نظرية كوشي التكاملية

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية كوشي التكاملية (المعروفة أيضًا باسم نظرية كوشي-غورسات ) في التحليل المركب ، والتي سُميت نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي ( وإدوارد غورسات )، بيانًا مهمًا حول التكاملات الخطية للدوال التحليلية في المستوى المركب . وتنص هذه النظرية أساسًا على أنه إذا${\displaystyle f(z)}$هي دالة تامة الشكل في مجال متصل ببساطة$أوميغا$ثم لأي محيط مغلق بسيط${\displaystyle C}$في​$أوميغا$، هذا التكامل الكفافي يساوي صفرًا. $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

كما أوضح إدوارد غورسات ، يمكن إثبات نظرية كوشي التكاملية بافتراض أن المشتقة المركبة${\displaystyle f'(z)}$موجود في كل مكان في${\displaystyle U}$. هذا أمر مهم لأنه يمكن للمرء بعد ذلك إثبات صيغة كوشي التكاملية لهذه الدوال، ومن ذلك يستنتج أن هذه الدوال قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية .

الشرط الذي${\displaystyle U}$أن تكون متصلاً ببساطة يعني أن${\displaystyle U}$لا يحتوي على "ثقوب"، أو بتعبير آخر ، أن المجموعة الأساسية لـ${\displaystyle U}$أمرٌ بديهي؛ على سبيل المثال، كل قرص مفتوح${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left\vert z-z_{0}\right\vert <r\}}$، لـ​${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$، مؤهل. الشرط حاسم؛ ضع في اعتبارك $${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$ والذي يرسم دائرة الوحدة، ثم التكامل المساري $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$ غير صفري؛ لا تنطبق نظرية كوشي التكاملية هنا لأن${\displaystyle f(z)=1/z}$غير مُعرَّف (وبالتأكيد ليس هولومورفيًا) في ⁠${\displaystyle z=0}$⁠ .

إحدى النتائج المهمة لهذه النظرية هي أنه يمكن حساب تكاملات المسار للدوال التحليلية على المجالات المتصلة ببساطة بطريقة مألوفة من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل : ليكن${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة متصلة ببساطة من${\displaystyle \mathbb {C} }$، دع${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$لتكن دالة تحليلية، ولتكن${\displaystyle \gamma }$ليكن مسارًا قابلًا للتفاضل بشكل مستمر على أجزاء في${\displaystyle U}$مع نقطة البداية${\displaystyle a}$ونقطة النهاية${\displaystyle b}$إذا​${\displaystyle F}$هو مشتق مضاد معقد لـ${\displaystyle f}$ثم​ $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

تُعتبر نظرية كوشي التكاملية صالحة بفرضية أضعف من تلك المذكورة أعلاه، على سبيل المثال، بفرضية ⁠${\displaystyle U}$، مجموعة فرعية مفتوحة متصلة ببساطة من${\displaystyle \mathbb {C} }$، يمكننا تخفيف الافتراضات إلى${\displaystyle f}$كونها هولومورفية${\displaystyle U}$ويستمر على${\textstyle {\overline {U}}}$و${\displaystyle \gamma }$حلقة بسيطة قابلة للتصحيح في${\displaystyle \textstyle {\overline {U}}}$[ ¹ ]^​​

تؤدي نظرية كوشي التكاملية إلى صيغة كوشي التكاملية ونظرية الباقي .

إذا افترضنا أن المشتقات الجزئية لدالة تحليلية متصلة، فيمكن إثبات نظرية كوشي التكاملية كنتيجة مباشرة لنظرية غرين وحقيقة أن الأجزاء الحقيقية والخيالية لـ${\displaystyle f=u+iv}$يجب أن تحقق معادلات كوشي-ريمان في المنطقة المحصورة بـ${\displaystyle \gamma }$وعلاوة على ذلك ، في الجوار المفتوح U لهذه المنطقة. قدم كوشي هذا البرهان، ولكن تم إثباته لاحقًا بواسطة غورسات دون الحاجة إلى تقنيات من حساب المتجهات ، أو استمرارية المشتقات الجزئية. ^{[ 2 ]}

يمكننا تفكيك الدالة التكاملية${\displaystyle f}$، وكذلك التفاضلي${\displaystyle dz}$إلى مكوناتها الحقيقية والخيالية: $${\displaystyle f=u+iv}$$$${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

في هذه الحالة لدينا $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

بحسب نظرية غرين ، يمكننا حينها استبدال التكاملات حول المحيط المغلق${\displaystyle \gamma }$مع تكامل مساحي في جميع أنحاء المجال${\displaystyle D}$ذلك محاط بـ${\displaystyle \gamma }$على النحو التالي: $${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$$${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

لكن باعتبارها الأجزاء الحقيقية والخيالية لدالة هولومورفية في المجال ⁠${\displaystyle D}$،​${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$يجب أن تحقق معادلات كوشي-ريمان هناك: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

وبالتالي نجد أن كلا الدالتين المتكاملتين (وبالتالي تكاملاتهما) تساويان صفرًا: $${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$$${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

وهذا يعطي النتيجة المرجوة $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$

• نظرية موريرا
• أساليب تكامل الخطوط الكنتورية
• مجال النجوم

• كودايرا، كونيهيكو (2007)، التحليل المعقد ، مربط كامبريدج. ظرف. الرياضيات، 107، كأس ، ISBN 978-0-521-80937-5
• أهلفورس، لارس (2000)، التحليل المركب ، سلسلة ماكجرو هيل في الرياضيات، ماكجرو هيل ، رقم ISBN 0-07-000657-1
• لانغ، سيرج (2003)، التحليل المركب ، سبرينغر فيرلاغ جي تي إم، سبرينغر فيرلاغ
• رودين، والتر (2000)، التحليل الحقيقي والمركب ، سلسلة ماكجرو هيل في الرياضيات، ماكجرو هيل

• "نظرية كوشي التكاملية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية كوشي التكاملية" . عالم الرياضيات .
• جيريمي أورلوف، 18.04 المتغيرات المعقدة مع التطبيقات ربيع 2018 معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: MIT OpenCourseWare Creative Commons.