مجمع سي دبليو

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الطوبولوجيا ، يُعرف مُركّب CW ( أو المُركّب الخلوي ) بأنه فضاء طوبولوجي يُبنى عن طريق ربط كرات طوبولوجية (تُسمى خلايا ) ذات أبعاد مختلفة بطرق مُحددة. يُعمّم هذا المفهوم كلاً من المُتشعبات والمُركّبات التبسيطية ، وله أهمية خاصة في الطوبولوجيا الجبرية . [ 1 ] وقد قدّمه جيه إتش سي وايتهيد في البداية لتلبية احتياجات نظرية التماثل . [ 2 ] تتمتع مُركّبات CW بخصائص تصنيفية أفضل من المُركّبات التبسيطية ، ولكنها مع ذلك تحتفظ بطبيعتها التوافقية التي تسمح بالحساب (غالبًا باستخدام مُركّب أصغر بكثير).

يشير الحرف C في CW إلى "الإغلاق المحدود"، بينما يشير الحرف W إلى "الطوبولوجيا الضعيفة". [ 2 ]

تعريف

مجمع سي دبليو

يتم إنشاء مجمع CW عن طريق أخذ اتحاد سلسلة من الفضاءات الطوبولوجية∅=X-1⊂X0⊂X1⊂⋯{\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }بحيث يكون كلXك{\displaystyle X_{k}}يتم الحصول عليها منXك-1{\displaystyle X_{k-1}}عن طريق لصق نسخ من خلايا k(هـαك)α∈ج{\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha \in J}}، كل منها متماثل الشكل مع كرة الوحدة المفتوحةبك{\displaystyle B^{k}}فيك{\displaystyle k}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ، إلىXك-1{\displaystyle X_{k-1}}عن طريق لصق الخرائط بشكل مستمرزαك:∂هـ¯αك→Xك-1{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial {\bar {e}}_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}أينهـ¯ك≅ب¯ك{\displaystyle {\bar {e}}^{k}\cong {\bar {B}}^{k}}الكرة المغلقة ذات الوحدة. تُسمى هذه الخرائط أيضًا خرائط الربط . وبالتالي، كمجموعة،Xك=Xك-1⊔αهـαك{\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}.

على وجه الدقة،Xك{\displaystyle X_{k}}متماثل الشكل مع(Xك-1⊔(ج×هـ¯ك))/∼{\displaystyle (X_{k-1}\sqcup (J\times {\overline {e}}^{k}))/\sim }، (هناهـ¯ك{\displaystyle {\overline {e}}^{k}}مغلقك{\displaystyle k}القرص فيRك{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}) حيث نقوم بالتجهيزج{\displaystyle J}مع الطوبولوجيا المنفصلة وحيث∼{\displaystyle \sim }هي علاقة التكافؤ الناتجة عن(أ،x)∼زأك(x){\displaystyle (a,x)\sim g_{a}^{k}(x)}لأ∈ج{\displaystyle a\in J}وx∈∂هـك{\displaystyle x\in \partial e^{k}}.

كلXك{\displaystyle X_{k}}يُطلق عليه اسم الهيكل العظمي k للمركب.

طوبولوجياX=∪كXك{\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}هي طوبولوجيا ضعيفة : مجموعة جزئيةيو⊂X{\displaystyle U\subset X}مفتوح إذايو∩Xك{\displaystyle U\cap X_{k}}مفتوح لكل هيكل عظمي kXك{\displaystyle X_{k}}.

بلغة نظرية الفئات ، فإن الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يمثل الحد المباشر للرسم التخطيطيX-1↪X0↪X1↪⋯{\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }يشير اسم "CW" إلى "الطوبولوجيا الضعيفة ذات الإغلاق المحدود"، والتي يتم شرحها من خلال النظرية التالية:

نظرية — يكون فضاء هاوسدورف X متماثلاً مع مركب CW إذا وفقط إذا كان هناك تقسيم لـ X إلى "خلايا مفتوحة".هـαك{\displaystyle e_{\alpha }^{k}}، كل منها مزود بإغلاق مطابق (أو "خلية مغلقة").هـ¯αك:=جلX(هـαك){\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{k}:=cl_{X}(e_{\alpha }^{k})}الذي يرضي:

  • لكلهـαك{\displaystyle e_{\alpha }^{k}}يوجد تطبيق شامل متصلزαك:دك→هـ¯αك{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to {\bar {e}}_{\alpha }^{k}}منك{\displaystyle k}كرة مغلقة ذات أبعاد بحيث
    • التقييد بالكرة المفتوحةزαك:بك→هـαك{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k}}هو تماثل شكلي.
    • (الإغلاق-النهائية) صورة الحدودزαك(∂دك){\displaystyle g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})}يتم تغطيتها بعدد محدود من الخلايا المغلقة، كل منها له بُعد خلية أقل من k.
  • (الطوبولوجيا الضعيفة) تكون مجموعة جزئية من X مغلقة إذا وفقط إذا كانت تلتقي بكل خلية مغلقة في مجموعة مغلقة.

يُطلق على هذا التقسيم لـ X أيضًا اسم التخلية .

البناء، بالكلمات

يُعد بناء المركب CW تعميمًا مباشرًا للعملية التالية:

  • إن مركب CW ذو البعد الصفري هو مجرد مجموعة من صفر أو أكثر من النقاط المنفصلة (مع الطوبولوجيا المنفصلة ).
  • يُنشأ مُركّب CW أحادي البُعد بأخذ الاتحاد المنفصل لمُركّب CW صفري البُعد مع نسخة واحدة أو أكثر من الفترة ∪ . لكل نسخة، توجد دالة تربط حدودها (نقطتيها الطرفيتين) بعناصر المُركّب الصفري البُعد (النقاط). طوبولوجيا مُركّب CW هي طوبولوجيا فضاء القسمة المُعرّف بواسطة دوال الربط هذه.
  • بشكل عام، يتم إنشاء مركب CW ذي البعد n عن طريق أخذ الاتحاد المنفصل لمركب CW ذي البعد k (لبعضك<ن{\displaystyle k<n}) مع نسخة واحدة أو أكثر من الكرة ذات الأبعاد n . لكل نسخة، توجد خريطة "تلصق" حدودها ((ن-1){\displaystyle (n-1)}الكرة ذات الأبعاد n إلى عناصر منك{\displaystyle k}مركب ذو أبعاد n. طوبولوجيا مركب CW هي طوبولوجيا القسمة المحددة بواسطة خرائط اللصق هذه.
  • يمكن إنشاء مُركّب CW لانهائي الأبعاد بتكرار العملية المذكورة أعلاه عددًا لا نهائيًا من المرات. نظرًا لأن طوبولوجيا الاتحاد∪كXك{\displaystyle \cup _{k}X_{k}}إذا كانت النتيجة غير محددة، يُعتمد على طوبولوجيا النهاية المباشرة ، لأن الرسم البياني يُشير بقوة إلى وجود نهاية مباشرة. وقد تبين أن لهذا فوائد تقنية كبيرة.

مجمعات CW العادية

المركب المنتظم CW هو مركب CW تكون خرائط اللصق فيه متماثلة. وبناءً على ذلك، يُطلق على تقسيم X أيضًا اسم التخلية المنتظمة .

يُمثَّل الرسم البياني الخالي من الحلقات بمركب CW منتظم أحادي البعد. ويُمثَّل تضمين الرسم البياني المغلق ذي الخليتين على سطح ما بمركب CW منتظم ثنائي الأبعاد. وأخيرًا، تنص فرضية التكوُّن الخلوي المنتظم على الكرة ثلاثية الأبعاد على أن كل رسم بياني ثنائي الاتصال هو الهيكل العظمي أحادي البعد لمركب CW منتظم على الكرة ثلاثية الأبعاد . [ 3 ]

مجمعات CW النسبية

بصورة عامة، يختلف المركب CW النسبي عن المركب CW في أنه يسمح بوجود وحدة بناء إضافية لا تمتلك بالضرورة بنية خلوية. ويمكن اعتبار هذه الوحدة الإضافية خليةً ذات بُعد (-1) وفقًا للتعريف الأول. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

أمثلة

مجمعات CW ذات البعد الصفري

كل فضاء طوبولوجي منفصل هو مركب CW ذو بُعد صفري.

