نظرية المحفظة الحديثة

تفترض نظرية المحفظة الحديثة أن المستثمرين يميلون إلى تجنب المخاطر ، ما يعني أنه عند وجود محفظتين استثماريتين تُقدمان نفس العائد المتوقع، سيفضل المستثمر المحفظة الأقل مخاطرة. وبالتالي، لن يُقدم المستثمر على زيادة المخاطر إلا إذا عُوّضت بعوائد متوقعة أعلى. في المقابل، يجب على المستثمر الذي يرغب في عوائد متوقعة أعلى أن يقبل بمزيد من المخاطر. لن تكون هذه المفاضلة متطابقة لجميع المستثمرين، إذ سيُقيّمها كل مستثمر بشكل مختلف بناءً على خصائص تجنبه للمخاطر. ويعني هذا أن المستثمر العقلاني لن يستثمر في محفظة استثمارية إذا وُجدت محفظة أخرى ذات نسبة مخاطرة إلى عائد متوقع أفضل ، أي إذا وُجدت محفظة بديلة تُقدم عوائد متوقعة أفضل عند نفس مستوى المخاطرة.

وفقًا للنموذج:

• إن عائد المحفظة هو مزيج مرجح بنسبة عوائد الأصول المكونة لها.
• تقلبات عائدات المحفظة${\displaystyle \sigma _{p}}$هي دالة للارتباطات ρ ij _بين الأصول المكونة، لجميع أزواج الأصول ( i ، j ). يوفر التقلب مؤشراً على المخاطر المرتبطة بالاستثمار. كلما زاد التقلب، زادت المخاطر.

على العموم:

• العائد المتوقع:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

أين${\displaystyle R_{p}}$هو العائد على المحفظة الاستثمارية،${\displaystyle R_{i}}$يمثل العائد على الأصل i و${\displaystyle w_{i}}$يمثل وزن أصول المكونات${\displaystyle i}$(أي نسبة الأصل "i" في المحفظة، بحيث${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$).

• تباين عائدات المحفظة الاستثمارية:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$،

أين${\displaystyle \sigma _{i}}$يمثل الانحراف المعياري (للعينة) للعوائد الدورية على الأصل i ، و${\displaystyle \rho _{ij}}$يمثل معامل الارتباط بين عوائد الأصول i و j . ويمكن كتابة التعبير على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$،

أين${\displaystyle \rho _{ij}=1}$ل${\displaystyle i=j}$، أو

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}$،

أين${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$يمثل التباين المشترك (للعينة) للعوائد الدورية على الأصلين، أو يُشار إليه بدلاً من ذلك بـ${\displaystyle \sigma (i,j)}$،${\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}$أو${\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}$.

• تقلبات عائدات المحفظة (الانحراف المعياري):

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

بالنسبة لمحفظة استثمارية مكونة من أصلين :

• العائد المتوقع للمحفظة الاستثمارية:${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$
• تباين المحفظة الاستثمارية:${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

بالنسبة لمحفظة استثمارية مكونة من ثلاثة أصول :

• العائد المتوقع للمحفظة الاستثمارية:${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$
• تباين المحفظة الاستثمارية:${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

يمكن تبسيط العمليات الجبرية بشكل كبير من خلال التعبير عن الكميات المستخدمة باستخدام ترميز المصفوفات. ^{[ 6 ]} رتب عوائد N من الأصول الخطرة في${\displaystyle N\times 1}$متجه${\displaystyle R}$حيث يمثل العنصر الأول عائد الأصل الأول، والعنصر الثاني عائد الأصل الثاني، وهكذا. رتب عوائدها المتوقعة في متجه عمودي.${\displaystyle \mu }$، وتبايناتها وتغايراتها في مصفوفة التغاير${\displaystyle \Sigma }$لنفترض محفظة من الأصول الخطرة، حيث يتم تحديد وزن كل أصل من الأصول الخطرة N بواسطة العنصر المقابل في متجه الوزن.${\displaystyle w}$. ثم:

• العائد المتوقع للمحفظة الاستثمارية: ${\displaystyle w'\mu }$

و

• تباين المحفظة الاستثمارية:${\displaystyle w'\Sigma w}$

في حالة الاستثمار في أصل خالٍ من المخاطر مع عائد${\displaystyle R_{f}}$، لا يساوي مجموع أوزان متجه الأوزان 1، ويصبح العائد المتوقع للمحفظة${\displaystyle w'\mu +(1-w'1)R_{f}}$لم يتغير التعبير الخاص بتباين المحفظة.

