Lp space

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 461 صور
الموسوعة الحرة

In mathematics, the Lp spaces are function spaces defined using a natural generalization of the p-norm for finite-dimensional vector spaces. They are sometimes called Lebesgue spaces, named after Henri Lebesgue(Dunford & Schwartz 1958, III.3), although according to the Bourbaki group (Bourbaki 1987) they were first introduced by Frigyes Riesz(Riesz 1910).

Lp spaces form an important class of Banach spaces in functional analysis, and of topological vector spaces. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.

Preliminaries

The p-norm in finite dimensions

Illustrations of unit circles (see also superellipse) in R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} based on different p{\displaystyle p}-norms (every vector from the origin to the unit circle has a length of one, the length being calculated with length-formula of the corresponding p{\displaystyle p}).

The Euclidean length of a vector x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} in the n{\displaystyle n}-dimensional realvector spaceRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} is given by the Euclidean norm: ‖x‖2=(x12+x22+⋯+xn2)1/2.{\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}

The Euclidean distance between two points x{\displaystyle x} and y{\displaystyle y} is the length ‖x−y‖2{\displaystyle \|xy\|_{2}} of the straight line between the two points. In many situations, the Euclidean distance is appropriate for capturing the actual distances in a given space. In contrast, consider taxi drivers in a grid street plan who should measure distance not in terms of the length of the straight line to their destination, but in terms of the rectilinear distance, which takes into account that streets are either orthogonal or parallel to each other. The class of p{\displaystyle p}-norms generalizes these two examples and has an abundance of applications in many parts of mathematics, physics, and computer science.

For a real numberp≥1,{\displaystyle p\geq 1,} the p{\displaystyle p}-norm or Lp{\displaystyle L^{p}}-norm of x{\displaystyle x} is defined by ‖x‖p=(|x1|p+|x2|p+⋯+|xn|p)1/p.{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.} The absolute value bars can be dropped when p{\displaystyle p} is an even integer, and x{\displaystyle x} is drawn from the set of real numbers, or one of its subsets.

The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2{\displaystyle 2}-norm, and the 1{\displaystyle 1}-norm is the norm that corresponds to the rectilinear distance.

The L∞{\displaystyle L^{\infty }}المعيار - أو المعيار الأقصى (أو المعيار الموحد) هو حدلص{\displaystyle L^{p}}- المعايير لـص→∞{\displaystyle p\to \infty }، مقدمة من: ‖x‖∞=الأعلى{|x1|،|x2|،...،|xن|}{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}

للجميعص≥1،{\displaystyle p\geq 1,}الص{\displaystyle p}تُحقق المعايير - والمعيار الأقصى خصائص "دالة الطول" (أو المعيار )، أي:

  • المتجه الصفري فقط هو الذي له طول صفري،
  • طول المتجه متجانس موجبًا بالنسبة للضرب في عدد قياسي ( تجانس موجب )، و
  • طول مجموع متجهين لا يزيد عن مجموع أطوال المتجهين ( متباينة المثلث ).

بصورة مجردة، هذا يعني أنRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بالإضافة إلىص{\displaystyle p}-norm هو فضاء متجهي معياري . علاوة على ذلك، تبين أن هذا الفضاء كامل ، مما يجعله فضاء باناخ .

العلاقات بين معايير p

المسافة الشبكية أو المسافة المستقيمة (وتسمى أحيانًا " مسافة مانهاتن ") بين نقطتين لا تقل أبدًا عن طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما (المسافة الإقليدية أو "مسافة الخط المستقيم"). وبعبارة أخرى، هذا يعني أن المعيار الإقليدي لأي متجه محدود بمعياره 1. ‖x‖2≤‖x‖1.{\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}

هذه الحقيقة تنطبق علىص{\displaystyle p}- المعايير في ذلكص{\displaystyle p}-norm‖x‖ص{\displaystyle \|x\|_{p}}لأي متجه معطىx{\displaystyle x}لا ينمو معص{\displaystyle p}:

‖x‖ص+أ≤‖x‖ص{\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}لأي متجهx{\displaystyle x}والأعداد الحقيقيةص≥1{\displaystyle p\geq 1}وأ≥0.{\displaystyle a\geq 0.}(في الواقع، هذا لا يزال صحيحًا بالنسبة لـ)0<ص<1{\displaystyle 0<p<1}وأ≥0{\displaystyle a\geq 0}.)

أما في الاتجاه المعاكس، فتكون العلاقة بين1{\displaystyle 1}-norm و2{\displaystyle 2}المعيار - معروف: ‖x‖1≤ن‖x‖2 .{\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}

يعتمد هذا التفاوت على البُعدن{\displaystyle n}من الفضاء المتجهي الأساسي ويتبع مباشرة من متباينة كوشي-شفارتز .

بشكل عام، بالنسبة للمتجهات فيجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}أين0<ر<ص:{\displaystyle 0<r<p:}‖x‖ص≤‖x‖ر≤ن1ر-1ص‖x‖ص .\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}

هذا نتيجة لمتباينة هولدر .

عندما 0 < p < 1

كويكب ، دائرة الوحدة فيص=23{\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}متري

فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لن>1،{\displaystyle n>1,}الصيغة ‖x‖ص=(|x1|ص+|x2|ص+⋯+|xن|ص)1/ص{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}} تُعرّف دالة متجانسة تمامًا لـ0<ص<1؛{\displaystyle 0<p<1;}مع ذلك، فإن الدالة الناتجة لا تُعرّف معيارًا، لأنها ليست شبه جمعية . من ناحية أخرى، الصيغة |x1|ص+|x2|ص+⋯+|xن|ص{\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}} يُعرّف هذا النموذج دالة شبه جمعية على حساب فقدان التجانس المطلق. ومع ذلك، فهو يُعرّف معيار F ، وهو متجانس من الدرجةص.{\displaystyle p.}

وبالتالي، فإن الوظيفة دص(x،y)=∑أنا=1ن|xأنا-yأنا|ص{\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}} يُعرّف مقياسًا . الفضاء المتري(Rن،دص){\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}يُرمز إليه بـℓنص.{\displaystyle \ell _{n}^{p}.}

على الرغم من أنص{\displaystyle p}-كرة الوحدةبنص{\displaystyle B_{n}^{p}}تُعرَّف المنطقة المحيطة بالأصل في هذا المقياس بأنها "مقعرة"، والطوبولوجيا المحددة علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}حسب المقياسبص{\displaystyle B_{p}}هي طوبولوجيا الفضاء المتجهي المعتادة لـRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}لذلكℓنص{\displaystyle \ell _{n}^{p}}هو فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا . وبغض النظر عن هذا الوصف النوعي، توجد طريقة كمية لقياس عدم تحدب هذا الفضاء.ℓنص{\displaystyle \ell _{n}^{p}}هو أن يدل علىجص(ن){\displaystyle C_{p}(n)}أصغر ثابتج{\displaystyle C}بحيث يكون المضاعف القياسيجبنص{\displaystyle C\,B_{n}^{p}}التابعص{\displaystyle p}تحتوي الكرة الوحدوية على الغلاف المحدب لـبنص،{\displaystyle B_{n}^{p},}وهو ما يساويبن1.{\displaystyle B_{n}^{1}.}حقيقة أن ذلك بالنسبة للثابتص<1{\displaystyle p<1}لدينا جص(ن)=ن1ص-1→∞،مثل ن→∞{\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty } يُظهر ذلك أن فضاء التسلسل اللانهائي الأبعادℓص{\displaystyle \ell ^{p}}[ 1 ]​

عندما تكون قيمة p = 0

في هذه الحالةص=0{\displaystyle p=0}لا يوجد معيار نزيه، والبديل هو معيار F غير محدب محليًا . يمكن التعبير عن معيار F بواسطة (xن)↦‖x‖:=د(0،x)=∑ن|xن|1+|xن|.{\displaystyle (x_{n})\mapsto \|x\|:=d(0,x)=\sum _{n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}}.}

في بعض الأحيان يتم تعريف "معيار" مختلف، لكن الطوبولوجيا التي يحددها ليست الطوبولوجيا المعتادة: [ 2 ]‖x‖=|{أنا|xأنا≠0}|.{\displaystyle \|x\|=|\{i|x_{i}\neq 0\}|.} هذا هو الحد الأقصى لـص{\displaystyle p}- "المعايير" كـص→0+{\displaystyle p\to 0^{+}}. يعطي مسافة هامينغ على المجموعة.

صورة متحركة بصيغة GIF لدوائر الوحدة في معايير p من 0.1 إلى 2 بخطوة 0.05.
صورة متحركة بصيغة GIF لقيم p-norms من 0.1 إلى 2 بخطوة مقدارها 0.05.

