العدد السالب

في الرياضيات ، العدد السالب هو معكوس العدد الحقيقي الموجب . ^{[ 1 ]} وبصورة مكافئة، العدد السالب هو عدد حقيقي أقل من الصفر . تُستخدم الأعداد السالبة غالبًا لتمثيل حجم الخسارة أو النقص. يمكن اعتبار الدين المستحق أصلًا سالبًا. إذا كان لكمية ما، مثل شحنة الإلكترون، معنيان متعاكسان، فيمكن التمييز بين هذين المعنيين - ربما بشكل اعتباطي - على أنهما موجب وسالب . تُستخدم الأعداد السالبة لوصف القيم على مقياس يقل عن الصفر، مثل مقياسي سيليزيوس وفهرنهايت لدرجة الحرارة. تضمن قوانين الحساب للأعداد السالبة أن ينعكس مفهوم المعكوس البديهي في العمليات الحسابية. على سبيل المثال، −( − 3) = 3 لأن معكوس المعكوس هو القيمة الأصلية.

تُكتب الأعداد السالبة عادةً بعلامة ناقص (-) قبلها. على سبيل المثال، يُمثل العدد -3 كمية سالبة مقدارها ثلاثة، ويُنطق ويُقرأ "ناقص ثلاثة". في المقابل، يُسمى العدد الأكبر من الصفر موجبًا ؛ أما الصفر فيُعتبر عادةً ( ولكن ليس دائمًا ) لا موجبًا ولا سالبًا . ^{[ 2 ]} يمكن التأكيد على إيجابية العدد بوضع علامة زائد (+) قبله، مثل +3. وبشكل عام، يُشار إلى سلبية أو إيجابية العدد بعلامته .

كل عدد حقيقي عدا الصفر يكون إما موجباً أو سالباً. تُسمى الأعداد الصحيحة غير السالبة بالأعداد الطبيعية (أي 0، 1، 2، 3، ...)، بينما تُسمى الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة (مع الصفر) بالأعداد الصحيحة . (بعض تعريفات الأعداد الطبيعية تستثني الصفر).

في مجال المحاسبة ، غالباً ما يتم تمثيل المبالغ المستحقة بأرقام حمراء، أو برقم بين قوسين، كتدوين بديل لتمثيل الأرقام السالبة.

استُخدمت الأعداد السالبة في كتاب " الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، الذي يعود تاريخه بشكله الحالي إلى عهد أسرة هان الصينية (202 ق.م. - 220 م)، ولكنه قد يحتوي على مواد أقدم بكثير. ^{[ 3 ]} وضع ليو هوي (حوالي القرن الثالث الميلادي) قواعد لجمع وطرح الأعداد السالبة. ^{[ 4 ]} وبحلول القرن السابع الميلادي، كان علماء الرياضيات الهنود، مثل براهماغوبتا، يصفون استخدام الأعداد السالبة. كما طوّر علماء الرياضيات المسلمون قواعد طرح وضرب الأعداد السالبة، وحلّوا مسائل ذات معاملات سالبة . ^{[ 5 ]} قبل ظهور مفهوم الأعداد السالبة، اعتبر علماء رياضيات مثل ديوفانتوس الحلول السالبة للمسائل "خاطئة"، ووُصفت المعادلات التي تتطلب حلولًا سالبة بأنها عبثية. ^{[ 6 ]} بينما رأى علماء رياضيات غربيون، مثل لايبنتز، أن الأعداد السالبة غير صالحة، لكنهم مع ذلك استخدموها في الحسابات. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

مقدمة

خط الأعداد

غالباً ما يتم التعبير عن العلاقة بين الأعداد السالبة والأعداد الموجبة والصفر في شكل خط الأعداد :

خط الأعداد

الأرقام التي تظهر في أقصى اليمين على هذا السطر أكبر، بينما الأرقام التي تظهر في أقصى اليسار أصغر. لذا يظهر الصفر في المنتصف، مع وجود الأرقام الموجبة على اليمين والأرقام السالبة على اليسار.

لاحظ أن العدد السالب ذو القيمة المطلقة الأكبر يُعتبر أصغر. على سبيل المثال، على الرغم من أن $8$ (موجب) أكبر من $5$ (موجب) ، إلا أنه يُكتب

8 > 5

يُعتبر العدد $-8 أقل من العدد$ $-5$ :

-8 < -5.

الأرقام الموقعة

في سياق الأعداد السالبة، يُشار إلى أي عدد أكبر من الصفر بأنه موجب . لذا، فإن كل عدد حقيقي عدا الصفر إما موجب أو سالب، بينما لا يُعتبر الصفر نفسه ذا إشارة. تُكتب الأعداد الموجبة أحيانًا بعلامة زائد (+) في بدايتها، على سبيل المثال، $+3$ تعني العدد ثلاثة الموجب.

لأن الصفر ليس موجباً ولا سالباً، يُستخدم مصطلح "غير سالب" أحياناً للإشارة إلى عدد إما موجب أو صفر، بينما يُستخدم مصطلح "غير موجب" للإشارة إلى عدد إما سالب أو صفر. الصفر عدد محايد.

نتيجةً لعملية الطرح

يمكن اعتبار الأعداد السالبة ناتجة عن طرح عدد أكبر من عدد أصغر. على سبيل المثال، سالب ثلاثة هو نتيجة طرح ثلاثة من صفر.

0 - 3 = -3.

بشكل عام، ينتج عن طرح عدد أكبر من عدد أصغر نتيجة سالبة، ويكون مقدار هذه النتيجة هو الفرق بين العددين. على سبيل المثال،

5 - 8 = -3

بما أن $8 - 5 = 3$ .

الاستخدامات اليومية للأعداد السالبة

رياضة

نتائج سلبية في لعبة الجولف مقارنة بالمعيار.