بإمكان المستثمر تقليل مخاطر المحفظة الاستثمارية (خاصةً${\displaystyle \sigma _{p}}$) ببساطة عن طريق الاحتفاظ بمجموعات من الأدوات التي لا ترتبط ارتباطًا إيجابيًا تامًا ( معامل الارتباط)${\displaystyle -1\leq \rho _{ij}<1}$بمعنى آخر، يستطيع المستثمرون تقليل تعرضهم لمخاطر الأصول الفردية من خلال امتلاك محفظة متنوعة من الأصول. وقد يتيح التنويع تحقيق نفس العائد المتوقع للمحفظة مع تقليل المخاطر.

• إذا كانت جميع أزواج الأصول لها ارتباطات تساوي صفرًا - أي أنها غير مرتبطة تمامًا - فإن تباين عائد المحفظة هو مجموع مربع النسبة المئوية المحتفظ بها في الأصل مضروبًا في تباين عائد الأصل على جميع الأصول (والانحراف المعياري للمحفظة هو الجذر التربيعي لهذا المجموع).

• إذا كانت جميع أزواج الأصول مرتبطة ارتباطًا طرديًا تامًا (معامل ارتباط يساوي 1)، فإن الانحراف المعياري لعائد المحفظة يساوي مجموع الانحرافات المعيارية لعوائد الأصول، مرجحًا بنسب الأصول في المحفظة. وبالنسبة لأوزان محددة للمحفظة وانحرافات معيارية محددة لعوائد الأصول، فإن حالة كون جميع معاملات الارتباط تساوي 1 تعطي أعلى انحراف معياري ممكن لعائد المحفظة.

نظرية المحفظة الحديثة (MPT) هي نظرية المتوسط ​​والتباين، وتقارن العائد المتوقع (المتوسط) لمحفظة استثمارية بالانحراف المعياري لنفس المحفظة. يوضح الشكل العائد المتوقع على المحور الرأسي، والانحراف المعياري على المحور الأفقي (التقلب). يُوصف التقلب بالانحراف المعياري، ويُستخدم كمقياس للمخاطر. ^{[ 7 ]} يُطلق على " فضاء العائد - الانحراف المعياري " أحيانًا اسم فضاء "العائد المتوقع مقابل المخاطر". يمكن تمثيل كل توليفة ممكنة من الأصول الخطرة في هذا الفضاء ، وتُحدد مجموعة جميع هذه المحافظ الممكنة منطقةً في هذا الفضاء. الحد الأيسر لهذه المنطقة قطع زائد، ^{[ 8 ]} والجزء العلوي من هذا الحد هو الحد الأمثل في غياب أصل خالٍ من المخاطر (يُسمى أحيانًا "رصاصة ماركويتز"). تمثل التوليفات على طول هذا الحد العلوي محافظ (لا تتضمن أي أصول خالية من المخاطر) ذات أدنى مستوى من المخاطر لمستوى معين من العائد المتوقع. وبعبارة أخرى، تمثل المحفظة الواقعة على الحد الأمثل مزيجًا يوفر أفضل عائد متوقع ممكن لمستوى مخاطرة معين. ويمثل المماس للجزء العلوي من الحد الزائدي خط تخصيص رأس المال .

تُفضل المصفوفات لحسابات الحدود الفعالة.

في شكل مصفوفة، بالنسبة لـ "مستوى معين من تحمل المخاطر"${\displaystyle q\in [0,\infty )}$يتم إيجاد الحد الأمثل عن طريق تقليل التعبير التالي:

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

أين

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$هو متجه لأوزان المحفظة و${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$(يمكن أن تكون الأوزان سالبة)؛
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$هي مصفوفة التغاير لعوائد الأصول في المحفظة؛
• ${\displaystyle q\geq 0}$هو عامل "تحمل المخاطر"، حيث ينتج عن القيمة 0 محفظة استثمارية ذات مخاطر ضئيلة و${\displaystyle \infty }$ينتج عن ذلك محفظة استثمارية بعيدة للغاية على الحدود، حيث يكون كل من العائد المتوقع والمخاطر غير محدودين؛
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$هو متجه للعوائد المتوقعة.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$هو تباين عائد المحفظة الاستثمارية.
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$هو العائد المتوقع على المحفظة.

