التكاثر المعقد للأصناف الأبيلية

في الرياضيات ، يُقال إن التنوع الأبلي A المعرف على حقل K يمتلك نمط CM إذا كان لديه حلقة فرعية تبديلية كبيرة بما يكفي في حلقة التشكل الداخلي End( A ). هذا المصطلح مُستمد من نظرية الضرب العقدي ، التي طُوّرت للمنحنيات الإهليلجية في القرن التاسع عشر. ومن أهم إنجازات نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية في القرن العشرين إيجاد الصيغ الصحيحة للنظرية المقابلة للتنوعات الأبلية ذات البعد d > 1. تكمن المشكلة في مستوى أعمق من التجريد، نظرًا لصعوبة التعامل مع الدوال التحليلية لعدة متغيرات عقدية .

التعريف الرسمي هو أن

${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(A)}$

يجب أن يحتوي حاصل الضرب الموتري لـ End( A ) مع حقل الأعداد النسبية Q على حلقة فرعية تبديلية ذات بُعد 2d فوق Q. عندما d = 1، لا يمكن أن يكون هذا إلا حقلًا تربيعيًا ، ويمكن استعادة الحالات التي يكون فيها End( A ) رتبة في حقل تربيعي تخيلي . بالنسبة لـ d > 1، توجد حالات مماثلة لحقول CM ، وهي الامتدادات التربيعية المعقدة للحقول الحقيقية تمامًا . هناك حالات أخرى تُشير إلى أن A قد لا يكون صنفًا أبيليًا بسيطًا (قد يكون حاصل ضرب ديكارتي لمنحنيات إهليلجية، على سبيل المثال). يُطلق على الأصناف الأبيلية من نوع CM أيضًا اسم الأصناف الأبيلية ذات عدد كافٍ من عمليات الضرب المعقدة .

من المعروف أنه إذا كانت K هي الأعداد المركبة ، فإن أي مجموعة A من هذا النوع لها حقل تعريف هو في الواقع حقل عددي . ^{[ 1 ]} وقد صُنفت الأنواع الممكنة لحلقات التشكل الداخلي، كحلقات ذات انعكاس ( انعكاس روزاتي )، مما أدى إلى تصنيف الأصناف الأبيلية من نوع CM. ولإنشاء مثل هذه الأصناف بنفس أسلوب المنحنيات الإهليلجية، بدءًا من شبكة Λ في C ^d ، يجب مراعاة علاقات ريمان لنظرية الأصناف الأبيلية.

يُعرَّف نمط CM بأنه وصف لتأثير حلقة فرعية تبديلية (قصوى) L من End _Q ( A ) على الفضاء المماسي الهولومورفي لـ A عند عنصر الوحدة . تُطبَّق نظرية طيفية بسيطة لإثبات أن L تؤثر عبر أساس من المتجهات الذاتية ؛ أي أن تأثير L يكون عبر مصفوفات قطرية على حقول المتجهات الهولومورفية على A. في الحالة البسيطة، حيث يكون L حقلًا عدديًا وليس ناتج ضرب عدد من الحقول، يكون نمط CM عبارة عن قائمة من التضمينات المركبة لـ L. يوجد 2d من هذه التضمينات، تظهر في أزواج مترافقة مركبة ؛ ويُختار نمط CM من كل زوج. من المعروف أنه يمكن تحقيق جميع أنماط CM الممكنة.

تُحسب النتائج الأساسية لغورو شيمورا ويوتاكا تانياما دالة هاس-ويل L للمصفوفة A ، بدلالة النوع CM، ودالة هيك L ذات خاصية هيك ، والتي يُشتق منها النوع اللانهائي . وتُعمم هذه النتائج نتائج ماكس ديورينغ لحالة المنحنى الإهليلجي.

• لانغ، سيرج (1983)، الضرب المركب ، سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-90786-6