بيتا (التمويل)

بيتا السوق${\displaystyle \beta _{i}}$من الأصول${\displaystyle i}$، لوحظ في${\displaystyle t}$تُعرَّف المناسبات (ويُمكن الحصول عليها على أفضل وجه من خلال) الانحدار الخطي لمعدل العائد${\displaystyle r_{i,t}}$من الأصول${\displaystyle i}$على معدل العائد${\displaystyle r_{m,t}}$مؤشر سوق الأسهم (الذي يتم ترجيحه عادةً بالقيمة)${\displaystyle m}$:

${\displaystyle r_{i,t}=\alpha _{i}+\beta _{i}\cdot r_{m,t}+\varepsilon _{t}}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{t}}$هو حد خطأ غير متحيز يجب تقليل مربع الخطأ الخاص به. المعامل${\displaystyle \alpha _{i}}$ويشار إليه غالباً باسم ألفا .

الحل باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية هو :

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\operatorname {Cov} (r_{i},r_{m})}{\operatorname {Var} (r_{m})}},}$

أين${\displaystyle \operatorname {Cov} }$و${\displaystyle \operatorname {Var} }$هما عاملي التغاير والتباين . لا يمكن مقارنة معاملات بيتا فيما يتعلق بمؤشرات السوق المختلفة.

باستخدام العلاقة بين الانحراف المعياري والتباين ،${\displaystyle \sigma \equiv {\sqrt {\operatorname {Var} (r)}}}$وتعريف الارتباط${\displaystyle \rho _{a,b}\equiv {\frac {\operatorname {Cov} (r_{a},r_{b})}{\sqrt {\operatorname {Var} (r_{a})\operatorname {Var} (r_{b})}}}}$يمكن كتابة بيتا السوق أيضًا على النحو التالي:

${\displaystyle \beta _{i}=\rho _{i,m}{\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{m}}}}$،

أين${\displaystyle \rho _{i,m}}$هو معامل الارتباط بين العائدين، و${\displaystyle \sigma _{i}}$،${\displaystyle \sigma _{m}}$تمثل هذه المعادلة التقلبات الخاصة بكل منها . وتوضح أن المخاطر الخاصة (${\displaystyle \sigma _{i}}$يرتبط هذا المؤشر بمؤشر بيتا السوقي، ولكنه يختلف عنه في كثير من الأحيان. فإذا كان الخطر الخاص بالسهم صفرًا (أي أن عوائد السهم ثابتة)، فإن مؤشر بيتا السوقي يكون ثابتًا أيضًا. أما العكس فليس صحيحًا: فمثلاً، رهان رمي العملة له مؤشر بيتا صفري، ولكنه ليس صفريًا من حيث المخاطرة.

لقد بذلت محاولات لتقدير المكونات الثلاثة بشكل منفصل، لكن هذا لم يؤد إلى تقديرات أفضل لمعاملات بيتا السوقية.

لنفترض أن مستثمراً لديه كل أمواله في السوق${\displaystyle m}$ويرغب في تحويل مبلغ صغير إلى فئة الأصول${\displaystyle i}$يتم تعريف المحفظة الجديدة بواسطة

${\displaystyle r_{p}=(1-\delta )r_{m}+\delta r_{i}.}$

يمكن حساب التباين على النحو التالي

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})=(1-\delta )^{2}\operatorname {Var} (r_{m})+2\delta (1-\delta )\operatorname {Cov} (r_{m},r_{i})+\delta ^{2}\operatorname {Var} (r_{i}).}$

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle \delta }$الشروط الواردة في${\displaystyle \delta ^{2}}$يمكن تجاهلها،

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})\approx (1-2\delta )\operatorname {Var} (r_{m})+2\delta \operatorname {Cov} (r_{m},r_{i}).}$

باستخدام تعريف${\displaystyle \beta _{i}=\operatorname {Cov} (r_{m},r_{i})/\operatorname {Var} (r_{m}),}$هذا هو

${\displaystyle \operatorname {Var} (r_{p})/\operatorname {Var} (r_{m})\approx 1+2\delta (\beta _{i}-1).}$

يشير هذا إلى أن الأصل مع${\displaystyle \beta }$يؤدي تجاوز القيمة 1 إلى زيادة تباين المحفظة، بينما يؤدي امتلاك أصل ذي${\displaystyle \beta }$يؤدي وجود كمية أقل من 1 إلى انخفاضها إذا أضيفت بكمية صغيرة.

يمكن ترجيح بيتا السوق، أو حساب متوسطها، أو جمعها، وما إلى ذلك. أي، إذا كانت المحفظة تتكون من 80% من الأصل أ و20% من الأصل ب، فإن بيتا المحفظة يساوي 80% من بيتا الأصل أ و20% من بيتا الأصل ب.

${\displaystyle r_{p}=w_{a}\cdot r_{a}+w_{b}\cdot r_{b}\Rightarrow \beta _{p,m}=w_{a}\cdot \beta _{a,m}+w_{b}\cdot \beta _{b,m}.}$

تُعدّ أسهم شركات المرافق العامة من الأمثلة الشائعة على الأسهم ذات معامل بيتا المنخفض. وتتشابه هذه الأسهم مع السندات في أنها تميل إلى توزيع أرباح ثابتة، ولا تتأثر آفاقها بشكل كبير بالدورات الاقتصادية. ومع ذلك، فهي تبقى أسهماً، لذا سيتأثر سعرها في السوق باتجاهات سوق الأسهم العامة، حتى وإن بدا ذلك غير منطقي.

