نظرية المجال الكلاسيكي المتغير

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 30 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء الرياضية ، تمثل نظرية الحقل الكلاسيكي المتغير الحقول الكلاسيكية بمقاطع من حزم الألياف ، وتُصاغ ديناميكياتها في سياق فضاء حقول محدود الأبعاد . من المعروف اليوم أن حزم النفاثات والمركب الثنائي المتغير هما المجال الصحيح لهذا الوصف. يُعرف المتغير الهاميلتوني لنظرية الحقل الكلاسيكي المتغير بنظرية الحقل الهاميلتوني المتغير حيث تتوافق الزخمات مع مشتقات متغيرات الحقل بالنسبة لجميع إحداثيات العالم. تُصاغ الميكانيكا غير المستقلة كنظرية حقل كلاسيكي متغير على حزم الألياف على محور الزمن.R{\displaystyle \mathbb {R} }.

أمثلة

فيما يلي العديد من الأمثلة المهمة لنظريات الحقول الكلاسيكية ذات الصلة بنظرية الحقول الكمومية. وتحديدًا، هذه هي النظريات التي تُشكل النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات. ستُستخدم هذه الأمثلة في مناقشة الصياغة الرياضية العامة لنظرية الحقول الكلاسيكية.

النظريات غير المترابطة

النظريات المترابطة

الهياكل الرياضية المطلوبة

لصياغة نظرية المجال الكلاسيكية، يلزم وجود الهياكل التالية:

الزمكان

مشعب أملسم{\displaystyle M}.

يُعرف هذا بشكل مختلف باسم متعدد الشعب العالمي (للتأكيد على متعدد الشعب بدون هياكل إضافية مثل المقياس)، أو الزمكان (عند تجهيزه بمقياس لورنتزي)، أو متعدد الشعب الأساسي من وجهة نظر هندسية أكثر.

هياكل على الزمكان

غالباً ما يأتي الزمكان مصحوباً ببنية إضافية. ومن الأمثلة على ذلك:

بالإضافة إلى البنية المطلوبة للتوجيه، اللازمة لمفهوم التكامل على كامل المتشعبم{\displaystyle M}.

تناظرات الزمكان

الزمكانم{\displaystyle M}قد تسمح بالتناظرات. على سبيل المثال، إذا كانت مزودة بمقياسز{\displaystyle \mathbf {g} }هذه هي التماثلات لـم{\displaystyle M}، مُولَّدة بواسطة حقول متجهات كيلينغ . تُشكِّل التناظرات مجموعةمؤلف(م){\displaystyle {\text{Aut}}(M)}، وهي التشاكلات الذاتية للزمكان. في هذه الحالة، ينبغي أن تتحول حقول النظرية إلى تمثيل لـمؤلف(م){\displaystyle {\text{Aut}}(M)}.

فعلى سبيل المثال، بالنسبة لفضاء مينكوفسكي، فإن التناظرات هي مجموعة بوانكاريهIso(1،3){\displaystyle {\text{Iso}}(1,3)}.

المقياس، والحزم الرئيسية، والوصلات

مجموعة كاذبةجي{\displaystyle G}يصف هذا التناظر (المستمر) لدرجات الحرية الداخلية. ويُشار إليه باسم مجموعة القياس . ويُرمز إلى جبر لي المقابل من خلال تناظر مجموعة لي-جبر لي بـز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}.

مدير​جي{\displaystyle G}-باقةP{\displaystyle P}أو ما يُعرف باسمجي{\displaystyle G}-torsor. تُكتب هذه العبارة أحيانًا على النحو التالي:

P→πم{\displaystyle P\xrightarrow {\pi } M}

أينπ{\displaystyle \pi }هي خريطة الإسقاط المتعارف عليها علىP{\displaystyle P}وم{\displaystyle M}هو مشعب القاعدة.

الوصلات ومجالات القياس

هنا نعتبر الاتصال اتصالاً رئيسياً . في نظرية الحقول، يُنظر إلى هذا الاتصال أيضاً على أنه مشتق متغاير.∇{\displaystyle \nabla }سيتم تحديد دوره في مختلف المجالات لاحقاً.

يُشار إلى اتصال رئيسيأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}هوز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}الشكل 1 ذو القيم على P الذي يفي بالشروط التقنية لـ "الإسقاط" و "التكافؤ الأيمن": التفاصيل موجودة في مقالة الاتصال الرئيسية.

في حالة التبسيط، يمكن كتابة هذا كحقل قياس محليأμ(x){\displaystyle A_{\mu }(x)}، أز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}شكل أحادي القيمة على رقعة تبسيطيو⊂م{\displaystyle U\subset M}هذا الشكل المحلي للاتصال هو ما يُعرف بحقول القياس في الفيزياء. عندما يكون التشعب الأساسيم{\displaystyle M}إذا كان التصميم مسطحاً، فهناك تبسيطات تزيل هذا التعقيد.

حزم المتجهات المرتبطة ومحتوى المادة

حزمة متجهات مرتبطةهـ→πم{\displaystyle E\xrightarrow {\pi } M}مرتبط بالحزمة الرئيسيةP{\displaystyle P}من خلال التمثيلρ.{\displaystyle \rho .}

ولإتمام الصورة، بالنظر إلى التمثيل(V،جي،ρ){\displaystyle (V,G,\rho )}أليافهـ{\displaystyle E}يكونV{\displaystyle V}.

