ثابت الكاتالونية

في الرياضيات ، ثابت كاتالان G هو المجموع المتناوب لمقلوبات الأعداد المربعة الفردية : $${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots .}$$ قيمتها العددية ^{[ 1 ]} تقريبًا (التسلسل A006752 في OEIS )

G =0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ... ,

وهي تساوي أيضًا β (2) ، حيث β هي دالة بيتا ديريشليه .

سُمي ثابت كاتالان على اسم يوجين شارل كاتالان ، الذي وجد متسلسلات متقاربة بسرعة لحسابه ونشر مذكرة عنه في عام 1865. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ، يُمثل ثابت كاتالان ربع حجم ثماني السطوح الزائدي المثالي ، وبالتالي ربع الحجم الزائدي لمكمل وصلة وايتهيد . ^{[ 4 ]} كما يُمثل ثمن حجم مكمل حلقات بوروميان . ^{[ 5 ]}

في علم التوافيق والميكانيكا الإحصائية ، يظهر هذا المفهوم فيما يتعلق بعدّ تبليطات الدومينو ، ^{[ 6 ]} والأشجار الممتدة ، ^{[ 7 ]} ودورات هاميلتون للرسوم البيانية الشبكية . ^{[ 8 ]}

في نظرية الأعداد ، يظهر ثابت كاتالان في صيغة مفترضة للعدد التقاربي للأعداد الأولية على الصورة التالية:${\displaystyle n^{2}+1}$وفقًا لتخمين هاردي وليتلوود F. ومع ذلك، لا تزال مسألة وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية من هذا الشكل مشكلة لم تُحل (إحدى مشاكل لاندو ). ^{[ 9 ]}

يظهر ثابت كاتالان أيضًا في حساب توزيع كتلة المجرات الحلزونية . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

لا يُعرف ما إذا كان G عددًا غير نسبي ، فضلًا عن كونه عددًا متساميًا . ^{[ 12 ]} وقد وُصف G بأنه "ربما الثابت الأساسي الذي لا يزال عدم نسبيته وتساميه (على الرغم من وجود شكوك قوية بشأنهما) غير مثبتين". ^{[ 13 ]}

مع ذلك، توجد نتائج جزئية. من المعروف أن عددًا لا نهائيًا من الأعداد β (2n ) غير نسبي، حيث β ( s ) هي دالة بيتا لـ Dirichlet . ^{[ 14 ]} على وجه الخصوص، يجب أن يكون واحد على الأقل من β (2)، β (4)، β (6)، β (8)، β (10)، و β (12) غير نسبي، حيث β (2) هو ثابت كاتالان. ^{[ 15 ]} ترتبط هذه النتائج التي توصل إليها واديم زوديلين وتانغي ريفوال بنتائج مماثلة مُعطاة لثوابت زيتا الفردية ζ (2n + 1).

من المعروف أن ثابت كاتالان هو دورة جبرية ، وهو ما يتبع من بعض التكاملات المزدوجة الواردة أدناه.

يظهر ثابت كاتالان في تقييم العديد من المتسلسلات النسبية بما في ذلك: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}+{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}.}$$ تتضمن الصيغتان التاليتان متسلسلات متقاربة بسرعة، وبالتالي فهما مناسبتان للحساب العددي: $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$$

قدم برودهيرست الأسس النظرية لهذه المتسلسلات، بالنسبة للصيغة الأولى، ^{[ 17 ]} ورامانوجان، بالنسبة للصيغة الثانية. ^{[ 18 ]} وقد وضع إي. كاراتسوبا خوارزميات التقييم السريع لثابت كاتالان. ^{[ 19 ] [ 20 ]} وباستخدام هذه المتسلسلات، أصبح حساب ثابت كاتالان الآن سريعًا تقريبًا مثل حساب ثابت أبيري .${\displaystyle \zeta (3)}$[ ^{21 ]​}

