الصياغة المتغيرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية

يمكن استخدام موترات لورنتز من الأنواع التالية في هذه المقالة لوصف الأجسام أو الجسيمات:

• إزاحة رباعية :$${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.}$$
• السرعة الرباعية :$${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),}$$حيث γ ( u ) هو عامل لورنتز عند السرعة الثلاثية u .
• الزخم الرباعي :$${\displaystyle p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }}$$أين${\displaystyle \mathbf {p} }$الزخم الثلاثي،${\displaystyle E}$هي الطاقة الكلية ، و${\displaystyle m_{0}}$كتلة السكون .
• التدرج الرباعي :$${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$$
• يُرمز إلى عامل دالمبير بـ${\displaystyle {\partial }^{2}}$،$${\displaystyle \partial ^{2}=\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}.}$$

تعتمد الإشارات في تحليل الموترات التالي على الاصطلاح المستخدم لموتر القياس . الاصطلاح المستخدم هنا هو (+ − − −) ، وهو ما يتوافق مع موتر القياس مينكوفسكي . $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

الموتر الكهرومغناطيسي هو مزيج من المجالين الكهربائي والمغناطيسي في موتر متغاير مضاد للتناظر، وتكون عناصره كميات المجال المغناطيسي . ^{[ 1 ]}$${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{ y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$ ونتيجة رفع مؤشراتها هي $${\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{ y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,,}$$ حيث E هو المجال الكهربائي ، وB هو المجال المغناطيسي ، و c هي سرعة الضوء .

التيار الرباعي هو المتجه الرباعي المتغاير الذي يجمع بين كثافة الشحنة الكهربائية ρ وكثافة التيار الكهربائي j : $${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.}$$

الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي هو متجه رباعي متغاير يحتوي على الجهد الكهربائي (يسمى أيضًا الجهد القياسي ) ϕ والجهد المغناطيسي المتجه (أو الجهد المتجه ) A ، كما يلي: $${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.}$$

تفاضل الجهد الكهرومغناطيسي هو $${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.}$$

بلغة الأشكال التفاضلية ، التي توفر التعميم على الزمكانات المنحنية، هذه هي مكونات شكل تفاضلي من الدرجة الأولى.${\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }}$ونموذج 2${\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$على التوالي. هنا،${\displaystyle d}$هو المشتق الخارجي و${\displaystyle \wedge }$حاصل ضرب الإسفين .

يمكن تفسير موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي على أنه كثافة التدفق لمتجه الزخم الرباعي، وهو موتر متناظر متغاير يمثل مساهمة المجالات الكهرومغناطيسية في موتر الإجهاد والطاقة الكلي : $${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}$$ أين${\displaystyle \varepsilon _{0}}$_ε₀ هي السماحية الكهربائية للفراغ ، وμ₀ هي النفاذية المغناطيسية للفراغ ، ومتجه بوينتينغ هو $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$ويُعطى موتر إجهاد ماكسويل بالعلاقة التالية$$// _ {إي}\،.}$$

يقوم موتر المجال الكهرومغناطيسي F بإنشاء موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي T من خلال المعادلة: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\beta \gamma }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$$ حيث η هو موتر مينكوفسكي المتري (ذي الإشارة (+ − − −) ). لاحظ أننا نستخدم حقيقة أن $${\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,}$$ وهو ما تتنبأ به معادلات ماكسويل.

هناك طريقة أخرى للتعبير المتغير لموتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي، والتي قد تكون أبسط لأنها لا تتضمن مؤشرات متغيرة ومتضادة، وهي هذه الطريقة: $${\displaystyle T=-{\frac {1}{\mu _{0}}}(F*\eta *F'-{\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (F*\eta *F'*\eta ))}$$ حيث F' هو الموتر الكهرومغناطيسي المنقول أو ما يعادله -F وتشير العلامة النجمية إلى ضرب المصفوفات.