مركبات CW أحادية البعد

بعض الأمثلة على مركبات CW أحادية البعد هي: [ 7 ]

  • الفترة . يمكن إنشاؤها من نقطتين ( س و ص )، والكرة أحادية البعد ب (وهي فترة)، بحيث تكون إحدى نهايتي ب ملتصقة بـ س والأخرى بـ ص . النقطتان س و ص هما الخليتان الصفريتان؛ أما داخل ب فهو الخلية الواحدة. بدلاً من ذلك، يمكن إنشاؤها من فترة واحدة فقط، دون وجود خلايا صفرية.
  • الدائرة . يمكن إنشاؤها من نقطة واحدة x والكرة أحادية البعد B ، بحيث تكون نهايتا B متصلتين بـ x . أو يمكن إنشاؤها من نقطتين x و y وكرتين أحاديتي البعد A و B ، بحيث تكون نهايتا A متصلتين بـ x و y ، وكذلك نهايتا B.
  • الرسم البياني. عند إعطاء رسم بياني ، يمكن إنشاء مُركّب CW أحادي البُعد، حيث تمثل الخلايا ذات القيمة 0 رؤوس الرسم البياني، بينما تمثل الخلايا ذات القيمة 1 حواف الرسم البياني. تُحدد نقاط نهاية كل حافة بالرؤوس المتصلة بها. يُطلق على هذا التمثيل للرسم البياني التوافقي كفضاء طوبولوجي أحيانًا اسم الرسم البياني الطوبولوجي .
    • يمكن اعتبار الرسوم البيانية المنتظمة من الدرجة 3 بمثابة مركبات CW أحادية البعد عامة . على وجه التحديد، إذا كان X مركب CW أحادي البعد، فإن خريطة الربط لخلية واحدة هي خريطة من فضاء ثنائي النقاط إلى X.و:{0،1}→X{\displaystyle f:\{0,1\}\to X}يمكن تغيير هذه الخريطة لتكون منفصلة عن الهيكل الصفري لـ X إذا وفقط إذاو(0){\displaystyle f(0)}وو(1){\displaystyle f(1)}ليست رؤوسًا ذات تكافؤ صفري لـ X.
  • يحتوي هيكل CW القياسي على الأعداد الحقيقية على الأعداد الصحيحة كهيكل صفريZ{\displaystyle \mathbb {Z} }والفترات كخلايا أحادية{[ن،ن+1]:ن∈Z}{\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}وبالمثل، فإن بنية CW القياسية علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}تحتوي على خلايا مكعبة هي نتاج الخلايا 0 و 1 منR{\displaystyle \mathbb {R} }هذا هو التركيب القياسي لخلية الشبكة المكعبة علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

مجمعات CW ذات الأبعاد المحدودة

بعض الأمثلة على مجمعات CW ذات الأبعاد المحدودة هي: [ 7 ]

  • كرة ذات أبعاد n . تقبل بنية CW بخليتين، إحداهما ذات أبعاد 0 والأخرى ذات أبعاد n. هنا الخلية ذات الأبعاد nدن{\displaystyle D^{n}}يتم ربطها بواسطة عملية الربط الثابتة من حدودهاSن-1{\displaystyle S^{n-1}}إلى الخلية الصفرية المفردة. يتكون تجزئة الخلية البديلة من كرة واحدة ذات ( ن - 1) بُعد ( خط الاستواء ) وخليتين من ن بُعد متصلتين بها (نصف الكرة العلوي ونصف الكرة السفلي). استقرائيًا، يُعطي هذاSن{\displaystyle S^{n}}تحليل CW بخليتين في كل بُعد k بحيث0≤ك≤ن{\displaystyle 0\leq k\leq n}.
  • الفضاء الإسقاطي الحقيقي ذو الأبعاد n . وهو يقبل بنية CW بخلية واحدة في كل بُعد.
  • المصطلح المستخدم لوصف مركب CW ثنائي الأبعاد العام هو الظل . [ 8 ]
  • المجسم متعدد الأوجه هو بطبيعته مركب CW.
  • تسمح مشعبات غراسمان ببنية CW تسمى خلايا شوبرت .
  • تتمتع المشعبات التفاضلية والأصناف الجبرية والإسقاطية بنوع التماثل من مجمعات CW.
  • يُعرف التكثيف أحادي النقطة لمتشعب زائدي ذي رؤوس مدببة بتحليل CW معياري ذي خلية صفرية واحدة فقط (نقطة التكثيف)، ويُسمى تحليل إبشتاين-بينر . تُعرف تحليلات الخلايا هذه عادةً بتحليلات متعددة السطوح المثالية ، وتُستخدم في برامج حاسوبية شائعة، مثل SnapPea .