قد توفر الأسهم الأجنبية بعض التنويع. تتميز المؤشرات العالمية، مثل مؤشر ستاندرد آند بورز غلوبال 100، بمعاملات بيتا أقل قليلاً من المؤشرات الأمريكية المماثلة، مثل مؤشر ستاندرد آند بورز 100. مع ذلك، لم يعد هذا التأثير بنفس قوته السابقة؛ إذ أصبحت الأسواق المختلفة مترابطة إلى حد كبير، لا سيما أسواق الولايات المتحدة وأوروبا الغربية.

تُعدّ المشتقات المالية أمثلة على الأصول غير الخطية . فبينما يعتمد معامل بيتا على نموذج خطي، فإنّ خيار الشراء خارج نطاق الربح له عائد غير خطي بشكل واضح. في هذه الحالات، لا يكون التغير في سعر الخيار ثابتًا بالنسبة للتغير في سعر الأصل الأساسي . (ينطبق هذا أيضًا - ولكن بدرجة أقل وضوحًا - على التقلبات ، والوقت المتبقي حتى تاريخ انتهاء الصلاحية ، وعوامل أخرى ). وبالتالي، فإنّ قيمة "بيتا" هنا، المحسوبة بالطريقة التقليدية، تتغير باستمرار مع تغير سعر الأصل الأساسي.

وبناءً على ذلك، يُعرّف التمويل الرياضي معامل بيتا خاصًا بالتقلبات . ^{[ 5 ]} هنا، على غرار ما سبق، يُمثل هذا المعامل التباين المشترك بين عائد المشتق والتغيرات في قيمة الأصل الأساسي، مع إضافة تصحيح للتغيرات اللحظية في الأصل الأساسي. انظر: التقلبات (التمويل) ، مخاطر التقلبات ، المؤشرات اليونانية (التمويل) §  فيغا .

تعكس مقاييس بيتا الأخرى ميل معاملات بيتا (مثل معدلات العائد) إلى الانحدار نحو المتوسط ، وهو ميل لا ينتج فقط عن خطأ القياس، بل أيضاً عن تغيرات كامنة في قيمة بيتا الحقيقية و/أو العشوائية التاريخية. (بشكل بديهي، لا يُتوقع أن تحقق شركة ذات عائد مرتفع [مثل شركة اكتشاف أدوية] في العام الماضي نفس العائد المرتفع في العام المقبل). تشمل هذه المقاييس بيتا بلوم/بلومبيرغ ^{[ 6 ]} (المستخدمة بكثرة في العديد من المواقع المالية)، وبيتا فاسيسيك ^{[ 7 ]،} وبيتا شولز-ويليامز ^{[ 8 ]} ، وبيتا ديمسون ^{[ 9 ] .}

• يُقلل معامل بيتا بلوم من قيمة بيتا المُقدَّرة باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) نحو متوسط ​​يساوي 1، وذلك بحساب المتوسط ​​المرجح لـ 2/3 مضروبًا في قيمة بيتا التاريخية المُقدَّرة باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية مضافًا إليها 1/3. وتُوزِّع شركة Capital IQ نسخةً منه، تعتمد على معدلات العائد الشهرية، على نطاق واسع، كما تُذكر في جميع المواقع الإلكترونية المالية. إلا أن هذه النسخة تُخطئ في التنبؤ بمعامل بيتا المستقبلي للسوق.
• تُغيّر بيتا فاسيسيك الوزن بين بيتا OLS التاريخية والرقم 1 (أو متوسط ​​بيتا السوق إذا لم تكن المحفظة مرجحة بالقيمة) وفقًا لتقلبات السهم وتفاوت بيتا في السوق ككل. ويمكن اعتبارها مُقدِّرًا بايزيًا أمثلًا في ظل افتراض (مُخالف) ثبات بيتا السوق الأساسية. ويُعدّ تطبيقها صعبًا نوعًا ما، كما أنها تُحقق أداءً أفضل قليلًا من بيتا OLS.
• تُعدّ معاملات بيتا لشولز -ويليامز وديمسون من المقاييس التي تُراعي التداول غير المتكرر الذي يُؤدي إلى عدم تزامن أسعار الأسهم. ونادرًا ما تكون هذه المعاملات مفيدة عندما تُعلن أسعار الأسهم في نهاية اليوم وتكون متاحة بسهولة للمحللين (كما هو الحال في الولايات المتحدة)، لأنها تُؤدي إلى انخفاض الكفاءة عندما تكون عمليات التداول متزامنة بشكل معقول. ومع ذلك، يُمكن أن تكون هذه المعاملات مفيدة جدًا في الحالات التي لا تُلاحظ فيها عمليات تداول متكررة (كما هو الحال في أسهم الملكية الخاصة) أو في الأسواق ذات النشاط التداولي النادر.

تحاول هذه التقديرات الكشف عن معامل بيتا السائد في السوق في الوقت الحالي. وعند الحاجة إلى معاملات بيتا طويلة الأجل، ينبغي النظر في إجراء مزيد من الانحدار نحو المتوسط ​​على مدى فترات زمنية طويلة.