الفضاء المتجانس الرئيسي

في الرياضيات ، ^{يُعرَّف} الفضاء المتجانس الرئيسي [ ^{1 ]} أو التورسور ، لمجموعة G ، بأنه فضاء متجانس X لمجموعة G يكون فيه الزمرة الجزئية المثبتة لكل نقطة تافهة. وبصورة مكافئة، يُعرَّف الفضاء المتجانس الرئيسي لمجموعة G بأنه مجموعة غير فارغة X تؤثر عليها G بحرية وبشكل متعدٍ (بمعنى أنه لأي x و y في X ، يوجد g وحيد في G بحيث يكون x · g = y ، حيث يرمز · إلى التأثير (الأيمن) لـ G على X ). وينطبق تعريف مماثل في فئات أخرى ، حيث، على سبيل المثال،

• G هي مجموعة طوبولوجية ، وX هي فضاء طوبولوجي ، والفعل متصل .
• G هي زمرة لي ، و X هي فضاء متعدد الشعب أملس ، والفعل أملس .
• G هي مجموعة جبرية ، و X هي مجموعة جبرية متنوعة ، والعملية منتظمة .

إذا كانت G غير تبديلية، فيجب التمييز بين العوامات اليسرى واليمنى وفقًا لموقع الفعل، سواءً كان على اليسار أو اليمين. في هذه المقالة، سنستخدم العوامات اليمنى.

لتوضيح التعريف بشكل أكثر دقة، يكون X فضاءً متجانسًا من النوع G -torsor أو G -principal إذا كان X غير فارغ ومزودًا بتطبيق (في الفئة المناسبة) X × G → X بحيث

س × ١ = س

x ·( gh ) = ( x · g )· h

لكل x ∈ X ولكل g و h ∈ G ، بحيث تكون الدالة X × G → X × X معطاة بواسطة

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

هو تماثل (للمجموعات، أو الفضاءات الطوبولوجية أو ...، حسب الاقتضاء، أي في الفئة المعنية).

لاحظ أن هذا يعني أن X و G متماثلتان (في الفئة المعنية؛ وليس كمجموعتين: انظر ما يلي). مع ذلك - وهذه هي النقطة الأساسية - لا توجد نقطة "محايدة" مفضلة في X. أي أن X تبدو تمامًا مثل G باستثناء أن النقطة المحايدة قد تم تجاهلها. (يُستخدم هذا المفهوم غالبًا في الرياضيات كوسيلة للانتقال إلى وجهة نظر أكثر جوهرية، تحت عنوان "تجاهل الأصل").

بما أن X ليست زمرة، فلا يمكننا ضرب العناصر؛ ولكن يمكننا أخذ "خارج قسمتها". أي أن هناك تطبيقًا X × X → G يرسل ( x , y ) إلى العنصر الوحيد g = x \ y ∈ G بحيث يكون y = x · g .

ومع ذلك، فإن تركيب العملية الأخيرة مع فعل المجموعة اليمنى ينتج عنه عملية ثلاثية X × ( X × X ) → X ، والتي تعمل كتعميم أفيني لضرب المجموعة، وهي كافية لتوصيف الفضاء المتجانس الرئيسي جبريًا وتوصيف المجموعة المرتبطة به جوهريًا. إذا رمزنا${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$نتيجة هذه العملية الثلاثية، تكون المتطابقات التالية

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

يكفي ذلك لتحديد فضاء متجانس رئيسي، بينما الخاصية الإضافية

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

يُحدد هذا المفهوم المساحات المرتبطة بالمجموعات الأبيلية. ويمكن تعريف المجموعة على أنها ناتج قسمة رسمي.${\displaystyle x\backslash y}$رهناً بعلاقة التكافؤ

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$،

مع تعريف حاصل الضرب الجماعي، والعنصر المحايد، والمعكوس، على التوالي، بواسطة

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$،

${\displaystyle e=x\backslash x}$،

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

والعمل الجماعي من قبل

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

يمكن اعتبار كل مجموعة G بحد ذاتها بمثابة مجموعة G يسارية أو يمينية تحت التأثير الطبيعي للضرب اليساري أو اليميني.

مثال آخر هو مفهوم الفضاء الأفيني : يمكن التعبير عن فكرة الفضاء الأفيني A الذي يكمن وراء الفضاء المتجهي V بإيجاز من خلال القول بأن A هو فضاء متجانس رئيسي لـ V يعمل كمجموعة إضافية من الإزاحات.

تشكل أعلام أي متعدد السطوح منتظم مجموعة تناظر خاصة به.

بفرض فضاء متجهي V، يمكننا اعتبار G الزمرة الخطية العامة GL( V )، و X مجموعة جميع القواعد (المرتبة) لـ V. عندئذٍ، تؤثر G على X بنفس طريقة تأثيرها على متجهات V ؛ وتؤثر بشكل متعدٍّ، إذ يمكن تحويل أي قاعدة عبر G إلى أي قاعدة أخرى. علاوة على ذلك، فإن أي تحويل خطي يُثبّت كل متجه من قاعدة ما سيُثبّت جميع المتجهات v في V ، وبالتالي سيكون العنصر المحايد للزمرة الخطية العامة GL( V )  : لذا فإن X هو بالفعل فضاء متجانس رئيسي . إحدى طرق تتبع اعتماد القاعدة في حجة الجبر الخطي هي تتبع المتغيرات x في X. وبالمثل، فإن فضاء القواعد المتعامدة ( مشعب ستيفل)${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$(من n إطار ) هو فضاء متجانس رئيسي للمجموعة المتعامدة .

