الرتبة (الجبر الخطي)

في الجبر الخطي ، رتبة المصفوفة $A$ هي بُعد الفضاء المتجهي المُوَلَّد (أو المُوَلَّد ) بواسطة أعمدتها. ^[¹^]^[²^]^[³ ] وهذا يُقابل أكبر عدد من الأعمدة المستقلة خطيًا في $A.$ وهذا بدوره يُطابق بُعد الفضاء المتجهي المُوَلَّد بواسطة صفوفها. ^[⁴^{] وبالتالي}^، تُعدّ الرتبة مقياسًا لـ " عدم الانحلال " لنظام المعادلات الخطية والتحويلات الخطية المُشفَّرة بواسطة $A.$ توجد تعريفات مُتكافئة مُتعددة للرتبة. تُعتبر رتبة المصفوفة إحدى أهم خصائصها الأساسية.

يُشار إلى الرتبة عادةً بالرمز $rank(A)$ أو $rk(A)$ ؛ ^{[ 2 ]} وأحيانًا لا تُكتب الأقواس، كما في $rank A.$ ^{[ i ]} ويمكن أيضًا الإشارة إلى الرتبة بالرمز $rg(A)$ ، من الكلمة الألمانية Rang .

وبشكل عام، فإن رتبة الخريطة الخطية بين فضاءين متجهين هي بُعد صورتها .

التعريفات الرئيسية

في هذا القسم، نقدم بعض تعريفات رتبة المصفوفة. توجد تعريفات عديدة ممكنة؛ انظر التعريفات البديلة للاطلاع على بعضها.

رتبة العمود لـ $A$ هي بُعد فضاء الأعمدة لـ A $،$ بينما رتبة الصف لـ $A$ هي بُعد فضاء الصفوف لـ $A.$

من النتائج الأساسية في الجبر الخطي أن رتبة العمود تساوي رتبة الصف دائمًا. (يُقدَّم ثلاثة براهين لهذه النتيجة في القسم § براهين تساوي رتبة العمود مع رتبة الصف ، أدناه). يُطلق على هذا العدد (أي عدد الصفوف أو الأعمدة المستقلة خطيًا) ببساطة اسم رتبة المصفوفة $A.$

تُسمى المصفوفة كاملة الرتبة إذا كانت رتبتها تساوي أكبر قيمة ممكنة لمصفوفة من نفس الأبعاد، وهي أصغر عدد من الصفوف إلى الأعمدة. أما إذا لم تكن المصفوفة كاملة الرتبة، فتُسمى ناقصة الرتبة . ويُحسب نقص الرتبة في المصفوفة بالفرق بين أصغر عدد من الصفوف إلى الأعمدة، ورتبتها.

رتبة التحويل الخطي أو المؤثر $\Phi$ يُعرَّف بأنه بُعد صورته : ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $\operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))$ أين $\dim$ يمثل بُعد الفضاء المتجهي، و $\operatorname {img}$ هي صورة لخريطة.

أمثلة

المصفوفة ${\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$ رتبتها 2: العمودان الأولان مستقلان خطيًا ، لذا فإن الرتبة لا تقل عن 2، ولكن نظرًا لأن العمود الثالث هو تركيبة خطية من العمودين الأولين (العمود الأول بالإضافة إلى الثاني)، فإن الأعمدة الثلاثة مرتبطة خطيًا، لذا يجب أن تكون الرتبة أقل من 3.

المصفوفة $A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$ لها رتبة 1: توجد أعمدة غير صفرية، لذا فإن الرتبة موجبة، ولكن أي زوج من الأعمدة مرتبط خطيًا. وبالمثل، فإن منقولة المصفوفة $A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}$ رتبة $A$ هي 1. في الواقع، بما أن متجهات الأعمدة في $A$ هي متجهات الصفوف في منقولة A ، $فإن$ القول بأن رتبة عمود المصفوفة تساوي رتبة صفها يكافئ القول بأن رتبة المصفوفة تساوي رتبة منقولتها، أي $rank(A) = rank(AT) .$

حساب رتبة المصفوفة

الرتبة من الصف إلى الصف

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لإيجاد رتبة المصفوفة في اختزالها إلى شكل أبسط، عادةً ما يكون شكل الصفوف المتدرجة ، وذلك باستخدام عمليات الصفوف الأولية . لا تُغير عمليات الصفوف فضاء الصفوف (وبالتالي لا تُغير رتبة الصفوف)، ولأنها قابلة للعكس، فإنها تُحول فضاء الأعمدة إلى فضاء متماثل (وبالتالي لا تُغير رتبة الأعمدة). بمجرد تحويلها إلى شكل الصفوف المتدرجة، تكون الرتبة متطابقة تمامًا لكل من رتبة الصفوف ورتبة الأعمدة، وتساوي عدد المحاور (أو الأعمدة الأساسية) وعدد الصفوف غير الصفرية.

