متغير فئوي

في الإحصاء ، يُعرف المتغير الفئوي (أو المتغير النوعي ) بأنه متغير يأخذ إحدى قيم محدودة، وعادةً ما تكون ثابتة، حيث يُصنّف كل فرد أو وحدة ملاحظة أخرى ضمن مجموعة أو فئة اسمية معينة بناءً على خاصية نوعية . ^{[ 1 ]} في علوم الحاسوب وبعض فروع الرياضيات، يُشار إلى المتغيرات الفئوية باسم التعدادات أو الأنواع المُعدّدة . ويُشار عادةً (وإن لم يكن ذلك في هذه المقالة) إلى كل قيمة من القيم الممكنة للمتغير الفئوي باسم المستوى . ويُطلق على التوزيع الاحتمالي المرتبط بمتغير فئوي عشوائي اسم التوزيع الفئوي .

البيانات الفئوية هي نوع من البيانات الإحصائية يتكون من متغيرات فئوية أو بيانات تم تحويلها إلى هذا الشكل، مثل البيانات المجمعة . وبشكل أكثر تحديدًا، قد تُستمد البيانات الفئوية من ملاحظات البيانات النوعية التي تُلخص في شكل إحصاءات أو جداول تقاطعية ، أو من ملاحظات البيانات الكمية المجمعة ضمن فترات زمنية محددة. غالبًا ما تُلخص البيانات الفئوية البحتة في شكل جدول توافق . مع ذلك، وخاصة عند النظر في تحليل البيانات، يشيع استخدام مصطلح "البيانات الفئوية" للإشارة إلى مجموعات البيانات التي، على الرغم من احتوائها على بعض المتغيرات الفئوية، قد تحتوي أيضًا على متغيرات غير فئوية. تتميز المتغيرات الترتيبية بترتيب منطقي، بينما لا تتميز المتغيرات الاسمية بترتيب منطقي.

يُطلق على المتغير الفئوي الذي يأخذ قيمتين فقط اسم المتغير الثنائي أو المتغير ثنائي التفرع ؛ ومن الحالات الخاصة المهمة متغير برنولي . أما المتغيرات الفئوية التي تأخذ أكثر من قيمتين محتملتين فتُسمى المتغيرات متعددة التفرع ؛ وغالبًا ما يُفترض أن المتغيرات الفئوية متعددة التفرع ما لم يُنص على خلاف ذلك. التقطيع هو التعامل مع البيانات المستمرة كما لو كانت فئوية. أما التثنائي فهو التعامل مع البيانات المستمرة أو المتغيرات متعددة التفرع كما لو كانت ثنائية. غالبًا ما يتعامل تحليل الانحدار مع انتماء الفئة باستخدام متغير وهمي كمي واحد أو أكثر .

أمثلة على المتغيرات الفئوية

أمثلة على القيم التي يمكن تمثيلها في متغير فئوي:

المعلومات الديموغرافية للسكان: الجنس، الحالة المرضية.
فصيلة دم الشخص: A أو B أو AB أو O.
الحزب السياسي الذي قد يصوت له الناخب، على سبيل المثال حزب الخضر ، والحزب الديمقراطي المسيحي ، والحزب الديمقراطي الاجتماعي ، وما إلى ذلك.
نوع الصخر: ناري ، رسوبي، أو متحول .
هوية كلمة معينة (على سبيل المثال، في نموذج لغوي ): أحد الخيارات الممكنة V ، لمفردات بحجم V.

الترميز

لتسهيل المعالجة الإحصائية، يمكن إسناد مؤشرات رقمية للمتغيرات الفئوية، مثلاً من 1 إلى K لمتغير فئوي ذي K قيمة (أي متغير يمكنه التعبير عن K قيمة ممكنة بالضبط). مع ذلك، فإن هذه الأرقام اعتباطية عموماً، ولا تحمل أي دلالة تتجاوز مجرد توفير تسمية ملائمة لقيمة معينة. بعبارة أخرى، توجد القيم في المتغير الفئوي على مقياس اسمي : كل قيمة منها تمثل مفهوماً منفصلاً منطقياً، ولا يمكن بالضرورة ترتيبها ترتيباً ذا معنى ، ولا يمكن التعامل معها كما تُتعامل مع الأرقام. بدلاً من ذلك، فإن العمليات الصحيحة هي التكافؤ ، وانتماء المجموعة ، وغيرها من العمليات المتعلقة بالمجموعات.

