قاعدة قابلية القسمة

أولًا، خذ أي عدد (في هذا المثال سيكون 376) ولاحظ الرقم الأخير فيه، متجاهلًا باقي الأرقام. ثم خذ هذا الرقم (6) مع تجاهل باقي العدد، وحدد ما إذا كان يقبل القسمة على 2. إذا كان يقبل القسمة على 2، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 2.

مثال

1. 376 (الرقم الأصلي)
2. 37 6 (خذ الرقم الأخير)
3. 6 ÷ 2 = 3 (تحقق مما إذا كان الرقم الأخير قابلاً للقسمة على 2)
4. 376 ÷ 2 = 188 (إذا كان الرقم الأخير قابلاً للقسمة على 2، فإن العدد بأكمله قابل للقسمة على 2) ^{[ 9 ]}

أولًا، خذ أي عدد (في هذا المثال سيكون 492) واجمع أرقامه (4 + 9 + 2 = 15). ثم خذ هذا المجموع (15) وحدد ما إذا كان يقبل القسمة على 3. العدد الأصلي يقبل القسمة على 3 (أو 9) إذا وفقط إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 (أو 9).

إن جمع أرقام عدد ما، ثم تكرار العملية مع النتيجة حتى يتبقى رقم واحد فقط، سيعطي باقي العدد الأصلي إذا تم قسمته على تسعة (إلا إذا كان هذا الرقم الواحد هو تسعة نفسه، وفي هذه الحالة يكون العدد قابلاً للقسمة على تسعة ويكون الباقي صفرًا).

يمكن تعميم هذا على أي نظام موضعي قياسي ، حيث يصبح القاسم المعني أقل بواحد من الأساس ؛ وبالتالي، في النظام ذي الأساس 12 ، فإن مجموع الأرقام يساوي باقي العدد الأصلي إذا تم قسمته على 11، وتكون الأرقام قابلة للقسمة على 11 فقط إذا كان مجموع الأرقام قابلاً للقسمة على 11.

مثال.

1. 492 (الرقم الأصلي)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (اجمع كل رقم على حدة)
3. العدد 15 يقبل القسمة على 3، وعند هذه النقطة يمكننا التوقف. أو يمكننا الاستمرار باستخدام الطريقة نفسها إذا كان العدد لا يزال كبيرًا جدًا.
4. 1 + 5 = 6 (اجمع كل رقم على حدة)
5. 6 ÷ 3 = 2 (تحقق مما إذا كان العدد الناتج قابلاً للقسمة على 3)
6. 492 ÷ 3 = 164 (إذا كان العدد الناتج عن استخدام القاعدة قابلاً للقسمة على 3، فإن العدد الكلي قابل للقسمة على 3)

القاعدة الأساسية للقسمة على 4 هي أنه إذا كان العدد المكون من آخر رقمين في عدد ما يقبل القسمة على 4، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 4؛ ^{[ 2 ] [ 3 ]} وذلك لأن 100 يقبل القسمة على 4، وبالتالي فإن إضافة المئات والآلاف، وما إلى ذلك، هي ببساطة إضافة عدد آخر يقبل القسمة على 4. إذا انتهى أي عدد برقمين يقبلان القسمة على 4 (مثل 24، 04، 08، إلخ)، فإن العدد بأكمله سيقبل القسمة على 4 بغض النظر عما يسبق آخر رقمين.

أو يمكن إضافة نصف الرقم الأخير إلى الرقم قبل الأخير (أو الرقم المتبقي). إذا كان هذا الرقم عددًا زوجيًا طبيعيًا ، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 4.

كما يمكن ببساطة قسمة العدد على 2، ثم التحقق من الناتج لمعرفة ما إذا كان يقبل القسمة على 2. إذا كان كذلك، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 4. بالإضافة إلى ذلك، فإن نتيجة هذا الاختبار هي نفسها نتيجة قسمة العدد الأصلي على 4.

مثال. قاعدة عامة

1. 2092 (الرقم الأصلي)
2. 20 92 (خذ آخر رقمين من العدد، وتجاهل أي أرقام أخرى)
3. 92 ÷ 4 = 23 (تحقق مما إذا كان العدد قابلاً للقسمة على 4)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (إذا كان العدد الناتج قابلاً للقسمة على 4، فإن العدد الأصلي قابل للقسمة على 4)

الطريقة الثانية

1. 6174 (الرقم الأصلي)
2. تأكد من أن الرقم الأخير زوجي، وإلا فإن العدد 6174 لا يمكن قسمته على 4.
3. 61 7 4 (افصل آخر رقمين عن باقي الرقم)
4. 4 ÷ 2 = 2 (الرقم الأخير مقسومًا على 2)
5. 7 + 2 = 9 (أضف نصف الرقم الأخير إلى الرقم قبل الأخير)
6. بما أن العدد 9 ليس عدداً زوجياً، فإن العدد 6174 لا يقبل القسمة على 4.