على سبيل المثال، المصفوفة $A$ المعطاة بواسطة $A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$ يمكن وضعها في شكل صفوف مختزلة باستخدام عمليات الصفوف الأولية التالية: ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}$ تحتوي المصفوفة النهائية (في شكل الصف المختزل) على صفين غير صفريين، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة $A$ هي 2.

حساب

عند تطبيقها على العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة على الحواسيب، قد تكون طريقة الحذف الغاوسي الأساسية ( تحليل LU ) غير موثوقة، ويُفضّل استخدام تحليل يكشف عن الرتبة بدلاً منها. يُعد تحليل القيم المفردة (SVD) بديلاً فعالاً، ولكن توجد خيارات أخرى أقل تكلفة حسابية، مثل تحليل QR مع التمحور (ما يُسمى بتحليل QR لكشف الرتبة )، والتي لا تزال أكثر متانة عددية من طريقة الحذف الغاوسي. يتطلب التحديد العددي للرتبة معيارًا لتحديد متى يجب اعتبار قيمة ما، مثل قيمة مفردة من تحليل القيم المفردة، صفرًا، وهو خيار عملي يعتمد على كل من المصفوفة والتطبيق.

إثبات أن رتبة العمود = رتبة الصف

البرهان باستخدام اختزال الصفوف

إن حقيقة تساوي رتب الأعمدة والصفوف في أي مصفوفة هي حقيقة أساسية في الجبر الخطي. وقد قُدِّمت العديد من البراهين في هذا الشأن. وقد لُخِّصَ أحد أبسطها في قسم " الرتبة من أشكال المصفوفات المتدرجة" . وفيما يلي صيغة أخرى لهذا البرهان:

من السهل إثبات أن عملية صفية أولية لا تُغير رتبة الصف ولا رتبة العمود . وبما أن عملية الحذف الغاوسي تتم عبر عمليات صفية أولية، فإن الشكل المختزل للمصفوفة له نفس رتبة الصف ونفس رتبة العمود للمصفوفة الأصلية. تسمح عمليات عمودية أولية إضافية بوضع المصفوفة على شكل مصفوفة الوحدة ، والتي قد تكون محاطة بصفوف وأعمدة من الأصفار. ومرة أخرى، لا يُغير هذا من رتبة الصف ولا رتبة العمود. ومن الواضح أن رتبة الصف ورتبة العمود لهذه المصفوفة الناتجة هي عدد عناصرها غير الصفرية.

نقدم برهانين آخرين لهذه النتيجة. يعتمد البرهان الأول على الخصائص الأساسية للتوليفات الخطية للمتجهات، وهو صالح لأي حقل . ويستند هذا البرهان إلى واردلو (2005). ^{[ 9 ]} أما البرهان الثاني فيعتمد على خاصية التعامد ، وهو صالح للمصفوفات على الأعداد الحقيقية ؛ ويستند إلى ماكيو (1995). ^{[ 4 ]} ويمكن الاطلاع على كلا البرهانين في كتاب بانيرجي وروي (2014). ^{[ 10 ]}