فضاءات pℓ وفضاءات التسلسل

الص{\displaystyle p}يمكن توسيع معيار -norm ليشمل المتجهات التي تحتوي على عدد لا نهائي من المكونات ( متتاليات )، مما ينتج عنه الفضاءℓص.{\displaystyle \ell ^{p}.}وهذا يتضمن الحالات الخاصة التالية:

تتمتع فضاءات المتتابعات ببنية فضاء متجهي طبيعية عند تطبيق الجمع والضرب القياسيين. وبشكلٍ أدق، يُعطى المجموع المتجهي والفعل القياسي للمتتابعات اللانهائية من الأعداد الحقيقية (أو المركبة ) بالصيغة التالية:(x1،x2،...،xن،xن+1،...)+(y1،y2،...،yن،yن+1،...)=(x1+y1،x2+y2،...،xن+yن،xن+1+yن+1،...)،λ⋅(x1،x2،...،xن،xن+1،...)=(λx1،λx2،...،λxن،λxن+1،...).{\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}

عرّفص{\displaystyle p}-norm: ‖x‖ص=(|x1|ص+|x2|ص+⋯+|xن|ص+|xن+1|ص+⋯)1/ص{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}

وهنا ينشأ تعقيد، وهو أن المتسلسلة على اليمين ليست متقاربة دائمًا، فعلى سبيل المثال، المتتالية المكونة من الآحاد فقط،(1،1،1،...)،{\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}سيكون له عدد لا نهائيص{\displaystyle p}المعيار لـ1≤ص<∞.{\displaystyle 1\leq p<\infty .}المساحةℓص{\displaystyle \ell ^{p}}ثم يُعرَّف بأنه مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية من الأعداد الحقيقية (أو المركبة) التي تحققص{\displaystyle p}المعيار- محدود.

يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك كما يلي:ص{\displaystyle p}يزداد، المجموعةℓص{\displaystyle \ell ^{p}}يزداد حجمه. على سبيل المثال، التسلسل (1،12،...،1ن،1ن+1،...){\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)} ليس فيℓ1،{\displaystyle \ell ^{1},}لكنها فيℓص{\displaystyle \ell ^{p}}لص>1،{\displaystyle p>1,}كما هو الحال في المسلسل 1ص+12ص+⋯+1نص+1(ن+1)ص+⋯،{\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,} يتباعد لـص=1{\displaystyle p=1}( المتسلسلة التوافقية )، لكنها متقاربة لـص>1.{\displaystyle p>1.}

كما يُعرّف المرء أيضًا∞{\displaystyle \infty }-norm باستخدام القيمة العليا : ‖x‖∞=رشفة(|x1|،|x2|،...،|xن|،|xن+1|،...){\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )} والفضاء المقابلℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }}من بين جميع المتتاليات المحدودة. اتضح أن [ 3 ]‖x‖∞=ليمص→∞‖x‖ص{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}} إذا كان الطرف الأيمن محدودًا، أو كان الطرف الأيسر غير محدود. وبالتالي، سننظر فيℓص{\displaystyle \ell ^{p}}مساحات لـ1≤ص≤∞.{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}

الص{\displaystyle p}تم تعريف المعيار - على النحو التاليℓص{\displaystyle \ell ^{p}}هو بالفعل أمر طبيعي، وℓص{\displaystyle \ell ^{p}}إلى جانب هذا المعيار يوجد فضاء باناخ .

فضاء عام ℓ p

وبالمثل تماماً للتعريف السابق، يمكن تعريف الفضاءℓص(أنا){\displaystyle \ell ^{p}(I)}على مجموعة فهرس عامةأنا{\displaystyle I}(و1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }) مثل ℓص(أنا)={(xأنا)أنا∈أنا∈كأنا:∑أنا∈أنا|xأنا|ص<+∞}،{\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},} حيث يتطلب التقارب من اليمين أن يكون عدد الحدود غير الصفرية قابلاً للعد فقط (انظر أيضًا التقارب المطلق على المجموعات ). مع المعيار ‖x‖ص=(∑أنا∈أنا|xأنا|ص)1/ص{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}} المساحةℓص(أنا){\displaystyle \ell ^{p}(I)}يصبح فضاء باناخ. في الحالة التيأنا{\displaystyle I}محدود معن{\displaystyle n}ينتج عن هذه العناصرRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}معص{\displaystyle p}المعيار المحدد أعلاه. إذاأنا{\displaystyle I}إذا كان عدديًا لانهائيًا، فهذا هو بالضبط فضاء المتتالياتℓص{\displaystyle \ell ^{p}}كما هو موضح أعلاه. للمجموعات غير المعدودةأنا{\displaystyle I}هذا فضاء باناخ غير قابل للفصل، ويمكن اعتباره النهاية المباشرة المحدبة محليًا لـℓص{\displaystyle \ell ^{p}}مساحات التسلسل. [ 4 ]

لص=2،{\displaystyle p=2,}ال‖⋅‖2{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}يتم استنباط المعيار - حتى من خلال الضرب الداخلي المتعارف عليه⟨⋅،⋅⟩،{\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}يُطلق عليه اسمالضرب الداخلي الإقليدي ، مما يعني أن‖x‖2=⟨x،x⟩{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}ينطبق هذا على جميع المتجهاتx.{\displaystyle \mathbf {x} .}يمكن التعبير عن هذا المنتج الداخلي بدلالة المعيار باستخدام متطابقة الاستقطاب .ℓ2،{\displaystyle \ell ^{2},}ويمكن تعريفه من خلال ⟨(xأنا)أنا،(yن)أنا⟩ℓ2 = ∑أناxأناyأنا¯.{\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}.} والآن لننظر في هذه الحالةص=∞.{\displaystyle p=\infty .}عرّف [ ملاحظة 1 ]ℓ∞(أنا)={x∈كأنا:رشفةيتراوح⁡|x|<+∞}،{\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},} أين للجميعx{\displaystyle x}[ 5 ] [ ملاحظة 2 ]‖x‖∞≡معلومات{ج∈R≥0:|xأنا|≤ج للجميع أنا∈أنا}={رشفةيتراوح⁡|x|لو X≠∅،0لو X=∅.{\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}

مجموعة الفهرسأنا{\displaystyle I}يمكن تحويلها إلى فضاء قياس بإعطائها جبر سيجما المنفصل ومقياس العد . ثم الفضاءℓص(أنا){\displaystyle \ell ^{p}(I)}هي مجرد حالة خاصة من الحالة الأكثر عموميةلص{\displaystyle L^{p}}-مسافة (محددة أدناه).

فضاءات L p وتكاملات ليبيغ

أنلص{\displaystyle L^{p}}يمكن تعريف الفضاء بأنه فضاء من الدوال القابلة للقياس والتي من أجلهاص{\displaystyle p}القوة من الرتبة n للقيمة المطلقة قابلة للتكامل وفقًا لليبيغ ، حيث يتم تحديد الدوال التي تتطابق تقريبًا في كل مكان. وبشكل أعم، ليكن(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}كن مساحة قياس و1≤ص≤∞.{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}[ ملاحظة 3 ] عندماص≠∞{\displaystyle p\neq \infty }، ضع في اعتبارك المجموعةلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}من بين جميع الوظائف القابلة للقياسو{\displaystyle f}منS{\displaystyle S}لج{\displaystyle \mathbb {C} }أوR{\displaystyle \mathbb {R} }قيمتها المطلقة مرفوعة إلىص{\displaystyle p}للقوة -th تكامل محدود، أو بالرموز: [ 6 ]‖و‖ص =تعريف (∫S|و|صدμ)1/ص<∞.{\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}

لتحديد المجموعة لـص=∞،{\displaystyle p=\infty ,}تذكر أن هناك دالتينو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}محدد فيS{\displaystyle S}يقال إنها متساوية تقريبًا في كل مكان ، مكتوبةو=ز{\displaystyle f=g}ae ، إذا كانت المجموعة{s∈S:و(s)≠ز(s)}{\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}دالة قابلة للقياس وقياسها يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن الدالة القابلة للقياسو{\displaystyle f}(وقيمته المطلقة ) محدودة (أو مهيمنة ) تقريبًا في كل مكان بواسطة عدد حقيقيج،{\displaystyle C,}مكتوب|و|≤ج{\displaystyle |f|\leq C}ae ، إذا كانت المجموعة قابلة للقياس (بالضرورة){s∈S:|و(s)|>ج}{\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}له قياس صفر. الفضاءل∞(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}هي مجموعة جميع الدوال القابلة للقياسو{\displaystyle f}التي تكون محدودة في كل مكان تقريبًا (ببعض الحدود الحقيقية)ج{\displaystyle C}) و‖و‖∞{\displaystyle \|f\|_{\infty }}يُعرَّف بأنه الحد الأدنى لهذه الحدود: ‖و‖∞ =تعريف معلومات{ج∈R≥0:|و(s)|≤ج لكل شيء تقريبًا s}.{\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.} متىμ(S)≠0{\displaystyle \mu (S)\neq 0}إذن، هذا هو نفسه الحد الأعلى الأساسي للقيمة المطلقة لـو{\displaystyle f}: [ ملاحظة 4 ]‖و‖∞ = {essup⁡|و|لو μ(S)>0،0لو μ(S)=0.{\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}

على سبيل المثال، إذاو{\displaystyle f}هي دالة قابلة للقياس تساوي0{\displaystyle 0}في كل مكان تقريبًا [ ملاحظة 5 ] ثم‖و‖ص=0{\displaystyle \|f\|_{p}=0}لكلص{\displaystyle p}وبالتاليو∈لص(S،μ){\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}للجميعص.{\displaystyle p.}

لكل إيجابيص،{\displaystyle p,}القيمة أدناه‖⋅‖ص{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}لوظيفة قابلة للقياسو{\displaystyle f}وقيمتها المطلقة|و|:S→[0،∞]{\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}هي دائماً متشابهة (أي،‖و‖ص=‖|و|‖ص{\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}للجميعص{\displaystyle p}وبالتالي فإن الدالة القابلة للقياس تنتمي إلىلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}إذا وفقط إذا كانت قيمتها المطلقة كذلك. ولهذا السبب، فإن العديد من الصيغ التي تتضمنص{\displaystyle p}تُذكر المعايير فقط للدوال الحقيقية غير السالبة. لنأخذ على سبيل المثال دالة الهوية‖و‖صر=‖ور‖ص/ر،{\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}وهو ما يحدث متىو≥0{\displaystyle f\geq 0}قابل للقياس،ر>0{\displaystyle r>0}حقيقي، و0<ص≤∞{\displaystyle 0<p\leq \infty }(هنا∞/ر=تعريف∞{\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }متىص=∞{\displaystyle p=\infty }شرط عدم السلبيةو≥0{\displaystyle f\geq 0}يمكن إزالتها عن طريق الاستبدال|و|{\displaystyle |f|}في من أجلو،{\displaystyle f,}مما يعطي‖|و|‖صر=‖|و|ر‖ص/ر.{\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.} لاحظ على وجه الخصوص أنه عندماص=ر{\displaystyle p=r}إذا كانت محدودة، فإن الصيغة‖و‖صص=‖|و|ص‖1{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}ويتعلق بـص{\displaystyle p}- المعيار إلى1{\displaystyle 1}-norm.