شرط لورنتز هو شرط قياس ثابت تحت تأثير لورنتز. (ويمكن مقارنة ذلك بشروط قياس أخرى مثل شرط كولوم ، الذي إذا تحقق في إطار مرجعي قصوري واحد ، فإنه لا يتحقق عمومًا في أي إطار مرجعي آخر). ويُعبَّر عنه بدلالة الجهد الرباعي كما يلي: $${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$$

في مقياس لورنز، يمكن كتابة معادلات ماكسويل المجهرية على النحو التالي: $${\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.}$$

تؤثر المجالات الكهرومغناطيسية على حركة المادة المشحونة كهربائيًا ، وذلك بفعل قوة لورنتز . وبهذه الطريقة، يمكن رصد المجالات الكهرومغناطيسية (مع تطبيقات في فيزياء الجسيمات ، وظواهر طبيعية مثل الشفق القطبي ). في الصيغة النسبية، تستخدم قوة لورنتز موتر شدة المجال كما يلي. ^{[ 4 ]}

ويمكن التعبير عنها بدلالة الزمن الإحداثي t ، وهي كالتالي: $${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},}$$ حيث p _α هو الزخم الرباعي، وq هي الشحنة ، و x ^β هو الموضع.

وبصيغة مستقلة عن الإطار المرجعي، نحصل على القوى الأربع $${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },}$$ حيث u ^β هي السرعة الرباعية، و τ هو الزمن الخاص بالجسيم ، والذي يرتبط بزمن الإحداثيات بواسطة dt = γdτ .

كثافة القوة الناتجة عن الكهرومغناطيسية، والتي يمثل الجزء المكاني منها قوة لورنتز، تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.}$$ ويرتبط بموتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي من خلال $${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$$

معادلة الاستمرارية : $${\displaystyle {J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.}$$ يعبّر عن حفظ الشحنة .

باستخدام معادلات ماكسويل، يمكن للمرء أن يرى أن موتر الإجهاد والطاقة الكهرومغناطيسي (المُعرَّف أعلاه) يُحقق المعادلة التفاضلية التالية، التي تربطه بالموتر الكهرومغناطيسي ومتجه التيار الرباعي. $${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$$ أو $${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$$ والتي تعبر عن حفظ الزخم الخطي والطاقة من خلال التفاعلات الكهرومغناطيسية.

لحل معادلات الكهرومغناطيسية الواردة هنا، من الضروري إضافة معلومات حول كيفية حساب التيار الكهربائي، J ^ν . في كثير من الأحيان، يكون من الملائم فصل التيار إلى جزأين، التيار الحر والتيار المقيد، واللذان يتم تمثيلهما بمعادلات مختلفة؛ $${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}&={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}\\[0.5ex]&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\[1.5ex]{J^{\nu }}_{\text{bound}}&={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}\\[0.5ex]&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

تم استخدام معادلات ماكسويل الماكروسكوبية ، بالإضافة إلى تعريفات الإزاحة الكهربائية D والشدة المغناطيسية H : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}}$$ حيث M هي المغنطة و P هي الاستقطاب الكهربائي .

يتم اشتقاق التيار المقيد من المجالين P و M اللذين يشكلان موتر استقطاب مغناطيسي متغاير مضاد ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$$ والذي يحدد التيار المقيد $${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$$

إذا تم دمج هذا مع F ^μν، فسنحصل على موتر الإزاحة الكهرومغناطيسية المتغايرة المضادة للتناظر والذي يجمع بين المجالين D و H على النحو التالي: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$$

ترتبط موترات المجال الثلاثة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$$ وهو ما يعادل تعريفات المجالين D و H المذكورة أعلاه.

تتكون كثافة لاغرانج للديناميكا الكهربائية الكلاسيكية من عنصرين: عنصر المجال وعنصر المصدر: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$$

المصطلح الخالي من المصدر${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{field}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }}$هو لاغرانجيان ماكسويل. في حد التفاعل${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}=-A_{\alpha }J^{\alpha }}$التيار الرباعي${\displaystyle J^{\alpha }}$ينبغي فهمها على أنها اختصار للعديد من المصطلحات التي تعبر عن التيارات الكهربائية للحقول المشحونة الأخرى من حيث متغيراتها؛ التيار الرباعي ليس حقلاً أساسياً في حد ذاته.

معادلات لاغرانج لكثافة لاغرانج الكهرومغناطيسية${\displaystyle {\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}}$ويمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$$

ملاحظة $${\displaystyle {\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}}$$ التعبير الموجود داخل القوسين المربعين هو $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$$

المصطلح الثاني هو $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$$

لذلك، فإن معادلات حركة المجال الكهرومغناطيسي هي $${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$$ وهي معادلة جاوس-أمبير المذكورة أعلاه.

وبفصل التيارات الحرة عن التيارات المقيدة، فإن طريقة أخرى لكتابة كثافة لاغرانج هي كما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$$

باستخدام معادلة لاغرانج، معادلات الحركة لـ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$يمكن استخلاصها.

التعبير المكافئ في تدوين المتجهات هو: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$$