البرهان باستخدام التراكيب الخطية

لتكن $A$ مصفوفة من $الرتبة$ $m \times n$ . ولتكن رتبة أعمدة $A$ هي $r$ ، ولتكن $c₁, ..., cₖ أساسًا$ لفضاء أعمدة $A.$ ضع هذه الأعمدة كأعمدة لمصفوفة $C$ من الرتبة $m \times r$ . يمكن التعبير عن كل عمود من $A$ كتركيبة خطية من الأعمدة $r$ في $C.$ هذا يعني وجود مصفوفة $R من الرتبة$ $r$ $\times$ $n$ بحيث $A$ $=$ $CR$ . $R$ هي المصفوفة التي يتكون عمودها $i من معاملات العمود$ $i$ من $A$ كتركيبة خطية من الأعمدة $r$ في $C.$ بعبارة أخرى، $R$ هي المصفوفة التي تحتوي على مضاعفات أساسات فضاء أعمدة $A$ (وهو $C$ )، والتي تُستخدم بعد ذلك لتكوين $A$ ككل. الآن، يُعطى كل صف من $A$ بتركيبة خطية من الصفوف $r$ في $R.$ لذلك، تُشكل صفوف $R$ مجموعة شاملة لفضاء صفوف $A$ ، وبحسب مبرهنة تبادل ستاينيتز ، لا يمكن أن تتجاوز رتبة صفوف $A القيمة$ $r$ . يثبت هذا أن رتبة الصفوف للمصفوفة $A$ أقل من أو تساوي رتبة الأعمدة . يمكن تطبيق هذه النتيجة على أي مصفوفة، لذا نطبقها على منقولة $A.$ بما أن رتبة الصفوف في منقولة A تساوي رتبة الأعمدة في A، ورتبة الأعمدة في منقولة A تساوي رتبة $الصفوف$ في $A$ ، $فإن$ هذا $يُثبت$ المتباينة العكسية، فنحصل على تساوي رتبة الصفوف ورتبة الأعمدة في $A.$ $($ انظر أيضًا تحليل الرتبة ).

البرهان باستخدام التعامد

لتكن $A$ مصفوفة من $الرتبة$ $m \times n$ عناصرها أعداد حقيقية ورتبتها الصفية $r . بالتالي،$ فإن بُعد فضاء الصفوف للمصفوفة $A$ هو $r$ . ولتكن $x₁$ $, x₂, ..., xᵣ$ أساسًا لفضاء الصفوف للمصفوفة $A.$ ندعي أن المتجهات $A₁x₁$ $,$ $A₂x₂$ $, ...,$ $Aₖxᵣ$ مستقلة $خطيًا$ $.$ ولتوضيح ذلك، لننظر إلى علاقة خطية $متجانسة$ $تتضمن$ هذه $المتجهات$ $بمعاملات$ $قياسية$ $c₁$ $,$ $c₂$ , $...$ $,$ $cᵣ$ $:$ $0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,$ حيث $v = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₖxₖ . نلاحظ أمرين$ : (أ) $v$ $عبارة$ $عن$ $توليفة$ $خطية$ من متجهات في فضاء صفوف المصفوفة $A$ $،$ مما يعني أن $v$ ينتمي إلى فضاء صفوف $A$ $،$ و(ب) بما أن $A = v = 0$ ، فإن المتجه $v$ متعامد مع كل متجه صف في $A$ ، وبالتالي فهو متعامد مع كل متجه في فضاء صفوف $A.$ يدلّ كل من (أ) و(ب) معًا على أن $v$ متعامد مع نفسه، مما يثبت أن $v = 0$ ، أو بحسب تعريف $v$ ، $c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.$ $لكن$ تذكر أن العناصر $xᵢ$ $اختيرت$ كأساس لفضاء الصفوف للمصفوفة $A$ $،$ وبالتالي فهي مستقلة خطيًا. هذا يعني أن $c₁ = c₂$ $=$ $...$ $=$ $cᵣ$ $= 0.$ $وعليه$ ، فإن $Aₓ₁$ $, Aₓ₂, ..., Aₓᵣ مستقلة$ خطيًا $.$

كل متجه $A x i$ ينتمي إلى فضاء أعمدة المصفوفة $A.$ لذا، فإن $A x 1 ، A x 2 ، ...، A x r$ هي مجموعة من $r$ متجهات مستقلة خطيًا في فضاء أعمدة المصفوفة $A$ ، وبالتالي، يجب أن يكون بُعد فضاء أعمدة المصفوفة $A$ (أي رتبة أعمدة المصفوفة $A$ ) أكبر من أو يساوي $r$ . هذا يثبت أن رتبة صفوف المصفوفة $A$ لا تتجاوز رتبة أعمدتها $.$ الآن، بتطبيق هذه النتيجة على منقولة المصفوفة $A،$ نحصل على المتباينة العكسية ونستنتج كما في البرهان السابق.