الحقل أو حقل المادة هو جزء من حزمة متجهة مرتبطة. ومجموعة هذه الحقول، بالإضافة إلى حقول القياس، تشكل محتوى المادة في النظرية .

لاغرانجيان

لاغرانجي​ل{\displaystyle L}: بالنظر إلى حزمة أليافهـ′→πم{\displaystyle E'\xrightarrow {\pi } M}، دالة لاغرانج هي دالةل:هـ′→R{\displaystyle L:E'\rightarrow \mathbb {R} }.

لنفترض أن محتوى المادة يتم تحديده بواسطة أقسام منهـ{\displaystyle E}مع الأليافV{\displaystyle V}من الأعلى. ثم على سبيل المثال، وبشكل أكثر تحديدًا، يمكننا أن ننظر فيهـ′{\displaystyle E'}أن تكون حزمة حيث الألياف فيص{\displaystyle p}يكونV⊗تيص*م{\displaystyle V\otimes T_{p}^{*}M}وهذا يسمح بعد ذلكل{\displaystyle L}أن يُنظر إليه على أنه وظيفة من وظائف المجال.

وبهذا تكتمل المتطلبات الرياضية لعدد كبير من النظريات المثيرة للاهتمام، بما في ذلك تلك الواردة في قسم الأمثلة أعلاه.

نظريات حول الزمكان المسطح

عندما يكون مشعب القاعدةم{\displaystyle M}إذا كان الفضاء مسطحًا، أي ( شبه ) إقليدي ، فهناك العديد من التبسيطات المفيدة التي تجعل التعامل مع النظريات أقل صعوبة من الناحية المفاهيمية.

تأتي التبسيطات من ملاحظة أن الزمكان المسطح قابل للانكماش: ومن ثم، تُعتبر نظرية في الطوبولوجيا الجبرية أن أي حزمة ليفية فوق فضاء مسطحم{\displaystyle M}أمر تافه.

وعلى وجه الخصوص، يتيح لنا هذا اختيار تبسيط عالمي لـP{\displaystyle P}وبالتالي تحديد الاتصال عالميًا كحقل قياسأμ.{\displaystyle A_{\mu }.}

علاوة على ذلك، هناك صلة تافهةأ0،μ{\displaystyle A_{0,\mu }}مما يسمح لنا بتحديد حزم المتجهات المرتبطة على النحو التالي:هـ=م×V{\displaystyle E=M\times V}وعندها لن نحتاج إلى النظر إلى الحقول كأقسام، بل كوظائف فقط.م→V{\displaystyle M\rightarrow V}بمعنى آخر، تكون حزم المتجهات عند نقاط مختلفة قابلة للمقارنة. إضافةً إلى ذلك، بالنسبة للزمكان المسطح، فإن اتصال ليفي-تشيفيتا هو الاتصال التافه على حزمة الإطار .

عندئذٍ، يكون المشتق المتغير مع الزمكان على حقول الموتر أو حقول موتر الدوران هو ببساطة المشتق الجزئي في الإحداثيات المسطحة. ومع ذلك، قد يتطلب المشتق المتغير مع القياس اتصالًا غير بديهي.أμ{\displaystyle A_{\mu }}والذي يعتبر بمثابة حقل القياس للنظرية.

الدقة كنموذج مادي

في حالة الانحناء الجاذبي الضعيف، غالبًا ما يُعتبر الزمكان المسطح تقريبًا جيدًا للزمكان المنحني بشكل طفيف. وهذا التقريب مناسب للتجارب. يُعرَّف النموذج القياسي على أساس الزمكان المسطح، وقد أنتج أدق الاختبارات الفيزيائية حتى الآن.

انظر أيضاً

مراجع

  • ساوندرز، دي جيه، "هندسة حزم النفاثات"، مطبعة جامعة كامبريدج، 1989، رقم ISBN 0-521-36948-7
  • بوتشاروف، أ. ف. [وآخرون] "التناظرات وقوانين الحفظ للمعادلات التفاضلية في الفيزياء الرياضية"، الجمعية الأمريكية للرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند، 1999، رقم ISBN 0-8218-0958-X
  • دي ليون، م.، رودريغز، ب. ر.، "الميكانيكا الكلاسيكية المعممة ونظرية المجال"، دار نشر إلسيفير للعلوم، 1985، رقم ISBN 0-444-87753-3
  • غريفيث، ب. أ.، "أنظمة المعادلات التفاضلية الخارجية وحساب التفاضل والتكامل"، بوسطن: بيركهاوزر، 1983، رقم ISBN 3-7643-3103-8
  • جوتاي، إم جيه، إيزنبرغ، جيه، مارسدن، جيه إي، مونتغمري، آر، خرائط الزخم والحقول الكلاسيكية الجزء الأول: نظرية الحقل المتغير ، نوفمبر 2003 arXiv : physics/9801019
  • إتشيفيريا-إنريكيز، أ.، مونوز-ليكاندا، م.س.، رومان-روي، م.، هندسة نظريات الحقول الكلاسيكية من الرتبة الأولى لاغرانجية ، مايو 1995 arXiv : dg-ga/9505004
  • جياكيتا، جي.، مانجياروتي، إل.، سارداناشفيلي، جي. ، "نظرية الحقول الكلاسيكية المتقدمة"، وورلد ساينتيفيك، 2009، ISBN 978-981-283-895-7( arXiv : 0811.0331 )