نظرية دمبستر-شافر

تُعدّ نظرية دوال الاعتقاد ، والمعروفة أيضًا بنظرية الأدلة أو نظرية دمبستر-شيفر ( DST )، إطارًا عامًا للاستدلال في ظل عدم اليقين، مع وجود صلات مفهومة بأطر أخرى مثل نظريات الاحتمال والإمكانية والاحتمال غير الدقيق . وقد قدّمها آرثر ب. دمبستر ^{[ 1 ]} في سياق الاستدلال الإحصائي ، ثم طوّرها لاحقًا غلين شيفر لتصبح إطارًا عامًا لنمذجة عدم اليقين المعرفي - نظرية رياضية للأدلة . [ ^{2 ] [ 3 ] تُمكّن} هذه النظرية من دمج الأدلة من مصادر مختلفة والوصول إلى درجة من الاعتقاد (مُمثلة بكائن رياضي يُسمى دالة الاعتقاد ) تأخذ في الحسبان جميع الأدلة المتاحة.

بالمعنى الضيق، يشير مصطلح نظرية دمبستر-شافر إلى التصور الأصلي للنظرية الذي وضعه دمبستر وشيفر. مع ذلك، يشيع استخدام المصطلح بمعناه الأوسع، أي للدلالة على المنهج العام نفسه، مع تكييفه لأنواع محددة من الحالات. على وجه الخصوص، اقترح العديد من الباحثين قواعد مختلفة لدمج الأدلة، غالبًا بهدف معالجة التناقضات في الأدلة بشكل أفضل. ^{[ 4 ]} كما شكلت المساهمات المبكرة نقطة انطلاق للعديد من التطورات المهمة، بما في ذلك نموذج المعتقدات القابلة للنقل ونظرية التلميحات. ^{[ 5 ]}

تُعدّ نظرية دمبستر-شافر تعميمًا لنظرية بايز للاحتمال الذاتي . تعتمد دوال الاعتقاد على الاحتمالات الذاتية لسؤال ذي صلة لتحديد درجات الاعتقاد (أو الثقة) لسؤال ما. قد تمتلك درجات الاعتقاد نفسها الخصائص الرياضية للاحتمالات أو لا، ويتوقف مدى اختلافها على مدى ترابط السؤالين. ^{[ 6 ]} بعبارة أخرى، هي طريقة لتمثيل المعقولية المعرفية ، ولكنها قد تُفضي إلى إجابات تُناقض تلك التي تم التوصل إليها باستخدام نظرية الاحتمالات .

تُستخدم نظرية دمبستر-شيفر غالبًا كطريقة لدمج البيانات الحسية ، وهي تقوم على فكرتين: الأولى هي استخلاص درجات الثقة لسؤال ما من الاحتمالات الذاتية لسؤال ذي صلة، والثانية هي قاعدة دمبستر ^{[ 7 ]} لدمج درجات الثقة هذه عندما تستند إلى أدلة مستقلة. وباختصار، تعتمد درجة الثقة في قضية ما بشكل أساسي على عدد الإجابات (للأسئلة ذات الصلة) التي تتضمن تلك القضية، والاحتمال الذاتي لكل إجابة. كما تُسهم قواعد الدمج، التي تعكس افتراضات عامة حول البيانات، في تحديد درجة الثقة.

في هذا النموذج، يُعبَّر عن درجة الاعتقاد (التي تُسمى أيضًا بالكتلة ) كدالة اعتقاد بدلاً من توزيع احتمالي بايزي . تُسند قيم الاحتمال إلى مجموعات من الاحتمالات بدلاً من أحداث منفردة: تكمن جاذبيتها في أنها تُشفِّر بشكل طبيعي أدلة تدعم القضايا.

تُخصّص نظرية دمبستر-شيفر كتلها لجميع المجموعات الجزئية من مجموعة حالات النظام - أو بعبارة أخرى ، مجموعة القوى للحالات. على سبيل المثال، لنفترض وجود حالتين محتملتين لنظام ما. بالنسبة لهذا النظام، تُخصّص أي دالة اعتقاد كتلة للحالة الأولى، أو الثانية، أو لكلتيهما، أو لا تُخصّص أي كتلة لأي منهما.