فارق الأهداف في كرة القدم والهوكي ؛ فارق النقاط في لعبة الرغبي ؛ معدل الجري الصافي في لعبة الكريكيت ؛ نتائج الجولف بالنسبة إلى المعدل القياسي .
الفرق بين الأهداف المسجلة والمستقبلة في لعبة هوكي الجليد : يُعرف هذا الفرق بتقييم اللاعب (+/-)، وهو الفرق بين إجمالي الأهداف المسجلة للفريق (+) والأهداف المسجلة ضده (-) عندما يكون لاعب معين على الجليد. ويمكن أن يكون تقييم اللاعب (+/-) سالباً.
فارق الأشواط في لعبة البيسبول : يكون فارق الأشواط سالباً إذا سمح الفريق بتسجيل أشواط أكثر مما سجله.
قد تُخصم نقاط من الأندية بسبب مخالفة القوانين، وبالتالي يكون مجموع نقاطها سالباً حتى تحصل على هذا العدد من النقاط على الأقل في ذلك الموسم. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
قد تُعطى أوقات اللفات (أو القطاعات) في سباقات الفورمولا 1 على أنها الفرق مقارنةً بلفة (أو قطاع) سابقة (مثل الرقم القياسي السابق، أو اللفة التي أكملها سائق في المقدمة)، وستكون موجبة إذا كانت أبطأ وسالبة إذا كانت أسرع. ^{[ 11 ]}
في بعض فعاليات ألعاب القوى ، مثل سباقات السرعة ، وسباق الحواجز ، والوثب الثلاثي ، والوثب الطويل ، يتم قياس تأثير الرياح وتسجيله، ^{[ 12 ]} ويكون موجباً في حالة الرياح الخلفية وسالباً في حالة الرياح المعاكسة. ^{[ 13 ]}

علوم

درجات الحرارة التي تقل عن 0 درجة مئوية أو 0 درجة فهرنهايت. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}
خطوط العرض جنوب خط الاستواء وخطوط الطول غرب خط غرينتش .
يتم إعطاء السمات الطبوغرافية لسطح الأرض ارتفاعًا فوق مستوى سطح البحر ، والذي يمكن أن يكون سالبًا (على سبيل المثال، ارتفاع سطح البحر الميت أو وادي الموت ، أو ارتفاع نفق نهر التايمز ).
الدوائر الكهربائية . عند توصيل بطارية بقطبية معكوسة، يُقال إن الجهد المطبق عليها يكون معاكساً لجهدها المقنن. على سبيل المثال، بطارية 6 فولت موصولة بشكل عكسي تُطبق جهدًا مقداره -6 فولت.
الأيونات لها شحنة كهربائية موجبة أو سالبة.

تمويل

قد تتضمن البيانات المالية أرصدة سالبة، يُشار إليها إما بعلامة ناقص أو بوضع الرصيد بين قوسين. ^{[ 16 ]} ومن الأمثلة على ذلك السحب على المكشوف من الحسابات المصرفية وخسائر الأعمال ( الأرباح السالبة ).
قد يكون معدل النمو السنوي في الناتج المحلي الإجمالي لبلد ما سلبياً، وهو أحد مؤشرات الركود الاقتصادي . ^{[ 17 ]}
في بعض الأحيان، قد يكون معدل التضخم سالباً ( انكماش )، مما يشير إلى انخفاض في متوسط الأسعار. ^{[ 18 ]}
التغير اليومي في سعر السهم أو مؤشر سوق الأسهم ، مثل مؤشر فوتسي 100 أو مؤشر داو جونز .
الرقم السالب في التمويل مرادف لـ "الدين" و "العجز" والمعروف أيضًا باسم "الوقوع في المنطقة الحمراء".
يمكن أن تكون أسعار الفائدة سلبية، ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} عندما يتم فرض رسوم على المُقرض لإيداع أمواله.

آخر

ترقيم الطوابق في المبنى أسفل الطابق الأرضي.
عند تشغيل ملف صوتي على مشغل وسائط محمول ، مثل جهاز iPod ، قد تعرض شاشة العرض الوقت المتبقي كرقم سالب، والذي يزداد حتى يصل إلى الصفر بنفس معدل زيادة الوقت الذي تم تشغيله بالفعل من الصفر.
برامج المسابقات التلفزيونية :
- غالباً ما يحصل المشاركون في برنامج QI على نقاط سلبية.
- تحصل الفرق في برنامج "تحدي الجامعات" على درجة سلبية إذا كانت إجاباتها الأولى غير صحيحة وتسببت في مقاطعة السؤال.
- برنامج Jeopardy! لديه نقاط مالية سلبية - يلعب المتسابقون على مبلغ من المال وأي إجابة خاطئة تكلفهم أكثر مما لديهم الآن يمكن أن تؤدي إلى نقاط سلبية.
- في لعبة التسعير " اشتر أو بِع" في برنامج " السعر مناسب" ، إذا خسرت مبلغًا من المال يزيد عن المبلغ الموجود حاليًا في البنك، فإنه يتسبب في تسجيل نتيجة سلبية.
يُعرف التغير في الدعم لحزب سياسي بين الانتخابات باسم التأرجح .
نسبة تأييد السياسي . ^{[ 22 ]}
في ألعاب الفيديو ، يشير الرقم السالب إلى فقدان الأرواح أو الضرر أو عقوبة النقاط أو استهلاك مورد، وذلك حسب نوع المحاكاة.
قد يُسجّل للموظفين ذوي ساعات العمل المرنة رصيدًا سالبًا في سجلات دوامهم إذا عملوا ساعات إجمالية أقل من الساعات المتفق عليها حتى تلك اللحظة. كما قد يُسمح للموظفين بأخذ إجازات سنوية تتجاوز رصيد إجازاتهم المستحقة، وترحيل الرصيد السالب إلى العام التالي.
يتم عرض النوتات الموسيقية المنقولة على لوحة المفاتيح الإلكترونية على الشاشة بأرقام موجبة للزيادة وأرقام سالبة للنقصان، على سبيل المثال "-1" لنصف نغمة لأسفل.