الفضاء شبه المعياري لـص{\displaystyle p}الدوال القابلة للتكامل من الرتبة n

كل مجموعة من الوظائفلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}يشكل فضاءً متجهيًا عندما تُعرَّف عمليتا الجمع والضرب القياسي نقطيًا. [ ملاحظة 6 ] أن مجموع اثنينص{\displaystyle p}الدوال القابلة للتكامل من الرتبة nو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}مرة أخرىص{\displaystyle p}قابل للتكامل من الرتبة n وينتج عن‖و+ز‖صص≤2ص-1(‖و‖صص+‖ز‖صص)،{\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}[ البرهان 1 ] على الرغم من أنه أيضًا نتيجةلمتباينة مينكوفسكي‖و+ز‖ص≤‖و‖ص+‖ز‖ص{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} مما يثبت ذلك‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}يحقق متباينة المثلث لـ1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }(لا تتحقق متباينة المثلث لـ0<ص<1{\displaystyle 0<p<1}). الذي - التيلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}إن كون المجال مغلقًا تحت عملية الضرب القياسي يرجع إلى‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}كونها متجانسة تماماً ، مما يعني أن‖sو‖ص=|s|‖و‖ص{\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}لكل عدد قياسيs{\displaystyle s}وكل وظيفةو.{\displaystyle f.}

التجانس المطلق ، ومتباينة المثلث ، وعدم السلبية هي الخصائص المميزة لشبه المعيار .‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}هو شبه معيار ومجموعةلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}لص{\displaystyle p}الدوال القابلة للتكامل من الرتبة n بالإضافة إلى الدالة‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}يُعرّف فضاءً متجهيًا شبه معياري . وبشكل عام، فإن المعيار شبه المعياري‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}لا يُعدّ هذا معيارًا لأنه قد توجد وظائف قابلة للقياسو{\displaystyle f}ذلك يرضي‖و‖ص=0{\displaystyle \|f\|_{p}=0}لكنها ليست متساوية تمامًا0{\displaystyle 0}[ ملاحظة 5 ] (‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}يكون الوضع طبيعياً إذا وفقط إذا لم يكن هناك مثل هذاو{\displaystyle f}موجود).

مجموعة صفرية منص{\displaystyle p}-الندوات

لوو{\displaystyle f}قابل للقياس ويساوي0{\displaystyle 0}ثم‖و‖ص=0{\displaystyle \|f\|_{p}=0}لكل الإيجابياتص≤∞.{\displaystyle p\leq \infty .} من ناحية أخرى، إذاو{\displaystyle f}هي دالة قابلة للقياس يوجد لها بعض0<ص≤∞{\displaystyle 0<p\leq \infty }بحيث‖و‖ص=0{\displaystyle \|f\|_{p}=0}ثمو=0{\displaystyle f=0}في كل مكان تقريباً. عندماص{\displaystyle p}إذا كانت محدودة، فإن هذا يتبع منص=1{\displaystyle p=1}الحالة والصيغة‖و‖صص=‖|و|ص‖1{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}المذكور أعلاه.

وبالتالي إذاص≤∞{\displaystyle p\leq \infty }إيجابي وو{\displaystyle f}إذا كانت أي دالة قابلة للقياس،‖و‖ص=0{\displaystyle \|f\|_{p}=0}إذا وفقط إذاو=0{\displaystyle f=0}في كل مكان تقريبًا . منذ الجانب الأيمن (و=0{\displaystyle f=0}(أ) لا يذكرص،{\displaystyle p,}ويترتب على ذلك أن كل‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}لها نفس مجموعة الأصفار (لا يعتمد ذلك علىص{\displaystyle p}لذا، نرمز إلى هذه المجموعة المشتركة بـ شمال=تعريف{و:و=0 μ-في كل مكان تقريبًا}={و∈لص(S،μ):‖و‖ص=0}∀ ص.{\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.} هذه المجموعة هي فضاء متجهي جزئي منلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}لكل إيجابيص≤∞.{\displaystyle p\leq \infty .}

فضاء متجه القسمة

مثل كل شبه معيار ، فإن شبه المعيار‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}يُنشئ معيارًا (يُعرّف بإيجاز) على فضاء متجه القسمة الكنسي لـلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}بواسطة فضاء المتجهات الخاص به شمال={و∈لص(S،μ):‖و‖ص=0}.{\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.} يُطلق على فضاء القسمة المعياري هذا اسم فضاء ليبيغ ، وهو موضوع هذه المقالة. نبدأ بتعريف فضاء متجه القسمة.

مع أيو∈لص(S،μ)،{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}المجموعة المشاركةو+شمال=تعريف{و+ح:ح∈شمال}{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}يتألف من جميع الوظائف القابلة للقياسز{\displaystyle g}التي تساويو{\displaystyle f}في كل مكان تقريبًا . مجموعة جميع المشاركات، والتي يُرمز إليها عادةً بـ لص(S،μ)/شمال  =تعريف  {و+شمال:و∈لص(S،μ)}،{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},} يشكل فضاءً متجهيًا له نقطة أصل0+شمال=شمال{\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}عندما يتم تعريف جمع المتجهات وضرب الكميات القياسية بواسطة(و+شمال)+(ز+شمال)=تعريف(و+ز)+شمال{\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}وs(و+شمال)=تعريف(sو)+شمال.{\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.} سيُرمز إلى فضاء متجه القسمة المحدد هذا بـ لص(S،μ) =تعريف لص(S،μ)/شمال.{\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.} مجموعتان مشاركتان متساويتانو+شمال=ز+شمال{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}إذا وفقط إذاز∈و+شمال{\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}(أو ما يعادل ذلك،و-ز∈شمال{\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}، وهو ما يحدث إذا وفقط إذاو=ز{\displaystyle f=g}في كل مكان تقريبًا؛ إذا كان هذا هو الحال إذنو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}يتم تحديدها في فضاء القسمة. وبالتالي، بالمعنى الدقيق للكلمةلص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}يتكون من فئات تكافؤ الدوال. [ 7 ]

الص{\displaystyle p}المعيار - على فضاء متجه القسمة

مع أيو∈لص(S،μ)،{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}قيمة شبه المعيار‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}على المجموعة المشاركةو+شمال={و+ح:ح∈شمال}{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}ثابت ويساوي‖و‖ص؛{\displaystyle \|f\|_{p};}نرمز إلى هذه القيمة الفريدة بـ‖و+شمال‖ص،{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}لهذا السبب: ‖و+شمال‖ص=تعريف‖و‖ص.{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.} هذه المهمةو+شمال↦‖و+شمال‖ص{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}يُعرّف خريطة، والتي سيُشار إليها أيضًا بـ‖⋅‖ص،{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}في فضاء متجه القسمةلص(S،μ)  =تعريف  لص(S،μ)/شمال = {و+شمال:و∈لص(S،μ)}.{\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.} هذه الخريطة هي معيار علىلص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}يُطلق عليه اسمص{\displaystyle p}المعيار - القيمة‖و+شمال‖ص{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}من مجموعة مشتركةو+شمال{\displaystyle f+{\mathcal {N}}}مستقل عن الوظيفة المحددةو{\displaystyle f}تم اختيار ذلك لتمثيل المجموعة المشاركة، مما يعني أنه إذاج∈لص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}هل أي مجموعة مشاركة إذن‖ج‖ص=‖و‖ص{\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}لكلو∈ج{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}(منذج=و+شمال{\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}لكلو∈ج{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}).

ليبيغلص{\displaystyle L^{p}}فضاء

الفضاء المتجهي المعياري(لص(S،μ)،‖⋅‖ص){\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}يُطلق عليه اسملص{\displaystyle L^{p}}الفضاء أو فضاء ليبيغص{\displaystyle p}الدوال القابلة للتكامل من الرتبة n، وهو فضاء باناخ لكل منها1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }(بمعنى أنها فضاء متري كامل ، وهي نتيجة تُسمى أحيانًا نظرية ريز-فيشر ). عندما يكون فضاء القياس الأساسيS{\displaystyle S}إذن، هذا مفهوملص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}غالباً ما يتم اختصارهالص(μ)،{\displaystyle L^{p}(\mu ),}أو حتى مجردلص.{\displaystyle L^{p}.} بحسب المؤلف، فإن تدوين الرموز السفليةلص{\displaystyle L_{p}}قد يشير إلى أي مما يليلص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}أول1/ص(S،μ).{\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}

إذا كان شبه المعيار‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}علىلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}يحدث أن يكون هذا هو الوضع الطبيعي (وهذا يحدث فقط إذا وفقط إذاشمال={0}{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}) ثم الفضاء المعياري(لص(S،μ)،‖⋅‖ص){\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}سيكون متماثلًا خطيًا متساوي القياس مع فضاء القسمة المعياري(لص(S،μ)،‖⋅‖ص){\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}عبر الخريطة المتعارف عليهاز∈لص(S،μ)↦{ز}{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}(منذز+شمال={ز}{\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}بمعنى آخر، سيكونان، حتى التساوي الخطي ، نفس الفضاء المعياري، وبالتالي يمكن تسميتهما كلاهما "لص{\displaystyle L^{p}}فضاء".