نتيجةً لذلك، تُحدد النزعة المركزية لمجموعة من المتغيرات الفئوية من خلال منوالها ؛ ولا يمكن تعريف المتوسط أو الوسيط . على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة من الأشخاص، فيمكننا النظر في مجموعة المتغيرات الفئوية المقابلة لألقابهم. يمكننا النظر في عمليات مثل التكافؤ (ما إذا كان لشخصين نفس اللقب)، وانتماء المجموعة (ما إذا كان اسم شخص ما موجودًا في قائمة معينة)، والعد (عدد الأشخاص الذين يحملون لقبًا معينًا)، أو إيجاد المنوال (الاسم الأكثر تكرارًا). مع ذلك، لا يمكننا حساب "مجموع" سميث + جونسون بشكلٍ ذي معنى، أو السؤال عما إذا كان سميث "أقل من" أو "أكبر من" جونسون. ونتيجةً لذلك، لا يمكننا السؤال بشكلٍ ذي معنى عن "الاسم المتوسط" أو "الاسم الأوسط" (الوسيط) في مجموعة من الأسماء.

يتجاهل هذا مفهوم الترتيب الأبجدي ، وهي خاصية لا تنبع من الأسماء نفسها، بل من طريقة صياغتنا لها. على سبيل المثال، إذا كتبنا الأسماء بالأبجدية السيريلية ، مع مراعاة ترتيب حروفها، فقد نحصل على نتيجة مختلفة عند تقييم "سميث < جونسون" مقارنةً بكتابتها بالأبجدية اللاتينية القياسية . وإذا كتبنا الأسماء بالأحرف الصينية ، فلن نتمكن من تقييم "سميث < جونسون" بشكل منطقي، لعدم وجود ترتيب ثابت لهذه الأحرف. مع ذلك، إذا اعتبرنا الأسماء كما هي مكتوبة، مثلاً بالأبجدية اللاتينية، وحددنا ترتيباً مطابقاً للترتيب الأبجدي القياسي، فإننا نكون قد حوّلناها فعلياً إلى متغيرات ترتيبية مُعرّفة على مقياس ترتيبي .

عدد القيم الممكنة

تُوصَف المتغيرات العشوائية الفئوية إحصائيًا عادةً بتوزيع فئوي ، يسمح بالتعبير عن أي متغير فئوي ذي K احتمالات منفصلة لكل نتيجة من النتائج K الممكنة. غالبًا ما تُحلَّل هذه المتغيرات الفئوية متعددة الفئات باستخدام توزيع متعدد الحدود ، الذي يحسب تكرار كل توليفة ممكنة من أعداد مرات ظهور الفئات المختلفة. يُجرى تحليل الانحدار على النتائج الفئوية من خلال الانحدار اللوجستي متعدد الحدود ، أو نموذج بروبيت متعدد الحدود ، أو نموذج اختيار منفصل مشابه .

تُعرف المتغيرات الفئوية التي لها نتيجتان محتملتان فقط (مثل "نعم" مقابل "لا" أو "نجاح" مقابل "فشل") بالمتغيرات الثنائية (أو متغيرات برنولي ). ونظرًا لأهميتها، تُعتبر هذه المتغيرات غالبًا فئة مستقلة، ذات توزيع منفصل ( توزيع برنولي ) ونماذج انحدار منفصلة ( الانحدار اللوجستي ، انحدار بروبيت ، إلخ). ونتيجة لذلك، يُستخدم مصطلح "المتغير الفئوي" عادةً للحالات التي لها ثلاث نتائج أو أكثر، ويُطلق عليها أحيانًا اسم المتغير متعدد الاتجاهات، في مقابل المتغير الثنائي.