العمليات الحسابية التي تتضمن أعدادًا سالبة

تشير علامة الطرح "−" إلى عامل كل من عملية الطرح الثنائية (ذات المعاملين ) (كما في $y$ $-$ $z$ ) وعملية النفي الأحادية (ذات المعامل الواحد) ( كما في $-$ $x$ ، أو مرتين في $-(-$ $x$ $)$ ). وتحدث حالة خاصة من النفي الأحادي عند تطبيقه على عدد موجب، حيث تكون النتيجة عددًا سالبًا (كما في $-5$ ).

لا يؤدي غموض رمز "−" عادةً إلى غموض في التعبيرات الحسابية، لأن ترتيب العمليات يجعل لكل "−" تفسيرًا واحدًا فقط. مع ذلك، قد يُسبب ظهور رموز العمليات متجاورةً ارتباكًا وصعوبةً في فهم التعبير. يُمكن حل هذه المشكلة بوضع رمز "−" الأحادي بين قوسين مع مُعامله.

على سبيل المثال، قد يكون التعبير $7 + -5 أوضح إذا كُتب$ $7 + (-5)$ (مع أنهما يحملان المعنى نفسه تمامًا من الناحية النظرية). أما تعبير الطرح $7 - 5$ فهو تعبير مختلف لا يُمثل العمليات نفسها، ولكنه يُعطي النتيجة نفسها.

في بعض الأحيان في المدارس الابتدائية، قد يتم وضع علامة ناقص أو زائد في بداية الرقم لتمييز الأرقام السالبة والموجبة بشكل صريح كما في ^{[ 23 ].}

- 2 + - 5

يعطي

-

7

.

إضافة

تمثيل مرئي لعملية جمع الأعداد الموجبة والسالبة. تمثل الكرات الأكبر أعدادًا ذات قيمة أكبر.

جمع عددين سالبين يشبه إلى حد كبير جمع عددين موجبين. على سبيل المثال،

(-3) + (-5) = -8

.

الفكرة هي أنه يمكن دمج دينين في دين واحد ذي حجم أكبر.

عند جمع مجموعة من الأعداد الموجبة والسالبة، يمكن اعتبار الأعداد السالبة بمثابة كميات موجبة مطروحة. على سبيل المثال:

8 + (-3) = 8 - 3 = 5

و

(-2) + 7 = 7 - 2 = 5

.

في المثال الأول، يتم دمج رصيد بقيمة $8$ مع دين بقيمة $3$ ، مما ينتج عنه رصيد إجمالي قدره $5.$ إذا كان للعدد السالب قيمة أكبر، فإن النتيجة تكون سالبة.

(-8) + 3 = 3 - 8 = -5

و

2 + (-7) = 2 - 7 = -5

.

هنا يكون الرصيد الائتماني أقل من الدين، لذا فإن النتيجة النهائية هي دين.

الطرح

كما نوقش أعلاه، من الممكن أن ينتج عن طرح عددين غير سالبين إجابة سالبة:

5 - 8 = -3

بشكل عام، ينتج عن طرح عدد موجب نفس نتيجة جمع عدد سالب له نفس المقدار.

5 - 8 = 5 + (-8) = -3

و

(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

من جهة أخرى، فإن طرح عدد سالب يعطي نفس نتيجة إضافة عدد موجب من نفس القيمة. (الفكرة هي أن التخلص من دين هو نفسه الحصول على قرض).

3 - (-5) = 3 + 5 = 8

و

(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3

.

الضرب

عند ضرب الأعداد، يكون مقدار الناتج دائمًا هو حاصل ضرب مقداري العددين. وتُحدد إشارة الناتج وفقًا للقواعد التالية:

حاصل ضرب عدد موجب واحد في عدد سالب واحد هو عدد سالب.
حاصل ضرب عددين سالبين هو عدد موجب.

هكذا

(-2) \times 3 = -6

و

(-2) \times (-3) = 6

.

السبب وراء المثال الأول بسيط: جمع ثلاثة أعداد $-2$ معًا ينتج عنه $-6$ :

(-2) \times 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6

.

المنطق وراء المثال الثاني أكثر تعقيدًا. الفكرة هي أن التخلص من دين ما يُعدّ بمثابة الحصول على ائتمان. في هذه الحالة، التخلص من دينين، قيمة كل منهما ثلاثة، يُعادل الحصول على ائتمان بقيمة ستة.

(-2

ديون

) \times (-3

لكل منها

) = +6

رصيد.

إن الاتفاق على أن حاصل ضرب عددين سالبين هو عدد موجب ضروري أيضاً لكي تخضع عملية الضرب لقانون التوزيع . في هذه الحالة، نعلم أن

(-2) \times (-3) + 2 \times (-3) = (-2 + 2) \times (-3) = 0 \times (-3) = 0

.

بما أن $2 \times (-3) = -6$ ، فإن حاصل ضرب $(-2) \times (-3)$ يجب أن يساوي $6$ .

تؤدي هذه القواعد إلى قاعدة أخرى (مكافئة) - إشارة أي ناتج ضرب a × b تعتمد على إشارة a على النحو التالي:

إذا كانت قيمة a موجبة، فإن إشارة حاصل ضرب a × b هي نفسها إشارة b ، و
إذا كانت قيمة a سالبة، فإن إشارة a × b هي عكس إشارة b .

يمكن ملاحظة مبرر كون حاصل ضرب عددين سالبين عددًا موجبًا في تحليل الأعداد المركبة .

قسم

قواعد الإشارة للقسمة هي نفسها قواعد الإشارة للضرب. على سبيل المثال،

8 \div (-2) = -4

,

(-8) \div 2 = -4

,

و

(-8) \div (-2) = 4

.

إذا كان للمقسوم والمقسوم عليه نفس الإشارة، فإن النتيجة تكون موجبة، وإذا كانت لهما إشارات مختلفة فإن النتيجة تكون سالبة.

النفي

يُطلق على النسخة السالبة لعدد موجب اسم نفيه . على سبيل المثال، -3 هو نفي العدد الموجب 3. مجموع $عدد$ ونفيه $يساوي$ صفرًا .

3 + (-3) = 0

.