مجمعات CW ذات الأبعاد اللانهائية

  • الكرة ذات الأبعاد اللانهائيةS∞:=جoلأنامن→∞Sن{\displaystyle S^{\infty }:=\mathrm {colim} _{n\to \infty }S^{n}}يسمح هذا التصميم ببنية CW تحتوي على خليتين في كل بُعد، يتم تجميعهما بطريقة تضمنن{\displaystyle n}يتم تحديد الهيكل العظمي بدقة بواسطةن{\displaystyle n}-جسم كروي.
  • الفضاءات الإسقاطية ذات الأبعاد اللانهائيةRP∞{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}،جP∞{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}وحP∞{\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}.RP∞{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}يحتوي على خلية واحدة في كل بُعد،جP∞{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}، تحتوي على خلية واحدة في كل بُعد زوجي وحP∞{\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}تحتوي على خلية واحدة في كل بُعد يقبل القسمة على 4. ويتم تمثيل الهياكل العظمية المقابلة لها بواسطةRPن{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}،جPن{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}(هيكل عظمي 2n) وحPن{\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}(هيكل عظمي 4n).

مجمعات غير CW

  • إن فضاء هيلبرت ذو الأبعاد اللانهائية ليس مُركبًا من نوع CW، بل هو فضاء باير ، وبالتالي لا يمكن كتابته كاتحاد قابل للعد لهياكل n ، كل منها مجموعة مغلقة ذات باطن فارغ. وينطبق هذا الاستدلال على العديد من الفضاءات الأخرى ذات الأبعاد اللانهائية.
  • مساحة القنفذ{رهـ2πأناθ:0≤ر≤1،θ∈سؤال}⊆ج{\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }هو مكافئ تماثليًا لمركب CW (النقطة) ولكنه لا يقبل تفكيك CW، لأنه ليس قابلاً للانكماش محليًا .
  • لا يمتلك القرط الهاواي تحلل CW، لأنه غير قابل للانكماش الموضعي عند نشأته. كما أنه ليس مكافئًا تماثليًا لمركب CW، لأنه لا يمتلك غطاءً مفتوحًا جيدًا.

ملكيات

  • تتميز معقدات CW بقابليتها للانقباض الموضعي. [ 9 ]
  • إذا كان الفضاء مكافئًا تماثليًا لمركب CW، فإنه يمتلك غطاءً مفتوحًا جيدًا. [ 10 ] الغطاء المفتوح الجيد هو غطاء مفتوح بحيث يكون كل تقاطع منتهٍ غير فارغ قابلًا للانكماش.
  • تُعتبر مُركبات CW شبه متراصة . أما مُركبات CW المنتهية فهي متراصة . ويكون الفضاء الجزئي المتراص لمركب CW دائمًا مُحتوى في مُركب جزئي منتهٍ. [ 11 ] [ 12 ]
  • تحقق مجمعات CW نظرية وايتهيد : إن الخريطة بين مجمعات CW هي تكافؤ تماثلي إذا وفقط إذا كانت تؤدي إلى تماثل على جميع مجموعات التماثل.
  • إن مساحة التغطية لمركب CW هي أيضًا مركب CW. [ 13 ]
  • يمكن تحويل حاصل ضرب مُركّبين من نوع CW إلى مُركّب CW آخر. تحديدًا، إذا كان X و Y مُركّبين من نوع CW، فيمكن تكوين مُركّب CW يُسمى X × Y، حيث تكون كل خلية فيه ناتج ضرب خلية في X وخلية في Y ، مع تطبيق الطوبولوجيا الضعيفة . وبالتالي، فإن المجموعة الأساسية لـ X × Y هي حاصل الضرب الديكارتي لـ X و Y ، كما هو متوقع. إضافةً إلى ذلك، غالبًا ما تتطابق الطوبولوجيا الضعيفة على هذه المجموعة مع طوبولوجيا الضرب الأكثر شيوعًا على X × Y ، على سبيل المثال إذا كان X أو Y محدودًا. مع ذلك، قد تكون الطوبولوجيا الضعيفة أدق من طوبولوجيا الضرب، على سبيل المثال إذا لم يكن أيٌّ من X أو Y متراصًا محليًا . في هذه الحالة غير المواتية، لا يُعدّ حاصل الضرب X × Y في طوبولوجيا الضرب مُركّب CW. من ناحية أخرى، يتطابق حاصل ضرب X و Y في فئة الفضاءات المولدة متراصًا مع الطوبولوجيا الضعيفة، وبالتالي يُعرّف مُركّب CW.
  • ليكن X و Y مركبين من نوع CW. عندئذٍ، فإن فضاءات الدوال Hom( X , Y ) (مع الطوبولوجيا المفتوحة المدمجة ) ليست مركبات CW بشكل عام. إذا كان X محدودًا، فإن Hom( X , Y ) مكافئ تماثليًا لمركب CW وفقًا لنظرية جون ميلنور (1959). [ 14 ] تجدر الإشارة إلى أن X و Y فضاءات هاوسدورف مولدة بشكل مدمج ، لذا غالبًا ما يُؤخذ Hom( X , Y ) مع الصيغة المولدة بشكل مدمج للطوبولوجيا المفتوحة المدمجة؛ وتبقى العبارات السابقة صحيحة. [ 15 ]
  • نظرية التقريب الخلوي