تعريفات بديلة

في جميع التعريفات الواردة في هذا القسم، تعتبر المصفوفة $A مصفوفة$ $m \times n$ على حقل عشوائي $F.$

أبعاد الصورة

بالنظر إلى المصفوفة $A$ ، هناك تحويل خطي مرتبط $f:F^{n}\to F^{m}$ محدد بواسطة $f(x)=Ax.$ رتبة $A$ هو بُعد صورة $f$ . يتميز هذا التعريف بأنه يمكن تطبيقه على أي خريطة خطية دون الحاجة إلى مصفوفة محددة.

الترتيب من حيث العدمية

بالنظر إلى نفس التطبيق الخطي $f المذكور أعلاه،$ $فإن$ الرتبة تساوي $n$ ناقص بُعد نواة f . وتنص نظرية الرتبة والفراغ على أن هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق.

رتبة العمود – بُعد مساحة الأعمدة

رتبة المصفوفة $A$ هي أكبر عدد من الأعمدة المستقلة خطيًا $\mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}$ من $A$ ؛ هذا هو بُعد فضاء الأعمدة لـ A $($ فضاء الأعمدة هو الفضاء الفرعي لـ $F m$ الناتج عن أعمدة $A$ ، وهو في الواقع مجرد صورة للخريطة الخطية $f$ المرتبطة بـ $A$ ).

رتبة الصف - بُعد مساحة الصف

رتبة $A$ هي العدد الأقصى للصفوف المستقلة خطيًا في $A$ ؛ وهذا هو بُعد فضاء الصفوف في $A.$

رتبة التفكيك

رتبة المصفوفة $A$ هي أصغر عدد صحيح موجب $k$ بحيث يمكن تحليل $A إلى عوامله الأولية.$ $A=CR$ حيث $C$ مصفوفة من الرتبة $m \times k$ و $R$ مصفوفة من الرتبة $k \times n$ . في الواقع، بالنسبة لجميع الأعداد الصحيحة $k$ ، فإن ما يلي متكافئ:

رتبة العمود في المصفوفة $A$ أقل من أو تساوي $k$ ،
يوجد $k$ عمود $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ بحجم $m$ بحيث يكون كل عمود من $A$ عبارة عن تركيبة خطية من $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ ،
يوجد $m\times k$ المصفوفة $C$ و a $k\times n$ المصفوفة $R$ بحيث $A=CR$ (عندما تكون $k$ هي الرتبة، فهذا تحليل رتبة للمصفوفة A $)$ ،
يوجد $k$ صف $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ بحجم $n$ بحيث يكون كل صف من $A$ عبارة عن تركيبة خطية من $\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}$ ،
رتبة الصف للمصفوفة $A$ أقل من أو تساوي $k$ .

في الواقع، فإن المكافئات التالية واضحة: $(1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)$ على سبيل المثال، لإثبات (3) من (2)، خذ $C$ لتكون المصفوفة التي أعمدتها هي $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ من (2). لإثبات (2) من (3)، خذ $\mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}$ لتكون أعمدة $C.$

ويترتب على ذلك التكافؤ $(1)\Leftrightarrow (5)$ أن رتبة الصف تساوي رتبة العمود.

كما هو الحال في توصيف "بعد الصورة"، يمكن تعميم ذلك ليشمل تعريف رتبة أي دالة خطية: رتبة الدالة الخطية $f : V \to W$ هي أصغر بُعد $k$ لفضاء وسيط $X$ بحيث يمكن كتابة $f$ كتركيب للدالة $V \to X$ والدالة $X \to W.$ لسوء الحظ، لا يُشير هذا التعريف إلى طريقة فعّالة لحساب الرتبة (لذا يُفضّل استخدام أحد التعريفات البديلة). انظر تحليل الرتبة لمزيد من التفاصيل.

الترتيب من حيث القيم المفردة

رتبة المصفوفة $A$ تساوي عدد القيم المفردة غير الصفرية ، وهو نفس عدد العناصر القطرية غير الصفرية في Σ في تحليل القيم المفردة. $A=U\Sigma V^{*}$ .