ليكن X هو الكون : المجموعة التي تمثل جميع الحالات الممكنة لنظام قيد الدراسة. مجموعة القوى

${\displaystyle 2^{X}\,\!}$

هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من X ، بما في ذلك المجموعة الفارغة ${\displaystyle \emptyset }$على سبيل المثال، إذا:

${\displaystyle X=\left\{a,b\right\}\,\!}$

ثم

${\displaystyle 2^{X}=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}.\,}$

يمكن اعتبار عناصر مجموعة القوى بمثابة تمثيل للمقترحات المتعلقة بالحالة الفعلية للنظام، وذلك من خلال احتواء جميع الحالات التي يكون فيها الاقتراح صحيحًا فقط.

تُخصص نظرية الأدلة كتلة اعتقاد لكل عنصر من عناصر مجموعة القوى. بصورة رسمية، دالة

${\displaystyle m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$

يُطلق عليه اسم تعيين الاعتقاد الأساسي (BBA)، عندما يكون له خاصيتان. أولاً، كتلة المجموعة الفارغة تساوي صفرًا:

${\displaystyle m(\emptyset )=0.\,\!}$

ثانياً، مجموع كتل جميع أعضاء مجموعة السلطة يساوي 1:

${\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1.}$

تمثل الكتلة m ( A ) للمجموعة A ، وهي عنصر معين من مجموعة القوى، نسبة جميع الأدلة ذات الصلة والمتاحة التي تدعم الادعاء بأن الحالة الفعلية تنتمي إلى A ولكن ليس إلى أي مجموعة فرعية محددة منها . وتتعلق قيمة m ( A ) بالمجموعة A فقط ، ولا تقدم أي ادعاءات إضافية حول أي مجموعات فرعية من A ، حيث أن لكل منها، بحكم تعريفها، كتلتها الخاصة.

انطلاقاً من توزيعات الكتلة، يمكن تحديد الحدين الأعلى والأدنى لفترة احتمالية. تحتوي هذه الفترة على الاحتمال الدقيق لمجموعة ذات أهمية (بالمعنى الكلاسيكي)، وهي محدودة بمقياسين متصلين غير جمعيين يُطلق عليهما الاعتقاد (أو الدعم ) والمعقولية .

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).}$

يُعرَّف الاعتقاد bel( A ) لمجموعة A بأنه مجموع جميع كتل المجموعات الجزئية من المجموعة محل الاهتمام:

${\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,}$

إن الاحتمالية pl( A ) هي مجموع جميع كتل المجموعات B التي تتقاطع مع المجموعة محل الاهتمام A :

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,}$

يرتبط هذان المقياسان ببعضهما البعض على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,}$

وبالعكس، بالنسبة لمجموعة A المحدودة ، إذا أعطينا مقياس الاعتقاد bel( B ) لجميع المجموعات الجزئية B من A ، فيمكننا إيجاد الكتل m ( A ) باستخدام الدالة العكسية التالية :

${\displaystyle m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(-1)^{|AB|}\operatorname {bel} (B)\,}$

حيث يمثل | A  − B | الفرق بين عدد عناصر المجموعتين. ^{[ 4 ]} 

يستنتج من المعادلتين الأخيرتين أنه بالنسبة لمجموعة محدودة X ، يكفي معرفة أحد المتغيرات الثلاثة (الكتلة، أو الاعتقاد، أو المعقولية) لاستنتاج المتغيرين الآخرين؛ مع العلم أنه قد يلزم معرفة قيم المتغيرات الأخرى لمجموعات متعددة لحساب أحد المتغيرات الأخرى لمجموعة معينة. أما في حالة مجموعة غير محدودة X ، فقد توجد دوال اعتقاد ومعقولية محددة جيدًا، ولكن لا توجد دالة كتلة محددة جيدًا. ^{[ 11 ]}

تتمتع دوال الاعتقاد بتفسير مقنع للغاية من حيث المتغيرات العشوائية ذات القيم المحددة ، أو المجموعات العشوائية ^{[ 12 ]} .

لنأخذ النرد كمثال بسيط جدًا على المتغير العشوائي (المنفصل). يستند فضاء الاحتمال المقابل على فضاء العينة.${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}$، بعناصر تتوافق مع أوجه النرد.