وتشمل السلاسل الأخرى سريعة التقارب، التي تعود إلى Guillera و Pilehrood والتي يستخدمها برنامج y-cruncher ، ما يلي: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}$

${\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}$

${\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}$

جميع هذه السلاسل لها تعقيد زمني${\displaystyle O(n\log(n)^{3})}$[ ^{21 ]​}

كما كتب شون ستيوارت: "هناك مصدر غني لا ينضب على ما يبدو للتكاملات المحددة التي يمكن مساواتها أو التعبير عنها بدلالة ثابت كاتالان." ^{[ 22 ]} تتضمن بعض هذه التعبيرات ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\pi /2}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx,\\G&=\iint _{[0,1]^{2}}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy,\\G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx,\\G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,\\G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt,\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,\\G&=\int _{0}^{\pi /4}\ln \cot t\,dt,\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}\ln(\sec t+\tan t)\,dt,\\G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt,\\G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt,\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,\\G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt,\\G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{\pi ^{2}/4}\csc {\sqrt {t}}\,dt,\\G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right),\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt,\\G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {(t^{4}-6t^{2}+1)\ln \ln t}{(1+t^{2})^{3}}}\,dt,\\G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin(\sin t)}{t}}\,dt,\\G&=1+\lim _{\alpha \to 1^{-}}\left\{\int _{0}^{\alpha }{\frac {(1+6t^{2}+t^{4})\arctan t}{t(1-t^{2})^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} \alpha -{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\},\\G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {x\sin(2xy/\pi )}{(x^{2}+\pi ^{2})\cosh x\sinh y}}\,dx\,dy,\\G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}\,dx\,dy,\end{aligned}}}$$ حيث ترتبط الصيغ الثلاث الأخيرة بتكاملات مالمستين . ^{[ 23 ]}

إذا كان K( k ) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول ، كدالة لمعامل الإهليلج k ، فإن$${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk.}$$

إذا كان E( k ) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني ، كدالة لمعامل الإهليلج k ، فإن$${\displaystyle G=-{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk.}$$

باستخدام دالة غاما Γ( x + 1) = x !، يكون ثابت كاتالان هو$${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{1/2}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy.\end{aligned}}}$$

التكامل $${\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}$$ هي دالة خاصة معروفة تسمى التكامل الظلي العكسي ، وقد تمت دراستها على نطاق واسع من قبل سرينيفاسا رامانوجان .

يظهر G في قيم دالة بوليغاما الثانية ، والتي تسمى أيضًا دالة تريغاما ، عند الوسائط الكسرية: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G,\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}$$

يقدم سيمون بلوف مجموعة لا نهائية من المتطابقات بين دالة تريجاما، π ² وثابت كاتالان؛ ويمكن التعبير عن هذه المتطابقات كمسارات على الرسم البياني (انظر §  الروابط الخارجية أدناه).

يظهر ثابت كاتالان بشكل متكرر فيما يتعلق بدالة كلاوسن ، والتكامل الظلي العكسي ، والتكامل الجيبي العكسي ، ودالة بارنز G ، بالإضافة إلى التكاملات والمتسلسلات القابلة للجمع بدلالة الدوال المذكورة أعلاه.

كمثال محدد، من خلال التعبير أولاً عن التكامل الظلي العكسي في شكله المغلق - بدلالة دوال كلاوسن - ثم التعبير عن دوال كلاوسن هذه بدلالة دالة بارنز G ، نحصل على التعبير التالي (انظر دالة كلاوسن لمزيد من المعلومات):  $${\displaystyle G=4\pi \log {\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}+4\pi \log {\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}+{\frac {\pi }{2}}\log {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}.}$$

إذا عرّفنا دالة ليرش المتسامية Φ( z , s , α )   على النحو التالي: $${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},}$$ ثم $${\displaystyle G={\frac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}$$ وينبع هذا مباشرة من حقيقة أن${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)}$و${\displaystyle \beta (2)=G}$، أين${\displaystyle \beta (s)}$دالة بيتا ديريشليه

يمكن التعبير عن G بالشكل التالي: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$يُعطى الكسر المستمر البسيط بواسطة ^{[ 25 ]}$${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$ سيكون لهذا الكسر المستمر عدد لا نهائي من الحدود إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$إنه أمر غير منطقي، وهو أمر لم يتم حله بعد.