رتبة المحدد - حجم أكبر عنصر صغير غير متلاشٍ

رتبة المصفوفة $A$ هي أكبر رتبة لأي عنصر فرعي غير صفري فيها $.$ (رتبة العنصر الفرعي هي طول ضلع المصفوفة المربعة الفرعية التي يمثل محددها). ومثل توصيف رتبة التفكيك، لا يوفر هذا طريقة فعالة لحساب الرتبة، ولكنه مفيد نظريًا: إذ يشير وجود عنصر فرعي غير صفري واحد إلى حد أدنى (أي رتبته) لرتبة المصفوفة، وهو ما يمكن أن يكون مفيدًا (على سبيل المثال) لإثبات أن بعض العمليات لا تخفض رتبة المصفوفة.

$يُشير وجود مصفوفة فرعية من الرتبة p$ غير معدومة ( مصفوفة فرعية من الرتبة $p \times p$ ذات محدد غير صفري) إلى أن صفوف وأعمدة تلك المصفوفة الفرعية مستقلة خطيًا، وبالتالي فإن صفوف وأعمدة المصفوفة الكاملة مستقلة خطيًا أيضًا (في المصفوفة الكاملة)، لذا فإن رتبة الصف والعمود لا تقل عن رتبة المحدد؛ إلا أن العكس ليس واضحًا تمامًا. يُعد تكافؤ رتبة المحدد ورتبة العمود تعزيزًا للعبارة القائلة بأنه إذا كان بُعد فضاء $n$ متجهًا هو $p$ ، فإن $p$ من تلك المتجهات تُغطي الفضاء (بمعنى آخر، أنه يمكن اختيار مجموعة مُغطية تُمثل مجموعة جزئية من المتجهات): يُشير هذا التكافؤ إلى أن مجموعة جزئية من الصفوف ومجموعة جزئية من الأعمدة تُحددان في آنٍ واحد مصفوفة فرعية قابلة للعكس (بمعنى آخر، إذا كان بُعد فضاء $n$ متجهًا هو $p$ ، فإن $p$ من هذه المتجهات تُغطي الفضاء ، وهناك مجموعة من $p$ إحداثيات تكون فيها مستقلة خطيًا).

رتبة الموتر - الحد الأدنى لعدد الموترات البسيطة

رتبة المصفوفة $A$ هي أصغر عدد $k$ بحيث يمكن كتابة $A$ كمجموع $k$ مصفوفات رتبتها 1، حيث تُعرَّف المصفوفة بأنها ذات رتبة 1 إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابتها كحاصل ضرب غير صفري $c\cdot r$ يتكون هذا المفهوم من متجه عمودي $c$ ومتجه صف $r$ . ويُطلق على هذا المفهوم للرتبة اسم رتبة الموتر ؛ ويمكن تعميمه في تفسير النماذج القابلة للفصل لتحليل القيم المفردة .

ملكيات

نفترض أن $A$ هي مصفوفة $m \times n$ ، ونعرف التطبيق الخطي $f$ بواسطة $f (x) = A x$ كما هو مذكور أعلاه.

رتبة المصفوفة من الرتبة $m \times n$ هي عدد صحيح غير سالب، ولا يمكن أن تكون أكبر من $m$ أو $n$ . أي $\operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).$ يقال إن المصفوفة التي لها رتبة $min(m, n) لها$ رتبة كاملة ؛ وإلا فإن المصفوفة تعاني من نقص في الرتبة .
المصفوفة الصفرية فقط هي التي لها رتبة صفرية.
تكون الدالة $f$ أحادية (أو "واحد لواحد") إذا وفقط إذا كان للمصفوفة $A$ رتبة $n$ (في هذه الحالة، نقول أن للمصفوفة $A$ رتبة عمود كاملة ).
تكون $f$ شاملة (أو "على") إذا وفقط إذا كان $A$ له رتبة $m$ (في هذه الحالة، نقول أن $A$ له رتبة صف كاملة ).
إذا كانت $A$ مصفوفة مربعة (أي $m = n$ )، فإن $A$ قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت $A$ لها رتبة $n$ (أي أن $A$ لها رتبة كاملة).
إذا كانت $B$ أي مصفوفة من الرتبة $n \times k$ ، فإن $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).$
إذا كانت $B$ مصفوفة من الرتبة $n \times k$ $،$ فإن $\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$
إذا كانت $C$ مصفوفة من الرتبة $m بأبعاد$ $l \times m$ ، فإن $\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$
تكون رتبة المصفوفة $A$ مساوية لـ $r$ إذا وفقط إذا وُجدت مصفوفة قابلة للعكس من الرتبة $m \times m،$ $وهي X،$ ومصفوفة قابلة للعكس من الرتبة $n \times n،$ $وهي Y$ ، بحيث $XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}},$ حيث تشير $I r$ إلى مصفوفة الوحدة $r \times r$ والمصفوفات الصفرية الثلاث لها الأحجام $r$ $\times ($ $n$ $-$ $r$ $)$ ، $($ $m$ $-$ $r$ $) \times$ $r$ و $($ $m$ $-$ $r$ $) \times ($ $n$ $-$ $r$ $)$ .
متباينة رتبة سيلفستر : [^{11 ] إذا} كانتA مصفوفة $من الرتبة$ $m \times n$ و $B$ مصفوفة من $الرتبة n \times k$ ، فإن