من الممكن أيضًا دراسة المتغيرات الفئوية حيث لا يكون عدد الفئات محددًا مسبقًا. على سبيل المثال، بالنسبة لمتغير فئوي يصف كلمة معينة، قد لا نعرف مسبقًا حجم المفردات، ونرغب في إتاحة المجال لاحتمالية مصادفة كلمات لم نرها من قبل. تفترض النماذج الإحصائية القياسية، مثل تلك التي تتضمن التوزيع الفئوي والانحدار اللوجستي متعدد الحدود ، أن عدد الفئات معروف مسبقًا، وتغيير عدد الفئات أثناء التحليل أمر معقد. في مثل هذه الحالات، يجب استخدام تقنيات أكثر تقدمًا. ومن الأمثلة على ذلك عملية ديريشليه ، التي تندرج ضمن مجال الإحصاءات اللامعلمية . في هذه الحالة، يُفترض منطقيًا وجود عدد لا نهائي من الفئات، ولكن في أي وقت، لم يسبق رؤية معظمها (في الواقع، جميعها باستثناء عدد محدود) على الإطلاق. تتم صياغة جميع الصيغ من حيث عدد الفئات التي تمت رؤيتها بالفعل حتى الآن بدلاً من العدد الإجمالي (اللانهائي) للفئات المحتملة الموجودة، ويتم إنشاء طرق للتحديث التدريجي للتوزيعات الإحصائية، بما في ذلك إضافة فئات "جديدة".

المتغيرات الفئوية والانحدار

تمثل المتغيرات الفئوية طريقة نوعية لتقييم البيانات (أي أنها تمثل فئات أو انتماءات مجموعات). يمكن إدراج هذه المتغيرات كمتغيرات مستقلة في تحليل الانحدار ، أو كمتغيرات تابعة في الانحدار اللوجستي أو انحدار بروبيت ، ولكن يجب تحويلها إلى بيانات كمية لتحليل البيانات. ويتم ذلك باستخدام أنظمة الترميز. تُجرى التحليلات بحيث يتم ترميز g -1 فقط ( حيث g هو عدد المجموعات). يقلل هذا من التكرار مع الحفاظ على تمثيل مجموعة البيانات كاملة، إذ لا تُكتسب أي معلومات إضافية من ترميز جميع المجموعات g : على سبيل المثال، عند ترميز الجنس (حيث g = 2: ذكر وأنثى)، إذا قمنا بترميز الإناث فقط، فسيكون جميع المتبقين بالضرورة من الذكور. بشكل عام، المجموعة التي لا يتم ترميزها هي الأقل أهمية. ^{[ 2 ]}

تُستخدم ثلاثة أنظمة ترميز رئيسية عادةً في تحليل المتغيرات الفئوية في الانحدار: الترميز الوهمي، وترميز التأثيرات، وترميز التباين. تأخذ معادلة الانحدار الشكل Y = bX + a ، حيث b هو الميل ويعطي الوزن المُحدد تجريبيًا للمتغير التفسيري، و X هو المتغير التفسيري، و a هو نقطة تقاطع المحور Y ، وتختلف دلالات هذه القيم باختلاف نظام الترميز المُستخدم. لا يؤثر اختيار نظام الترميز على إحصائيتي F أو R² . مع ذلك، يُختار نظام الترميز بناءً على المقارنة المُراد دراستها ^، نظرًا لاختلاف تفسير قيم b . ^{[ 2 ]}

ترميز وهمي

يُستخدم الترميز الوهمي عند وجود مجموعة ضابطة أو مجموعة مقارنة. وبالتالي، يتم تحليل بيانات إحدى المجموعات مقارنةً بمجموعة المقارنة: يُمثل a متوسط المجموعة الضابطة، بينما يُمثل b الفرق بين متوسط المجموعة التجريبية ومتوسط المجموعة الضابطة. يُقترح استيفاء ثلاثة معايير لتحديد مجموعة ضابطة مناسبة: أن تكون المجموعة راسخة (أي لا تُصنف ضمن فئة "أخرى")، وأن يكون هناك سبب منطقي لاختيارها للمقارنة (مثل توقع حصولها على أعلى درجة في المتغير التابع)، وأخيرًا، أن يكون حجم عينة المجموعة كبيرًا وغير صغير مقارنةً بالمجموعات الأخرى. ^{[ 3 ]}

في الترميز الوهمي، تُخصص للمجموعة المرجعية قيمة 0 لكل متغير ترميز، وتُخصص للمجموعة المراد مقارنتها بالمجموعة المرجعية قيمة 1 لمتغير الترميز المحدد الخاص بها، بينما تُخصص لجميع المجموعات الأخرى قيمة 0 لمتغير الترميز المحدد هذا. ^{[ 2 ]}

