystyle \vert B\vert }$يمكن مقارنة ⁠ ، لأنه دون فقدان للعمومية يمكن افتراض أن ⁠${\displaystyle \vert A\vert \leq \vert B\vert }$و​​${\displaystyle 2\leq \vert B\vert }$ثم​ $${\displaystyle |A\cup B|\leq |A|+|B|\leq 2\cdot |B|\leq |B|\cdot |B|=|B\times B|\leq |{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(B))|}$$ حيث تتبع المتباينة النهائية من تعريف الضرب الديكارتي باستخدام زوج كوراتوفسكي المرتب .

بافتراض بديهية الاختيار ، يمكن إثبات نظرية الترتيب الجيد دون بديهية الاتحاد، والتي يمكن استخدامها لإظهار أن${\displaystyle \bigcup X}$⁠ موجود طالما أن عدد عناصر جميع المجموعات في ⁠${\displaystyle X}$تكون محدودة. هذا الشرط صحيح دائمًا بالنسبة للاتحادات المنتهية، أو بشكل أعم عندما${\displaystyle X}$لا تحتوي إلا على مجموعات ذات عدد محدود من العناصر غير المحدودة. وعلى العكس من ذلك، بافتراض اتساق ZF، يوجد نموذج لـ${\displaystyle {\text{ZFC}}-{\text{Union}}}$بحيث​​${\displaystyle \bigcup X}$لا وجود لها عندما${\displaystyle X}$تحتوي على مجموعات ذات عدد لا نهائي من العناصر ذات عدد لا نهائي من العناصر. ^{[ 3 ]}

لا يوجد بديهية تقاطع مقابلة . إذا${\displaystyle A}$هي مجموعة غير فارغة تحتوي على${\displaystyle E}$، من الممكن تشكيل التقاطع${\displaystyle \bigcap A}$باستخدام مخطط البديهيات للمواصفات كـ $${\displaystyle \bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\},}$$ لذا لا حاجة إلى بديهية تقاطع منفصلة. (إذا كانت A هي المجموعة الفارغة ، فإن محاولة تكوين تقاطع A كـ

{ c : لكل عنصر D في A ، يكون c في D }

لا تسمح البديهيات بذلك. علاوة على ذلك، إذا وُجدت مثل هذه المجموعة، فإنها ستحتوي على كل مجموعة في "الكون"، لكن مفهوم المجموعة الشاملة يتعارض مع نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات.

• بول هالموس ، نظرية المجموعات الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: شركة دي. فان نوستراند، 1960. أعيد طبعه بواسطة سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. ISBN 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ).
• جيتش، توماس ، 2003. نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.