أي أن نفي العدد الموجب هو المعكوس الجمعي للعدد.

باستخدام الجبر ، يمكننا كتابة هذا المبدأ على شكل متطابقة جبرية :

x + (- x) = 0

.

تنطبق هذه المتطابقة على أي عدد موجب $x$ . ويمكن جعلها تنطبق على جميع الأعداد الحقيقية بتوسيع تعريف النفي ليشمل الصفر والأعداد السالبة. تحديدًا:

نفي الصفر هو صفر، و
نفي العدد السالب هو العدد الموجب المقابل له.

على سبيل المثال، نفي العدد $-3$ هو $+3$ . بشكل عام،

-(- x) = x

.

القيمة المطلقة لعدد ما هي العدد غير السالب الذي له نفس المقدار. على سبيل المثال، القيمة المطلقة للعدد $-3$ والقيمة المطلقة للعدد $3$ كلاهما يساوي $3$ ، والقيمة المطلقة للعدد $0$ هي $0$ .

البناء الرسمي للأعداد الصحيحة السالبة

وبطريقة مماثلة للأعداد النسبية ، يمكننا توسيع نطاق الأعداد الطبيعية $\mathbb {N}$ إلى الأعداد الصحيحة $\mathbb {Z}$ بتعريف الأعداد الصحيحة على أنها زوج مرتب من الأعداد الطبيعية ( أ ، ب ). يمكننا توسيع نطاق الجمع والضرب ليشمل هذه الأزواج وفقًا للقواعد التالية:

(أ ، ب) + (ج ، د) = (أ + ج ، ب + د)

(أ ، ب) \times (ج ، د) = (أ \times ج + ب \times د ، أ \times د + ب \times ج)

نُعرّف علاقة تكافؤ ~ على هذه الأزواج وفقًا للقاعدة التالية:

( أ ، ب ) ~ ( ج ، د ) إذا وفقط إذا كان أ + د = ب + ج .

تتوافق علاقة التكافؤ هذه مع عمليتي الجمع والضرب المعرفتين أعلاه، ويمكننا تعريف $\mathbb {Z}$ أن تكون مجموعة القسمة $\mathbb {N} ^{2}/\sim$ أي أننا نحدد زوجين ( أ ، ب ) و( ج ، د ) إذا كانا متكافئين بالمعنى المذكور أعلاه. لاحظ أن $\mathbb {Z}$ ، والمجهزة بعمليات الجمع والضرب هذه، هي حلقة ، وهي في الواقع المثال النموذجي للحلقة.

يمكننا أيضًا تحديد ترتيب كلي على $\mathbb {Z}$ عن طريق الكتابة

(أ ، ب) \leq (ج ، د) إذا وفقط إذا كان أ + د \leq ب + ج

.

سيؤدي هذا إلى صفر جمعي على شكل ( أ ، أ )، ومعكوس جمعي لـ ( أ ، ب ) على شكل ( ب ، أ )، ووحدة ضربية على شكل ( أ + 1، أ )، وتعريف للطرح .

(أ ، ب) - (ج ، د) = (أ + د ، ب + ج)

.

هذا البناء هو حالة خاصة من بناء غروتينديك .

رجل فريد

المعكوس الجمعي لعدد ما فريد، كما يتضح من البرهان التالي. وكما ذُكر سابقًا، يُعرَّف المعكوس الجمعي لعدد ما بأنه القيمة التي إذا أُضيفت إلى العدد نفسه تُعطي صفرًا.

ليكن x عددًا، وليكن y معكوسه الجمعي. ولنفترض أن y′ معكوس جمعي آخر لـ x . بحسب التعريف، $x+y'=0,\quad {\text{and}}\quad x+y=0.$

وبالتالي، فإن x + y′ = x + y . وباستخدام قانون الاختزال في الجمع، نجد أن y′ = y . ومن ثم، فإن y يساوي أي معكوس جمعي آخر لـ x . أي أن y هو المعكوس الجمعي الوحيد لـ x .

تاريخ

لفترة طويلة، تأخر فهم الأعداد السالبة بسبب استحالة وجود كمية سالبة من جسم مادي، على سبيل المثال "ناقص ثلاثة تفاحات"، واعتُبرت الحلول السلبية للمسائل "خاطئة".

في مصر الهلنستية ، أشار عالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس في القرن الثالث الميلادي إلى معادلة كانت مكافئة لـ $4x+20=4$ (التي لها حل سالب) في كتاب الحساب ، قائلين إن المعادلة غير منطقية. ^{[ 24 ]} لهذا السبب، تمكن علماء الهندسة اليونانيون من حل جميع أشكال المعادلة التربيعية التي تعطي جذورًا موجبة هندسيًا، بينما لم يتمكنوا من مراعاة الأشكال الأخرى. ^{[ 25 ]}

ظهرت الأعداد السالبة لأول مرة في التاريخ في كتاب " الفصول التسعة في الفن الرياضي" (九章算術، Jiǔ zhāng suàn-shù )، الذي يعود تاريخه بشكله الحالي إلى عهد أسرة هان ، ولكنه قد يحتوي على مواد أقدم بكثير. ^{[ 3 ]} وضع عالم الرياضيات ليو هوي (حوالي القرن الثالث الميلادي) قواعد لجمع وطرح الأعداد السالبة. افترض المؤرخ جان كلود مارتزلوف أن أهمية الازدواجية في الفلسفة الطبيعية الصينية سهّلت على الصينيين تقبّل فكرة الأعداد السالبة. ^{[ 4 ]} تمكّن الصينيون من حلّ المعادلات الآنية التي تتضمن أعدادًا سالبة. استخدم كتاب "الفصول التسعة" قضبانًا حمراء للدلالة على المعاملات الموجبة وقضبانًا سوداء للمعاملات السالبة. ^{[ 4 ]}^{[ 26 ]} يُعدّ هذا النظام عكسًا تامًا للطريقة المستخدمة في الطباعة المعاصرة للأعداد الموجبة والسالبة في مجالات البنوك والمحاسبة والتجارة، حيث تشير الأرقام الحمراء إلى القيم السالبة والأرقام السوداء إلى القيم الموجبة. يكتب ليو هوي:

يوجد الآن نوعان متعاكسان من قضبان العد للربح والخسارة، ولنسميهما موجب وسالب. قضبان العد الحمراء موجبة، وقضبان العد السوداء سالبة. ^{[ 4 ]}

استخدمت مخطوطة باخشالي الهندية القديمة الأرقام السالبة في حساباتها، مستخدمةً علامة "+" كعلامة سالبة. ^{[ 27 ]} تاريخ المخطوطة غير مؤكد. فقد حددها إل في غوجار في موعد لا يتجاوز القرن الرابع الميلادي، ^{[ 28 ]} بينما حددها هورنل بين القرنين الثالث والرابع، وحددها أيانغار وبينغري في القرنين الثامن أو التاسع، ^{[ 29 ]} أما جورج غيفيرغيز جوزيف فقد حددها في حوالي عام 400 ميلادي، على ألا يتجاوز ذلك أوائل القرن السابع الميلادي. ^{[ 30 ]}

خلال القرن السابع الميلادي، استُخدمت الأعداد السالبة في الهند لتمثيل الديون. وقد ناقش عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا ، في كتابه "براهما-سفوتا-سيدانتا " (الذي كُتب حوالي عام 630 ميلادي)، استخدام الأعداد السالبة لإنتاج صيغة تربيعية عامة مشابهة لتلك المستخدمة اليوم. ^{[ 24 ]}

في القرن التاسع الميلادي، كان علماء الرياضيات المسلمون على دراية بالأعداد السالبة من خلال أعمال علماء الرياضيات الهنود، إلا أن استخدامها خلال تلك الفترة ظل محدودًا. ^{[ 5 ]} لم يستخدم الخوارزمي في كتابه "الجبر والمقابلة " (الذي اشتُق منه مصطلح "الجبر") الأعداد السالبة أو المعاملات السالبة. ^{[ 5 ]} ولكن في غضون خمسين عامًا، أوضح أبو كامل قواعد الإشارات لفك عملية الضرب. $(a\pm b)(c\pm d)$ [ ³¹^] وكتب الكرجي في كتابه الفخري أن "الكميات السالبة يجب أن تُحسب كحدود". ^[⁵^] وفي القرن العاشر، اعتبر أبو الوفاء البوزجاني الديون أعدادًا سالبة في كتابه " كتاب في الضروريات من علم الحساب للكتبة والتجار ^" . ^[³¹^]

بحلول القرن الثاني عشر، قام خلفاء الكرجي بوضع القواعد العامة للإشارات واستخدامها لحل مسائل القسمة متعددة الحدود . ^{[ 5 ]} كما كتب السماول :

حاصل ضرب عدد سالب ( الناقص) في عدد موجب (الزائد) يكون سالبًا، وحاصل ضربه في عدد سالب يكون موجبًا. إذا طرحنا عددًا سالبًا من عدد سالب أكبر منه، يكون الباقي هو الفرق السالب بينهما. ويبقى الفرق موجبًا إذا طرحنا عددًا سالبًا من عدد سالب أصغر منه. إذا طرحنا عددًا سالبًا من عدد موجب، يكون الباقي هو مجموعهما الموجب. إذا طرحنا عددًا موجبًا من أس فارغ ( مرتبًا خاليًا )، يكون الباقي هو نفس العدد السالب، وإذا طرحنا عددًا سالبًا من أس فارغ، يكون الباقي هو نفس العدد الموجب. ^{[ 5 ]}

في القرن الثاني عشر في الهند، قدّم بهاسكارا الثاني جذورًا سالبة للمعادلات التربيعية، لكنه رفضها لأنها غير مناسبة لسياق المسألة. وذكر أن القيمة السالبة "لا تُؤخذ في هذه الحالة، لأنها غير كافية؛ فالناس لا يوافقون على الجذور السالبة".

سمح فيبوناتشي بالحلول السلبية في المشاكل المالية حيث يمكن تفسيرها على أنها مدين (الفصل 13 من كتاب ليبر أباتشي ، 1202) ولاحقًا على أنها خسائر (في كتاب فلوس ، 1225).

في القرن الخامس عشر، استخدم نيكولا شوكيه ، وهو فرنسي، الأعداد السالبة كأسس ^{[ 32 ]} لكنه أشار إليها باسم "الأعداد العبثية". ^{[ 33 ]}

تناول مايكل ستيفل الأعداد السالبة في كتابه Arithmetica Integra عام 1544 ميلادي ، حيث أطلق عليها أيضًا اسم numeri absurdi (الأعداد السخيفة).

في عام 1545، قدّم جيرولامو كاردانو ، في كتابه "آرس ماجنا" ، أول معالجة مرضية للأعداد السالبة في أوروبا. ^{[ 24 ]} لم يسمح كاردانو باستخدام الأعداد السالبة في دراسته للمعادلات التكعيبية ، لذا اضطر إلى معالجة، على سبيل المثال، $x^{3}+ax=b$ بشكل منفصل عن $x^{3}=ax+b$ (مع $a,b>0$ في كلتا الحالتين). إجمالاً، دفع كاردانو إلى دراسة ثلاثة عشر نوعًا من المعادلات التكعيبية، حيث تم نقل جميع الحدود السالبة إلى الجانب الآخر من علامة المساواة لجعلها موجبة. (تعامل كاردانو أيضًا مع الأعداد المركبة ، ولكن من المفهوم أنه لم يكن يفضلها كثيرًا).