يمكن تعميم التعريفات المذكورة أعلاه لتشمل فضاءات بوخنر .

بشكل عام، لا يمكن عكس هذه العملية: لا توجد طريقة متسقة لتحديد ممثل "معياري" لكل مجموعة مشاركة منشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}فيلص.{\displaystyle L^{p}.}لل∞،{\displaystyle L^{\infty },}ومع ذلك، توجد نظرية مفادها أن المصاعد تُمكّن من هذا التعافي.

حالات خاصة

ل1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }الℓص{\displaystyle \ell ^{p}}المساحات هي حالة خاصة منلص{\displaystyle L^{p}}المساحات؛ عندماS{\displaystyle S}هي الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }وμ{\displaystyle \mu }هو مقياس العد . وبشكل أعم، إذا نظرنا إلى أي مجموعةS{\displaystyle S}باستخدام مقياس العد، فإن الناتجلص{\displaystyle L^{p}}يُشار إلى الفراغ بـℓص(S).{\displaystyle \ell ^{p}(S).}على سبيل المثال،ℓص(Z){\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}هي فضاء جميع المتتاليات المفهرسة بالأعداد الصحيحة، وعند تعريفص{\displaystyle p}في فضاء كهذا، يتم حساب المعيار -norm، أي الجمع على جميع الأعداد الصحيحة.ℓص(ن)،{\displaystyle \ell ^{p}(n),}أينن{\displaystyle n}هل المجموعة معن{\displaystyle n}العناصر، هيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}معص{\displaystyle p}المعيار كما هو مُعرّف أعلاه.

على غرارℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}مساحات،ل2{\displaystyle L^{2}}هو الفضاء الوحيد لهيلبرت بينلص{\displaystyle L^{p}}في حالة الفضاءات المعقدة، يكون الضرب الداخلي علىل2{\displaystyle L^{2}}يتم تعريفها بواسطة ⟨و،ز⟩=∫Sو(x)ز(x)¯دμ(x).{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x).} الوظائف فيل2{\displaystyle L^{2}}تُسمى أحيانًا بالدوال القابلة للتكامل التربيعي ، أو الدوال القابلة للتكامل التربيعي ، أو الدوال القابلة للجمع التربيعي ، ولكن في بعض الأحيان تُستخدم هذه المصطلحات للدوال القابلة للتكامل التربيعي بمعنى آخر، مثل معنى تكامل ريمان ( تيتشمارش 1976 ) .

كما هو الحال في أي فضاء هيلبرت، كل فضاءل2{\displaystyle L^{2}}متساوي القياس خطيًا بالنسبة إلى مناسبℓ2(أنا)،{\displaystyle \ell ^{2}(I),}حيث تمثل قيمة عنصر المجموعةأنا{\displaystyle I}عدد عناصر أساس اعتباطي لهذا النوع المحددل2.{\displaystyle L^{2}.}

إذا استخدمنا دوال ذات قيم مركبة، فإن الفضاءل∞{\displaystyle L^{\infty }}هو جبر تبديلي من نوع C* مع ضرب نقطي ومرافقة. بالنسبة للعديد من فضاءات القياس، بما في ذلك جميع الفضاءات ذات سيجما-المنتهية، فهو في الواقع جبر فون نيومان تبديلي . عنصر منل∞{\displaystyle L^{\infty }}يُعرّف عاملًا محدودًا على أيلص{\displaystyle L^{p}}المساحة عن طريق الضرب .

عندما 0 < p < 1

لو0<ص<1،{\displaystyle 0<p<1,}ثملص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}يمكن تعريفها على النحو المذكور أعلاه، أي: شمالص(و)=∫S|و|صدμ<∞.{\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .} لكن في هذه الحالة، فإنص{\displaystyle p}-norm‖و‖ص=شمالص(و)1/ص{\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p}}لا تحقق متباينة المثلث، ولا تُعرّف سوى شبه معيار .(أ+ب)ص≤أص+بص،{\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}صالح لـأ،ب≥0،{\displaystyle a,b\geq 0,}يشير ذلك إلى أن شمالص(و+ز)≤شمالص(و)+شمالص(ز){\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)} وبالتالي الوظيفة دص(و،ز)=شمالص(و-ز)=‖و-ز‖صص{\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}} هو مقياس علىلص(μ).{\displaystyle L^{p}(\mu ).}الفضاء المتري الناتج كامل ، ولكنه ليس محدبًا محليًا . [ 8 ]

في هذا السياقلص{\displaystyle L^{p}}يحقق متباينة مينكوفسكي العكسية ، أي لـu،v∈لص{\displaystyle u,v\in L^{p}}‖|u|+|v|‖ص≥‖u‖ص+‖v‖ص{\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}

يمكن استخدام هذه النتيجة لإثبات متباينات كلاركسون ، والتي بدورها تُستخدم لإثبات التحدب المنتظم للفضاءاتلص{\displaystyle L^{p}}ل1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }( آدامز وفورنييه 2003 ) .

المساحةلص{\displaystyle L^{p}}ل0<ص<1{\displaystyle 0<p<1}هو فضاء-F : يقبل مقياسًا كاملًا ثابتًا تحت الإزاحة، وتكون عمليات فضاء المتجهات متصلة بالنسبة له. وهو المثال النموذجي لفضاء- F الذي، بالنسبة لمعظم فضاءات القياس المعقولة، ليس محدبًا محليًا : فيℓص{\displaystyle \ell ^{p}}أولص([0،1])،{\displaystyle L^{p}([0,1]),}كل مجموعة محدبة مفتوحة تحتوي على0{\displaystyle 0}الدالة غير محدودة بالنسبة لـص{\displaystyle p}شبه معيار؛ لذلك،0{\displaystyle 0}لا يمتلك المتجه نظامًا أساسيًا من الجوارات المحدبة. على وجه التحديد، يكون هذا صحيحًا إذا كانت مساحة القياسS{\displaystyle S}تحتوي على عائلة لانهائية من المجموعات القابلة للقياس المنفصلة ذات القياس الموجب المحدود.

المجموعة المفتوحة المحدبة الوحيدة غير الفارغة فيلص([0،1]){\displaystyle L^{p}([0,1])}الفضاء بأكمله. وبالتالي، لا توجد دوال خطية متصلة غير صفرية علىلص([0،1])؛{\displaystyle L^{p}([0,1]);}الفضاء الثنائي المتصل هو الفضاء الصفري. في حالة قياس العد على الأعداد الطبيعية (أيلص(μ)=ℓص{\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}), الدوال الخطية المحدودة علىℓص{\displaystyle \ell ^{p}}وهي تحديداً تلك التي تقع ضمن حدودℓ1{\displaystyle \ell ^{1}}أي تلك التي تُعطى بواسطة المتتاليات فيℓ∞.{\displaystyle \ell ^{\infty }.}بالرغم منℓص{\displaystyle \ell ^{p}}على الرغم من احتوائها على مجموعات مفتوحة محدبة غير تافهة، إلا أنها لا تحتوي على عدد كافٍ منها لتوفير أساس للطوبولوجيا.

يُعدّ عدم وجود دوال خطية أمرًا غير مرغوب فيه للغاية لأغراض التحليل. في حالة مقياس ليبيغ علىRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}بدلاً من العمل معلص{\displaystyle L^{p}}ل0<ص<1،{\displaystyle 0<p<1,}من الشائع العمل مع فضاء هاردي H <sub> p</sub> كلما أمكن ذلك، لأنه يحتوي على عدد لا بأس به من الدوال الخطية: ما يكفي لتمييز النقاط عن بعضها البعض. ومع ذلك، لا تزال نظرية هان-باناخ غير صالحة في H<sub> p </sub> لـص<1{\displaystyle p<1}( دورين 1970 ، §7.5) .

عندما تكون قيمة p = 0

بالنسبة لفضاء قياس محدود(X،μ){\displaystyle (X,\mu )}،ل0(μ){\displaystyle L^{0}(\mu )}يُعرَّف بأنه فضاء جميعμ{\displaystyle \mu }الدوال القابلة للقياس، حيث تُعرَّف الدوال بأنها تلك التي تكون متساوية تقريبًا في كل مكان. ويُعرَّف معيار F بالمعادلة [ 9 ].‖و‖0=∫X|و(x)|1+|و(x)|دμ(x).{\displaystyle \|f\|_{0}=\int _{X}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}d\mu (x).} هذا ليس معيارًا حقيقيًا. كما هو الحال مع0<ص<1{\displaystyle 0<p<1}، إن الطوبولوجيا التي تحددها ليست محدبة محليًا.