الطريقة الثالثة

1. 1720 (الرقم الأصلي)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (قسمة العدد الأصلي على 2)
3. 860 ÷ 2 = 430 (تحقق مما إذا كان الناتج قابلاً للقسمة على 2)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (إذا كان الناتج قابلاً للقسمة على 2، فإن العدد الأصلي قابل للقسمة على 4)

يمكن تحديد قابلية القسمة على 5 بسهولة عن طريق فحص الرقم الأخير في العدد (47 5 )، ومعرفة ما إذا كان 0 أو 5. إذا كان الرقم الأخير 0 أو 5، فإن العدد بأكمله قابل للقسمة على 5. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

إذا كان الرقم الأخير في العدد هو صفر، فإن الناتج هو مجموع الأرقام المتبقية مضروبًا في 2. على سبيل المثال، العدد 40 ينتهي بصفر، لذا نأخذ مجموع الأرقام المتبقية (4) ونضربه في 2 (4 × 2 = 8). والنتيجة هي نفسها نتيجة قسمة 40 على 5 (40 ÷ 5 = 8).

إذا كان الرقم الأخير في العدد هو 5، فإن الناتج هو مجموع الأرقام المتبقية مضروبًا في 2، مضافًا إليه 1. على سبيل المثال، العدد 125 ينتهي بالرقم 5، لذا نأخذ مجموع الأرقام المتبقية (12)، ونضربها في 2 (12 × 2 = 24)، ثم نضيف 1 (24 + 1 = 25). والنتيجة هي نفسها نتيجة قسمة 125 على 5 (125 ÷ 5 = 25).

مثال: إذا كان الرقم الأخير هو 0

1. 110 (الرقم الأصلي)
2. 11 0 (خذ الرقم الأخير من العدد، وتحقق مما إذا كان 0 أو 5)
3. 11 0 (إذا كانت النتيجة 0، خذ الأرقام المتبقية، وتجاهل الرقم الأخير)
4. 11 × 2 = 22 (اضرب الناتج في 2)
5. 110 ÷ 5 = 22 (النتيجة هي نفسها نتيجة قسمة العدد الأصلي على 5)

إذا كان الرقم الأخير هو 5

1. 85 (الرقم الأصلي)
2. 8 5 (خذ الرقم الأخير من العدد، وتحقق مما إذا كان 0 أو 5)
3. 8 5 (إذا كان الناتج 5، خذ الأرقام المتبقية، وتجاهل الرقم الأخير)
4. 8 × 2 = 16 (اضرب الناتج في 2)
5. 16 + 1 = 17 (أضف 1 إلى النتيجة)
6. 85 ÷ 5 = 17 (النتيجة هي نفسها نتيجة قسمة العدد الأصلي على 5)

يتم تحديد قابلية القسمة على 6 عن طريق فحص العدد الأصلي لمعرفة ما إذا كان عددًا زوجيًا ( يقبل القسمة على 2 ) ويقبل القسمة على 3. ^{[ 6 ]}

إذا كان الرقم الأخير زوجيًا، فإن العدد يقبل القسمة على اثنين، وبالتالي قد يقبل القسمة على ستة. إذا كان يقبل القسمة على اثنين، فتابع بجمع أرقام العدد الأصلي وتحقق مما إذا كان المجموع من مضاعفات العدد ثلاثة. أي عدد يقبل القسمة على اثنين وثلاثة هو من مضاعفات العدد ستة.

مثال.

1. 324 (الرقم الأصلي)
2. الرقم الأخير 4 زوجي، لذا فإن 324 يقبل القسمة على 2، وقد يقبل القسمة على 6.
3. 3 + 2 + 4 = 9 وهو من مضاعفات العدد 3. لذلك، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على كل من 2 و 3 ويقبل القسمة على 6.

يمكن اختبار قابلية القسمة على 7 باستخدام طريقة تكرارية. يكون العدد الذي على الصورة 10 س  + ص قابلاً للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان س - 2 ص قابلاً للقسمة على 7. بعبارة أخرى، اطرح ضعف الرقم الأخير من العدد المكون من الأرقام المتبقية. استمر في ذلك حتى تحصل على عدد معروف ما إذا كان قابلاً للقسمة على 7 أم لا. يكون العدد الأصلي قابلاً للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد الناتج بهذه الطريقة قابلاً للقسمة على 7. على سبيل المثال، العدد 371: 37 - (2 × 1) = 37 - 2 = 35؛ 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = -7؛ وبالتالي، بما أن -7 قابل للقسمة على 7، فإن 371 قابل للقسمة على 7.                   

وبالمثل، يكون العدد الذي على الصورة 10 س  + ص قابلاً للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان س + 5 ص قابلاً للقسمة على 7. ^{[ 10 ]} لذا أضف خمسة أضعاف الرقم الأخير إلى العدد المكون من الأرقام المتبقية، واستمر في فعل ذلك حتى تحصل على عدد معروف ما إذا كان قابلاً للقسمة على 7 أم لا. ^{[ 5 ] [ 11 ]}   

هناك طريقة أخرى وهي الضرب في 3. العدد الذي على الصورة 10 س  + ص له نفس الباقي عند قسمته على 7 كما هو الحال في 3 س + ص . يجب ضرب الرقم الأيسر من العدد الأصلي في 3، ثم إضافة الرقم التالي، ثم حساب الباقي عند القسمة على 7، وهكذا من البداية: الضرب في 3، إضافة الرقم التالي، وهكذا. على سبيل المثال، العدد 371: 3 × 3 + 7 = 16 والباقي 2، و2 × 3 + 1 = 7. يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد باقي القسمة على 7. ^{[ 11 ]}   

