مسابقة كورنو

يُقدَّم نموذج كورنو للمنافسة عادةً في حالة هيكل سوق احتكاري ثنائي ، حيث تتشارك شركتان في قوة السوق. نفترض وجود سوق يتكون من هاتين الشركتين فقط، ويُشار إليه بـ${\displaystyle firm_{1}}$و${\displaystyle firm_{2}}$افترض أن كل شركة تواجه نفس التكلفة الحدية . أي، بالنسبة لشركة معينة${\displaystyle i}$كمية الإنتاج، المشار إليها بـ${\displaystyle q_{i}}$أين${\displaystyle i\in \{1,2\}}$، حازم${\displaystyle i}$تكلفة الإنتاج${\displaystyle q_{i}}$تُعطى وحدات الإنتاج بواسطة${\displaystyle C(q_{i})=\chi q_{i}}$، أين${\displaystyle \chi }$يمثل التكلفة الحدية. ويفترض هذا أن الشركتين تواجهان نفس تكلفة الوحدة المنتجة. وبالتالي، بما أن ربح كل شركة يساوي إيراداتها مطروحًا منها التكاليف، حيث تساوي الإيرادات عدد الوحدات المنتجة مضروبًا في سعر السوق، يمكننا التعبير عن دالتي الربح للشركة 1 والشركة 2 كما يلي:

${\displaystyle \Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}}$

في دوال الربح المذكورة أعلاه، لدينا السعر كدالة لإجمالي الإنتاج والذي نرمز إليه بـ${\displaystyle Q}$وبالنسبة لشركتين، يجب أن يكون لدينا${\displaystyle Q=q_{1}+q_{2}}$على سبيل المثال، لنفترض أن السعر (دالة الطلب العكسية) خطي ويأخذ الشكل التالي:${\displaystyle p=a-bQ}$وبالتالي، يمكن إعادة كتابة دالة الطلب العكسية على النحو التالي:${\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}}$.

الآن، باستبدال معادلتنا للسعر في مكان${\displaystyle p(Q)}$يمكننا كتابة دالة ربح كل شركة على النحو التالي:

${\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}$

بما أن الشركات تفترض أنها تسعى إلى تعظيم أرباحها، فإن شروط الرتبة الأولى (FOCs) لكل شركة هي:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0}$

تنصّ الشروط والأحكام على أن الشركة${\displaystyle i}$الإنتاج عند مستوى الإنتاج الذي يحقق أقصى ربح عندما تكون التكلفة الحدية (${\displaystyle {\text{MC}}}$) يساوي الإيراد الحدي (${\displaystyle {\text{MR}}}$). وبشكل بديهي، يشير هذا إلى أن الشركات ستنتج حتى النقطة التي يظل فيها الإنتاج مربحًا، لأن أي إنتاج إضافي بعد هذه النقطة سيعني أن${\displaystyle {\text{MC}}>{\text{MR}}}$وبالتالي، فإن الإنتاج بعد هذه النقطة يؤدي إلى خسارة الشركة للأموال مقابل كل وحدة إضافية يتم إنتاجها. لاحظ أنه عند الكمية التي تحقق أقصى ربح حيث${\displaystyle {\text{MC}}={\text{MR}}}$يجب أن يكون لدينا${\displaystyle {\text{MC}}-{\text{MR}}=0}$ولهذا السبب قمنا بمساواة المعادلات المذكورة أعلاه بالصفر.

الآن وقد أصبح لدينا معادلتان تصفان الحالات التي تنتج فيها كل شركة بالكمية التي تحقق أقصى ربح، يمكننا ببساطة حل نظام المعادلات هذا للحصول على المستوى الأمثل لإنتاج كل شركة.${\displaystyle q_{1},q_{2}}$بالنسبة للشركتين 1 و2 على التوالي. لذلك، نحصل على:

${\displaystyle q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}}$

تصف هذه الدوال الكمية المثلى (التي تحقق أقصى ربح) من الإنتاج لكل شركة بالنظر إلى السعر الذي تواجهه الشركات في السوق.${\displaystyle p}$، التكلفة الحدية،${\displaystyle \chi }$وكمية إنتاج الشركات المنافسة. ويمكن اعتبار هذه الدوال بمثابة وصف "أفضل استجابة" من الشركة لمستوى إنتاج الشركة الأخرى.