الآن، تخيل أن اثنين من الوجوه، مثلاً 1 و2، مخفيان. لا يزال بإمكاننا رمي النرد: لم يتغير فضاء الاحتمالات، وتبقى هذه تجربة عشوائية موصوفة بمتغير عشوائي أساسي. ما تغير هو طبيعة النتيجة: فإلى جانب الوجوه الفردية العادية (3، 4، إلخ)، قد نلاحظ أحيانًا وجهًا مخفيًا. بافتراض أن الوجه العلوي فقط هو المرئي بعد كل رمية، فإن هذا يُعادل ملاحظة مجموعة الوجوه.${\displaystyle \{1,2\}}$رياضياً، هذا متغير عشوائي ذو قيم متعددة، أو مجموعة عشوائية (انظر الشكل). ^{[ 13 ]}

يوضح هذا أحد أبسط حالات البيانات المفقودة ، وهي الحالات التي يكون فيها جزء من البيانات التي أحتاجها للاستدلال مفقودًا جزئيًا أو كليًا. وهذا شائع جدًا في العلوم والهندسة: فكر في حالات الحجب في رؤية الحاسوب ، على سبيل المثال، أو قيم درجات الحرارة المفقودة لأيام أو مواقع معينة في البيانات المناخية. الخلاصة هي أنه كلما كانت البيانات مفقودة، فإن الملاحظات تكون بطبيعتها ذات قيم محددة.

وفقًا للصياغة الأصلية لآرت دمبستر، ^{[ 14 ]} فإن دالة الاعتقاد هي في الواقع دالة متعددة القيم (من 1 إلى متعدد) بين فضاء احتمالي (مصدر).$أوميغا$ومساحة مستهدفة${\displaystyle X}$، من النوع:${\displaystyle \Gamma$ Ω → 2X ، حيث${\displaystyle \omega \in \Omega \mapsto A\subseteq X}$في مثال النرد المخفي أعلاه،${\displaystyle A=\{1,2\}\subseteq X=\{1,2,3,4,5,6\}.}$

تكمن المشكلة التي نواجهها الآن في كيفية دمج مجموعتين مستقلتين من توزيعات احتمالية الكتل في حالات محددة. في حال عبّرت مصادر مختلفة عن معتقداتها حول الإطار من خلال قيود على المعتقدات، كما هو الحال عند تقديم تلميحات أو التعبير عن تفضيلات، فإن قاعدة دمبستر للدمج هي أداة الدمج المناسبة. تستخلص هذه القاعدة معتقدًا مشتركًا بين مصادر متعددة، وتتجاهل جميع المعتقدات المتضاربة (غير المشتركة) من خلال عامل توحيد. وقد وُجّهت انتقادات حادة لاستخدام هذه القاعدة في حالات أخرى غير دمج قيود المعتقدات، كما هو الحال عند دمج تقديرات معتقدات منفصلة من مصادر متعددة، بحيث يتم دمجها بشكل تراكمي، وليس كقيود. يعني الدمج التراكمي أن جميع توزيعات الاحتمالية من المصادر المختلفة تنعكس في المعتقد المستخلص، وبالتالي لا يتم تجاهل أي توزيع احتمالي.

وبالتحديد، يتم حساب التركيبة (التي تسمى الكتلة المشتركة ) من مجموعتي الكتل m ₁ و m ₂ بالطريقة التالية:

${\displaystyle m_{1,2}(\emptyset )=0\,}$

${\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}$

أين

${\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C).\,}$

يمثل K مقياسًا لمقدار الصراع بين مجموعتي الكتلتين.

كما هو الحال في نظرية دمبستر-شافر، دالة الاعتقاد البايزية ${\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}$يمتلك الخصائص${\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0}$و${\displaystyle \operatorname {bel} (X)=1}$أما الشرط الثالث، فهو مُضمّن في نظرية DS، ولكنه مُخفّف فيها: ^{[ 2 ] : ص 19}

${\displaystyle {\text{إذا كان }}A\cap B=\emptyset ,{\text{ فإن}}\operatorname {bel} (A\cup B)=\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} (B).}$

أي من الشرطين التاليين يستلزم الحالة الخاصة البايزية لنظرية DS: ^{[ 2 ] : ص 37، 45}

• ${\displaystyle \operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} ({\bar {A}})=1{\text{ for all }}A\subseteq X.}$
• بالنسبة لـ X المحدودة ، فإن جميع العناصر المحورية لدالة الاعتقاد هي عناصر مفردة.