المساحةℓ0{\displaystyle \ell _{0}}يشير أحيانًا إلى فضاء جميع المتتاليات، مع معيار F ‖و‖0=∑ن2-ن|ون|1+|ون|.{\displaystyle \|f\|_{0}=\sum _{n}2^{-n}{\frac {|f_{n}|}{1+|f_{n}|}}.} هذه حالة خاصة منل0{\displaystyle L^{0}}مع مقياس مرجح على الأعداد الصحيحة الموجبة.

ملكيات

عدم المساواة عند هولدر

يفترضص،q،ر∈[1،∞]{\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}مُرضٍ1ص+1q=1ر{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}. لوو∈لص(S،μ){\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}وز∈لq(S،μ){\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}ثموز∈لر(S،μ){\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}و [ 10 ]‖وز‖ر ≤ ‖و‖ص‖ز‖q.{\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}

تُعتبر هذه المتباينة، التي تُسمى متباينة هولدر ، مثالية بمعنى ما لأنه إذار=1{\displaystyle r=1}وو{\displaystyle f}هي دالة قابلة للقياس بحيث رشفة‖ز‖q≤1∫S|وز|دμ < ∞{\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty } حيث يتم أخذ القيمة العليا على كرة الوحدة المغلقة لـلq(S،μ)،{\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}ثمو∈لص(S،μ){\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}و ‖و‖ص = رشفة‖ز‖q≤1∫Sوزدμ.{\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}

متباينة مينكوفسكي المعممة

متباينة مينكوفسكي ، التي تنص على أن‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}يمكن تعميم متباينة المثلث التي تحقق الشرط التالي: إذا كانت الدالة قابلة للقياسF:م×شمال→R{\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }غير سالب (حيث(م،μ){\displaystyle (M,\mu )}و(شمال،ν){\displaystyle (N,\nu )}(هي مساحات قياس) ثم لجميع1≤ص≤q≤∞،{\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}[ 11 ]‖‖F(⋅،ن)‖لص(م،μ)‖لq(شمال،ν) ≤ ‖‖F(م،⋅)‖لq(شمال،ν)‖لص(م،μ) .{\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,n)\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\right\|_{L^{q}(N,\nu )}~\leq ~\left\|\left\|F(m,\cdot )\right\|_{L^{q}(N,\nu )}\right\|_{L^{p}(M,\mu )}\ .}

التحلل الذري

لو1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }ثم كل عدد غير سالبو∈لص(μ){\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}له تحليل ذري ، [ 12 ] مما يعني وجود متتالية(رن)ن∈Z{\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}مجموعة من الأعداد الحقيقية غير السالبة ومتتالية من الدوال غير السالبة(ون)ن∈Z،{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}تُسمى الذرات ، التي تدعمها(مكمل غذائي⁡ون)ن∈Z{\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}هي مجموعات منفصلة ثنائياً ذات قياسμ(مكمل غذائي⁡ون)≤2ن+1،{\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}بحيث و = ∑ن∈Zرنون،{\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,} ولكل عدد صحيحن∈Z،{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}‖ون‖∞ ≤ 2-نص،{\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,} و 12‖و‖صص ≤ ∑ن∈Zرنص ≤ 2‖و‖صص،{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,} وعلاوة على ذلك، فإن تسلسل الوظائف(رنون)ن∈Z{\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}يعتمد فقط علىو{\displaystyle f}(وهو مستقل عنص{\displaystyle p}[ 12 ] تضمن هذه المتباينات أن‖ون‖صص≤2{\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}لجميع الأعداد الصحيحةن{\displaystyle n}بينما دعامات(ون)ن∈Z{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}كونها منفصلة بشكل متبادل يستلزم [ 12 ]‖و‖صص = ∑ن∈Zرنص‖ون‖صص.{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}

يمكن التعبير عن التفكيك الذري بشكل صريح من خلال تعريف لكل عدد صحيح أولاًن∈Z،{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}[ 12 ] [ ملاحظة 7 ]تن=معلومات{ت∈R:μ(و>ت)<2ن}{\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}} ثم نضع رن = 2ن/صتن  و ون = ورن1(تن+1<و≤تن){\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}} أينμ(و>ت)=μ({s:و(s)>ت}){\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}يشير إلى قياس المجموعة(و>ت):={s∈S:و(s)>ت}{\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}و1(تن+1<و≤تن){\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}تشير إلى دالة المؤشر للمجموعة(تن+1<و≤تن):={s∈S:تن+1<و(s)≤تن}.{\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.} التسلسل(تن)ن∈Z{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}يتناقص ويتقارب إلى0{\displaystyle 0}مثلن→∞.{\displaystyle n\to \infty .}[ 12 ] وبالتالي، إذاتن=0{\displaystyle t_{n}=0}ثمتن+1=0{\displaystyle t_{n+1}=0}و(تن+1<و≤تن)=∅{\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }لهذا السبب.ون=1رنو1(تن+1<و≤تن){\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}يساوي تمامًا0{\displaystyle 0}(على وجه الخصوص، التقسيم)1رن{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}بواسطةرن=0{\displaystyle r_{n}=0}(لا يسبب أي مشاكل).

دالة التوزيع التراكمي التكميليةت∈R↦μ(|و|>ت){\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}ل|و|=و{\displaystyle |f|=f}ذلك الذي تم استخدامه لتحديدتن{\displaystyle t_{n}}يظهر أيضًا في تعريف الضعيفلص{\displaystyle L^{p}}المعيار (الموضح أدناه) ويمكن استخدامه للتعبير عنص{\displaystyle p}-norm‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}(ل1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }) لو∈لص(S،μ){\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}باعتباره التكامل [ 12 ]‖و‖صص = ص∫0∞تص-1μ(|و|>ت)دت،{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,} حيث يكون التكامل بالنسبة إلى مقياس لوبيغ المعتاد على(0،∞).{\displaystyle (0,\infty ).}

مساحات مزدوجة

الفضاء المزدوج لـلص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}ل1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }له تماثل طبيعي معلq(μ)،{\displaystyle L^{q}(\mu ),}أينq{\displaystyle q}بحيث1ص+1q=1{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}هذا التماثل يربطز∈لq(μ){\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}مع الوظائفκص(ز)∈لص(μ)*{\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}محدد بواسطة و↦κص(ز)(و)=∫وزدμ{\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu } لكلو∈لص(μ).{\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}

κص:لq(μ)→لص(μ)*{\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}هي دالة خطية متصلة محددة جيدًا، وهي متساوية القياس حسب الحالة القصوى لمتباينة هولدر. إذا(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}هوσ{\displaystyle \sigma }في فضاء القياس المحدود، يمكن استخدام نظرية رادون-نيكوديم لإثبات أن أيجي∈لص(μ)*{\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}يمكن التعبير عنها بهذه الطريقة، أيκص{\displaystyle \kappa _{p}}هو تماثل متساوي القياس لفضاءات باناخ . [ 13 ] لذا، من المعتاد القول ببساطة أنلq(μ){\displaystyle L^{q}(\mu )}هو الفضاء الثنائي المتصل لـلص(μ).{\displaystyle L^{p}(\mu ).}

ل1<ص<∞،{\displaystyle 1<p<\infty ,}المساحةلص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}هي خاصية انعكاسية . ليكنκص{\displaystyle \kappa _{p}}كن كما سبق ولتكنκq:لص(μ)→لq(μ)*{\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}ليكن التحويل الخطي المقابل. انظر إلى الخريطة منلص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}للص(μ)**،{\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}تم الحصول عليها عن طريق التركيبκq{\displaystyle \kappa _{q}}مع منقول (أو مرافق) معكوسκص:{\displaystyle \kappa _{p}:}

جص:لص(μ)⟶κqلq(μ)*⟶(κص-1)*لص(μ)**{\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}

تتطابق هذه الخريطة مع التضمين المتعارف عليهج{\displaystyle J}للص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}إلى ثنائيته. علاوة على ذلك، الخريطةجص{\displaystyle j_{p}}هو شامل، باعتباره تركيبًا لاثنين من التماثلات الشاملة، وهذا يثبت الانعكاسية.

إذا كان المقياسμ{\displaystyle \mu }علىS{\displaystyle S}إذا كانت المجموعة ذات قيمة سيجما منتهية ، فإن المجموعة الثنائية لـل1(μ){\displaystyle L^{1}(\mu )}متماثل قياسًا معل∞(μ){\displaystyle L^{\infty }(\mu )}(وبشكل أدق، الخريطة)κ1{\displaystyle \kappa _{1}}بما يتوافق معص=1{\displaystyle p=1}هو رسم متساوي القياس منل∞(μ){\displaystyle L^{\infty }(\mu )}علىل1(μ)*.{\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}

ثنائيةل∞(μ){\displaystyle L^{\infty }(\mu )}أكثر دقة. عناصر منل∞(μ)*{\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}يمكن تحديدها بمقاييس محدودة وموقعة ومضافة بشكل نهائي علىS{\displaystyle S}التي تكون متصلة تمامًا فيما يتعلق بـμ.{\displaystyle \mu .}راجع مساحة ba لمزيد من التفاصيل. إذا افترضنا بديهية الاختيار، فإن هذه المساحة أكبر بكثير منل1(μ){\displaystyle L^{1}(\mu )}باستثناء بعض الحالات البسيطة. ومع ذلك، أثبت ساهارون شيلاه أن هناك امتدادات متسقة نسبيًا لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF + DC + "كل مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية لها خاصية باير ") حيث يكون ثنائيℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }}يكونℓ1.{\displaystyle \ell ^{1}.}[ 14 ]

التضمينات

بالعامية، إذا1≤ص<q≤∞،{\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}ثملص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}تحتوي على دوال أكثر تفردًا محليًا، بينما عناصرلq(S،μ){\displaystyle L^{q}(S,\mu )}يمكن أن تكون أكثر تباعدًا. ضع في اعتبارك مقياس ليبيغ على خط المنتصف(0،∞).{\displaystyle (0,\infty ).}دالة متصلة فيل1{\displaystyle L^{1}}قد ينفجر بالقرب من0{\displaystyle 0}لكن يجب أن تتلاشى بسرعة كافية نحو اللانهاية. من ناحية أخرى، الدوال المتصلة فيل∞{\displaystyle L^{\infty }}لا يشترط أن تتحلل على الإطلاق، ولكن لا يُسمح بالانفجار. بتعبير أدق: [ 15 ]

  1. لو0<ص<q<∞{\displaystyle 0<p<q<\infty }:لq(S،μ)⊆لص(S،μ){\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}إذا وفقط إذاS{\displaystyle S}لا تحتوي على مجموعات ذات قياس محدود ولكن كبير بشكل تعسفي (على سبيل المثال أي قياس محدود ).
  2. لو0<ص<q≤∞{\displaystyle 0<p<q\leq \infty }:لص(S،μ)⊆لq(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}إذا وفقط إذاS{\displaystyle S}لا يحتوي على مجموعات من القياسات غير الصفرية ولكنها صغيرة بشكل تعسفي (مثل قياس العد ).