انظر أيضاً

مراجع

الاقتباسات

↑ «الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الكاملة ومعكوساتها.»، ريتشارد دبليو. فيشر، الجبر غير المنطقي، الطبعة الثانية، أساسيات الرياضيات، رقم ISBN 978-0999443330
↑ إنّ الاصطلاح القائل بأنّ الصفر ليس موجبًا ولا سالبًا ليس عالميًا. ففي الاصطلاح الفرنسي، على سبيل المثال، يُعتبر الصفر موجبًا وسالبًا في آنٍ واحد . وتُشير الكلمتان الفرنسيتان positif و négatif إلى المعنى نفسه في اللغة الإنجليزية، حيث تعنيان "موجب أو صفر" و "سالب أو صفر" على التوالي.
1 2 ستريك، الصفحات 32-33. "في هذه المصفوفات نجد أعدادًا سالبة، والتي تظهر هنا لأول مرة في التاريخ."
١ ٢ ٣ ٤ هودجكين، لوك (٢٠٠٥). تاريخ الرياضيات: من بلاد ما بين النهرين إلى الحداثة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص ٨٨. ISBN 978-0-19-152383-0. ليو واضح في هذا الأمر؛ في النقطة التي تقدم فيها الفصول التسعة "قاعدة الإشارة" المفصلة والمفيدة.
1 2 3 4 5 6 راشد، ر. (30 يونيو 1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر . سبرينغر. ص 36-37 . ISBN 9780792325659.
^ ديوفانتوس ، الحساب .
↑ كلاين، موريس (1972). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك. ص 252.
↑ سميث، مارثا ك. (19 فبراير 2001). "تاريخ الأعداد السالبة" . جامعة تكساس . مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2025.
↑ "خرق ساراسينز لسقف الرواتب: أبطال الدوري الإنجليزي الممتاز لن يعترضوا على العقوبات" . بي بي سي سبورت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 نوفمبر 2019. وقد تراجع فريق مارك ماكول لاحقًا من المركز الثالث إلى المركز الأخير في الدوري الإنجليزي الممتاز برصيد -22 نقطة .
↑ "بولتون واندررز 1-0 ميلتون كينز دونز" . بي بي سي سبورت . تم الاطلاع عليه في 30 نوفمبر 2019. ولكن في الدقيقة الثالثة من الوقت بدل الضائع، حوّل المهاجم عرضية لوك مورفي من مسافة ثمانية ياردات إلى هدف ليحقق الفوز الثالث على التوالي لفريق هيل في دوري الدرجة الأولى، والذي بدأ الموسم برصيد -12 نقطة بعد دخوله في إجراءات الإفلاس في مايو.
↑ "مسرد المصطلحات" . Formula1.com . تاريخ الاطلاع: 30 نوفمبر 2019. فرق التوقيت: مصطلح يُستخدم لوصف الفرق الزمني بين لفتين مختلفتين أو بين سيارتين مختلفتين. على سبيل المثال، عادةً ما يكون هناك فرق زمني سلبي بين أفضل زمن لفة تدريبية للسائق وأفضل زمن لفة تأهيلية له، وذلك لأنه يستخدم كمية وقود قليلة وإطارات جديدة.
↑ "بي بي سي سبورت - الألعاب الأولمبية - لندن 2012 - الوثب الطويل للرجال : ألعاب القوى - النتائج" . 5 أغسطس 2012. مؤرشف من الأصل في 5 أغسطس 2012. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .
↑ "كيف تعمل مساعدة الرياح في ألعاب القوى" . elitefeet.com . 3 يوليو 2008. تاريخ الاطلاع: 18 نوفمبر 2019. تُقاس مساعدة الرياح عادةً بالأمتار في الثانية، إما موجبة أو سالبة . تشير القيمة الموجبة إلى أن الرياح تساعد العدائين، بينما تشير القيمة السالبة إلى أنهم يبذلون جهدًا ضدها. على سبيل المثال، تُعتبر سرعة الرياح -2.2 م/ث و+1.9 م/ث قانونية، بينما تُعتبر سرعة +2.1 م/ث مساعدة مفرطة وتُعدّ مخالفة. كما يُستخدم مصطلحا "الرياح الخلفية" و"الرياح المعاكسة" بكثرة. تدفع الرياح الخلفية العدائين للأمام (+)، بينما تدفعهم الرياح المعاكسة للخلف (-).
↑ فوربس، روبرت ب. (6 يناير 1975). مساهمات في جيولوجيا حوض بحر بيرينغ والمناطق المجاورة: أوراق مختارة من ندوة جيولوجيا وجيوفيزياء منطقة بحر بيرينغ، بمناسبة افتتاح مبنى سي تي إلفي، جامعة ألاسكا، 26-28 يونيو 1970، ومن الندوة الدولية الثانية حول جيولوجيا القطب الشمالي التي عُقدت في سان فرانسيسكو، 1-4 فبراير 1971. الجمعية الجيولوجية الأمريكية. ص 194. ISBN 9780813721514.
↑ ويلكس، دانيال س. (6 يناير 2018). الأساليب الإحصائية في علوم الغلاف الجوي . دار النشر الأكاديمية. ص 17. ISBN 9780123850225.
↑ كاريسفورث، كارول؛ نيلد، مايك (2002)، الجائزة المزدوجة ، هاينمان، ص 375، ISBN 978-0-435-44746-5
↑ «انكماش الاقتصاد البريطاني في نهاية عام 2012» . بي بي سي نيوز . 25 يناير 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 .
↑ "أول رقم تضخم سلبي منذ عام 1960" . صحيفة الإندبندنت . 21 أبريل 2009. مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2022. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .
↑ «البنك المركزي الأوروبي يفرض سعر فائدة سلبي» . بي بي سي نيوز . 5 يونيو 2014. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .
↑ لين، ماثيو. "هل تعتقد أن أسعار الفائدة السلبية لا يمكن أن تحدث هنا؟ فكّر مرة أخرى" . ماركت ووتش . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 .
↑ "سعر الفائدة السويسري سيتحول إلى السالب" . بي بي سي نيوز . ١٨ ديسمبر ٢٠١٤. تم الاطلاع عليه بتاريخ ٥ ديسمبر ٢٠١٨ .
↑ وينتور، باتريك (17 يونيو 2014). "تراجع شعبية ميليباند وكليج إلى أدنى مستوياتها المسجلة في استطلاع ICM" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 - عبر www.theguardian.com.
↑ جرانت ب. ويغينز ؛ جاي ماكتيغ (2005). الفهم من خلال التصميم . منشورات ACSD. ص 210. ISBN 1-4166-0035-3.
1 2 3 نيدهام، جوزيف؛ وانغ، لينغ (1995) [1959]. العلم والحضارة في الصين: المجلد 3؛ الرياضيات وعلوم السماء والأرض (طبعة مُعاد طباعتها ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 90. ISBN 0-521-05801-5.
↑ هيث، توماس ل. (1897). أعمال أرخميدس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 123.
↑ نيدهام، جوزيف؛ وانغ، لينغ (1995) [1959]. العلم والحضارة في الصين: المجلد 3؛ الرياضيات وعلوم السماء والأرض (طبعة مُعاد طباعتها ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 90-91 . ISBN 0-521-05801-5.
↑ تيريسي، ديك. (2002). الاكتشافات المفقودة: الجذور القديمة للعلوم الحديثة - من البابليين إلى المايا . نيويورك: سيمون وشوستر. ISBN 0-684-83718-8الصفحة 65.
↑ بيرس، إيان (مايو 2002). "مخطوطة بخشالي" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يوليو 2007 .
↑ هاياشي، تاكاو (2008)، "مخطوطة بخشالي" ، في هيلين سيلين (محررة)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، المجلد 1، سبرينغر، ص. B2، ISBN 9781402045592
↑ تيريسي، ديك. (2002). الاكتشافات المفقودة: الجذور القديمة للعلوم الحديثة - من البابليين إلى المايا . نيويورك: سيمون وشوستر. ISBN 0-684-83718-8الصفحات 65-66.
1 2 بن إسماعيل، مات روفا (2008)، “الجبر في الرياضيات الإسلامية”، في هيلين سيلين (محرر)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، المجلد. 1 ( الطبعة الثانية)، سبرينغر، ص. 115، ردمك 9781402045592
↑ فليج، جراهام؛ هاي، سي.؛ موس، ب. (1985)، نيكولاس تشوكيه، عالم رياضيات عصر النهضة: دراسة مع ترجمات موسعة لمخطوطة تشوكيه الرياضية التي أُنجزت عام 1484 ، دار نشر دي. ريدل، ص 354، رقم ISBN 9789027718723.
↑ جونسون، آرت (1999)، مسائل شهيرة وعلماء رياضياتها ، مجموعة غرينوود للنشر، ص 56، رقم ISBN 9781563084461.