تستخدم خوارزمية أكثر تعقيدًا لاختبار قابلية القسمة على 7 حقيقة أن 10 ⁰  ≡  1، 10 ¹  ≡  3، 10 ²  ≡  2، 10 ³  ≡  6، 10 ⁴  ≡  4، 10 ⁵  ≡  5، 10 ⁶  ≡  1، ...  (mod  7). خذ كل رقم من أرقام العدد (371) بترتيب عكسي (173)، واضربها تباعًا بالأرقام 1 ، 3 ، 2 ، 6 ، 4 ، 5 ، وكرر هذه العملية مع هذه السلسلة من المضاعفات حسب الحاجة (1، 3، 2، 6، 4، 5، 1، 3، 2، 6، 4، 5، ...)، ثم اجمع النواتج (1 × 1  +  7 × 3  +  3 × 2 =  1  +  21  +  6  =  28). يكون العدد الأصلي قابلاً للقسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد الناتج بهذه الطريقة قابلاً للقسمة على 7 (وبالتالي، فإن 371 قابل للقسمة على 7 لأن 28 قابل للقسمة على 7). ^{[ 12 ]}

يمكن تبسيط هذه الطريقة بحذف الحاجة إلى الضرب. كل ما يتطلبه الأمر مع هذا التبسيط هو حفظ التسلسل أعلاه (132645...)، وإجراء عمليتي الجمع والطرح، مع الحرص على التعامل دائمًا مع الأعداد المكونة من رقم واحد.

ويمكن تبسيط الأمر على النحو التالي:

• لنأخذ على سبيل المثال الرقم 371
• غيّر جميع الأرقام 7 و 8 و 9 إلى 0 و 1 و 2 على التوالي. في هذا المثال، نحصل على: 301. يمكن تخطي هذه الخطوة الثانية، باستثناء الرقم الموجود في أقصى اليسار، ولكن اتباعها قد يُسهّل العمليات الحسابية لاحقًا.
• الآن قم بتحويل الرقم الأول (3) إلى الرقم التالي في التسلسل 13264513... في مثالنا، يصبح 3 هو 2 .
• أضف النتيجة في الخطوة السابقة (2) إلى الرقم الثاني من العدد، واستبدل النتيجة بكلا الرقمين، مع ترك جميع الأرقام المتبقية دون تغيير: 2  +  0  =  2. لذا فإن 30 1 تصبح 2 1 .
• كرر العملية حتى تحصل على مضاعف واضح للعدد 7، أو للتأكد، على عدد بين 0 و6. لذا، بدءًا من 21 (وهو مضاعف واضح للعدد 7)، خذ الرقم الأول (2) وحوّله إلى ما يلي بالتسلسل أعلاه: 2 يصبح 6. ثم أضف هذا إلى الرقم الثاني: 6  +  1  = 7 . 
• إذا كان الرقم الأول في أي وقت 8 أو 9، فإنه يُصبح 1 أو 2 على التوالي. أما إذا كان 7، فيُصبح 0 فقط في حال عدم وجود أرقام أخرى بعده. وإلا، فيُحذف ببساطة. والسبب هو أن الرقم 7 سيُصبح 0، والأعداد التي تحتوي على رقمين على الأقل قبل الفاصلة العشرية لا تبدأ بصفر، وهو أمر غير مُجدٍ. وبناءً على ذلك، يُصبح الرقم 7 لدينا 0 . 

إذا حصلتَ من خلال هذه العملية على صفر أو أي مضاعف معروف للعدد 7، فإن العدد الأصلي هو مضاعف للعدد 7. أما إذا حصلتَ على أي عدد من 1 إلى 6 ، فسيشير ذلك إلى مقدار ما يجب طرحه من العدد الأصلي للحصول على مضاعف للعدد  7. بعبارة أخرى، ستجد باقي قسمة العدد على 7. على سبيل المثال، خذ العدد 186 : 

• أولاً، قم بتغيير الرقم 8 إلى 1: 116 .
• الآن، غيّر الرقم 1 إلى الرقم التالي في المتتالية (3)، وأضفه إلى الرقم الثاني، واكتب النتيجة بدلاً من كليهما: 3  +  1  = 4. وهكذا يصبح العدد 11 6 هو 4 6 . 
• كرر العملية، لأن العدد أكبر من 7. الآن، يصبح 4 هو 5، والذي يجب إضافته إلى 6. وهذا يساوي 11 . 
• كرر الإجراء مرة أخرى: يصبح الرقم 1 هو 3، والذي يضاف إلى الرقم الثاني (1): 3  +  1  = 4 . 

لدينا الآن عدد أصغر من 7، وهذا العدد (4) هو باقي قسمة 186 على 7. لذا فإن 186  ناقص  4، وهو 182، يجب أن يكون من مضاعفات العدد  7.

ملاحظة: يكمن سر نجاح هذه الطريقة في أنه إذا كان لدينا: أ + ب = ج ، وكان ب مضاعفًا لأي عدد معطى ن ، فإن أ و ج سيعطيان بالضرورة نفس الباقي عند قسمتهما على ن . بعبارة أخرى، في 2  +  7  =  9، 7 يقبل القسمة على  7. لذا، يجب أن يكون للعددين 2 و 9 نفس الباقي عند قسمتهما على 7. والباقي هو  2.

لذلك، إذا كان العدد n من مضاعفات 7 (أي: باقي قسمة n على 7 هو  0)، فإن إضافة (أو طرح) مضاعفات 7 لا يمكن أن يغير تلك الخاصية.