يمكننا الآن إيجاد توازن كورنو-ناش باستخدام دوال "أفضل استجابة" المذكورة أعلاه لكمية إنتاج الشركتين 1 و2. تذكر أن كلتا الشركتين تواجهان نفس تكلفة الوحدة (${\displaystyle \chi }$) والسعر (${\displaystyle p}$وبالتالي، باستخدام هذه العلاقة المتناظرة بين الشركات، نجد كمية التوازن عن طريق تثبيت${\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}}$يمكننا التأكد من أن هذا الإعداد يمنحنا مستويات التوازن، حيث لا يوجد لدى أي من الشركتين حافز لتغيير مستوى إنتاجها، لأن القيام بذلك سيضر بالشركة لصالح منافستها. الآن، بالتعويض في${\displaystyle q^{*}}$ل${\displaystyle q_{1},q_{2}}$وبحل المعادلة نحصل على كمية الإنتاج المتناظرة (نفسها لكل شركة) في حالة التوازن كما يلي: ${\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}}$.

تصف قيمة التوازن هذه المستوى الأمثل للإنتاج للشركتين 1 و2، حيث تنتج كل شركة كمية إنتاج قدرها${\displaystyle q^{*}}$إذن، عند التوازن، يكون إجمالي الناتج السوقي${\displaystyle Q}$سيكون${\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}}$.

الإيرادات التي يحصل عليها المالكان هي${\displaystyle pD_{1}}$و${\displaystyle pD_{2}}$، أي،${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}}$و${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}}$يحقق المالك الأول أقصى ربح من خلال تحسين المعلمة${\displaystyle D_{1}}$تحت سيطرته، بشرط أن يكون المشتق الجزئي لربحه فيما يتعلق بـ${\displaystyle D_{1}}$ينبغي أن تكون القيمة صفرًا، وينطبق منطق الصورة المعكوسة على منافسهم. ومن ثم نحصل على المعادلات التالية:

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0}$و

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0}$.

يُحدد موضع التوازن بحل هاتين المعادلتين آنيًا. وأسهل طريقة لذلك هي جمعهما وطرحهما، ليصبح الناتج على النحو التالي:

${\displaystyle D_{1}=D_{2}}$و

${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$، أين${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$.

وهكذا، نرى أن المالكين يقدمان كميات متساوية، وأن إجمالي الكمية المباعة هو جذر معادلة غير خطية واحدة في${\displaystyle D}$.

يتجاوز كورنو هذا الحل البسيط، إذ يبحث في استقرار حالة التوازن. كل معادلة من معادلاته الأصلية تحدد علاقة بين${\displaystyle D_{1}}$و${\displaystyle D_{2}}$والتي يمكن تمثيلها بيانيًا. إذا كان المالك الأول يقدم الكمية${\displaystyle x_{\textsf {l}}}$ثم سيتبنى المالك الثاني الكمية${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$من المنحنى الأحمر لتعظيم إيراداتهم. ولكن بعد ذلك، وبمنطق مماثل، سيقوم المالك الأول بتعديل عرضه إلى${\displaystyle x_{\textsf {ll}}}$لمنحه أو منحها أقصى عائد كما هو موضح بالمنحنى الأزرق عندما${\displaystyle D_{2}}$يساوي${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$سيؤدي هذا إلى تكيف المالك الثاني مع قيمة العرض.${\displaystyle y_{\textsf {ll}}}$وهكذا دواليك حتى يتحقق التوازن عند نقطة التقاطع${\displaystyle i}$، والتي إحداثياتها هي${\displaystyle (x,y)}$.