فهرس

بورباكي، نيكولاس (1998). عناصر تاريخ الرياضيات . برلين، هايدلبرغ، ونيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-64767-8.
ستريك، ديرك ج. (1987). تاريخ موجز للرياضيات . نيويورك: منشورات دوفر.

روابط خارجية

[1] «الأعداد الصحيحة هي مجموعة الأعداد الكاملة ومعكوساتها.»، ريتشارد دبليو. فيشر، الجبر غير المنطقي، الطبعة الثانية، أساسيات الرياضيات، رقم ISBN 978-0999443330

[2] إنّ الاصطلاح القائل بأنّ الصفر ليس موجبًا ولا سالبًا ليس عالميًا. ففي الاصطلاح الفرنسي، على سبيل المثال، يُعتبر الصفر موجبًا وسالبًا في آنٍ واحد . وتُشير الكلمتان الفرنسيتان positif و négatif إلى المعنى نفسه في اللغة الإنجليزية، حيث تعنيان "موجب أو صفر" و "سالب أو صفر" على التوالي.

[struik33-3] 1 2 ستريك، الصفحات 32-33. "في هذه المصفوفات نجد أعدادًا سالبة، والتي تظهر هنا لأول مرة في التاريخ."

[Hodgkin-4] ١ ٢ ٣ ٤ هودجكين، لوك (٢٠٠٥). تاريخ الرياضيات: من بلاد ما بين النهرين إلى الحداثة . مطبعة جامعة أكسفورد. ص ٨٨. ISBN 978-0-19-152383-0. ليو واضح في هذا الأمر؛ في النقطة التي تقدم فيها الفصول التسعة "قاعدة الإشارة" المفصلة والمفيدة.

[Rashed-5] 1 2 3 4 5 6 راشد، ر. (30 يونيو 1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر . سبرينغر. ص 36-37 . ISBN 9780792325659.

[6] ديوفانتوس ، الحساب .

[7] كلاين، موريس (1972). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة . مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك. ص 252.

[8] سميث، مارثا ك. (19 فبراير 2001). "تاريخ الأعداد السالبة" . جامعة تكساس . مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2025.

[9] "خرق ساراسينز لسقف الرواتب: أبطال الدوري الإنجليزي الممتاز لن يعترضوا على العقوبات" . بي بي سي سبورت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 نوفمبر 2019. وقد تراجع فريق مارك ماكول لاحقًا من المركز الثالث إلى المركز الأخير في الدوري الإنجليزي الممتاز برصيد -22 نقطة .

[10] "بولتون واندررز 1-0 ميلتون كينز دونز" . بي بي سي سبورت . تم الاطلاع عليه في 30 نوفمبر 2019. ولكن في الدقيقة الثالثة من الوقت بدل الضائع، حوّل المهاجم عرضية لوك مورفي من مسافة ثمانية ياردات إلى هدف ليحقق الفوز الثالث على التوالي لفريق هيل في دوري الدرجة الأولى، والذي بدأ الموسم برصيد -12 نقطة بعد دخوله في إجراءات الإفلاس في مايو.

[11] "مسرد المصطلحات" . Formula1.com . تاريخ الاطلاع: 30 نوفمبر 2019. فرق التوقيت: مصطلح يُستخدم لوصف الفرق الزمني بين لفتين مختلفتين أو بين سيارتين مختلفتين. على سبيل المثال، عادةً ما يكون هناك فرق زمني سلبي بين أفضل زمن لفة تدريبية للسائق وأفضل زمن لفة تأهيلية له، وذلك لأنه يستخدم كمية وقود قليلة وإطارات جديدة.