لا يتحقق أي من الشرطين بالنسبة لمقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية، بينما يتحقق كلا الشرطين بالنسبة لمقياس العد على أي مجموعة منتهية. وكنتيجة لنظرية الرسم البياني المغلق ، يكون التضمين متصلاً، أي أن عامل التطابق هو دالة خطية محدودة منلq{\displaystyle L^{q}}للص{\displaystyle L^{p}}في الحالة الأولى ولص{\displaystyle L^{p}}للq{\displaystyle L^{q}}في الثانية. في الواقع، إذا كان المجالS{\displaystyle S}إذا كان للمقياس قياس محدود، فيمكن إجراء الحساب الصريح التالي باستخدام متباينة هولدر. ‖1وص‖1≤‖1‖q/(q-ص)‖وص‖q/ص{\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}} مما يؤدي إلى  ‖و‖ص≤μ(S)1/ص-1/q‖و‖q.{\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}

الثابت الظاهر في المتباينة أعلاه هو الأمثل، بمعنى أن معيار المؤثر للهويةأنا:لq(S،μ)→لص(S،μ){\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}هو بالضبط ‖أنا‖q،ص=μ(S)1/ص-1/q{\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}} تتحقق المساواة بالضبط عندماو=1{\displaystyle f=1}μ{\displaystyle \mu }في كل مكان تقريباً.

الفضاءات الفرعية الكثيفة

يترك1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }و(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}ليكن فضاء قياس، ولنعتبر دالة بسيطة قابلة للتكاملو{\displaystyle f}علىS{\displaystyle S}مقدم من و=∑ج=1نأج1أج،{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}},} أينأج{\displaystyle a_{j}}هي كميات قياسية،أج∈Σ{\displaystyle A_{j}\in \Sigma }له قياس محدود و1أج{\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}هي دالة المؤشر للمجموعةأج،{\displaystyle A_{j},}لج=1،...،ن.{\displaystyle j=1,\dots ,n.}بحسب بناء التكامل ، فإن الفضاء المتجهي للدوال البسيطة القابلة للتكامل يكون كثيفًا فيلص(S،Σ،μ).{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}

ويمكن قول المزيد عندماS{\displaystyle S}هو فضاء طوبولوجي طبيعي وΣ{\displaystyle \Sigma }جبر بوريل 𝜎 – الجبر .

يفترضV⊆S{\displaystyle V\subseteq S}هي مجموعة مفتوحة معμ(V)<∞.{\displaystyle \mu (V)<\infty .}ثم لكل مجموعة بوريلأ∈Σ{\displaystyle A\in \Sigma }وارد فيV{\displaystyle V}توجد مجموعة مغلقةF{\displaystyle F}ومجموعة مفتوحةيو{\displaystyle U}بحيث F⊆أ⊆يو⊆Vوμ(يو∖F)=μ(يو)-μ(F)<ε،{\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U\setminus F)=\mu (U)-\mu (F)<\varepsilon ,} لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}وبالتالي، توجد دالة أوريسون0≤φ≤1{\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}علىS{\displaystyle S}إنه1{\displaystyle 1}علىF{\displaystyle F}و0{\displaystyle 0}علىS∖يو،{\displaystyle S\setminus U,}مع ∫S|1أ-φ|دμ<ε.{\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}

لوS{\displaystyle S}يمكن تغطيتها بتسلسل متزايد(Vن){\displaystyle (V_{n})}من المجموعات المفتوحة ذات القياس المحدود، فإن فضاءص{\displaystyle p}– الدوال المتصلة القابلة للتكامل كثيفة فيلص(S،Σ،μ).{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}وبشكل أدق، يمكن للمرء استخدام الدوال المتصلة المحدودة التي تتلاشى خارج إحدى المجموعات المفتوحةVن.{\displaystyle V_{n}.}

وينطبق هذا بشكل خاص عندماS=Rد{\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}ومتىμ{\displaystyle \mu }هو مقياس ليبيغ. على سبيل المثال، فضاء الدوال المتصلة والمحدودة الدعم، وكذلك فضاء الدوال المتدرجة القابلة للتكامل ، كثيف فيلص(Rد){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}.

الفضاءات الفرعية المغلقة

لو0<ص<∞{\displaystyle 0<p<\infty }أي عدد حقيقي موجب،μ{\displaystyle \mu }هو مقياس احتمالي على فضاء قابل للقياس(S،Σ){\displaystyle (S,\Sigma )}(لهذا السببل∞(μ)⊆لص(μ){\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )})، وV⊆ل∞(μ){\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}إذا كان فضاءً جزئياً متجهياً،V{\displaystyle V}هو فضاء جزئي مغلق منلص(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}إذا وفقط إذاV{\displaystyle V}هو ذو أبعاد محدودة [ 16 ] (V{\displaystyle V}تم اختياره بشكل مستقل عنص{\displaystyle p}في هذه النظرية، التي تعود إلى ألكسندر غروتينديك ، [ 16 ] من الأهمية بمكان أن يكون الفضاء المتجهيV{\displaystyle V}أن تكون مجموعة جزئية منل∞{\displaystyle L^{\infty }}بما أنه من الممكن إنشاء فضاء متجهي مغلق لا نهائي الأبعاد منل1(S1،12πλ){\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}(وهو جزء منل4{\displaystyle L^{4}})، أينλ{\displaystyle \lambda }مقياس ليبيغ على دائرة الوحدةS1{\displaystyle S^{1}}و12πλ{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }هو مقياس الاحتمالية الناتج عن قسمته على كتلتهλ(S1)=2π.{\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}[ 16 ]

التطبيقات

إحصائيات

في الإحصاء، يمكن تعريف مقاييس النزعة المركزية والتشتت الإحصائي ، مثل المتوسط ​​والوسيط والانحراف المعياري ، بدلالةلص{\displaystyle L^{p}}يمكن وصف المقاييس ومقاييس النزعة المركزية بأنها حلول لمشاكل التباين .

في الانحدار المعاقب ، تشير "عقوبة L1" و"عقوبة L2" إلى معاقبة إمال1{\displaystyle L^{1}}معيار متجه قيم معلمات الحل (أي مجموع قيمه المطلقة)، أو مربعهل2{\displaystyle L^{2}}المعيار ( طوله الإقليدي ). تشجع التقنيات التي تستخدم عقوبة L1، مثل LASSO ، على الحلول المتفرقة (حيث تكون العديد من المعاملات صفرًا). [ 17 ] يستخدم تنظيم الشبكة المرنة حد عقوبة هو مزيج منل1{\displaystyle L^{1}}المعيار والمربعل2{\displaystyle L^{2}}معيار متجه المعلمات.

عدم المساواة بين هاوسدورف ويونغ

تحويل فورييه للخط الحقيقي (أو، بالنسبة للدوال الدورية ، انظر متسلسلات فورييه )،لص(R){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}للq(R){\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}(أولص(تي){\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}لℓq{\displaystyle \ell ^{q}}) على التوالي، حيث1≤ص≤2{\displaystyle 1\leq p\leq 2}و1ص+1q=1.{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.} هذا نتيجة لنظرية الاستيفاء لريز-ثورين ، ويتم تحديدها بدقة باستخدام متباينة هاوسدورف-يونغ .