ينبغي تفسير قيم b بحيث تتم مقارنة المجموعة التجريبية بالمجموعة الضابطة. وبالتالي، فإن الحصول على قيمة b سالبة يعني أن المجموعة التجريبية قد سجلت درجات أقل من المجموعة الضابطة في المتغير التابع . ولتوضيح ذلك، لنفترض أننا نقيس التفاؤل بين عدة جنسيات، وقد قررنا أن الفرنسيين يمثلون مجموعة ضابطة مناسبة. إذا قارناهم بالإيطاليين، ولاحظنا قيمة b سالبة ، فهذا يشير إلى أن الإيطاليين يحصلون على درجات تفاؤل أقل في المتوسط.

الجدول التالي هو مثال على الترميز الوهمي مع اعتبار اللغة الفرنسية هي المجموعة الضابطة ، و C1 و C2 و C3 هي رموز اللغات الإيطالية والألمانية وغيرها (ليست الفرنسية ولا الإيطالية ولا الألمانية):

جنسية	ج1	C2	ج3
فرنسي	0	0	0
إيطالي	1	0	0
الألمانية	0	1	0
آخر	0	0	1

ترميز التأثيرات

في نظام ترميز التأثيرات، تُحلل البيانات من خلال مقارنة مجموعة واحدة بجميع المجموعات الأخرى. على عكس الترميز الوهمي، لا توجد مجموعة ضابطة. بل تُجرى المقارنة عند متوسط جميع المجموعات مجتمعة ( أ هو المتوسط العام ). لذلك، لا يبحث المرء عن البيانات بالنسبة لمجموعة أخرى، بل يبحث عن البيانات بالنسبة للمتوسط العام. ^{[ 2 ]}

يمكن ترميز التأثيرات إما بترجيح أو بدون ترجيح. يعتمد ترميز التأثيرات المرجح على حساب المتوسط العام المرجح، مع مراعاة حجم العينة في كل متغير. وهذا هو الأنسب في الحالات التي تكون فيها العينة ممثلة للمجتمع المدروس. أما ترميز التأثيرات غير المرجح فهو الأنسب في الحالات التي تكون فيها الاختلافات في حجم العينة ناتجة عن عوامل عرضية. ويختلف تفسير قيمة b في الحالتين: ففي ترميز التأثيرات غير المرجح، تمثل b الفرق بين متوسط المجموعة التجريبية والمتوسط العام، بينما في حالة الترميز المرجح، تمثل b الفرق بين متوسط المجموعة التجريبية والمتوسط العام المرجح. ^{[ 2 ]}

في ترميز التأثيرات، نُرمز للمجموعة محل الاهتمام بالرقم 1، تمامًا كما نفعل في الترميز الوهمي. والفرق الرئيسي هو أننا نُرمز للمجموعة الأقل أهمية بالرقم -1. وبما أننا نستمر في استخدام نظام ترميز g - 1، فإن المجموعة التي تحمل الرمز -1 هي في الواقع التي لن تُنتج بيانات، ومن هنا تأتي أهمية هذه المجموعة بالنسبة لنا. أما باقي المجموعات، فيُرمز لها بالرقم 0.

ينبغي تفسير قيم b بحيث تتم مقارنة المجموعة التجريبية بمتوسط جميع المجموعات مجتمعة (أو المتوسط العام المرجح في حالة ترميز التأثيرات المرجحة). وبالتالي، فإن الحصول على قيمة b سالبة يعني أن المجموعة المُرمّزة قد حصلت على درجة أقل من متوسط جميع المجموعات في المتغير التابع. باستخدام مثالنا السابق لدرجات التفاؤل بين الجنسيات، إذا كانت المجموعة محل الاهتمام هي الإيطاليون، فإن ملاحظة قيمة b سالبة تشير إلى حصولهم على درجة تفاؤل أقل.

الجدول التالي هو مثال على ترميز التأثيرات مع اعتبار "أخرى" المجموعة الأقل أهمية.

