مشتقات ويرتينجر

استُخدمت مشتقات ويرتينجر في التحليل المركب على الأقل في وقت مبكر من ورقة بحثية ( بوانكاريه، 1899 ) ، كما أشار إلى ذلك بإيجاز كل من تشيري ويي (2001 ، ص 31) وريمرت (1991 ، ص 66-67) . ^{[ 3 ]} في الفقرة الثالثة من ورقته البحثية لعام 1899، ^{[ 4 ]} يُعرّف هنري بوانكاريه المتغير المركب لأول مرة في  ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ومرافقه المعقد على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

ثم يكتب المعادلة التي تحدد الدوال${\displaystyle V}$يُطلق عليه اسم biharmonique ، ^{[ 5 ]} وقد كُتب سابقًا باستخدام المشتقات الجزئية بالنسبة للمتغيرات الحقيقية .${\displaystyle x_{k},y_{q}}$مع${\displaystyle k,q}$تتراوح من 1 إلى${\displaystyle n}$، بالضبط بالطريقة التالية ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

هذا يعني أنه استخدم ضمنيًا التعريف 2 أدناه: ولإثبات ذلك، يكفي مقارنة المعادلتين 2 و2' من ( بوانكاريه 1899 ، ص 112) . ويبدو أن هذه الورقة لم تحظَ باهتمام الباحثين الأوائل في نظرية الدوال ذات المتغيرات المركبة المتعددة : ففي أوراق ليفي-سيفيتا (1905) ، وليفي (1910) ( وليفي 1911 ) ، وأموروسو (1912)، تُعبَّر جميع المؤثرات التفاضلية الجزئية الأساسية للنظرية مباشرةً باستخدام المشتقات الجزئية بالنسبة للأجزاء الحقيقية والخيالية للمتغيرات المركبة المعنية. في ورقة المسح الطويلة التي كتبها أوسجود (1966) (نُشرت لأول مرة في عام 1913)، ^{[ 7 ]} يبدو أن المشتقات الجزئية بالنسبة لكل متغير مركب لدالة هولومورفية لعدة متغيرات مركبة يُقصد بها مشتقات شكلية : في الواقع، عندما يعبر أوسجود عن عامل التوافق المتعدد ^{[ 8 ]} وعامل ليفي ، فإنه يتبع الممارسة الراسخة لأموروسو وليفي وليفي - سيفيتا . 

وفقًا لهنريسي (1993 ، ص 294) ، فقد اتخذ ديميتري بومبيو خطوة جديدة في تعريف المفهوم : في ورقته البحثية ( بومبيو 1912 ) ، بالنظر إلى دالة قابلة للتفاضل ذات قيم مركبة (بمعنى التحليل الحقيقي ) لمتغير مركب واحد ${\displaystyle g(z)}$محدد في جوار نقطة معينة${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ,}$وهو يُعرّف المشتقة المساحية على أنها النهاية التالية

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,}$

أين${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$هو حدود قرص نصف قطره${\displaystyle r}$تندرج بالكامل ضمن نطاق تعريف${\displaystyle g(z),}$أي دائرته المحيطة . ^{[ 9 ]} من الواضح أن هذا تعريف بديل لمشتقة ويرتينجر بالنسبة للمتغير المرافق المركب : ^{[ 10 ]} وهو تعريف أكثر عمومية، لأنه، كما أشار هنريسي (1993 ، ص 294) ، قد توجد النهاية للدوال التي لا يمكن تفاضلها حتى عند ${\displaystyle z=z_{0}.}$^[11] According to Fichera (1969, p. 28), the first to identify the areolar derivative as a weak derivative in the sense of Sobolev was Ilia Vekua.^[12] In his following paper, Pompeiu (1913) uses this newly defined concept in order to introduce his generalization of Cauchy's integral formula, the now called Cauchy–Pompeiu formula.

The first systematic introduction of Wirtinger derivatives seems due to Wilhelm Wirtinger in the paper Wirtinger 1927 in order to simplify the calculations of quantities occurring in the theory of functions of several complex variables: as a result of the introduction of these differential operators, the form of all the differential operators commonly used in the theory, like the Levi operator and the Cauchy–Riemann operator, is considerably simplified and consequently easier to handle. The paper is deliberately written from a formal point of view, i.e. without giving a rigorous derivation of the properties deduced.

Definition 1. Consider the complex plane${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ (in a sense of expressing a complex number ${\displaystyle z=x+iy}$ for real numbers ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$). Let ${\displaystyle {\bar {z}}}$ represent the complex conjugate of ${\displaystyle z\ .}$ Then the Wirtinger derivatives are defined as the following linearpartial differential operators of first order:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

Clearly, the natural domain of definition of these partial differential operators is the space of ${\displaystyle C^{1}}$ functions on a domain${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$ولكن، بما أن هذه المؤثرات خطية ولها معاملات ثابتة ، فإنه يمكن تعميمها بسهولة على كل فضاء من الدوال المعممة.

يمكن اشتقاق المعاملات من خلال ملاحظة أن${\displaystyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}}),y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})}$وأخذ المشتقة بالنسبة إلى${\displaystyle {\bar {z}}}$باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات، معالجة${\displaystyle x,y}$كمتغيرات وسيطة.

التعريف 2. لنعتبر الفضاء الإقليدي على الحقل المركب$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$$تُعرَّف مشتقات ويرتينجر على أنها المؤثرات التفاضلية الجزئية الخطية التالية من الرتبة الأولى: $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$

أما بالنسبة لمشتقات ويرتينجر لدوال ذات متغير عقدي واحد، فإن المجال الطبيعي لتعريف هذه المؤثرات التفاضلية الجزئية هو مرة أخرى فضاء${\displaystyle C^{1}}$الدوال على نطاق${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$ومرة أخرى، بما أن هذه المؤثرات خطية ولها معاملات ثابتة ، فإنه يمكن توسيعها بسهولة إلى كل فضاء من الدوال المعممة .

اللمة 1. إذا${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$و${\displaystyle \alpha ,\beta }$إذا كانت أعدادًا مركبة ، فـ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$تتحقق المتساويات التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

اللمة 2. إذا${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$ثم لـ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ينطبق قانون المنتج

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

تشير هذه الخاصية إلى أن مشتقات ويرتينجر هي اشتقاقات من وجهة نظر الجبر المجرد ، تمامًا مثل المشتقات العادية .

تتخذ هذه الخاصية شكلين مختلفين، أحدهما للدوال ذات متغير واحد والآخر لعدة متغيرات مركبة : ففي حالة n  >  1، للتعبير عن قاعدة السلسلة بشكل عام، من الضروري النظر في مجالين.${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$و${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$وخريطتان​${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$و${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$[ 17 ]^​​​

اللمة 4. إذا${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$ثم لـ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$تتحقق المتساويات التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}}&={\overline {{\Big (}{\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}{\Big )}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}}&={\overline {{\Big (}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}{\Big )}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$