كمثال على اختلاف المنهجين، يمكن لمنهج بايزي أن يُنمذج لون السيارة كتوزيع احتمالي على (أحمر، أخضر، أزرق)، مُخصصاً رقماً واحداً لكل لون. أما منهج دمبستر-شيفر، فيُخصص أرقاماً لكل من (أحمر، أخضر، أزرق، (أحمر أو أخضر)، (أحمر أو أزرق)، (أخضر أو ​​أزرق)، (أحمر أو أخضر أو ​​أزرق)). ولا يشترط أن تكون هذه الأرقام متسقة؛ فمثلاً، ليس بالضرورة أن يكون مجموع Bel(أحمر) + Bel(أخضر) مساوياً لـ Bel(أحمر أو أخضر).

وبالتالي، يمكن اعتبار الاحتمال الشرطي لبايز حالة خاصة من قاعدة دمبستر للتركيب. ^{[ 2 ] : ص 19 وما بعدها.} مع ذلك، يفتقر هذا الاحتمال إلى العديد من الخصائص (إن لم يكن معظمها) التي تجعل قاعدة بايز مرغوبة بديهيًا، مما يدفع البعض إلى القول بأنه لا يمكن اعتباره تعميمًا ذا معنى. ^{[ 23 ]} على سبيل المثال، تنتهك نظرية دمبستر متطلبات نظرية كوكس ، مما يعني أنه لا يمكن اعتبارها تعميمًا متماسكًا (خاليًا من التناقضات) للمنطق الكلاسيكي - تحديدًا، تنتهك نظرية دمبستر شرط أن تكون العبارة إما صحيحة أو خاطئة (وليس كليهما). ونتيجة لذلك، تخضع نظرية دمبستر لحجة الكتاب الهولندي ، مما يعني أن أي شخص يستخدم نظرية دمبستر سيوافق على سلسلة من الرهانات التي تؤدي إلى خسارة مضمونة.

يُقلل التقريب البايزي ^{[ 24 ] [ 25 ]} من قيمة bpa المعطاة${\displaystyle m}$إلى توزيع احتمالي (منفصل)، أي يُسمح فقط للمجموعات الفرعية الفردية من إطار التمييز بأن تكون عناصر محورية في النسخة التقريبية${\displaystyle {\underline {m}}}$ل${\displaystyle m}$:

${\displaystyle {\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B|A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot |C|}},&|A|=1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.}$

إنه مفيد لأولئك المهتمين فقط بفرضية الحالة الواحدة.

يمكننا القيام بذلك في مثال "الضوء".

فرضية	${\displaystyle m_{1}}$	${\displaystyle m_{2}}$	${\displaystyle m_{1,2}}$	${\displaystyle {\underline {m}}_{1}}$	${\displaystyle {\underline {m}}_{2}}$	${\displaystyle {\underline {m}}_{1,2}}$
لا أحد	0	0	0	0	0	0
أحمر	0.35	0.11	0.32	0.41	0.30	0.37
أصفر	0.25	0.21	0.33	0.33	0.38	0.38
أخضر	0.15	0.33	0.24	0.25	0.32	0.25
أحمر أو أصفر	0.06	0.21	0.07	0	0	0
أحمر أو أخضر	0.05	0.01	0.01	0	0	0
أصفر أو أخضر	0.04	0.03	0.01	0	0	0
أي	0.1	0.1	0.02	0	0	0

ترتبط وظائف الاعتقاد ارتباطًا وثيقًا بالعديد من المقاييس الأخرى للشك المعرفي من الدرجة الثانية . ^{[ 26 ]}

على وجه الخصوص، تحدد دالة الاعتقاد بشكل فريد مجموعة اعتقادية ، أي مجموعة محدبة من التوزيعات الاحتمالية على نفس المجال الذي تم تعريفها عليه. وبشكل أدق، فإن المجموعة الاعتقادية المقابلة هي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\mathcal {P}}[Bel]=\{P\in {\mathcal {P}}:P(A)\geq P(A)\forall A\subseteq X\}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هي مجموعة جميع التوزيعات الاحتمالية على${\displaystyle X.}$لذا، تُعدّ دوال الاعتقاد حالة خاصة من الاحتمالات الدنيا : إذ يُعادل مقياس المعقولية المقابل الاحتمال الأعلى لأي حدث${\displaystyle A.}$تُعتبر دوال الاعتقاد أيضًا قدرات رتيبة بلا حدود ، كما${\displaystyle Bel(A)\geq Bel(B)}$حينما${\displaystyle A\supset B.}$تتوافق مقاييس الاحتمالية بشكل فردي مع الفئة الخاصة من دوال الاعتقاد المتوافقة، أي دوال الاعتقاد التي تكون عناصرها المحورية (مجموعة ذات كتلة غير صفرية) متداخلة (مضمنة في بعضها البعض بمعنى نظري للمجموعات).

