خاتم بسيط

في الجبر المجرد ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، الحلقة البسيطة هي حلقة غير صفرية ليس لها أي مثال ثنائي الجانب إلى جانب المثال الصفري ونفسها. وعلى وجه الخصوص، الحلقة التبادلية هي حلقة بسيطة إذا وفقط إذا كانت مجالًا .

إن مركز الحلقة البسيطة هو بالضرورة حقل. ومن ثم فإن الحلقة البسيطة هي جبر ارتباطي على هذا الحقل. ومن ثم يُطلق عليها جبر بسيط على هذا الحقل.

تتطلب العديد من المراجع (على سبيل المثال، Lang (2002) أو Bourbaki (2012)) بالإضافة إلى ذلك أن تكون الحلقة البسيطة أرتينية يسارية أو يمينية (أو ما يعادلها شبه بسيطة ). بموجب مثل هذه المصطلحات، تسمى الحلقة غير الصفرية التي لا تحتوي على مُثُل ثنائية الجانب غير تافهة شبه بسيطة .

توجد حلقات بسيطة كحلقات ولكنها ليست وحدة بسيطة فوق نفسها: حلقة مصفوفة كاملة فوق حقل ليس لها أي مثالية ثنائية الجانب غير تافهة (نظرًا لأن أي مثالية تكون على شكل مثالية )، ولكنها تحتوي على مثالية يسارية غير تافهة (على سبيل المثال، مجموعات المصفوفات التي تحتوي على بعض أعمدة الصفر الثابتة). ${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle M_{n}(I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

من الأمثلة المباشرة على الحلقة البسيطة حلقة القسمة ، حيث يكون لكل عنصر غير صفري معكوس مضاعف، على سبيل المثال، الرباعيات . أيضًا، بالنسبة لأي ، فإن جبر المصفوفات التي تحتوي على عناصر في حلقة القسمة يكون بسيطًا. ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\times n}$

أثبت جوزيف ويديربورن أنه إذا كانت الحلقة عبارة عن جبر بسيط محدود الأبعاد على حقل ، فإنها تكون متماثلة مع جبر مصفوفة على بعض جبر القسمة على . وعلى وجه الخصوص، فإن الحلقات البسيطة الوحيدة التي تكون عبارة عن جبر محدود الأبعاد على الأعداد الحقيقية هي حلقات المصفوفات على الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة أو الرباعيات . ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

أثبت ويديربيرن هذه النتائج في عام 1907 في أطروحته للدكتوراه، حول الأعداد الفائقة التعقيد ، والتي ظهرت في وقائع الجمعية الرياضية بلندن . صنفت أطروحته الجبر البسيط وشبه البسيط محدودي الأبعاد عبر الحقول. الجبر البسيط هو اللبنات الأساسية للجبر شبه البسيط: أي جبر شبه بسيط محدودي الأبعاد هو حاصل ضرب ديكارت، بمعنى الجبر، للجبر البسيط محدودي الأبعاد.

يجب أن نكون حذرين من المصطلحات: فليست كل حلقة بسيطة حلقة شبه بسيطة ، وليست كل جبر بسيط جبرًا شبه بسيط. ومع ذلك، فإن كل جبر بسيط ذي أبعاد محدودة هو جبر شبه بسيط، وكل حلقة بسيطة أرتينية يسارية أو يمينية هي حلقة شبه بسيطة.

من الأمثلة على الحلقات البسيطة التي ليست شبه بسيطة جبر ويل . كما يعطي جبر ويل مثالاً على جبر بسيط ليس جبر مصفوفة على جبر قسمة على مركزه: جبر ويل لانهائي الأبعاد، لذا فإن نظرية ويدربيرن لا تنطبق.

تم تعميم نتيجة ويديربيرن لاحقًا على الحلقات شبه البسيطة في نظرية ويديربيرن-آرتين : والتي تنص على أن كل حلقة شبه بسيطة هي حاصل ضرب منتهٍ لحلقات مصفوفة على حلقات تقسيم. ونتيجة لهذا التعميم، فإن كل حلقة بسيطة أرتينية يسارية أو يمينية هي حلقة مصفوفة على حلقة تقسيم.

ليكن مجال الأعداد الحقيقية، وليكن مجال الأعداد المركبة، والرباعيات . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

• الجبر المركزي البسيط (يسمى أحيانًا جبر براور) هو جبر بسيط ذو أبعاد محدودة على حقل مركزه .${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$
• كل جبر بسيط ذي أبعاد محدودة متماثل مع جبر مصفوفات ذات مدخلات في أو أو . كل جبر بسيط مركزي متماثل مع جبر مصفوفات ذات مدخلات أو . تتبع هذه النتائج نظرية فروبينيوس .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$
• كل جبر بسيط ذو أبعاد محدودة فوق هو جبر بسيط مركزي، وهو متماثل مع حلقة مصفوفة فوق .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• كل جبر مركزي بسيط ذو أبعاد محدودة على حقل محدود يكون متماثلًا مع حلقة مصفوفة فوق هذا الحقل.
• جبر جميع التحويلات الخطية لمساحة متجهية لا نهائية الأبعاد على حقل هو حلقة بسيطة ليست حلقة شبه بسيطة . وهو أيضًا جبر بسيط على ليس جبرًا شبه بسيط.${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• بسيط (الجبر)
• الجبر البسيط (الجبر الشامل)

• ألبرت، أ. أ. (2003). بنية الجبر . منشورات ندوة. المجلد 24. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص. 37. رقم ISBN 0-8218-1024-3.
• بوربكي ، نيكولا (2012)، الجبر ش. 8 (الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-35315-7
• نيكلسون، ويليام ك. (1993). "إثبات قصير لنظرية ويديربيرن-آرتين" (PDF) . مجلة الرياضيات النيوزيلندية . 22 : 83-86.
• هندرسون، دي دبليو (1965). "إثبات قصير لنظرية ويديربيرن". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية . 72 : 385-386. doi :10.2307/2313499.
• لام، تسيت-يوين (2001)، دورة أولى في الحلقات غير التبادلية (الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، doi :10.1007/978-1-4419-8616-0، ISBN 978-0-387-95325-0السيد 1838439 ​
• لانج، سيرج (2002)، الجبر (الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0387953854
• جاكوبسون، ناثان (1989)، الجبر الأساسي الثاني (الطبعة الثانية)، دبليو إتش فريمان، رقم ISBN 978-0-7167-1933-5