ما تفعله هذه العملية، كما هو موضح أعلاه لمعظم قواعد قابلية القسمة، هو ببساطة طرح مضاعفات العدد 7 تدريجيًا من العدد الأصلي حتى الوصول إلى عدد صغير بما يكفي لتذكر ما إذا كان من مضاعفات 7 أم لا. فإذا أصبح العدد 1 هو 3 في الخانة العشرية التالية، فهذا يُعادل تحويل 10×10ⁿ ^إلى 3× ^10ⁿ . وهذا في الواقع يُعادل طرح 7×10ⁿ ⁽ وهو من مضاعفات 7 بوضوح) من 10× ^10ⁿ .

وبالمثل، عندما تحول الرقم 3 إلى الرقم 2 في الخانة العشرية التالية، فإنك تحول 30×10ⁿ ^إلى 2× ^10ⁿ ، وهو ما يعادل طرح 30×10ⁿ ^- 28× ^10ⁿ ، وهذا بدوره طرح مضاعف للعدد 7. وينطبق السبب نفسه على جميع التحويلات المتبقية:

• 20×10ⁿ ^-  6  × ^10ⁿ = 14 × ^10ⁿ
• 60×10ⁿ ^-  4  × ^10ⁿ = 56 × ^10ⁿ
• 40×10ⁿ ^-  5  × ^10ⁿ = 35 × ^10ⁿ
• 50×10ⁿ ⁻  1  × ^10ⁿ = 49 × ^10ⁿ

مثال الطريقة الأولى: 1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0. الإجابة: 1050 يقبل القسمة على 7.

مثال على الطريقة الثانية : ١٠٥٠ ← ٠٥٠١ (عكس العملية) ← ٠ × ١ + ٥ × ٣ + ٠ × ٢ + ١ × ٦ = ٠ + ١٥ + ٠ + ٦ = ٢١ (الضرب والجمع). الإجابة: ١٠٥٠ يقبل القسمة على ٧.

طريقة بولمان-ماس لتحديد قابلية القسمة على 7: توفر طريقة بولمان-ماس حلاً سريعاً لتحديد ما إذا كانت معظم الأعداد الصحيحة قابلة للقسمة على 7 في ثلاث خطوات أو أقل. قد تكون هذه الطريقة مفيدة في مسابقات الرياضيات مثل MATHCOUNTS، حيث يُعد الوقت عاملاً حاسماً في إيجاد الحل دون استخدام آلة حاسبة في جولة السرعة.

الخطوة أ: إذا كان العدد الصحيح 1000 أو أقل، اطرح ضعف الرقم الأخير من العدد الناتج عن الأرقام المتبقية. إذا كان الناتج من مضاعفات العدد سبعة، فإن العدد الأصلي يكون من مضاعفات سبعة أيضًا (والعكس صحيح). على سبيل المثال:

١١٢ -> ١١ − (٢×٢) = ١١ − ٤ = ٧ نعم ٩٨ -> ٩ − (٨×٢) = ٩ − ١٦ = −٧ نعم ٦٣٤ -> ٦٣ − (٤×٢) = ٦٣ − ٨ = ٥٥ لا

بما أن العدد 1001 يقبل القسمة على سبعة، يظهر نمط مثير للاهتمام في مجموعات الأرقام المتكررة المكونة من 1 أو 2 أو 3 أرقام والتي تشكل أعدادًا من 6 أرقام (مع السماح بالأصفار البادئة)، حيث أن جميع هذه الأعداد تقبل القسمة على سبعة. على سبيل المثال:

001 001 = 1001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10101 / 7 = 1443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111111 / 7 = 15873 222222 / 7 = 31746 999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

في جميع الأمثلة السابقة، ينتج عن طرح الأرقام الثلاثة الأولى من الأرقام الثلاثة الأخيرة مضاعف للعدد سبعة. لاحظ أنه يُسمح بوجود أصفار بادئة لتشكيل نمط من ستة أرقام.

تشكل هذه الظاهرة الأساس للخطوتين ب وج.

الخطوة ب: إذا كان العدد الصحيح بين 1001 ومليون، فابحث عن نمط متكرر من رقم واحد أو رقمين أو ثلاثة أرقام يُشكّل عددًا من ستة أرقام قريبًا من العدد الصحيح (يُسمح بالأصفار البادئة، ويمكن أن تساعدك على تصور النمط). إذا كان الفرق الموجب أقل من 1000، فطبّق الخطوة أ. يُمكن القيام بذلك عن طريق طرح الأرقام الثلاثة الأولى من الأرقام الثلاثة الأخيرة. على سبيل المثال:

341,355 - 341,341 = 14 ← 1 - (4 × 2) = 1 - 8 = -7 نعم ٦٧٣٢٦ - ٠٦٧٠٦٧ = ٢٥٩ -> ٢٥ - (٩ × ٢) = ٢٥ - ١٨ = ٧ نعم

يمكن استخدام حقيقة أن العدد 999,999 من مضاعفات العدد 7 لتحديد قابلية قسمة الأعداد الصحيحة الأكبر من مليون عن طريق اختزال العدد الصحيح إلى عدد مكون من 6 أرقام يمكن تحديده باستخدام الخطوة ب. ويمكن القيام بذلك بسهولة عن طريق جمع الأرقام الموجودة على يسار أول ستة أرقام مع آخر ستة أرقام، ثم اتباع الخطوة أ.