وأخيرًا وليس آخرًا، تحدد دالة الاعتقاد بشكل فريد صندوق الاحتمال ، أي زوج من الحدود الدنيا والعليا لدالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي.

اقترح العديد من الباحثين توسيع نطاق دوال الاعتقاد لتشمل المجموعات الضبابية ، بدلاً من المجموعات التقليدية. ^{[ 27 ]} كما دُرست مقاييس عدم اليقين التي تعمم مفهوم الإنتروبيا في سياق نظرية الأدلة. ^{[ 28 ]}

جادل جوديا بيرل (1988أ، الفصل 9؛ ^{[ 29 ]} 1988ب ^{[ 30 ]} و1990) ^{[ 31 ]} بأن تفسير دوال الاعتقاد على أنها تمثل "احتمالات وقوع حدث ما"، أو "الثقة في الاحتمالات المخصصة لمختلف النتائج"، أو "درجات الاعتقاد (أو الثقة) في قضية ما"، أو "درجة الجهل في موقف ما"، هو تفسير مضلل. في الواقع، تمثل دوال الاعتقاد احتمال إمكانية إثبات قضية معينة من خلال مجموعة من القضايا الأخرى، والتي تُخصص لها احتمالات. إن الخلط بين احتمالات الصدق واحتمالات إمكانية الإثبات قد يؤدي إلى نتائج غير بديهية في مهام الاستدلال، مثل: (1) تمثيل المعرفة الناقصة، (2) تحديث المعتقدات، و(3) تجميع الأدلة. كما أوضح بيرل أنه إذا تم ترميز المعرفة الجزئية وتحديثها باستخدام أساليب دوال الاعتقاد، فإن المعتقدات الناتجة لا يمكن أن تُشكل أساسًا لاتخاذ قرارات عقلانية.

اقترح كلوبوتيك وويرزخون ^{[ 32 ]} تفسير نظرية دمبستر-شيفر من منظور إحصاءات جداول القرار ( نظرية المجموعات التقريبية )، حيث يُنظر إلى عامل دمج الأدلة على أنه ربط علائقي لجداول القرار. وفي تفسير آخر، يقترح كلوبوتيك وويرزخون ^{[ 33 ]} النظر إلى هذه النظرية على أنها تصف معالجة المواد المدمرة (مع فقدان الخصائص)، كما هو الحال في بعض عمليات إنتاج أشباه الموصلات. وبموجب كلا التفسيرين، يُعطي الاستدلال في نظرية دمبستر-شيفر نتائج صحيحة، على عكس التفسيرات الاحتمالية السابقة التي انتقدها بيرل في الأوراق البحثية المذكورة، وكذلك باحثون آخرون.

أثبت جوسانغ أن قاعدة دمبستر للدمج هي في الواقع طريقة لدمج قيود المعتقدات. ^{[ 8 ]} وهي لا تمثل سوى عامل دمج تقريبي في حالات أخرى، مثل الدمج التراكمي للمعتقدات، ولكنها تُنتج عمومًا نتائج غير صحيحة في مثل هذه الحالات. ولذلك، ينشأ الالتباس حول صحة قاعدة دمبستر من عدم فهم طبيعة الحالات المراد نمذجتها فهمًا صحيحًا. تُنتج قاعدة دمبستر للدمج دائمًا نتائج صحيحة وبديهية في حالة دمج قيود المعتقدات من مصادر مختلفة.