في نظرية الفئات ، إذا كان الكائنان X و Y متماثلين، فإن التشاكلات بينهما، Iso( X , Y )، تشكل مجموعة torsor لمجموعة التماثل الذاتي لـ X ، Aut( X )، وكذلك بالنسبة لـ Aut( Y )؛ يؤدي اختيار التشاكل بين الكائنين إلى تماثل بين هذه المجموعات ويحدد مجموعة torsor مع هاتين المجموعتين، مما يعطي مجموعة torsor بنية مجموعة (حيث أصبح لها الآن نقطة أساسية ).

يُعد مفهوم الفضاء المتجانس الرئيسي حالة خاصة من مفهوم الحزمة الرئيسية ، إذ يعني حزمة رئيسية أساسها نقطة واحدة. بعبارة أخرى، تُعرَّف النظرية المحلية للحزم الرئيسية بأنها عائلة من الفضاءات المتجانسة الرئيسية التي تعتمد على بعض المعاملات في الأساس. يمكن تحديد "الأصل" من خلال مقطع من الحزمة - وعادةً ما يُفترض وجود هذه المقاطع محليًا على الأساس - حيث تكون الحزمة تافهة محليًا ، وبالتالي يكون البناء المحلي هو بناء حاصل الضرب الديكارتي . لكن المقاطع غالبًا لا توجد على المستوى الكلي. على سبيل المثال ، يمتلك مشعب تفاضلي M حزمة رئيسية من الإطارات مرتبطة بحزمة المماس الخاصة به . يوجد مقطع كلي (بحسب التعريف) فقط عندما يكون M قابلاً للتوازي ، مما يستلزم قيودًا طوبولوجية صارمة.

في نظرية الأعداد، ثمة سبب (يختلف ظاهريًا) للنظر في الفضاءات المتجانسة الرئيسية، وذلك بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية E المعرفة على حقل K ( وأصناف أبيلية أكثر عمومية ). وبمجرد فهم هذا، جُمعت أمثلة أخرى متنوعة تحت عنوان " مجموعات جبرية أخرى ": الأشكال التربيعية للمجموعات المتعامدة ، وأصناف سيفيري-براور للمجموعات الخطية الإسقاطية التي يكون عددها اثنين.

يكمن سبب الاهتمام بالمعادلات الديوفانتية ، في حالة المنحنيات الإهليلجية، في أن K قد لا يكون مغلقًا جبريًا . يمكن أن توجد منحنيات C ليس لها نقطة معرفة على K ، وتصبح متماثلة على حقل أكبر مع E ، الذي يمتلك، بحكم تعريفه، نقطة على K لتكون بمثابة عنصر محايد لقانون الجمع الخاص به. أي، في هذه الحالة، يجب أن نميز بين C التي لها جنس 1، والمنحنيات الإهليلجية E التي لها نقطة K (أو، بعبارة أخرى، التي توفر معادلة ديوفانتية لها حل في K ). تُصبح المنحنيات C عناصر حلقية على E ، وتشكل مجموعة ذات بنية غنية في حالة كون K حقلًا عدديًا (نظرية زمرة سيلمر ). في الواقع ، لا يوجد سبب محدد لوجود نقطة نسبية في منحنى مكعب مستوٍ نموذجي C على Q ؛ بينما يمتلك نموذج فايرشتراس القياسي دائمًا نقطة نسبية، وهي النقطة عند اللانهاية، ولكنك تحتاج إلى نقطة على K لوضع C في هذا الشكل على K.

طُوِّرت هذه النظرية مع إيلاء اهتمام كبير للتحليل المحلي ، مما أدى إلى تعريف زمرة تيت-شافاريفيتش . وبشكل عام، يُعدّ نهج أخذ نظرية التورسور، السهلة على حقل مغلق جبريًا ، ومحاولة العودة إلى حقل أصغر، جانبًا من جوانب الانحدار . ويؤدي ذلك مباشرةً إلى مسائل في علم التماثل لغالوا ، لأن التورسورات تُمثّل فئات في علم التماثل للزمر H1 ^.

يمكن أيضًا تعميم مفهوم الفضاء المتجانس الرئيسي على النحو التالي. ليكن X "فضاءً" ( مخططًا / متعدد الشعب / فضاءً طوبولوجيًا، إلخ)، وليكن G زمرةً فوق X ، أي كائن زمرة في فئة الفضاءات فوق X. في هذه الحالة، يكون الزمرة E (اليمنى، لنقل G ) على X فضاءً E (من النوع نفسه) فوق X مع فعل G (اليمنى) بحيث يكون التشكل

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

مقدم من

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

هو تماثل في الفئة المناسبة ، بحيث يكون E تافهًا محليًا على X ، حيث أن E → X يكتسب مقطعًا محليًا على X. تتوافق فئات التماثل للتورسورات بهذا المعنى مع الفئات في مجموعة التماثل H ¹ ( X , G ).

عندما نكون في فئة المتشعبات الملساء ، فإن G -torsor (لـ G مجموعة لي ) هو بالضبط حزمة G الرئيسية كما هو محدد أعلاه.

مثال: إذا كانت G زمرة لي متراصة (على سبيل المثال)، فإن${\displaystyle EG}$هو G -torsor فوق فضاء التصنيف${\displaystyle BG}$.

• فضاء متجانس
• الكومة (الرياضيات)

• غاريبالدي، سكيب ؛ ميركورجيف، ألكسندر ؛ سير، جان بيير (2003). الثوابت الكوهومولوجية في كوهومولوجيا غالوا . سلسلة محاضرات جامعية. المجلد  28. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 . 
• سكوروبوغاتوف، أ. (2001). التورسورات والنقاط العقلانية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد  144. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-80237-7. Zbl 0972.14015 . 

• تبسيط التورسور بواسطة جون بايز