تُحدد عملية التحسين المذكورة أعلاه النقطة على الحدّ الذي يكون عنده مقلوب ميل الحدّ مساويًا لـ q إذا تم تمثيل تباين عائد المحفظة أفقيًا بدلًا من الانحراف المعياري. الحدّ بأكمله مُعامل على q .

طوّر هاري ماركويتز إجراءً خاصًا لحل المشكلة المذكورة أعلاه، يُسمى خوارزمية الخط الحرج ^{[ 9 ]} ، وهو قادر على التعامل مع قيود خطية إضافية، وحدود عليا وسفلى للأصول، وقد ثبتت فعاليته مع مصفوفة تباين شبه موجبة محددة. توجد أمثلة لتطبيق خوارزمية الخط الحرج في لغة فيجوال بيسك للتطبيقات ^{[ 10 ]} ، وفي جافا سكريبت ^{[ 11 ]} ، وفي عدد قليل من اللغات الأخرى.

كما أن العديد من حزم البرامج، بما في ذلك MATLAB و Microsoft Excel و Mathematica و R ، توفر إجراءات تحسين عامة بحيث يكون من الممكن استخدامها لحل المشكلة المذكورة أعلاه، مع وجود محاذير محتملة (ضعف الدقة العددية، ومتطلبات التحديد الإيجابي لمصفوفة التغاير ...).

يتمثل أحد الأساليب البديلة لتحديد الحدود الكفؤة في القيام بذلك بشكل بارامتري بناءً على العائد المتوقع للمحفظة${\displaystyle R^{T}w.}$ يتطلب هذا الإصدار من المشكلة أن نقوم بتقليل

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

رهناً بـ

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

و

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

للمعامل${\displaystyle \mu }$يمكن حل هذه المشكلة بسهولة باستخدام مضاعف لاغرانج الذي يؤدي إلى نظام المعادلات الخطية التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

إحدى النتائج الرئيسية للتحليل السابق هي نظرية الصندوقين الاستثماريين المشتركين . ^{[ 12 ] [ 13 ]} تنص هذه النظرية على أنه يمكن إنشاء أي محفظة استثمارية على الحد الأمثل من خلال امتلاك مزيج من أي محفظتين استثماريتين معطيتين على هذا الحد؛ وهاتان المحفظتان هما "الصندوقان الاستثماريان المشتركان" المذكوران في اسم النظرية. لذا، في حال عدم وجود أصل خالٍ من المخاطر، يمكن للمستثمر تحقيق أي محفظة استثمارية فعالة مرغوبة حتى لو كان كل ما هو متاح هو زوج من الصناديق الاستثمارية الفعالة. إذا كان موقع المحفظة المرغوبة على الحد الأمثل يقع بين موقعي الصندوقين الاستثماريين المشتركين، فسيتم الاحتفاظ بكليهما بكميات موجبة. أما إذا كانت المحفظة المرغوبة خارج النطاق الذي يغطيه الصندوقان، فيجب بيع أحد الصندوقين بيعًا مكشوفًا (أي الاحتفاظ به بكمية سالبة)، بينما يجب أن يكون حجم الاستثمار في الصندوق الآخر أكبر من المبلغ المتاح للاستثمار (ويتم تمويل الفائض عن طريق الاقتراض من الصندوق الآخر).

الأصل الخالي من المخاطر هو الأصل (الافتراضي) الذي يُدرّ عائدًا خاليًا من المخاطر . عمليًا، تُستخدم الأوراق المالية الحكومية قصيرة الأجل (مثل سندات الخزانة الأمريكية) كأصل خالٍ من المخاطر، لأنها تُدرّ عائدًا ثابتًا وتتميز بمخاطر تعثر منخفضة للغاية . يتميز الأصل الخالي من المخاطر بانعدام تباين العوائد عند الاحتفاظ به حتى تاريخ استحقاقه (وبالتالي فهو خالٍ من المخاطر)؛ كما أنه غير مرتبط بأي أصل آخر (بحكم التعريف، نظرًا لأن تباينه يساوي صفرًا). ونتيجة لذلك، عند دمجه مع أي أصل آخر أو محفظة أصول، يكون التغير في العائد مرتبطًا خطيًا بالتغير في المخاطر مع تغير نسب الأصول في هذه المحفظة.