يمكن إعطاء دوال الاعتقاد، شأنها شأن غيرها من أشكال مقاييس الاحتمالية أو عدم اليقين غير الدقيقة، تفسيراً هندسياً بسيطاً نسبياً، وذلك بتمثيل متجهات قيم الكتلة أو قيم الاعتقاد المقابلة كنقاط في فضاء محدب . وقد رائد هذا النهج بول بلاك، ^{[ 34 ]} ثم قام فابيو كوزولين بدراسته باستفاضة لاحقاً . ^{[ 35 ] [ 36 ]}

بافتراض أن المجال الذي تُعرَّف عليه دالة الاعتقاد Bel لديه${\displaystyle N}$العناصر، متجه دوال الاعتقاد المرتبطة بجميع المجموعات الممكنة من العناصر${\displaystyle X}$له عددية${\displaystyle |2^{X}|-1}$يمكن للمرء بعد ذلك تحديد فضاء المعتقدات المرتبط بـ${\displaystyle X}$باعتبارها مجموعة متجهات${\displaystyle \mathbb {R} ^{\{2^{X}-1\}}}$والتي تتوافق مع دوال الاعتقاد الصحيحة، أي التي تحقق قيود الجمعية وعدم السلبية المذكورة أعلاه التي يجب أن تلتزم بها قيم الكتلة. من السهل إثبات أن فضاء الاعتقاد له شكل مُعقَّد بسيط ، حيث تُشكِّل مجموعة جميع مقاييس الاحتمال أحد أضلاع هذا المُعقَّد البسيط (انظر الشكل).

يمكن أيضًا دراسة فضاء الاعتقاد ضمن الهندسة التفاضلية : على وجه الخصوص، يبدو أنه يمتلك بنية حزمة ليفية متكررة . ^{[ 37 ]}

عند النظر في التفضيلات ، يمكن استخدام الترتيب الجزئي للشبكة بدلاً من الترتيب الكلي للخط الحقيقي كما هو موجود في نظرية دمبستر-شافر. في الواقع، اقترح غونتر شميدت هذا التعديل وحدد المنهجية. ^{[ 38 ]}

بالنظر إلى مجموعة من المعايير C وشبكة محدودة L ذات ترتيب ≤، يُعرّف شميدت المقياس العلائقي بأنه دالة μ من مجموعة القوى لـ C إلى L تحترم الترتيب ⊆ على${\displaystyle \mathbb {P} }$( ج ):

${\displaystyle A\subseteq B\implies \mu (A)\leq \mu (B)}$

بحيث تأخذ μ المجموعة الجزئية الفارغة من${\displaystyle \mathbb {P} }$( ج ) إلى أصغر عنصر في L ، ويأخذ ج إلى أكبر عنصر في L.

يقارن شميدت قيمة μ بدالة الاعتقاد لشافر، كما يتناول طريقة لدمج المقاييس تعمم منهج دمبستر (عند دمج أدلة جديدة مع أدلة سابقة). ويُقدم أيضًا تكاملًا علائقيًا ويقارنه بتكامل شوكيه وتكامل سوغينو . يمكن تعريف أي علاقة m بين C و L على أنها "تقييم مباشر"، ثم معالجتها باستخدام حساب العلاقات للحصول على مقياس الاحتمالية μ .

• Yang, JB and Xu, DL (2013) " قاعدة الاستدلال القائم على الأدلة لدمج الأدلة "، الذكاء الاصطناعي ، 205:  1-29.
• ياجر، آر آر، وليو، إل. (2008). الأعمال الكلاسيكية لنظرية دمبستر-شافر لدوال الاعتقاد. دراسات في الضبابية والحوسبة المرنة، المجلد 219. برلين: سبرينغر . ISBN 978-3-540-25381-5.
• جوزيف سي. جياراتانو وغاري دي. رايلي (2005)؛ أنظمة الخبراء: المبادئ والبرمجة ، تحرير تومسون كورس تك، رقم ISBN 0-534-38447-1
• بينون، م.، كاري، ب. ومورغان، ب. (2000) " نظرية دمبستر-شافر للأدلة: نهج بديل لنمذجة القرارات متعددة المعايير "، أوميغا ، المجلد 28، الصفحات  37-50
• Destercke, S., Denoeux, T., Cuzzolin, F. and Martin, A. (2018) " وظائف الاعتقاد: النظرية والتطبيقات "، Lecture Notes in Artificial Intelligence, 978-3-319-99383-6.
• كوزولين، ف. (2015) " وظائف الاعتقاد للعالم العامل "، برنامج تعليمي، عدم اليقين في الذكاء الاصطناعي (UAI) 2015.

• جمعية وظائف وتطبيقات المعتقدات (BFAS)