على النقيض من ذلك، إذاص>2،{\displaystyle p>2,}لا يتم تحويل فورييه إلىلq.{\displaystyle L^{q}.}

مساحات هيلبرت

تُعد فضاءات هيلبرت أساسية في العديد من التطبيقات، بدءًا من ميكانيكا الكم وحتى حساب التفاضل والتكامل العشوائي .ل2{\displaystyle L^{2}}وℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}كلاهما فضاءات هيلبرت. في الواقع، باختيار أساس هيلبرتهـ،{\displaystyle E,}أي، مجموعة فرعية متعامدة قصوى منل2{\displaystyle L^{2}}أو أي فضاء هيلبرت، يتبين أن كل فضاء هيلبرت متماثل قياسياً معℓ2(هـ){\displaystyle \ell ^{2}(E)}(نفسهـ{\displaystyle E}كما سبق)، أي فضاء هيلبرت من النوعℓ2.{\displaystyle \ell ^{2}.}

التعميمات والتوسعات

L ضعيف p

يترك(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}أن تكون مساحة قياس، وو{\displaystyle f}دالة قابلة للقياس ذات قيم حقيقية أو مركبةS.{\displaystyle S.}دالة التوزيع لـو{\displaystyle f}يتم تعريفها لـت≥0{\displaystyle t\geq 0}بواسطة λو(ت)=μ{x∈S:|و(x)|>ت}.{\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}

لوو{\displaystyle f}هو فيلص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}بالنسبة للبعضص{\displaystyle p}مع1≤ص<∞،{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}ثم باستخدام متباينة ماركوف ، λو(ت)≤‖و‖صصتص{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}

وظيفةو{\displaystyle f}يقال إنه ضعيف في الفضاءلص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\mu )}، أولص،w(S،μ)،{\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}إذا كان هناك ثابتج>0{\displaystyle C>0}بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميعت>0،{\displaystyle t>0,}λو(ت)≤جصتص{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}

أفضل ثابتج{\displaystyle C}لأن هذا التفاوت هولص،w{\displaystyle L^{p,w}}-معيارو،{\displaystyle f,}ويرمز إليه بـ ‖و‖ص،w=رشفةت>0 تλو1/ص(ت).{\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}

الضعفاءلص{\displaystyle L^{p}}تتزامن مع مساحات لورنتزلص،∞،{\displaystyle L^{p,\infty },}لذا تُستخدم هذه الرموز أيضًا للدلالة عليها.

اللص،w{\displaystyle L^{p,w}}المعيار - ليس معيارًا حقيقيًا، لأن متباينة المثلث لا تتحقق. ومع ذلك، بالنسبة لـو{\displaystyle f}فيلص(S،μ)،{\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}‖و‖ص،w≤‖و‖ص{\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}} وعلى وجه الخصوصلص(S،μ)⊂لص،w(S،μ).{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}

في الواقع، يمتلك المرء ‖و‖لصص=∫|و(x)|صدμ(x)≥∫{|و(x)|>ت}تص+∫{|و(x)|≤ت}|و|ص≥تصμ({|و|>ت})،{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),} والوصول إلى السلطة1/ص{\displaystyle 1/p}وأخذ الأعلى فيت{\displaystyle t}يمتلك المرء ‖و‖لص≥رشفةت>0تμ({|و|>ت})1/ص=‖و‖لص،w.{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}

وفقًا للاتفاقية التي تنص على أن دالتين متساويتان إذا كانتا متساويتينμ{\displaystyle \mu }في كل مكان تقريبًا، ثم المساحاتلص،w{\displaystyle L^{p,w}}كاملة ( جرافاكوس 2004 ) .

لأي0<ر<ص{\displaystyle 0<r<p}التعبير ‖|و|‖لص،∞=رشفة0<μ(هـ)<∞μ(هـ)-1/ر+1/ص(∫هـ|و|ردμ)1/ر{\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}} وهو قابل للمقارنة بـلص،w{\displaystyle L^{p,w}}-المعيار. علاوة على ذلك في الحالةص>1،{\displaystyle p>1,}يُعرّف هذا التعبير معيارًا إذار=1.{\displaystyle r=1.}ومن ثم لـص>1{\displaystyle p>1}الضعفاءلص{\displaystyle L^{p}}الفضاءات هي فضاءات باناخ ( جرافاكوس 2004 ) .

نتيجة رئيسية تستخدملص،w{\displaystyle L^{p,w}}-spaces هي نظرية الاستيفاء لمارسينكيويتش ، والتي لها تطبيقات واسعة في التحليل التوافقي ودراسة التكاملات المفردة .

مساحات L p الموزونة

كما في السابق، ضع في اعتبارك فضاء القياس(S،Σ،μ).{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}يتركw:S→[أ،∞)،أ>0{\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}أن تكون دالة قابلة للقياس.w{\displaystyle w}- مرجحلص{\displaystyle L^{p}}يُعرَّف الفضاء على النحو التالي:لص(S،wدμ)،{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}أينwدμ{\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }يعني المقياسν{\displaystyle \nu }محدد بواسطة ν(أ)≡∫أw(x)دμ(x)،أ∈Σ،{\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}

أو، من حيث مشتق رادون-نيكوديم ،w=دνدμ{\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}المعيار لـ​لص(S،wدμ){\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}هو صراحة ‖u‖لص(S،wدμ)≡(∫Sw(x)|u(x)|صدμ(x))1/ص{\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}

مثللص{\displaystyle L^{p}}لا تتميز المساحات الموزونة بأي شيء خاص، لأنلص(S،wدμ){\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}يساويلص(S،دν).{\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}لكنها تُشكّل الإطار الطبيعي للعديد من النتائج في التحليل التوافقي ( جرافاكوس 2004 ) ؛ وتظهر على سبيل المثال في نظرية موكنهوبت : لـ1<ص<∞،{\displaystyle 1<p<\infty ,}يُعرَّف تحويل هيلبرت الكلاسيكي علىلص(تي،λ){\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}أينتي{\displaystyle \mathbf {T} }يرمز إلى دائرة الوحدة وλ{\displaystyle \lambda }مقياس ليبيغ؛ المؤثر الأقصى لهاردي-ليتلوود (غير الخطي) محدود علىلص(Rن،λ).{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}تصف نظرية موكنهوبت الأوزانw{\displaystyle w}بحيث يظل تحويل هيلبرت محدودًا علىلص(تي،wدλ){\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}والمؤثر الأقصى علىلص(Rن،wدλ).{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}

مساحات L p على المشعبات

يمكن للمرء أيضًا تحديد المساحاتلص(م){\displaystyle L^{p}(M)}على مشعب، يسمى الجوهريلص{\displaystyle L^{p}}مساحات المتشعب، باستخدام الكثافات .

فضاءات L p ذات القيم المتجهة

بالنظر إلى فضاء القياس(Ω،Σ،μ){\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}وفضاء محدب محليًاهـ{\displaystyle E}(بافتراض اكتمالها هنا ) ، من الممكن تعريف فضاءات منص{\displaystyle p}قابل للتكاملهـ{\displaystyle E}الدوال ذات القيم علىΩ{\displaystyle \Omega }بعدة طرق. إحدى هذه الطرق هي تعريف فضاءات الدوال القابلة للتكامل وفقًا لبوخنر والدوال القابلة للتكامل وفقًا لبيتيس ، ثم تزويدها بطوبولوجيات TVS محدبة محليًا ، والتي تُعد (كلٌّ على طريقته الخاصة) تعميمًا طبيعيًا للطوبولوجيات المعتادة.لص{\displaystyle L^{p}}الطوبولوجيا. وهناك طريقة أخرى تتضمن جداءات الموترات الطوبولوجية لـلص(Ω،Σ،μ){\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}معهـ.{\displaystyle E.}عنصر من عناصر الفضاء المتجهيلص(Ω،Σ،μ)⊗هـ{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}هي مجموعات محدودة من الموترات البسيطةو1⊗هـ1+⋯+ون⊗هـن،{\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}حيث كل موتر بسيطو×هـ{\displaystyle f\times e}يمكن تحديدها بالوظيفةΩ→هـ{\displaystyle \Omega \to E}هذا يرسلx↦هـو(x).{\displaystyle x\mapsto ef(x).}هذا المنتج الموتريلص(Ω،Σ،μ)⊗هـ{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}ثم يتم تزويدها بطوبولوجيا محدبة محليًا تحولها إلى جداء موتر طوبولوجي ، وأكثرها شيوعًا هو جداء الموتر الإسقاطي ، ويرمز له بـلص(Ω،Σ،μ)⊗πهـ،{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}والضرب الموتري الأحادي ، الذي يُرمز إليه بـلص(Ω،Σ،μ)⊗εهـ.{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}بشكل عام، لا يُعتبر أي من هذين الفضاءين كاملاً، لذا يتم إنشاء إكمالاتهما ، والتي يُشار إليها على التوالي بـلص(Ω،Σ،μ)⊗^πهـ{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}ولص(Ω،Σ،μ)⊗^εهـ{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}(هذا مشابه لكيفية عمل فضاء الدوال البسيطة ذات القيم العددية علىΩ،{\displaystyle \Omega ,}عندما يتم تطبيعها شبهياً من قبل أي‖⋅‖ص،{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}غير مكتملة، لذلك يتم إنشاء إكمال، والذي بعد قسمته علىكير⁡‖⋅‖ص،{\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}متماثل قياسيًا مع فضاء باناخلص(Ω،μ){\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}أظهر ألكسندر غروتينديك أنه عندماهـ{\displaystyle E}إذا كان فضاءً نوويًا (وهو مفهوم قدمه)، فإن هذين البناءين متماثلان بشكل قانوني مع فضاءات دوال بوشنر وبيتيس التكاملية المذكورة سابقًا؛ باختصار، لا يمكن تمييزهما.