عند إدخال أصل خالٍ من المخاطر، يُمثل الخط النصفي الموضح في الشكل الحد الأمثل الجديد. وهو يمس القطع الزائد عند المحفظة الخطرة البحتة ذات أعلى نسبة شارب . يُمثل تقاطعه الرأسي محفظة تحتوي على 100% من الأصول الخالية من المخاطر؛ بينما يُمثل التماس مع القطع الزائد محفظة لا تحتوي على أي أصول خالية من المخاطر، وتحتوي على 100% من الأصول عند نقطة التماس؛ أما النقاط بين هاتين النقطتين فتمثل محافظ تحتوي على كميات موجبة من كلٍ من محفظة التماس الخطرة والأصل الخالي من المخاطر؛ في حين أن النقاط على الخط النصفي بعد نقطة التماس تمثل محافظ تحتوي على كميات سالبة من الأصل الخالي من المخاطر، ومبلغ مُستثمر في محفظة التماس يُعادل أكثر من 100% من رأس مال المستثمر الأولي. يُسمى هذا الخط الأمثل خط تخصيص رأس المال (CAL)، ويمكن إثبات صيغته كما يلي:

${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.}$

في هذه الصيغة، يمثل P المحفظة الفرعية للأصول الخطرة عند نقطة التماس مع رصاصة ماركويتز، ويمثل F الأصل الخالي من المخاطر، ويمثل C مزيجًا من المحفظتين P و F.

بحسب الرسم البياني، أدى إدخال الأصل الخالي من المخاطر كمكون محتمل للمحفظة إلى تحسين نطاق توليفات المخاطر والعائد المتوقع المتاحة، لأنه في كل مكان باستثناء محفظة التماس، يُعطي نصف الخط عائدًا متوقعًا أعلى من القطع الزائد عند كل مستوى مخاطرة ممكن. وتُعرف حقيقة إمكانية تحقيق جميع النقاط على المسار الخطي الكفؤ من خلال توليفة من حيازات الأصل الخالي من المخاطر ومحفظة التماس بنظرية الصندوق المشترك الواحد ^{[ 12 ]} ، حيث يُقصد بالصندوق المشترك محفظة التماس.

يمكن تصوير الحدود الكفؤة كمسألة في منحنيات تربيعية . ^{[ 12 ]} في السوق، لدينا الأصول${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$لدينا بعض الأموال، والمحفظة الاستثمارية هي طريقة لتقسيم أموالنا إلى أصول. ويمكن تمثيل كل محفظة استثمارية كمتجه.${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$بحيث${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ونحن نحتفظ بالأصول وفقًا لـ${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$.

رصاصة ماركويتز

بما أننا نرغب في تعظيم العائد المتوقع مع تقليل الانحراف المعياري للعائد، فعلينا حل مسألة تحسين تربيعية:$${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$المحافظ الاستثمارية هي نقاط في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تنص المعادلة الثالثة على أن المحفظة يجب أن تقع على مستوى محدد بواسطة${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$تنص المعادلة الأولى على أن المحفظة يجب أن تقع على مستوى محدد بواسطة${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$أما الشرط الثاني فينص على أن المحفظة يجب أن تقع على سطح الكفاف لـ${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$أي أقرب ما يمكن إلى نقطة الأصل. وبما أن المعادلة تربيعية، فإن كل سطح كفافي من هذا القبيل هو قطع ناقص (بافتراض أن مصفوفة التغاير${\displaystyle \rho _{ij}}$(قابلة للعكس). لذلك، يمكننا حل مسألة التحسين التربيعي بيانيًا برسم خطوط كونتورية بيضاوية على المستوى.${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ثم قم بتقاطع الخطوط الكنتورية مع المستوى${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$مع تقلص الخطوط الإهليلجية، سيصبح أحدها في النهاية مماساً تماماً للمستوى، قبل أن تنفصل الخطوط تماماً عن المستوى. تمثل نقطة التماس المحفظة المثلى عند هذا المستوى من العائد المتوقع.

