نظرية سيفا

أولاً، إشارة الجانب الأيسر موجبة لأنه إما أن تكون جميع النسب الثلاث موجبة، وهي الحالة التي يكون فيها O داخل المثلث (الرسم التخطيطي العلوي)، أو أن تكون واحدة موجبة والنسبتان الأخريان سالبتان، وهي الحالة التي يكون فيها O خارج المثلث (يوضح الرسم التخطيطي السفلي إحدى الحالات).

للتحقق من المقدار، لاحظ أن مساحة المثلث ذي الارتفاع المحدد تتناسب طرديًا مع قاعدته.

${\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}$

لذلك،

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}$

(استبدل علامة السالب بعلامة الموجب إذا كانت النقطتان A و O على جانبين متقابلين من BC .) وبالمثل،

${\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}$

و

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}$

بضرب هذه المعادلات الثلاث نحصل على

${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$

حسب الحاجة.

يمكن أيضًا إثبات النظرية بسهولة باستخدام نظرية مينلاوس . ^{[ 6 ]} من مخطط الحدود العرضي للمثلث △ ACF ،

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1}$

ومن المقطع العرضي AOD للمثلث △ BCF ،

${\displaystyle {\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.}$

وتستنتج النظرية من خلال قسمة هاتين المعادلتين.

ويترتب على ذلك عكس النتيجة. ^{[ 4 ]} لنفترض أن النقاط D وE وF تقع على الخطوط BC وAC وAB على التوالي، بحيث تتحقق المعادلة. ولنفترض أن AD وBE يتقاطعان عند النقطة O ، وأن F' هي النقطة التي يتقاطع عندها CO مع AB . عندئذٍ، وبحسب النظرية، تتحقق المعادلة أيضًا للنقاط D وE وF' . وبمقارنة المعادلتين،

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}}$

لكن على الأكثر يمكن لنقطة واحدة أن تقطع قطعة مستقيمة بنسبة معينة، لذا فإن F = F' .

بفرض وجود ثلاث نقاط A وB وC غير واقعة على خط مستقيم واحد ، ونقطة O تقع في نفس المستوى ، فإن الإحداثيات الباريسنترية للنقطة O بالنسبة إلى النقاط A وB وC هي ثلاثة أرقام فريدة.${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}$بحيث

${\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}$

و

${\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}$

لكل نقطة X (للحصول على تعريف هذا الترميز السهمي ومزيد من التفاصيل، انظر الفضاء الأفيني ).

بحسب نظرية سيفا، يُفترض ألا تنتمي النقطة O إلى أي خط يمر برأسين من رؤوس المثلث. وهذا يعني أن${\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}$

إذا اعتبرنا X نقطة تقاطع الخطين AB و OC (انظر الأشكال)، فيمكن إعادة ترتيب المعادلة الأخيرة لتصبح

${\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}$

الطرف الأيسر من هذه المعادلة هو متجه له نفس اتجاه الخط CF ، والطرف الأيمن له نفس اتجاه الخط AB . هذه الخطوط لها اتجاهات مختلفة لأن A وB وC ليست على استقامة واحدة. وبالتالي، فإن طرفي المعادلة يساويان المتجه الصفري، و

${\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}$

ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}$

حيث يمثل الكسر الموجود على الجانب الأيسر النسبة الموقعة لأطوال القطع المستقيمة المتوازية AF و FB .

نفس المنطق يظهر

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}$

تتحقق نظرية سيفا مباشرة من خلال أخذ حاصل ضرب المعادلات الثلاث الأخيرة.