فضاء L 0 للدوال القابلة للقياس

الفضاء المتجهي للدوال القابلة للقياس (أو فئات التكافؤ ) على(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}يُشار إليه بـل0(S،Σ،μ){\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}( كالتون، بيك وروبرتس 1984 ) خطأ harv: أهداف متعددة (2×): CITEREFKaltonPeckRoberts1984 ( مساعدة ) . بحسب التعريف، يحتوي على جميعلص،{\displaystyle L^{p},}وهي مزودة بطوبولوجيا التقارب في القياس . عندماμ{\displaystyle \mu }هو مقياس احتمالي (أي،μ(S)=1{\displaystyle \mu (S)=1}يُطلق على هذا النمط من التقارب اسم التقارب في الاحتمالات .ل0{\displaystyle L^{0}}هي دائمًا زمرة أبيلية طوبولوجية، ولكنها فضاء متجهي طوبولوجي فقط إذاμ(S)<∞.{\displaystyle \mu (S)<\infty .}وذلك لأن الضرب القياسي يكون متصلاً إذا وفقط إذاμ(S)<∞.{\displaystyle \mu (S)<\infty .}لو(S،Σ،μ){\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}يكونσ{\displaystyle \sigma }إذا كانت -محدودة، فإن الطوبولوجيا الأضعف للتقارب المحلي في القياس هي فضاء-F ، أي فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس تمامًا . علاوة على ذلك، فإن هذه الطوبولوجيا متساوية القياس مع التقارب العالمي في القياس.(S،Σ،ν){\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}لاختيار مقياس الاحتمالية المناسبν.{\displaystyle \nu .}

يصبح الوصف أسهل عندماμ{\displaystyle \mu }محدود. إذاμ{\displaystyle \mu }هو مقياس محدود على(S،Σ)،{\displaystyle (S,\Sigma ),}ال0{\displaystyle 0}تسمح الدالة بالتقارب في القياس للنظام الأساسي التالي من الجواراتVε={و:μ({x:|و(x)|>ε})<ε}،ε>0.{\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}

يمكن تعريف الطوبولوجيا بأي مقياسد{\displaystyle d}من الشكل د(و،ز)=∫Sφ(|و(x)-ز(x)|)دμ(x){\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)} أينφ{\displaystyle \varphi }دالة محدودة، متصلة، مقعرة، وغير متناقصة على[0،∞)،{\displaystyle [0,\infty ),}معφ(0)=0{\displaystyle \varphi (0)=0}وφ(ت)>0{\displaystyle \varphi (t)>0}متىت>0{\displaystyle t>0}(على سبيل المثال،φ(ت)=مين(ت،1).{\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}يُطلق على هذا المقياس اسم مقياس ليفي لـل0.{\displaystyle L^{0}.}وفقًا لهذا المقياس، فإن المساحةل0{\displaystyle L^{0}}مكتمل. ومع ذلك، كما ذكر أعلاه، فإن الضرب القياسي يكون متصلاً بالنسبة لهذا المقياس فقط إذاμ(S)<∞{\displaystyle \mu (S)<\infty }ولتوضيح ذلك، انظر إلى الدالة القابلة للقياس وفقًا لمقياس لوبيغ.و:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }محدد بواسطةو(x)=x{\displaystyle f(x)=x}ثم من الواضحليمج→0د(جو،0)=∞{\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }المساحةل0{\displaystyle L^{0}}بشكل عام، لا تكون محدودة محلياً، وليست محدبة محلياً.

بالنسبة لقياس ليبيغ اللانهائيλ{\displaystyle \lambda }علىRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}يمكن تعديل تعريف النظام الأساسي للأحياء على النحو التالي دبليوε={و:λ({x:|و(x)|>ε و |x|<1ε})<ε}{\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}

المساحة الناتجةل0(Rن،λ){\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}، مع طوبولوجيا التقارب المحلي في القياس، متماثل مع الفضاءل0(Rن،زλ)،{\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}لأي إيجابيλ{\displaystyle \lambda }– الكثافة القابلة للتكاملز.{\displaystyle g.}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ رودين 1987 ، ص 35-36.
  2. ↑ دونوهو، ديفيد ل. (2006). "الاستشعار المضغوط". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 52 (4): 1289-1306 . doi : 10.1109/TIT.2006.871582 .
  3. ↑ مادوكس، آي جيه (1988)، عناصر التحليل الوظيفي ( الطبعة الثانية)، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج الصفحة 16
  4. ↑ رافائيل داهمن، غابور لوكاش: النهايات المشتركة الطويلة للمجموعات الطوبولوجية 1: الخرائط المتصلة والتشاكلات الموضعية. في: الطوبولوجيا وتطبيقاتها ، العدد 270، 2020. مثال 2.14
  5. ↑ جارلينج، دي جيه إتش (2007). المتباينات: رحلة في التحليل الخطي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 54. ISBN  978-0-521-87624-7.
  6. ↑ رودين 1987 ، ص 65.
  7. ^ شتاين وشكارشي 2012 ، ص. 2.
  8. ↑ رودين 1991 ، ص 37.
  9. ↑ كالتون، نايجل ج .؛ بيك، ن. تيني؛ روبرتس، جيمس و. (1984). أداة أخذ عينات من فضاء F. سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد 89. مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511662447 . ISBN  0-521-27585-7.
  10. ^ باهوري، كيمين ودانشين 2011 ، ص 1-4.
  11. ^ باهوري، كيمين ودانشين 2011 ، ص. 4.
  12. 1 2 3 4 5 6 باهوري، كيمين ودانشين 2011 ، ص 7-8.
  13. ↑ رودين 1987 ، النظرية 6.16.
  14. ↑ شيشتر، إريك (1997)، دليل التحليل وأسسه ، لندن: أكاديميك برس إنك.انظر الأقسام 14.77 و27.44-47
  15. ↑ فيلاني، ألفونسو (1985)، "ملاحظة أخرى حول التضمين L p ( μ ) ⊂ L q ( μ ) "، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 92 (7): 485– 487، doi : 10.2307/2322503 ، JSTOR 2322503 ، MR 0801221  
  16. 1 2 3 رودين 1991 ، ص 117 – 119.
  17. ↑ هاستي، تي جيه ؛ تيبشيراني، آر ؛ واينرايت، إم جيه (2015). التعلم الإحصائي مع التباعد: لاسو والتعميمات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4987-1216-3.
  1. ↑ الحالةرشفةيتراوح⁡|x|<+∞.{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}لا يعادلرشفةيتراوح⁡|x|{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}كونها محدودة، إلا إذاX≠∅.{\displaystyle X\neq \varnothing .}
  2. ↑ إذاX=∅{\displaystyle X=\varnothing }ثمرشفةيتراوح⁡|x|=-∞.{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}
  3. ↑ تعريفات‖⋅‖ص،{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}لص(S،μ)،{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}ولص(S،μ){\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}يمكن توسيع نطاقها ليشمل الجميع0<ص≤∞{\displaystyle 0<p\leq \infty }(بدلاً من مجرد1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty })، ولكن ذلك فقط عندما1≤ص≤∞{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }الذي - التي‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}من المؤكد أن يصبح هذا هو الوضع الطبيعي (على الرغم من‖⋅‖ص{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}هو شبه معيار للفصل الدراسي للجميع0<ص≤∞،{\displaystyle 0<p\leq \infty ,}).
  4. ↑ إذاμ(S)=0{\displaystyle \mu (S)=0}ثمessup⁡|و|=-∞.{\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}
  5. 1 2 على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة قابلة للقياس غير فارغةشمال≠∅{\displaystyle N\neq \varnothing }قياسμ(شمال)=0{\displaystyle \mu (N)=0}إذا وُجدت دالة المؤشر الخاصة بها1شمال{\displaystyle \mathbf {1} _{N}}يرضي‖1شمال‖ص=0{\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}بالرغم من1شمال≠0.{\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}
  6. ↑ بشكل صريح، يتم تعريف عمليات الفضاء المتجهي على النحو التالي: (و+ز)(x)=و(x)+ز(x)،(sو)(x)=sو(x){\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}} للجميعو،ز∈لص(S،μ){\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}وجميع الكميات القياسيةs.{\displaystyle s.}تُؤدي هذه العمليات إلىلص(S،μ){\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}إلى فضاء متجهي لأنه إذاs{\displaystyle s}أي كمية قياسية وو،ز∈لص(S،μ){\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}ثم كلاهماsو{\displaystyle sf}وو+ز{\displaystyle f+g}وينتمي أيضًا إلىلص(S،μ).{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}
  7. ↑ يتم الوصول إلىهذا الحد الأدنى بواسطةتن؛{\displaystyle t_{n};}إنه،μ(و>تن)<2ن{\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}يحجز.
  1. ↑ متى1≤ص<∞،{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}عدم المساواة‖و+ز‖صص≤2ص-1(‖و‖صص+‖ز‖صص){\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}يمكن استنتاج ذلك من حقيقة أن الدالةF:[0،∞)→R{\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }محدد بواسطةF(ت)=تص{\displaystyle F(t)=t^{p}}محدب ، وهذا يعني بحكم التعريف أنF(تx+(1-ت)y)≤تF(x)+(1-ت)F(y){\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}للجميع0≤ت≤1{\displaystyle 0\leq t\leq 1}وكل شيءx،y{\displaystyle x,y}في مجالF.{\displaystyle F.}الاستبدال|و|،|ز|،{\displaystyle |f|,|g|,}و12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}في من أجلx،y،{\displaystyle x,y,}وت{\displaystyle t}أعطِ(12|و|+12|ز|)ص≤12|و|ص+12|ز|ص،{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}مما يثبت أن(|و|+|ز|)ص≤2ص-1(|و|ص+|ز|ص).{\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}متباينة المثلث|و+ز|≤|و|+|ز|{\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}يشير الآن إلى|و+ز|ص≤2ص-1(|و|ص+|ز|ص).{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}يمكن الحصول على المتباينة المطلوبة من خلال تكامل كلا الطرفين.◼{\displaystyle \blacksquare }

مراجع