جنسية	ج1	C2	ج3
فرنسي	0	0	1
إيطالي	1	0	0
الألمانية	0	1	0
آخر	-1	-1	-1

ترميز التباين

يُمكّن نظام الترميز التبايني الباحث من طرح أسئلة محددة مباشرةً. فبدلاً من أن يُملي نظام الترميز نوع المقارنة (أي، مع مجموعة ضابطة كما في الترميز الوهمي، أو مع جميع المجموعات كما في ترميز التأثيرات)، يُمكن تصميم مقارنة فريدة تُناسب سؤال البحث المحدد. وتستند هذه الفرضية المُخصصة عمومًا إلى نظريات و/أو أبحاث سابقة. وتتلخص الفرضيات المقترحة فيما يلي: أولًا، الفرضية المركزية التي تفترض وجود فرق كبير بين مجموعتين من المجموعات؛ ثانيًا، الفرضية التي تُشير إلى أن الفروق بين المجموعات داخل كل مجموعة صغيرة. ومن خلال فرضياته المُركزة مسبقًا ، قد يُؤدي الترميز التبايني إلى زيادة قوة الاختبار الإحصائي مقارنةً بأنظمة الترميز السابقة الأقل توجيهًا. ^{[ 2 ]}

تظهر بعض الاختلافات عند مقارنة معاملاتنا المُحددة مسبقًا بين تحليل التباين (ANOVA) والانحدار. ففي تحليل التباين، حيث يُترك للباحث حرية اختيار قيم المعاملات المتعامدة أو غير المتعامدة، يُعدّ من الضروري في الانحدار أن تكون قيم المعاملات المُخصصة في ترميز التباين متعامدة. علاوة على ذلك، يجب أن تكون قيم المعاملات في الانحدار إما كسرية أو عشرية، ولا يمكن أن تكون قيمًا فترية.

يخضع بناء رموز التباين لثلاثة قواعد:

يجب أن يساوي مجموع معاملات التباين لكل متغير من متغيرات الترميز صفرًا.
يجب أن يكون الفرق بين مجموع المعاملات الموجبة ومجموع المعاملات السالبة مساوياً لـ 1.
ينبغي أن تكون المتغيرات المشفرة متعامدة. ^{[ 2 ]}

يؤدي انتهاك القاعدة 2 إلى إنتاج قيم R ² و F دقيقة ، مما يشير إلى أننا سنصل إلى نفس الاستنتاجات حول ما إذا كان هناك فرق كبير أم لا؛ ومع ذلك، لم يعد بإمكاننا تفسير قيم b على أنها فرق متوسط.

To illustrate the construction of contrast codes consider the following table. Coefficients were chosen to illustrate our a priori hypotheses: Hypothesis 1: French and Italian persons will score higher on optimism than Germans (French = +0.33, Italian = +0.33, German = −0.66). This is illustrated through assigning the same coefficient to the French and Italian categories and a different one to the Germans. The signs assigned indicate the direction of the relationship (hence giving Germans a negative sign is indicative of their lower hypothesized optimism scores). Hypothesis 2: French and Italians are expected to differ on their optimism scores (French = +0.50, Italian = −0.50, German = 0). Here, assigning a zero value to Germans demonstrates their non-inclusion in the analysis of this hypothesis. Again, the signs assigned are indicative of the proposed relationship.

Nationality	C1	C2
French	+0.33	+0.50
Italian	+0.33	−0.50
German	−0.66	0

Nonsense coding

Nonsense coding occurs when one uses arbitrary values in place of the designated "0"s "1"s and "-1"s seen in the previous coding systems. Although it produces correct mean values for the variables, the use of nonsense coding is not recommended as it will lead to uninterpretable statistical results.^[2]

Embeddings

Embeddings are codings of categorical values into low-dimensional real-valued (sometimes complex-valued) vector spaces, usually in such a way that ‘similar’ values are assigned ‘similar’ vectors, or with respect to some other kind of criterion making the vectors useful for the respective application. A common special case are word embeddings, where the possible values of the categorical variable are the words in a language and words with similar meanings are to be assigned similar vectors.

Interactions

An interaction may arise when considering the relationship among three or more variables, and describes a situation in which the simultaneous influence of two variables on a third is not additive. Interactions may arise with categorical variables in two ways: either categorical by categorical variable interactions, or categorical by continuous variable interactions.