يُعطي تمثيل الكسر المستمر التالي (بشكل تقاربي) 2.08 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل دورة: ^{[ 26 ]}$${\displaystyle G={\frac {\frac {13}{2}}{Z_{0}}},\quad Z_{k}=a(k)+{\frac {b(k)}{Z_{k+1}}}}$$ مع $${\displaystyle {\begin{aligned}a(k)&=3520k^{6}+5632k^{5}+2064k^{4}-384k^{3}-156k^{2}+16k+7,\\b(k)&=(2k+1)^{4}(2k+2)^{4}(20k^{2}-8k+1)(20k^{2}+72k+65).\end{aligned}}}$$

ازداد عدد الأرقام المعروفة لثابت كاتالان G بشكل كبير خلال العقود الماضية. ويعود ذلك إلى كل من زيادة أداء الحواسيب والتحسينات الخوارزمية. ^{[ 27 ]}

• مشعب جيزيكينج
• قائمة الثوابت الرياضية
• ثابت رياضي
• قيم محددة لدالة زيتا لريمان

• أدامشيك، فيكتور (2002). "سلسلة معينة مرتبطة بالثابت الكاتالوني" . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1– 10. دوى : 10.4171/ZAA/1110 . السيد 1929434 . 
• في، غريغوري ج. (1990). "حساب ثابت كاتالان باستخدام صيغة رامانوجان". في: واتانابي، شونرو؛ ناغاتا، مورييو (محرران). وقائع الندوة الدولية حول الحساب الرمزي والجبري، ISSAC '90، طوكيو، اليابان، 20-24 أغسطس 1990. ACM. ص 157-160 . doi : 10.1145/96877.96917 . ISBN  0201548925. S2CID 1949187 . 
• برادلي، ديفيد م. (1999). "فئة من صيغ تسارع المتسلسلات لثابت كاتالان". مجلة رامانوجان . 3 ( 2): 159-173 . arXiv : 0706.0356 . Bibcode : 2007arXiv0706.0356B . doi : 10.1023/A:1006945407723 . MR 1703281. S2CID 5111792 .  

• آدمتشيك، فيكتور. "33 تمثيلاً لثابت كاتالان" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 7 أغسطس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يوليو 2005 .
• بلوف، سيمون (1993). "بعض أوجه التشابه (3) مع اللغة الكاتالونية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يوليو 2005 .(يوفر أكثر من مائة هوية مختلفة).
• بلوف، سيمون (1999). "بعض المتطابقات مع ثابت كاتالان وπ²" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 26 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يوليو 2005 .(يقدم تفسيراً بيانياً للعلاقات)
• في، جريج (1996). ثابت كاتالان (صيغة رامانوجان) .(يوفر أول 300,000 رقم من ثابت كاتالان)
• برادلي، ديفيد م. (2001). تمثيلات ثابت كاتالان . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 . {{citation}}: CS1 maint: overridden setting ( link )
• يوهانسون، فريدريك. "0.915965594177219015054603514932" . أوردنر، فهرس للأعداد الحقيقية في فونغريم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 أبريل 2021 .
• "ثابت كاتالان" . يوتيوب . لنتعلم يا نيمو! 10 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه في 6 أبريل 2021 .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "ثابت كاتالان" . عالم الرياضيات .
• "الثابت الكاتالاني: تمثيلات السلاسل" . موقع وظائف وولفرام .
• "الثابت الكاتالوني" . موسوعة الرياضيات . مطبعة EMS . 2001 [1994].{{citation}}: CS1 maint: overridden setting ( link )