التماثل والتماثل المشترك لمجمعات CW

يمكن حساب التماثل والتماثل المشترك المفردين لمركبات CW بسهولة باستخدام التماثل الخلوي . علاوة على ذلك، في فئة مركبات CW والخرائط الخلوية، يمكن تفسير التماثل الخلوي كنظرية تماثل . لحساب نظرية تماثل (أو تماثل مشترك) غير عادية لمركب CW، يُعد تسلسل أتياس-هيرزبروش الطيفي نظيرًا للتماثل الخلوي.

بعض الأمثلة:

  • بالنسبة للكرة،Sن،{\displaystyle S^{n},}لنأخذ عملية تحلل الخلية بخليتين: خلية واحدة من النوع 0 وخلية واحدة من النوع n . معقد سلسلة التماثل الخلويج*{\displaystyle C_{*}}ويتم تحديد التماثل من خلال:
جك={Zك∈{0،ن}0ك∉{0،ن}حك={Zك∈{0،ن}0ك∉{0،ن}{\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}
بما أن جميع التفاضلات تساوي صفرًا.
أو بدلاً من ذلك، إذا استخدمنا التفكيك الاستوائي بخليتين في كل بُعد
جك={Z20⩽ك⩽ن0خلاف ذلك{\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
والمشتقات عبارة عن مصفوفات من الشكل(1-11-1).{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}وهذا يعطي نفس حساب التماثل المذكور أعلاه، حيث أن المركب السلسلي دقيق في جميع الحدود باستثناءج0{\displaystyle C_{0}}وجن.{\displaystyle C_{n}.}
  • لPن(ج){\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}نحصل على نتائج مماثلة
حك(Pن(ج))={Z0⩽ك⩽2ن، حتى0خلاف ذلك{\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

كلا المثالين السابقين بسيطين للغاية لأن التماثل يُحدد بعدد الخلايا، أي أن خرائط ارتباط الخلايا لا تُؤثر في هذه الحسابات. هذه ظاهرة خاصة جدًا ولا تُشير إلى الحالة العامة.

تعديل هياكل CW

هناك تقنية، طورها وايتهيد، لاستبدال مركب CW بمركب CW مكافئ له من حيث التماثل والذي له تحلل CW أبسط .