بما أن الملاك يتحركون نحو وضع التوازن، فإن هذا يعني أن التوازن مستقر، لكن كورنو يشير إلى أنه إذا تم تبديل المنحنيين الأحمر والأزرق، فإن هذا لن يكون صحيحًا. ويضيف أنه من السهل ملاحظة أن الرسم البياني المقابل سيكون غير مقبول، لأنه، على سبيل المثال، من الضروري أن${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$وللتحقق من ذلك، لاحظ أنه عندما${\displaystyle D_{1}}$إذا كانت القيمة صفرًا، فإن المعادلتين تختزلان إلى:

${\displaystyle f(D_{2})=0}$و

${\displaystyle f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0}$.

الأولى من هذه تتوافق مع الكمية${\displaystyle D_{2}}$تُباع عندما يكون السعر صفرًا (وهي أقصى كمية يرغب الجمهور في استهلاكها)، بينما تنص الثانية على أن مشتقة${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$بالنسبة إلى${\displaystyle D_{2}}$يساوي صفرًا، لكن${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$هي القيمة النقدية لإجمالي كمية المبيعات${\displaystyle D_{2}}$، ونقطة تحول هذه القيمة هي قيمة عظمى. من الواضح أن كمية المبيعات التي تُعظّم القيمة النقدية تُبلغ قبل الوصول إلى أقصى كمية مبيعات ممكنة (والتي تُقابل قيمة صفر). لذا، فإن الجذر${\displaystyle m_{1}}$قيمة المعادلة الأولى أكبر بالضرورة من جذرها${\displaystyle m_{2}}$من المعادلة الثانية.

لقد رأينا أن نظام كورنو يختزل إلى المعادلة${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$.${\displaystyle D}$يرتبط وظيفيًا بـ${\displaystyle p}$عبر${\displaystyle f}$في اتجاه واحد و${\displaystyle F}$من جهة أخرى. إذا أعدنا صياغة هذه المعادلة بدلالة${\displaystyle p}$وهذا يخبرنا بذلك${\displaystyle F(p)+2pF'(p)=0}$والتي يمكن مقارنتها بالمعادلة${\displaystyle F(p)+pF'(p)=0}$تم الحصول عليها سابقاً للاحتكار.

إذا رسمنا متغيرًا آخر${\displaystyle u}$ضد${\displaystyle p}$ثم يمكننا رسم منحنى الدالة${\displaystyle u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}}$سعر الاحتكار هو${\displaystyle p}$والتي يتقاطع عندها هذا المنحنى مع الخط${\displaystyle u=p}$بينما يُحدد سعر الاحتكار الثنائي من خلال تقاطع المنحنى مع الخط الأكثر انحدارًا${\displaystyle u=2p}$بغض النظر عن شكل المنحنى، فإن تقاطعه مع${\displaystyle u=2p}$يحدث على يسار (أي بسعر أقل من) نقطة تقاطعه مع${\displaystyle u=p}$وبالتالي، تكون الأسعار أقل في ظل احتكار القلة مقارنة باحتكار السوق، وتكون الكميات المباعة أعلى تبعاً لذلك.

عندما يكون هناك${\displaystyle n}$بالنسبة لأصحاب المحلات، تصبح معادلة السعر${\displaystyle F(p)+npF'(p)=0}$يمكن قراءة السعر من الرسم البياني من نقطة التقاطع${\displaystyle u=np}$مع المنحنى. وبالتالي، يتناقص السعر بلا حدود مع ازدياد عدد الملاك. ومع وجود عدد لا نهائي من الملاك، يصبح السعر صفرًا؛ أو بشكل أعم، إذا أخذنا في الاعتبار تكاليف الإنتاج، يصبح السعر هو التكلفة الحدية.