بينما نختلف${\displaystyle \mu }$، وتختلف نقطة التماس أيضًا، ولكنها تقع دائمًا على خط واحد (هذه هي نظرية الصناديق المشتركة ).

لنفترض أن الخط مُعَلمٌّ بالمعاملات التالية:${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$نجد أنه على طول الخط،$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$إعطاء قطع زائد في${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$المستوى. للقطع الزائد فرعان، متناظران بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$المحور. ومع ذلك، الفرع الذي يحتوي فقط على${\displaystyle \sigma >0}$له معنى. وبسبب التناظر، يتقاطع خطا التقارب للقطع الزائد عند نقطة واحدة.${\displaystyle \mu _{MVP}}$على${\displaystyle \mu }$المحور. النقطة${\displaystyle \mu _{mid}}$يمثل ارتفاع النقطة اليسرى للقطع الزائد، ويمكن تفسيره على أنه العائد المتوقع لمحفظة الحد الأدنى من التباين العالمي (global MVP).

محفظة تانجنسي

توجد محفظة التماس إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$.

وعلى وجه الخصوص، إذا كان العائد الخالي من المخاطر أكبر من أو يساوي${\displaystyle \mu _{MVP}}$إذاً، لا توجد محفظة مماسية . يصبح خط سوق رأس المال (CML) موازياً لخط التقارب العلوي للقطع الزائد. تصبح النقاط الواقعة على خط سوق رأس المال مستحيلة الوصول إليها، على الرغم من إمكانية الاقتراب منها من الأسفل.

يُفترض عادةً أن العائد الخالي من المخاطر أقل من عائد القيمة السوقية العالمية الدنيا، لكي توجد محفظة التماس. ومع ذلك، حتى في هذه الحالة،${\displaystyle \mu _{RF}}$الأساليب${\displaystyle \mu _{MVP}}$من الأسفل، يتحول نموذج محفظة التماس إلى محفظة ذات عائد وتباين لا نهائيين. ونظرًا لوجود عدد محدود من الأصول في السوق، يجب أن تتضمن هذه المحفظة بيعًا مكثفًا لبعض الأصول وشراءً مكثفًا لأصول أخرى. عمليًا، يستحيل تحقيق محفظة التماس هذه، لأنه لا يمكن بيع أي أصل بكميات كبيرة بسبب قيود البيع على المكشوف ، وأيضًا بسبب تأثير السعر ، أي أن شراء كمية كبيرة من أصل ما سيرفع سعره، مما يخالف افتراض أن أسعار الأصول لا تعتمد على المحفظة.

المخاطر الخاصة هي المخاطر المرتبطة بأصول محددة، ويمكن تقليل هذه المخاطر ضمن المحفظة الاستثمارية من خلال التنويع (حيث تتعادل المخاطر الخاصة). وتُعرف المخاطر الخاصة أيضًا بالمخاطر القابلة للتنويع، أو الفريدة، أو غير المنتظمة، أو الخاصة بالأصول. أما المخاطر المنتظمة (وتُعرف أيضًا بمخاطر المحفظة أو مخاطر السوق) فتشير إلى المخاطر المشتركة بين جميع الأوراق المالية، وباستثناء البيع على المكشوف كما هو موضح أدناه، لا يمكن التخلص من المخاطر المنتظمة بالتنويع (ضمن سوق واحدة). وفي محفظة السوق، يتم تنويع المخاطر الخاصة بالأصول قدر الإمكان. ولذلك، تُعادل المخاطر المنتظمة مخاطر محفظة السوق (الانحراف المعياري).

بما أن شراء أي ورقة مالية لا يتم إلا إذا حسّنت خصائص العائد المتوقع مقابل المخاطر لمحفظة السوق، فإن المقياس المناسب لمخاطر الورقة المالية هو المخاطر التي تضيفها إلى محفظة السوق، وليس مخاطرها بمعزل عن غيرها. في هذا السياق، تُعتبر تقلبات الأصل، وارتباطها بمحفظة السوق، بيانات تاريخية مُلاحظة، وبالتالي فهي مُعطاة. (توجد عدة مناهج لتسعير الأصول تحاول تسعيرها من خلال نمذجة الخصائص العشوائية لعزوم عوائدها - ويُشار إليها عمومًا بنماذج تسعير الأصول المشروطة).

