التشكل الداخلي

في الجبر المجرد ، يُعرف التشاكل الداخلي بأنه تماثل من كائن رياضي إلى نفسه. ^{[ 1 ]} وبشكل أعم في نظرية الفئات ، يُعرف التشاكل الداخلي بأنه تماثل من كائن في فئة ما إلى نفسه. ^{[ 2 ]} يُسمى التشاكل الداخلي الذي يكون أيضًا تماثلًا ذاتيًا بالتشاكل الذاتي . على سبيل المثال، التشاكل الداخلي للفضاء المتجهي V هو تطبيق خطي f: V → V، والتشاكل الداخلي للمجموعة G هو تماثل المجموعة f: G → G.

بشكل عام، يمكننا الحديث عن التشاكلات الداخلية في أي فئة . في فئة المجموعات ، التشاكلات الداخلية هي دوال من مجموعة S إلى نفسها.

في أي فئة، يكون تركيب أي اثنين من التشاكلات الداخلية لـ X تشاكلاً داخلياً لـ X مرة أخرى . ويترتب على ذلك أن مجموعة جميع التشاكلات الداخلية لـ X تشكل شبه زمرة ، وهي شبه الزمرة التحويلية الكاملة ، ويرمز لها بـ _End ( X ) (أو EndC ( X ) للتأكيد على الفئة C ).

يُطلق على التشاكل الداخلي القابل للعكس لـ X اسم التشاكل الذاتي . مجموعة جميع التشاكلات الذاتية هي مجموعة جزئية من End( X ) ذات بنية زمرة ، تُسمى زمرة التشاكلات الذاتية لـ X ويُرمز لها بـ Aut( X ) . في الرسم التوضيحي التالي، تشير الأسهم إلى الاستلزام.

يمكن جمع أي دالتين داخليتين من زمرة أبيلية A باستخدام القاعدة ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . وبموجب هذه القاعدة، ومع تعريف الضرب على أنه تركيب للدوال، تُشكل الدوال الداخلية للزمرة الأبيلية حلقة ( حلقة الدوال الداخلية ). على سبيل المثال، مجموعة الدوال الداخلية لـ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$هي حلقة جميع المصفوفات من الرتبة n × n ذات المدخلات الصحيحة . تشكل التشاكلات الداخلية لفضاء متجهي أو وحدة نمطية حلقةً أيضًا، وكذلك التشاكلات الداخلية لأي عنصر في فئة ما قبل الجمع . تولد التشاكلات الداخلية لمجموعة غير تبديلية بنية جبرية تُعرف باسم شبه الحلقة . كل حلقة تحتوي على عنصر واحد هي حلقة التشاكلات الداخلية لوحدتها النمطية المنتظمة ، وبالتالي فهي حلقة فرعية من حلقة التشاكلات الداخلية لمجموعة تبديلية؛ ^{[ 3 ]} مع ذلك، توجد حلقات لا تُمثل حلقة التشاكلات الداخلية لأي مجموعة تبديلية.

في أي فئة ملموسة ، وخاصة بالنسبة للفضاءات المتجهة ، فإن التشكلات الداخلية هي خرائط من مجموعة إلى نفسها، ويمكن تفسيرها على أنها عوامل أحادية على تلك المجموعة، تعمل على العناصر، وتسمح بتعريف مفهوم مدارات العناصر، وما إلى ذلك.

بحسب البنية الإضافية المحددة للفئة قيد الدراسة ( الطوبولوجيا ، القياس ، ...)، يمكن أن تتمتع هذه المؤثرات بخصائص مثل الاستمرارية ، والتقييد ، وما إلى ذلك. يمكن الاطلاع على مزيد من التفاصيل في مقال نظرية المؤثرات .

الدالة الداخلية هي دالة يكون مجالها مساوياً لمجالها المقابل . الدالة الداخلية المتماثلة هي تشاكل داخلي.

لتكن S مجموعةً اختيارية. من بين الدوال الداخلية على S، نجد تباديل S ودوال ثابتة تربط كل x في S بالعنصر c نفسه في S. كل تبديل لـ S له مجال مقابل يساوي مجاله، وهو تقابلي وقابل للعكس. إذا احتوت S على أكثر من عنصر، فإن الدالة الثابتة على S لها صورة مجموعة جزئية فعلية من مجالها المقابل، وبالتالي فهي ليست تقابلية (وبالتالي ليست قابلة للعكس). الدالة التي تربط كل عدد طبيعي n بجزء n /2 من الصورة لها صورة تساوي مجالها المقابل، وهي غير قابلة للعكس.

الدوال الداخلية المحدودة مكافئة للغابات الزائفة الموجهة . بالنسبة للمجموعات ذات الحجم n، يوجد n^ ⁿ دالة داخلية على المجموعة.

ومن الأمثلة الخاصة على الدوال الداخلية التقابلية هي الدوال العكسية ؛ أي الدوال التي تتطابق مع معكوساتها.

• التشكل الداخلي المرافق
• التشاكل الشامل (التشاكل الشمولي)
• التماثل الداخلي لفروبينيوس
• التماثل الأحادي (التماثل الحقني)

• "التشكل الداخلي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]