\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (B)-\dim(\operatorname {Im} B\cap \ker A)

مما يعني ^{[ ii ]}

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).

هذه حالة خاصة من المتباينة التالية.

المتباينة الناتجة عن فروبينيوس : إذا تم تعريف $AB$ و $ABC$ و $BC ، فإن$ ^{[ iii ]} $\operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).$
خاصية الرتبة الفرعية: ^{[ 12 ]} إذا كانت $A$ و $B مصفوفتين من الرتبة$ $m \times n$ ، فإن

|\operatorname {rank} (A)-\operatorname {rank} (B)|\leq \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)

يتحقق التساوي في المتباينة الثانية إذا وفقط إذا كانت فضاءات الأعمدة للمصفوفتين

A

و

B

،

وفضاءات الصفوف لهما في آنٍ واحد

،

تشترك جميعها في متجه الصفر فقط. ونتيجةً لذلك، يمكن كتابة مصفوفة من الرتبة

k

على أنها مجموع

k

مصفوفة على الأقل من الرتبة 1.

إذا كانت $A$ مصفوفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ، فإن رتبة $A$ تساوي رتبة مصفوفة غرام المقابلة لها. وبالتالي، بالنسبة للمصفوفات الحقيقية $\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).$ يمكن إثبات ذلك من خلال إثبات تساوي فضاءاتها الصفرية . يُعطى الفضاء الصفري لمصفوفة غرام بواسطة المتجهات $x$ التي تحقق $A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.$ إذا تحقق هذا الشرط، فسنحصل أيضاً على $0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.$ ^{[ 13 ]} في الواقع، بما أن $(kerA)^{\perp }=\operatorname {Im} A^{T}$ ، $\mathbb {R} ^{n}=kerA\oplus \operatorname {Im} A^{T}$ وهذا يعني $\operatorname {Im} A=\operatorname {Im} AA^{T}$ وبالمثل $\operatorname {Im} A^{T}=\operatorname {Im} A^{T}A$ .
إذا كانت $A$ مصفوفة على الأعداد المركبة و ${\overline {A}}$ يرمز إلى المرافق المركب لـ $A$ و $A *$ إلى منقول المرافق لـ $A$ (أي المرافق لـ $A$ )، ثم $\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).$

التطبيقات

من التطبيقات المفيدة لحساب رتبة المصفوفة حساب عدد حلول نظام المعادلات الخطية . وفقًا لنظرية روشيه-كابيلي ، يكون النظام غير متسق إذا كانت رتبة المصفوفة الموسعة أكبر من رتبة مصفوفة المعاملات . أما إذا كانت رتبتا المصفوفتين متساويتين، فلا بد أن يكون للنظام حل واحد على الأقل. ويكون الحل وحيدًا إذا وفقط إذا كانت الرتبة تساوي عدد المتغيرات. وإلا، فإن الحل العام له $k$ من المعاملات الحرة، حيث $k$ هو الفرق بين عدد المتغيرات والرتبة. في هذه الحالة (وبافتراض أن نظام المعادلات من الأعداد الحقيقية أو المركبة)، يكون لنظام المعادلات عدد لا نهائي من الحلول.

في نظرية التحكم ، يمكن استخدام رتبة المصفوفة لتحديد ما إذا كان النظام الخطي قابلاً للتحكم أو قابلاً للملاحظة .

في مجال تعقيد الاتصال ، تحدد رتبة مصفوفة الاتصال لدالة ما حدود كمية الاتصال اللازمة لطرفين لحساب الدالة.