لنفترض، على سبيل المثال، مُركّب CW عشوائي. يمكن أن يكون هيكله الأساسي معقدًا إلى حد ما، كونه رسمًا بيانيًا عشوائيًا. الآن، لنفترض غابة قصوى F في هذا الرسم البياني. بما أنها مجموعة من الأشجار، والأشجار قابلة للانكماش، فلننظر إلى الفضاءX/∼{\displaystyle X/{\sim }}حيث يتم توليد علاقة التكافؤ بواسطةx∼y{\displaystyle x\sim y}إذا كانت هذه العناصر موجودة في شجرة مشتركة في الغابة القصوى F. خريطة القسمةX→X/∼{\displaystyle X\to X/{\sim }}هو تكافؤ تماثلي. علاوة على ذلك،X/∼{\displaystyle X/{\sim }}يرث بشكل طبيعي بنية CW، حيث تتوافق الخلايا مع خلاياX{\displaystyle X}التي لا توجد في F. على وجه الخصوص، الهيكل العظمي 1 لـX/∼{\displaystyle X/{\sim }}هو اتحاد منفصل لأوتاد من الدوائر.

طريقة أخرى لذكر ما سبق هي أنه يمكن استبدال مركب CW متصل بمركب CW مكافئ له من حيث التماثل، والذي يتكون هيكله الصفري من نقطة واحدة.

لنفترض أننا نصعد سلم الاتصال - لنفترض أن X عبارة عن مُركب CW بسيط الاتصال يتكون هيكله الصفري من نقطة. هل يمكننا، من خلال تعديلات مناسبة، استبدال X بمركب CW مكافئ من حيث التماثل حيثX1{\displaystyle X^{1}}هل يتكون من نقطة واحدة؟ الإجابة هي نعم. الخطوة الأولى هي ملاحظة ذلك.X1{\displaystyle X^{1}}والخرائط المرفقة لإنشاءX2{\displaystyle X^{2}}منX1{\displaystyle X^{1}}تكوين عرض جماعي . تنص نظرية تيتز للعروض الجماعية على وجود سلسلة من الحركات التي يمكننا القيام بها لاختزال هذا العرض الجماعي إلى العرض التافه للمجموعة التافهة . هناك حركتان من حركات تيتز:

1) إضافة/إزالة مولد. تتضمن إضافة مولد، من منظور تحليل CW، إضافة خلية واحدة وخلية ثنائية، حيث تتكون خريطة الربط الخاصة بهما من الخلية الجديدة ذات الخلية الواحدة، بينما يكون الجزء المتبقي من خريطة الربط فيX1{\displaystyle X^{1}}إذا سمحناX~{\displaystyle {\tilde {X}}}ليكن المركب CW المقابلX~=X∪هـ1∪هـ2{\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}ثم هناك تكافؤ تماثليX~→X{\displaystyle {\tilde {X}}\to X}يتم الحصول عليها عن طريق إدخال الخلية الجديدة المكونة من خليتين في X.
2) إضافة/إزالة علاقة. عملية إضافة علاقة مشابهة، إلا أن إحداهما تستبدل X بـX~=X∪هـ2∪هـ3{\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}حيث تحتوي الخلية الجديدة المكونة من 3 خلايا على خريطة ربط تتكون من الخلية الجديدة المكونة من خليتين وباقي الخريطة فيX2{\displaystyle X^{2}}. شريحة مماثلة تعطي تكافؤًا تماثليًاX~→X{\displaystyle {\tilde {X}}\to X}.

إذا كان المركب CW X متصلاً من الرتبة n ، فيمكن إيجاد مركب CW مكافئ له من حيث التماثل.X~{\displaystyle {\tilde {X}}}هيكله العظمي من النوع nXن{\displaystyle X^{n}}يتألف من نقطة واحدة. الحجة لـن≥2{\displaystyle n\geq 2}يشبهن=1{\displaystyle n=1}في هذه الحالة فقط، يتم استبدال حركات تيتز لعرض المجموعة الأساسية بعمليات المصفوفات الأولية لمصفوفات العرض لـحن(X;Z){\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}(باستخدام مصفوفات العرض القادمة من التماثل الخلوي . أي: يمكن للمرء أن يحقق عمليات المصفوفات الأولية بشكل مماثل من خلال سلسلة من إضافة / إزالة الخلايا أو التماثلات المناسبة للخرائط المرفقة.