Categorical by categorical variable interactions

This type of interaction arises when we have two categorical variables. In order to probe this type of interaction, one would code using the system that addresses the researcher's hypothesis most appropriately. The product of the codes yields the interaction. One may then calculate the b value and determine whether the interaction is significant.^[2]

Categorical by continuous variable interactions

يُعد تحليل الانحدار البسيط اختبارًا شائعًا يُستخدم في تحليل الانحدار، وهو مشابه لتحليل التأثيرات البسيطة في تحليل التباين (ANOVA) لتحليل التفاعلات. في هذا الاختبار، ندرس الانحدار البسيط لمتغير مستقل واحد عند قيم محددة للمتغير المستقل الآخر. لا يقتصر استخدام هذا الاختبار على المتغيرات المستمرة، بل يمكن استخدامه أيضًا مع المتغيرات الفئوية. لا يمكننا ببساطة اختيار قيم لدراسة التفاعل كما نفعل في حالة المتغيرات المستمرة نظرًا لطبيعة البيانات الاسمية (أي، في حالة المتغيرات المستمرة، يمكن تحليل البيانات عند مستويات عالية ومتوسطة ومنخفضة، مع تحديد انحراف معياري واحد فوق المتوسط، وعند المتوسط، وتحت المتوسط على التوالي). في حالة المتغيرات الفئوية، نستخدم معادلة انحدار بسيطة لكل مجموعة لدراسة الانحدار البسيط. من الممارسات الشائعة توحيد أو توسيط المتغيرات لجعل البيانات أكثر قابلية للتفسير في تحليل الانحدار البسيط؛ ومع ذلك، لا ينبغي أبدًا توحيد أو توسيط المتغيرات الفئوية. يمكن استخدام هذا الاختبار مع جميع أنظمة الترميز. ^{[ 2 ]}

انظر أيضاً

مراجع

↑ ييتس، دانيال س.؛ مور، ديفيد س .؛ ستارنز، دارين س. (2003). ممارسة الإحصاء ( الطبعة الثانية). نيويورك: فريمان . ISBN 978-0-7167-4773-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 9 فبراير 2005. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 سبتمبر 2014 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 كوهين، ج.؛ كوهين، ب.؛ ويست، إس جي؛ أيكن، إل إس (2003). تحليل الانحدار/الارتباط المتعدد التطبيقي للعلوم السلوكية (الطبعة الثالثة) . نيويورك، نيويورك: روتليدج.
↑ هاردي، ميليسا (1993). الانحدار باستخدام المتغيرات الصورية . نيوبري بارك، كاليفورنيا: سيج.

للمزيد من القراءة

أندرسن، إيرلينج ب. 1980. النماذج الإحصائية المنفصلة مع تطبيقات العلوم الاجتماعية . نورث هولاند، 1980.
بيشوب، واي إم إم ؛ فينبرغ، إس إي ؛ هولاند، بي دبليو (1975). التحليل متعدد المتغيرات المنفصل: النظرية والتطبيق . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 978-0-262-02113-5MR 0381130 .
كريستنسن، رونالد (1997). النماذج اللوغاريتمية الخطية والانحدار اللوجستي . نصوص سبرينغر في الإحصاء ( الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات: 483 + 16 صفحة تمهيدية. ISBN 0-387-98247-7MR 1633357
فريندلي، مايكل . تصوير البيانات الفئوية . معهد ساس، 2000.
لوريتزن، ستيفن ل. (2002) [1979]. محاضرات حول جداول الطوارئ (PDF) (نسخة إلكترونية محدثة من (جامعة آلبورغ) الطبعة الثالثة (1989)).
دليل الأساليب الإحصائية الصادر عن المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا/سيماتيك (2008).

[yates-1] ييتس، دانيال س.؛ مور، ديفيد س .؛ ستارنز، دارين س. (2003). ممارسة الإحصاء ( الطبعة الثانية). نيويورك: فريمان . ISBN 978-0-7167-4773-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 9 فبراير 2005. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 سبتمبر 2014 .

[Cohen-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 كوهين، ج.؛ كوهين، ب.؛ ويست، إس جي؛ أيكن، إل إس (2003). تحليل الانحدار/الارتباط المتعدد التطبيقي للعلوم السلوكية (الطبعة الثالثة) . نيويورك، نيويورك: روتليدج.

[3] هاردي، ميليسا (1993). الانحدار باستخدام المتغيرات الصورية . نيوبري بارك، كاليفورنيا: سيج.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]