الخطوة ج: إذا كان العدد الصحيح أكبر من مليون، اطرح أقرب مضاعف للعدد 999,999، ثم طبّق الخطوة ب. بالنسبة للأعداد الأكبر، استخدم مجموعات أكبر مثل 12 رقمًا (999,999,999,999) وهكذا. بعد ذلك، قسّم العدد الصحيح إلى عدد أصغر يمكن حله باستخدام الخطوة ب. على سبيل المثال:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 ٨٦٢,٤٤٢ -> ٨٦٢ − ٤٤٢ (الخطوة ب) = ٤٢٠ -> ٤٢ − (٠×٢) (الخطوة أ) = ٤٢ نعم

يُتيح ذلك جمع وطرح مجموعات متناوبة من ثلاثة أرقام لتحديد قابلية القسمة على سبعة. فهم هذه الأنماط يمكّنك من حساب قابلية القسمة على سبعة بسرعة كما هو موضح في الأمثلة التالية:

طريقة بولمان-ماس لتحديد قابلية القسمة على 7، أمثلة:

هل العدد 98 يقبل القسمة على سبعة؟ 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 نعم (الخطوة أ)

هل العدد 634 يقبل القسمة على سبعة؟ 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 لا (الخطوة أ)

هل العدد 355,341 يقبل القسمة على سبعة؟ ٣٥٥٣٤١ - ٣٤١٣٤١ = ١٤٠٠٠ (الخطوة ب) -> ١٤ - ٠٠٠ (الخطوة ب) -> ١٤ = ١ - (٤ × ٢) (الخطوة أ) = ١ - ٨ = -٧ نعم

هل العدد 42,341,530 يقبل القسمة على سبعة؟ 42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (الخطوة ج) 341,572 − 341,341 = 231 (الخطوة ب) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 نعم (الخطوة أ)

باستخدام عمليات الجمع والطرح السريعة والمتناوبة: ٤٢,٣٤١,٥٣٠ -> ٥٣٠ - ٣٤١ + ٤٢ = ١٨٩ + ٤٢ = ٢٣١ -> ٢٣ - (١×٢) = ٢١ نعم

طريقة الضرب في 3 لمعرفة قابلية القسمة على 7، أمثلة:

هل العدد 98 يقبل القسمة على سبعة؟ ٩٨ -> ٩ والباقي ٢ -> ٢ × ٣ + ٨ = ١٤ نعم

هل العدد 634 يقبل القسمة على سبعة؟ ٦٣٤ -> ٦ × ٣ + ٣ = ٢١ -> الباقي ٠ -> ٠ × ٣ + ٤ = ٤ لا

هل العدد 355,341 يقبل القسمة على سبعة؟ ٣ × ٣ + ٥ = ١٤ -> الباقي ٠ -> ٠ × ٣ + ٥ = ٥ -> ٥ × ٣ + ٣ = ١٨ -> الباقي ٤ -> ٤ × ٣ + ٤ = ١٦ -> الباقي ٢ -> ٢ × ٣ + ١ = ٧ نعم

أوجد باقي قسمة العدد 1036125837 على 7 1×3 + 0 = 3 3 × 3 + 3 = 12 والباقي 5 ٥ × ٣ + ٦ = ٢١ والباقي ٠ 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 5 ٥ × ٣ + ٥ = ٢٠ والباقي ٦ ٦ × ٣ + ٨ = ٢٦ والباقي ٥ ٥ × ٣ + ٣ = ١٨ والباقي ٤ 4 × 3 + 7 = 19 والباقي 5 الجواب هو 5

إيجاد باقي قسمة عدد على 7

7 − (1، 3، 2، −1، −3، −2، تتكرر الدورة للأرقام الستة التالية) الدورة: 6 أرقام. الأرقام الدورية: 1، 3، 2، −1، −3، −2. تسلسل الحد الأدنى (1، 3، 2، 6، 4، 5، تتكرر الدورة للأرقام الستة التالية) الدورة: 6 أرقام. الأرقام الدورية: 1، 3، 2، 6، 4، 5. تسلسل موجب

اضرب الرقم الموجود في أقصى اليمين في الرقم الموجود في أقصى اليسار في المتتالية، ثم اضرب الرقم الثاني من اليمين في الرقم الثاني من اليسار في المتتالية، وهكذا. بعد ذلك، احسب مجموع جميع القيم، ثم احسب باقي قسمة الناتج على 7. مثال: ما هو باقي قسمة العدد 1036125837 على 7؟

حاصل ضرب الرقم الموجود في أقصى اليمين = 1 × 7 = 7

حاصل ضرب الرقم الثاني من اليمين = 3 × 3 = 9

الرقم الثالث من اليمين = 8 × 2 = 16

الرقم الرابع من اليمين = 5 × -1 = -5

الرقم الخامس من اليمين = 2 × -3 = -6

الرقم السادس من اليمين = 1 × -2 = -2

الرقم السابع من اليمين = 6 × 1 = 6

الرقم الثامن من اليمين = 3 × 3 = 9

الرقم التاسع من اليمين = 0

الرقم العاشر من اليمين = 1 × -1 = -1

المجموع = 33

33 معامل 7 = 5

الباقي = 5

طريقة أزواج الأرقام لتحديد قابلية القسمة على 7

تعتمد هذه الطريقة على نمط 1 ، -3 ، 2 في أزواج الأرقام . أي أنه يمكن اختبار قابلية قسمة أي عدد على سبعة بتقسيم العدد أولًا إلى أزواج من الأرقام، ثم تطبيق الخوارزمية على ثلاثة أزواج من الأرقام (ستة أرقام). إذا كان العدد أصغر من ستة أرقام، تُملأ الخانات على اليمين بأصفار حتى يتبقى ستة أرقام. إذا كان العدد أكبر من ستة أرقام، تُكرر العملية على المجموعة التالية المكونة من ستة أرقام، ثم تُجمع النتائج. تُكرر الخوارزمية حتى يصبح الناتج عددًا صغيرًا. يكون العدد الأصلي قابلًا للقسمة على سبعة إذا وفقط إذا كان العدد الناتج باستخدام هذه الخوارزمية قابلًا للقسمة على سبعة. هذه الطريقة مناسبة بشكل خاص للأعداد الكبيرة.