[12] "بي بي سي سبورت - الألعاب الأولمبية - لندن 2012 - الوثب الطويل للرجال : ألعاب القوى - النتائج" . 5 أغسطس 2012. مؤرشف من الأصل في 5 أغسطس 2012. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .

[13] "كيف تعمل مساعدة الرياح في ألعاب القوى" . elitefeet.com . 3 يوليو 2008. تاريخ الاطلاع: 18 نوفمبر 2019. تُقاس مساعدة الرياح عادةً بالأمتار في الثانية، إما موجبة أو سالبة . تشير القيمة الموجبة إلى أن الرياح تساعد العدائين، بينما تشير القيمة السالبة إلى أنهم يبذلون جهدًا ضدها. على سبيل المثال، تُعتبر سرعة الرياح -2.2 م/ث و+1.9 م/ث قانونية، بينما تُعتبر سرعة +2.1 م/ث مساعدة مفرطة وتُعدّ مخالفة. كما يُستخدم مصطلحا "الرياح الخلفية" و"الرياح المعاكسة" بكثرة. تدفع الرياح الخلفية العدائين للأمام (+)، بينما تدفعهم الرياح المعاكسة للخلف (-).

[14] فوربس، روبرت ب. (6 يناير 1975). مساهمات في جيولوجيا حوض بحر بيرينغ والمناطق المجاورة: أوراق مختارة من ندوة جيولوجيا وجيوفيزياء منطقة بحر بيرينغ، بمناسبة افتتاح مبنى سي تي إلفي، جامعة ألاسكا، 26-28 يونيو 1970، ومن الندوة الدولية الثانية حول جيولوجيا القطب الشمالي التي عُقدت في سان فرانسيسكو، 1-4 فبراير 1971. الجمعية الجيولوجية الأمريكية. ص 194. ISBN 9780813721514.

[15] ويلكس، دانيال س. (6 يناير 2018). الأساليب الإحصائية في علوم الغلاف الجوي . دار النشر الأكاديمية. ص 17. ISBN 9780123850225.

[CarysforthNeild2002-16] كاريسفورث، كارول؛ نيلد، مايك (2002)، الجائزة المزدوجة ، هاينمان، ص 375، ISBN 978-0-435-44746-5

[17] «انكماش الاقتصاد البريطاني في نهاية عام 2012» . بي بي سي نيوز . 25 يناير 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 .

[18] "أول رقم تضخم سلبي منذ عام 1960" . صحيفة الإندبندنت . 21 أبريل 2009. مؤرشف من الأصل في 18 يونيو 2022. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .

[19] «البنك المركزي الأوروبي يفرض سعر فائدة سلبي» . بي بي سي نيوز . 5 يونيو 2014. تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2018 .

[20] لين، ماثيو. "هل تعتقد أن أسعار الفائدة السلبية لا يمكن أن تحدث هنا؟ فكّر مرة أخرى" . ماركت ووتش . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 .

[21] "سعر الفائدة السويسري سيتحول إلى السالب" . بي بي سي نيوز . ١٨ ديسمبر ٢٠١٤. تم الاطلاع عليه بتاريخ ٥ ديسمبر ٢٠١٨ .

[22] وينتور، باتريك (17 يونيو 2014). "تراجع شعبية ميليباند وكليج إلى أدنى مستوياتها المسجلة في استطلاع ICM" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2018 - عبر www.theguardian.com.

[23] جرانت ب. ويغينز ؛ جاي ماكتيغ (2005). الفهم من خلال التصميم . منشورات ACSD. ص 210. ISBN 1-4166-0035-3.

[Needham_volume_3_p90-24] 1 2 3 نيدهام، جوزيف؛ وانغ، لينغ (1995) [1959]. العلم والحضارة في الصين: المجلد 3؛ الرياضيات وعلوم السماء والأرض (طبعة مُعاد طباعتها ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 90. ISBN 0-521-05801-5.

[25] هيث، توماس ل. (1897). أعمال أرخميدس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 123.

[Needham_volume_3_pp90-91-26] نيدهام، جوزيف؛ وانغ، لينغ (1995) [1959]. العلم والحضارة في الصين: المجلد 3؛ الرياضيات وعلوم السماء والأرض (طبعة مُعاد طباعتها ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 90-91 . ISBN 0-521-05801-5.

[27] تيريسي، ديك. (2002). الاكتشافات المفقودة: الجذور القديمة للعلوم الحديثة - من البابليين إلى المايا . نيويورك: سيمون وشوستر. ISBN 0-684-83718-8الصفحة 65.

[28] بيرس، إيان (مايو 2002). "مخطوطة بخشالي" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 يوليو 2007 .

[HayashiEncy-29] هاياشي، تاكاو (2008)، "مخطوطة بخشالي" ، في هيلين سيلين (محررة)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، المجلد 1، سبرينغر، ص. B2، ISBN 9781402045592

[30] تيريسي، ديك. (2002). الاكتشافات المفقودة: الجذور القديمة للعلوم الحديثة - من البابليين إلى المايا . نيويورك: سيمون وشوستر. ISBN 0-684-83718-8الصفحات 65-66.

[Ismail-31] 1 2 بن إسماعيل، مات روفا (2008)، “الجبر في الرياضيات الإسلامية”، في هيلين سيلين (محرر)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، المجلد. 1 ( الطبعة الثانية)، سبرينغر، ص. 115، ردمك 9781402045592

[32] فليج، جراهام؛ هاي، سي.؛ موس، ب. (1985)، نيكولاس تشوكيه، عالم رياضيات عصر النهضة: دراسة مع ترجمات موسعة لمخطوطة تشوكيه الرياضية التي أُنجزت عام 1484 ، دار نشر دي. ريدل، ص 354، رقم ISBN 9789027718723.

[33] جونسون، آرت (1999)، مسائل شهيرة وعلماء رياضياتها ، مجموعة غرينوود للنشر، ص 56، رقم ISBN 9781563084461.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ].

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

31

[ 32 ]

[ 33 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