تعميم

توجد تعميمات مختلفة لمفهوم الرتبة للمصفوفات على الحلقات العشوائية ، حيث قد تختلف رتبة العمود، ورتبة الصف، وبُعد فضاء العمود، وبُعد فضاء الصف للمصفوفة عن الآخرين أو قد لا تكون موجودة.

إذا اعتبرنا المصفوفات موترات ، فإن رتبة الموتر تعمم على الموترات التعسفية؛ بالنسبة للموترات ذات الرتبة الأكبر من 2 (المصفوفات هي موترات من الرتبة 2)، فإن حساب الرتبة صعب للغاية، على عكس المصفوفات.

يوجد مفهوم للرتبة بالنسبة للتطبيقات الملساء بين المشعبات الملساء . وهي تساوي الرتبة الخطية للمشتقة .

المصفوفات كموترات

لا ينبغي الخلط بين رتبة المصفوفة ورتبة الموتر ، والتي تُسمى رتبة الموتر. رتبة الموتر هي عدد المؤشرات اللازمة لكتابة موتر ، وبالتالي فإن جميع المصفوفات لها رتبة موتر 2. وبشكل أدق، فإن المصفوفات هي موترات من النوع (1,1)، ولها مؤشر صف واحد ومؤشر عمود واحد، وتُسمى أيضًا رتبة التغاير 1 ورتبة التغاير العكسي 1؛ انظر الموتر (التعريف الجوهري) لمزيد من التفاصيل.

يمكن أن تعني رتبة الموتر للمصفوفة أيضًا الحد الأدنى لعدد الموترات البسيطة اللازمة للتعبير عن المصفوفة كتركيبة خطية، وهذا التعريف يتفق مع رتبة المصفوفة كما تمت مناقشته هنا.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ تتضمن الرموز البديلة $\rho (\Phi )$ من كاتسنلسون وكاتسنلسون (2008 ، ص. 52، §2.5.1) وهالموس (1974 ، ص. 90، § 50) .
↑ البرهان: تطبيق نظرية الرتبة والفراغ على المتباينة $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$
↑ دليل. الخريطة $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ دالة معرفة جيدًا وحقنية. وبالتالي نحصل على المتباينة بدلالة أبعاد النواة، والتي يمكن تحويلها بعد ذلك إلى متباينة بدلالة الرتب باستخدام نظرية الرتبة والفراغ . أو بدلاً من ذلك، إذا $M$ إذا كان فضاءً جزئياً خطياً $\dim(AM)\leq \dim(M)$ قم بتطبيق هذه المتباينة على الفضاء الجزئي المحدد بواسطة المتمم المتعامد لصورة $BC$ على صورة $B$ ، الذي بُعده $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ؛ صورتها تحت $A$ له أبعاد $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

مراجع

↑ أكسلر (2015) الصفحات 111-112، §§ 3.115، 3.119
1 2 رومان (2005) ص. 48، § 1.16
^ بورباكي، الجبر ، الفصل. II، §10.12، ص. 359
1 2 ماكيو، ج. (1995)، "ملاحظة حول تساوي رتبة العمود ورتبة الصف في المصفوفة"، مجلة الرياضيات ، 68 (4): 285-286 ، doi : 10.1080/0025570X.1995.11996337
↑ هيفرون (2020) ص 200، الفصل 3، التعريف 2.1
^ كاتسنلسون وكاتسنلسون (2008) ص. 52، § 2.5.1
^ فالينزا (1993) ص. 71، § 4.3
^ هالموس (1974) ص. 90، § 50
↑ واردلو، ويليام ب. (2005)، "رتبة الصف تساوي رتبة العمود"، مجلة الرياضيات ، 78 (4): 316-318 ، doi : 10.1080/0025570X.2005.11953349 ، S2CID 218542661
↑ بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1420095388
↑ تشانغ، فوزين (2011). "النظرية 2.6". نظرية المصفوفات: النتائج والتقنيات الأساسية . سلسلة Universitext ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 52. ISBN 978-1-4614-1098-0.
↑ هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). "القسم 0.4.5(د)". تحليل المصفوفات ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13. ISBN 978-0-521-54823-6.
↑ ميرسكي، ليونيد (1955). مقدمة في الجبر الخطي . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-66434-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