يمكن إدارة المخاطر النظامية في سوق واحدة من خلال استراتيجية استخدام مراكز الشراء والبيع ضمن محفظة واحدة، مما يُنشئ محفظة "محايدة للسوق". وبالتالي، ستكون المحافظ المحايدة للسوق غير مرتبطة بمؤشرات السوق الأوسع.

يعتمد عائد الأصل على المبلغ المدفوع مقابله اليوم. ويجب أن يضمن السعر المدفوع تحسن خصائص المخاطر والعائد لمحفظة السوق عند إضافة الأصل إليها. نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) هو نموذج يستنتج العائد المتوقع النظري المطلوب (أي معدل الخصم) لأصل في السوق، مع الأخذ في الاعتبار معدل العائد الخالي من المخاطر المتاح للمستثمرين ومخاطر السوق ككل. وعادةً ما يُعبَّر عن نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$

• β، أو بيتا ، هو مقياس حساسية الأصل لحركة السوق بشكل عام؛ ويُحسب عادةً من خلال تحليل الانحدار للبيانات التاريخية. تشير قيم بيتا التي تتجاوز الواحد إلى "مخاطرة" أعلى من المتوسط، بمعنى مساهمة الأصل في مخاطر المحفظة الإجمالية؛ بينما تشير قيم بيتا التي تقل عن الواحد إلى مساهمة أقل من المتوسط ​​في المخاطرة.
• ${\displaystyle (\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$هي علاوة السوق، وهي العائد الزائد المتوقع للعائد المتوقع لمحفظة السوق مقارنة بسعر الفائدة الخالي من المخاطر.

الاشتقاق ^{[ 14 ]} هو كما يلي:

(1) يُستنتج الأثر الإضافي على المخاطر والعائد المتوقع عند إضافة أصل محفوف بالمخاطر، a ، إلى محفظة السوق، m ، من معادلات محفظة مكونة من أصلين. وتُستخدم هذه النتائج لاستنتاج معدل الخصم المناسب لكل أصل.

• مخاطر المحفظة المحدثة =${\displaystyle (w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])}$

وبالتالي، فإن المخاطر المضافة إلى المحفظة = ${\displaystyle [w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]}$

ولكن بما أن وزن الأصل سيكون منخفضاً جداً بالنسبة للسوق بشكل عام،${\displaystyle w_{a}^{2}\approx 0}$

أي مخاطر إضافية =${\displaystyle [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }$

• العائد المتوقع المحدث =${\displaystyle (w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])}$

وبالتالي، فإن العائد المتوقع الإضافي =${\displaystyle [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]}$

(2) إذا تم تسعير أصل ما، ولنرمز له بـ a ، بشكل صحيح، فإن التحسن الذي يحققه المستثمر في نسبة المخاطرة إلى العائد المتوقع من خلال إضافته إلى محفظة السوق، ولنرمز له بـ m ، سيعادل على الأقل (وفي حالة التوازن، تمامًا) المكاسب الناتجة عن إنفاق ذلك المال على زيادة حصته في محفظة السوق. ويفترض أن المستثمر سيشتري الأصل بأموال مقترضة بسعر فائدة خالٍ من المخاطر.${\displaystyle R_{f}}$هذا أمر منطقي إذا${\displaystyle \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}}$.

هكذا:${\displaystyle [w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

أي:${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

أي:${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]}$( منذ${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$)

${\displaystyle [\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad }$هو "بيتا"،${\displaystyle \beta }$العائد المذكور - التباين المشترك بين عائد الأصل وعائد السوق مقسومًا على تباين عائد السوق - أي حساسية سعر الأصل للحركة في قيمة محفظة السوق (انظر أيضًا بيتا (التمويل) §  إضافة أصل إلى محفظة السوق ).

يمكن تقدير هذه المعادلة إحصائياً باستخدام معادلة الانحدار التالية :

${\displaystyle \mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}}$

حيث α _i تسمى ألفا الأصل ، و β _i هو معامل بيتا للأصل، و SCL هو خط خصائص الأمان .