فئة التماثل "الـ"

تُعتبر فئة التماثل لمجمعات CW، في رأي بعض الخبراء، أفضل فئة تماثل، إن لم تكن الوحيدة ( لأسباب تقنية ، يُستخدم فعليًا الإصدار الخاص بالفضاءات المُشار إليها ). [ 16 ] ويجب أحيانًا استخدام تركيبات مساعدة تُنتج فضاءات ليست مجمعات CW. ومن النتائج الأساسية أن الدوال القابلة للتمثيل على فئة التماثل لها توصيف بسيط ( نظرية براون للتمثيل ).

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-79540-0.يُعرّف هذا الكتاب المدرسي مُركّبات CW في الفصل الأول ويستخدمها في جميع فصوله؛ ويتضمن ملحقًا حول طوبولوجيا مُركّبات CW. تتوفر نسخة إلكترونية مجانية على الموقع الإلكتروني للمؤلف .
  2. 1 2 وايتهيد، جيه إتش سي (1949أ). "التماثل التوافقي. الجزء الأول." (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 55 (5): 213-245 . doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . MR 0030759 . (متاح للجميع)
  3. ↑ دي أغوستينو، سيرجيو (2016). تخمين الخلايا المنتظمة ثلاثية الأبعاد (ملف PDF) . ورشة العمل الدولية حول الخوارزميات التوافقية.
  4. ↑ ديفيس، جيمس ف.؛ كيرك، بول (2001). محاضرات في الطوبولوجيا الجبرية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية.
  5. ↑ "مركب CW في nLab" .
  6. ↑ "CW-complex - موسوعة الرياضيات" .
  7. ١ ٢ مؤرشف في Ghostarchiveوآلة Waybackقناة : Animated Math (2020). "1.3 مقدمة في الطوبولوجيا الجبرية. أمثلة على مركبات CW" . يوتيوب .
  8. ↑ توراييف، ف. ج. (1994). الثوابت الكمومية للعقد والمتشعبات ثلاثية الأبعاد . دراسات دي جرويتر في الرياضيات. المجلد 18. برلين: والتر دي جرويتر وشركاه. ISBN  9783110435221.
  9. ↑ هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 522. ISBN  0-521-79540-0.الاقتراح أ.4
  10. ↑ ميلنور، جون (فبراير 1959). "حول الفضاءات التي لها نوع التماثل لمركب CW" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 90 (2): 272-280 . doi : 10.2307/1993204 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1993204 .  
  11. ↑ هاتشر، ألين ، الطوبولوجيا الجبرية ، مطبعة جامعة كامبريدج (2002). ISBN 0-521-79540-0تتوفر نسخة إلكترونية مجانية على الصفحة الرئيسية للمؤلف
  12. ↑ هاتشر، ألين ، حزم المتجهات ونظرية K ، نسخة أولية متاحة على الصفحة الرئيسية للمؤلف
  13. ↑ هاتشر، ألين (2002). الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 529. ISBN  0-521-79540-0.التمرين 1
  14. ↑ ميلنور، جون (1959). "حول الفضاءات التي لها نوع التماثل لمركب CW" . معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 90 ( 2): 272-280 . doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR 1993204 . 
  15. ↑ "المساحات المُولَّدة بشكل مضغوط" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2016-03-03 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-08-26 .
  16. ↑ على سبيل المثال، يظهر الرأي القائل بأن "فئة مركبات CW (أو فئة الفضاءات من نفس نوع التماثل لمركب CW) هي أنسب فئة من الفضاءات الطوبولوجية فيما يتعلق بنظرية التماثل" في كتاب بالادزه، د.و. (2001) [1994]، "مركب CW" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS

مراجع عامة

  • لونديل، أ. ت.؛ وينغرام، س. (1970). طوبولوجيا مجمعات CW . سلسلة جامعة فان نوستراند في الرياضيات العليا. ISBN 0-442-04910-2.
  • براون، ر.؛ هيغينز، ب. ج.؛ سيفيرا، ر. (2011). الطوبولوجيا الجبرية غير التبادلية: الفضاءات المُرشَّحة، والمُركَّبات المُتقاطعة، وزمر التماثل المكعبة . سلسلة منشورات الجمعية الرياضية الأوروبية في الرياضيات، المجلد 15. ISBN 978-3-03719-083-8.مزيد من التفاصيل حولالصفحة الرئيسية للمؤلف الأول]