مثال 1: العدد المراد اختباره هو 157514. أولًا، نقسم العدد إلى ثلاثة أزواج من الأرقام: 15، 75، و14. ثم نطبق الخوارزمية: 1 × 15 - 3 × 75 + 2 × 14 = 182. بما أن الناتج 182 أقل من ستة أرقام، نضيف أصفارًا إلى الطرف الأيمن حتى يصبح ستة أرقام. ثم نطبق الخوارزمية مرة أخرى: 1 × 18 - 3 × 20 + 2 × 0 = -42. الناتج -42 يقبل القسمة على سبعة، وبالتالي فإن العدد الأصلي 157514 يقبل القسمة على سبعة.

مثال ٢: العدد المراد اختباره هو ١٥٧٥١٥٣٧١٨٦. ( ١ × ١٥ - ٣ × ٧٥ + ٢ × ١٥) + ( ١ × ٣٧ - ٣ × ١٨ + ٢ × ٦٠) = -١٨٠ + ١٠٣ = -٧٧. الناتج -٧٧ يقبل القسمة على سبعة، وبالتالي فإن العدد الأصلي ١٥٧٥١٥٣٧١٨٦ يقبل القسمة على سبعة.

طريقة أخرى لحساب قابلية القسمة على 7 باستخدام أزواج الأرقام

طريقة

هذه طريقة غير تكرارية لإيجاد الباقي المتبقي من قسمة عدد على 7:

1. قسّم العدد إلى أزواج من الأرقام بدءًا من خانة الآحاد. أضف صفرًا في بداية العدد لإكمال الزوج الأخير إذا لزم الأمر.
2. احسب الباقي المتبقي لكل زوج من الأرقام عند القسمة على 7.
3. اضرب الباقي بالمضاعف المناسب من التسلسل 1، 2، 4، 1، 2، 4، ...  : يجب ضرب الباقي من زوج الأرقام المكون من خانة الآحاد وخانة العشرات في 1، والمئات والآلاف في 2، وعشرات الآلاف ومئات الآلاف في 4، والمليون وعشرة ملايين مرة أخرى في 1 وهكذا.
4. احسب الباقي الناتج عن كل عملية ضرب عند القسمة على 7.
5. أضف هذه البواقي.
6. باقي قسمة المجموع على 7 هو باقي قسمة العدد المعطى على 7.

على سبيل المثال:

العدد 194,536 يترك باقي قسمة قدره 6 عند القسمة على 7.

العدد 510,517,813 يترك باقي قسمة قدره 1 عند القسمة على 7.

إثبات صحة الطريقة

تعتمد هذه الطريقة على ملاحظة أن العدد 100 يترك باقيًا قدره 2 عند قسمته على 7. وبما أننا نقسم العدد إلى أزواج من الأرقام، فإننا في الأساس نحصل على قوى العدد 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10000 mod 7 = 2^2 = 4

1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 مود 7 = 1

100,000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 مود 7 = 2

10,000,000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 مود 7 = 4

وهكذا دواليك.

ثم يتم إثبات صحة الطريقة من خلال سلسلة المعادلات التالية:

ليكن N هو العدد المعطى${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}$.

${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}$

${\displaystyle [\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}$

طريقة أخرى لتجميع الأرقام لتحديد قابلية القسمة على 7

طريقة

تحدد هذه الطريقة ما إذا كان العدد الصحيح قابلاً للقسمة على 7 عن طريق تجميع الأرقام في مجموعات من ثلاثة:

ابدأ من اليمين (خانة الآحاد)، قسّم العدد إلى مجموعات من ثلاثة أرقام. إذا لزم الأمر، أضف أصفارًا بادئة لإكمال المجموعة الموجودة في أقصى اليسار.

ابدأ من المجموعة الموجودة في أقصى اليمين، ثم اجمع واطرح المجموعات بالتناوب باتجاه اليسار. أي اطرح المجموعة الثانية من الأولى، ثم أضف الثالثة، ثم اطرح الرابعة، وهكذا. احسب المجموع الناتج. إذا كان الناتج يقبل القسمة على 7، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 7؛ وإلا فلا يقبلها.

مثال

لاختبار الرقم 10,517,815:

قم بتجميع الأرقام:

٠١٠ | ٥١٧ | ٨١٥

تطبيق العمليات المتناوبة:

815 - 517 + 010 = 308

بما أن العدد 308 يقبل القسمة على 7، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 7 أيضاً.

إثبات صحة النتائج

تعتمد هذه الطريقة على الحساب النمطي. لاحظ ما يلي:

1000 ≡ −1 (mod 7)

بما أن 1000 يترك باقيًا قدره 6 عند قسمته على 7، و 6 ≡ −1 (mod 7).

يمكن التعبير عن أي عدد صحيح كمجموع مضاعفات قوى العدد 1000:

ن = _أ₀ + أ₁ _× ١٠٠٠ + _أ₂ ^× ١٠٠٠² + _أ₃ × ١٠٠٠³ ⁺ ...