مصادر

أكسلر، شيلدون (2015). الجبر الخطي بأسلوب صحيح . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثالثة). سبرينغر . ISBN 978-3-319-11079-0.
هالموس، بول ريتشارد (1974) [1958]. فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 0-387-90093-4.
هيفرون، جيم (2020). الجبر الخطي ( الطبعة الرابعة). دار النشر أورثوغونال L3C. رقم ISBN 978-1-944325-11-4.
كاتسنلسون, اسحق ; كاتسنلسون، يوناتان ر. (2008). (مقتضب) مقدمة في الجبر الخطي . جمعية الرياضيات الأمريكية . رقم ISBN 978-0-8218-4419-9.
رومان، ستيفن (2005). الجبر الخطي المتقدم . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 0-387-24766-1.
فالينزا، روبرت ج. (1993) [1951]. الجبر الخطي: مدخل إلى الرياضيات المجردة . نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثالثة). سبرينغر . ISBN 3-540-94099-5.

للمزيد من القراءة

روجر أ. هورن وتشارلز ر. جونسون (1985). تحليل المصفوفات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-38632-6.
كاو، أوتار ك. فصلان من كتاب مقدمة في جبر المصفوفات: 1. المتجهاتونظام المعادلات
مايك بروكس: دليل مرجعي للمصفوفة.

[5] تتضمن الرموز البديلة $\rho (\Phi )$ من كاتسنلسون وكاتسنلسون (2008 ، ص. 52، §2.5.1) وهالموس (1974 ، ص. 90، § 50) .

[13] البرهان: تطبيق نظرية الرتبة والفراغ على المتباينة $\dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).$

[14] دليل. الخريطة $C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)$ دالة معرفة جيدًا وحقنية. وبالتالي نحصل على المتباينة بدلالة أبعاد النواة، والتي يمكن تحويلها بعد ذلك إلى متباينة بدلالة الرتب باستخدام نظرية الرتبة والفراغ . أو بدلاً من ذلك، إذا $M$ إذا كان فضاءً جزئياً خطياً $\dim(AM)\leq \dim(M)$ قم بتطبيق هذه المتباينة على الفضاء الجزئي المحدد بواسطة المتمم المتعامد لصورة $BC$ على صورة $B$ ، الذي بُعده $\operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)$ ؛ صورتها تحت $A$ له أبعاد $\operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)$ .

[1] أكسلر (2015) الصفحات 111-112، §§ 3.115، 3.119

[:0-2] 1 2 رومان (2005) ص. 48، § 1.16

[3] بورباكي، الجبر ، الفصل. II، §10.12، ص. 359

[mackiw-4] 1 2 ماكيو، ج. (1995)، "ملاحظة حول تساوي رتبة العمود ورتبة الصف في المصفوفة"، مجلة الرياضيات ، 68 (4): 285-286 ، doi : 10.1080/0025570X.1995.11996337

[6] هيفرون (2020) ص 200، الفصل 3، التعريف 2.1

[7] كاتسنلسون وكاتسنلسون (2008) ص. 52، § 2.5.1

[8] فالينزا (1993) ص. 71، § 4.3

[9] هالموس (1974) ص. 90، § 50

[wardlaw-10] واردلو، ويليام ب. (2005)، "رتبة الصف تساوي رتبة العمود"، مجلة الرياضيات ، 78 (4): 316-318 ، doi : 10.1080/0025570X.2005.11953349 ، S2CID 218542661

[banerjee-roy-11] بانيرجي، سوديبتو؛ روي، أنينديا (2014)، الجبر الخطي وتحليل المصفوفات للإحصاء ، نصوص في العلوم الإحصائية ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1420095388

[12] تشانغ، فوزين (2011). "النظرية 2.6". نظرية المصفوفات: النتائج والتقنيات الأساسية . سلسلة Universitext ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 52. ISBN 978-1-4614-1098-0.

[15] هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (2013). "القسم 0.4.5(د)". تحليل المصفوفات ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 13. ISBN 978-0-521-54823-6.

[16] ميرسكي، ليونيد (1955). مقدمة في الجبر الخطي . منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-66434-7.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[

[

[

[ i ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] إذا

[ ii ]

[ iii ]

[ 12 ]

[ 13 ]