بمجرد تحديد العائد المتوقع للأصل،${\displaystyle E(R_{i})}$باستخدام نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM)، يمكن خصم التدفقات النقدية المستقبلية للأصل إلى قيمتها الحالية باستخدام هذا المعدل لتحديد السعر الصحيح للأصل. يتميز السهم الأكثر خطورة بمعامل بيتا أعلى، وبالتالي يتم خصمه بمعدل أعلى؛ بينما تتميز الأسهم الأقل حساسية بمعامل بيتا أقل، وبالتالي يتم خصمها بمعدل أقل. نظريًا، يُعتبر سعر الأصل صحيحًا عندما يتساوى سعره المُلاحظ مع قيمته المحسوبة باستخدام معدل الخصم المُشتق من نموذج CAPM. إذا كان السعر المُلاحظ أعلى من القيمة المُقيمة، فإن الأصل مُبالغ في تقييمه؛ أما إذا كان سعره منخفضًا جدًا، فهو مُقلل من قيمته.

يطبق بعض الخبراء نظرية المحفظة الحديثة على محافظ المشاريع والأصول الأخرى إلى جانب الأدوات المالية. ^{[ 33 ] [ 34 ]} وعند تطبيق هذه النظرية خارج نطاق المحافظ المالية التقليدية، يجب مراعاة بعض الفروقات بين أنواع المحافظ المختلفة.

1. تُعتبر الأصول في المحافظ المالية، عمليًا، قابلة للتجزئة بشكل مستمر، بينما تُعتبر محافظ المشاريع غير منتظمة. فعلى سبيل المثال، بينما يُمكننا حساب أن التوزيع الأمثل لثلاثة أسهم هو، على سبيل المثال، 44%، 35%، 21%، فإن التوزيع الأمثل لمحفظة مشروع قد لا يسمح لنا ببساطة بتغيير المبلغ المُنفق على المشروع. قد تكون المشاريع إما استثمارًا كليًا أو لا شيء، أو على الأقل، لها وحدات منطقية غير قابلة للفصل. لذا، يجب أن تأخذ طريقة تحسين المحفظة في الاعتبار الطبيعة المنفصلة للمشاريع.
2. تتميز أصول المحافظ المالية بالسيولة، إذ يمكن تقييمها أو إعادة تقييمها في أي وقت. إلا أن فرص إطلاق مشاريع جديدة قد تكون محدودة، وقد تظهر خلال فترات زمنية قصيرة. ولا يمكن التخلي عن المشاريع التي بدأت بالفعل دون خسارة التكاليف الغارقة (أي أن قيمة استرداد/إنقاذ مشروع غير مكتمل ضئيلة أو معدومة).

لا يُلغي أيٌّ من هذين الأمرين بالضرورة إمكانية استخدام نظرية المحفظة الحديثة (MPT) ومحافظ الاستثمار المماثلة. إنما يُشيران فقط إلى ضرورة إجراء عملية التحسين مع مجموعة إضافية من القيود المُصاغة رياضياً والتي لا تنطبق عادةً على محافظ الاستثمار المالية.

علاوة على ذلك، فإن بعض أبسط عناصر نظرية المحفظة الحديثة قابلة للتطبيق على أي نوع من المحافظ الاستثمارية تقريبًا. ويمكن تطبيق مفهوم تحديد مدى تقبّل المستثمر للمخاطر من خلال توثيق مقدار المخاطر المقبولة مقابل عائد معين على مجموعة متنوعة من مشاكل تحليل القرار. تستخدم نظرية المحفظة الحديثة التباين التاريخي كمقياس للمخاطر، ولكن محافظ الأصول، مثل المشاريع الكبرى، لا تمتلك "تباينًا تاريخيًا" محددًا بدقة. في هذه الحالة، يمكن التعبير عن حدود الاستثمار في نظرية المحفظة الحديثة بعبارات أكثر عمومية، مثل "احتمالية أن يكون العائد على الاستثمار أقل من تكلفة رأس المال" أو "احتمالية خسارة أكثر من نصف الاستثمار". عندما تُعرَّف المخاطر من حيث عدم اليقين بشأن التوقعات والخسائر المحتملة، يصبح المفهوم قابلاً للتطبيق على أنواع مختلفة من الاستثمارات. ^{[ 33 ]}