الاختزال بتردد 7:

N ≡ a ₀ − a ₁ + a ₂ − a ₃ + ... (mod 7)

وبالتالي، فإن المجموع المتناوب للمجموعات المكونة من ثلاثة أرقام يطابق العدد الأصلي بتردد 7. لذلك، فإن العدد الأصلي يقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان هذا المجموع المتناوب يقبل القسمة على 7.

طريقة

للتحقق من قابلية القسمة على 11، انظر إلى مجموع الأرقام بالتناوب. على سبيل المثال، مع العدد 907,071:

${\displaystyle 9-0+7-0+7-1=22=2\times 11,}$

إذن فإن العدد 907,071 يقبل القسمة على 11.

يمكننا أن نبدأ إما بـ${\displaystyle -}$أو${\displaystyle +}$بما أن ضرب الكل في${\displaystyle -1}$لا يغير ذلك شيئاً.

إثبات صحة الطريقة

بالنظر إلى ذلك${\displaystyle 10\equiv -1{\bmod {1}}1}$يمكننا كتابة ذلك لأي عدد صحيح:

${\displaystyle {\overline {a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}}}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\equiv \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}{\bmod {1}}1.}$

اختبار الباقي 13 (1، -3، -4، -1، 3، 4، وتستمر الدورة). إذا لم تكن مرتاحًا للأعداد السالبة، فاستخدم هذه المتتالية: (1، 10، 9، 12، 3، 4).

اضرب الرقم الأيمن من العدد في الرقم الأيسر من التسلسل الموضح أعلاه، ثم اضرب الرقم الثاني من اليمين في الرقم الثاني من اليسار من العدد في التسلسل. وتستمر الدورة.

مثال: ما هو باقي قسمة 321 على 13؟ باستخدام المتتابعة الأولى، الإجابة: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17 ، الباقي = -17 mod 13 = 9

مثال: ما هو باقي قسمة العدد 1234567 على 13؟ باستخدام المتتابعة الثانية، الإجابة: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178، باقي القسمة على 13 هو 9، والباقي هو 9.

يمكن اشتقاق طريقة تكرارية باستخدام حقيقة أن${\displaystyle 10=-3{\bmod {1}}3}$وذلك${\displaystyle 10^{-1}=4{\bmod {1}}3}$هذا يعني أن العدد يقبل القسمة على 13 إذا وفقط إذا كان حذف الرقم الأول وطرح ثلاثة أضعاف ذلك الرقم من الرقم الأول الجديد ينتج عنه عدد يقبل القسمة على 13. لدينا أيضًا قاعدة أن 10س + ص يقبل القسمة إذا وفقط إذا كان س + 4ص يقبل القسمة على 13. على سبيل المثال، لاختبار قابلية 1761 للقسمة على 13، يمكننا اختزال ذلك إلى قابلية 461 للقسمة باستخدام القاعدة الأولى. باستخدام القاعدة الثانية، يُختزل ذلك إلى قابلية 50 للقسمة، وبتكرار ذلك نحصل على 5. إذن، 1761 لا يقبل القسمة على 13.

يؤدي اختبار 871 بهذه الطريقة إلى اختزاله إلى قابلية القسمة على 91 باستخدام القاعدة الثانية، ثم على 13 باستخدام تلك القاعدة مرة أخرى، لذلك نرى أن 871 قابل للقسمة على 13.

يكون العدد قابلاً للقسمة على قاسم معين إذا كان قابلاً للقسمة على أعلى قوة لكل من عوامله الأولية . على سبيل المثال، لتحديد قابلية القسمة على 36، تحقق من قابلية القسمة على 4 وعلى 9. ^{[ 6 ]} لاحظ أن التحقق من قابلية القسمة على 3 و12، أو 2 و18، لا يكفي. قد يكون جدول العوامل الأولية مفيدًا.

قد يكون للقاسم المركب قاعدة تُصاغ بنفس طريقة صياغة قاعدة القاسم الأولي، الموضحة أدناه، مع التنبيه إلى أن العمليات الحسابية لا يجوز أن تُدخل أي عامل موجود في القاسم. على سبيل المثال، لا يمكن صياغة قاعدة للعدد 14 تتضمن ضرب المعادلة في 7. لا يُشكل هذا مشكلة بالنسبة للقواسم الأولية لأنها لا تحتوي على عوامل أصغر.

لاختبار قابلية قسمة عدد ما على قوة من قوى العدد 2 أو قوة من قوى العدد 5 (2^ ⁿ أو 5^ ⁿ ، حيث n عدد صحيح موجب)، يكفي النظر إلى آخر n رقم من ذلك العدد.

لاختبار قابلية القسمة على أي عدد معبر عنه كحاصل ضرب عوامل أولية${\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}$يمكننا اختبار قابلية القسمة على كل عدد أولي على حدة، مرفوعًا إلى قوته المناسبة. على سبيل المثال، اختبار قابلية القسمة على 24 (24 = 8 × 3 = 2³ ^× 3) يُكافئ اختبار قابلية القسمة على 8 (2³ ⁾ و3 معًا، وبالتالي يكفي إثبات قابلية القسمة على 8 و3 لإثبات قابلية القسمة على 24.

الهدف هو إيجاد معكوس العدد 10 بتردد العدد الأولي قيد الدراسة (لا ينطبق هذا على 2 أو 5)، واستخدامه كمُضاعِف لجعل قابلية قسمة العدد الأصلي على هذا العدد الأولي تعتمد على قابلية قسمة العدد الجديد (الأصغر عادةً) على نفس العدد الأولي. باستخدام 31 كمثال، بما أن 10 × (-3) = -30 = 1 بتردد 31، نحصل على قاعدة استخدام y  -  3x في الجدول أدناه. وبالمثل، بما أن 10 × (28) = 280 = 1 بتردد 31 أيضًا ، نحصل على قاعدة مُكمِّلة y  +  28x من نفس النوع - حيث يُحدَّد اختيارنا للجمع أو الطرح بناءً على سهولة الحساب للقيمة الأصغر. في الواقع، هذه القاعدة للقواسم الأولية باستثناء 2 و 5 هي في الحقيقة قاعدة للقسمة على أي عدد صحيح أولي نسبيًا مع 10. ولهذا السبب فإن شرط القسمة الأخير لأي عدد أولي نسبيًا مع 10 له نفس الشكل (إضافة أو طرح مضاعف للرقم الأخير من بقية العدد).

لاختبار قابلية القسمة على D ، حيث ينتهي D بالأرقام 1 أو 3 أو 7 أو 9، يمكن استخدام الطريقة التالية. ^{[ 13 ]} ابحث عن أي مضاعف لـ D ينتهي بالرقم 9. (إذا انتهى D بالأرقام 1 أو 3 أو 7 أو 9 على التوالي، فاضربه في 9 أو 3 أو 7 أو 1). ثم أضف 1 واقسم على 10، وارمز للنتيجة بـ m . عندئذٍ، يكون العدد N = 10t + q قابلاً للقسمة على D إذا وفقط إذا كان mq + t قابلاً للقسمة على D. إذا كان العدد كبيرًا جدًا، يمكنك أيضًا تقسيمه إلى عدة سلاسل، كل منها مكون من e أرقام، بحيث تحقق إما 10e ⁼ 1 أو 10e ⁼ -1 (mod D ). يكون مجموع (أو مجموع متناوب) الأعداد قابلاً للقسمة على العدد الأصلي.

على سبيل المثال، لتحديد ما إذا كان العدد 913 = 10 × 91 + 3 يقبل القسمة على 11، نجد أن m = (11 × 9 + 1) ÷ 10 = 10. ثم mq + t = 10 × 3 + 91 = 121؛ وهذا يقبل القسمة على 11 (الناتج 11)، لذا فإن 913 يقبل القسمة على 11 أيضًا. كمثال آخر، لتحديد ما إذا كان العدد 689 = 10 × 68 + 9 يقبل القسمة على 53، نجد أن m = (53 × 3 + 1) ÷ 10 = 16. ثم mq + t = 16 × 9 + 68 = 212، وهو يقبل القسمة على 53 (الناتج 4)؛ لذا فإن 689 يقبل القسمة على 53 أيضًا.

أو بدلاً من ذلك، أي عدد Q = 10 c + d يقبل القسمة على n = 10 a + b ، بحيث يكون القاسم المشترك الأكبر ( n ، 2، 5) = 1، إذا كان c + D ( n ) d = An لعدد صحيح A ، حيث $${\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1&{\text{إذا كان }}n=10a+1,\\3a+1&{\text{إذا كان }}n=10a+3,\\7a+5&{\text{إذا كان }}n=10a+7,\\a+1&{\text{إذا كان }}n=10a+9.\end{cases}}}$$

الحدود القليلة الأولى من المتتالية، التي تم إنشاؤها بواسطة D ( n )، هي 1، 1، 5، 1، 10، 4، 12، 2،  ... (المتتالية A333448 في OEIS ) .

تم نشر الشكل القطعي لـ D ( n ) والمتتالية الناتجة عنه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات البلغاري إيفان ستويكوف في مارس 2020.

بالنسبة لـ D في الأساس b ، حيث يوجد بعض${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، و${\displaystyle d|b}$بحيث${\displaystyle D=\left({\frac {b}{d}}\right)^{n}}$فيما يلي اختبار للتحقق مما إذا كان عدد ما u يقبل القسمة على D. خذ u' يساوي u مقربًا إلى أصغر n رقمًا في النظام العددي ذي الأساس b . قابلية قسمة u على D هي نفسها قابلية قسمة u' على D. اضرب u' في${\displaystyle d^{n}}$إذا كان عدد الأصفار اللاحقة في الناتج أكبر من أو يساوي n ، فإن u يقبل القسمة على D. إن اقتطاع u ليس ضروريًا تمامًا ولكنه أسرع بشكل عام.

يمكن استنتاج العديد من القواعد الأبسط باستخدام العمليات الجبرية فقط، وذلك بإنشاء ثنائيات الحدود وإعادة ترتيبها. بكتابة العدد على شكل مجموع كل رقم مضروبًا في قوة من قوى العدد 10، يمكن التعامل مع قوة كل رقم على حدة.

سيوضح هذا القسم الطريقة الأساسية؛ ويمكن استنتاج جميع القواعد باتباع الإجراء نفسه. يتطلب ما يلي معرفة أساسية بالحساب النمطي ؛ أما بالنسبة لقابلية القسمة على أعداد أخرى غير 2 و5، فتعتمد البراهين على الحقيقة الأساسية القائلة بأن 10 mod m قابل للعكس إذا كان 10 و m أوليين فيما بينهما.