فئة ما قبل الإضافة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ، تُعتبر الفئة ما قبل الجمعية اسماً آخر للفئة Ab ، أي الفئة التي يتم إثراؤها على فئة المجموعات الأبيلية . ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$أي، فئة أ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ هي فئة بحيث كل مجموعة منازل${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لها بنية زمرة أبيلية، وتركيب التشكلات ثنائي الخطية ، بمعنى أن تركيب التشكلات يتوزع على عملية الزمرة. في الصيغ: $${\displaystyle f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)}$$ و $${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h),}$$ أين${\displaystyle +}$هي عملية جماعية.

استخدم بعض المؤلفين مصطلح الفئة الإضافية للفئات ما قبل الإضافية، لكن هذه المقالة تحتفظ بهذا المصطلح لفئات ما قبل الإضافية الخاصة (انظر §  الحالات الخاصة أدناه).

المثال الأكثر وضوحًا للفئة ما قبل الإضافية هو الفئة${\displaystyle \mathbf {Ab} }$نفسها. وبشكل أدق،${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة أحادية مغلقة . لاحظ أن خاصية التبديل أساسية هنا؛ فهي تضمن أن مجموع تشاكلين من الزمر هو تشاكل أيضًا. في المقابل، فئة جميع الزمر ليست مغلقة. انظر الفئة الوسطى .

أمثلة شائعة أخرى:

• فئة الوحدات (اليسرى) فوق حلقة${\displaystyle R}$، بخاصة:
  • فئة الفضاءات المتجهة على حقل${\displaystyle K}$.
• جبر المصفوفات على حلقة، يُنظر إليه على أنه فئة كما هو موضح في مقالة الفئة الجمعية .
• أي حلقة، إذا اعتبرناها فئة تحتوي على عنصر واحد فقط، هي فئة ما قبل الجمع. هنا، يكون تركيب التشكلات مجرد ضرب حلقات، ومجموعة التماثل الوحيدة هي المجموعة الأبيلية الأساسية.

لمزيد من الأمثلة، انظر §  الحالات الخاصة .

لأن كل منزل${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$هي زمرة تبديلية، ولها عنصر صفري 0. هذا هو التشاكل الصفري من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$بما أن تركيب التشكلات عملية ثنائية الخطية، فإن تركيب تشكل صفري مع أي تشكل آخر (على أي من جانبيه) يجب أن يكون تشكلاً صفرياً آخر. إذا اعتبرنا التركيب مماثلاً للضرب، فهذا يعني أن الضرب في صفر ينتج عنه دائماً ناتج ضرب صفري، وهو أمر بديهي. بتوسيع هذا التشبيه، تصبح حقيقة أن التركيب ثنائي الخطية بشكل عام بمثابة توزيع الضرب على الجمع.

التركيز على كائن واحد${\displaystyle A}$في فئة ما قبل الجمع، تشير هذه الحقائق إلى أن مجموعة التماثل الداخلي${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$هي حلقة ، إذا عرّفنا الضرب في الحلقة بأنه تركيب. هذه الحلقة هي حلقة التشكلات الداخلية لـ${\displaystyle A}$على العكس من ذلك، فإن كل حلقة (ذات عنصر محايد ) هي حلقة تشاكل داخلي لكائن ما في فئة ما قبل الجمع. في الواقع، بالنظر إلى حلقة${\displaystyle R}$، يمكننا تعريف فئة ما قبل الجمع${\displaystyle {\mathcal {R}}}$أن يكون لديك كائن واحد${\displaystyle A}$، يترك${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$يكون${\displaystyle R}$ولتكن عملية التركيب هي ضرب الحلقات. بما أن${\displaystyle R}$هي زمرة تبديلية، والضرب في حلقة هو عملية ثنائية الخطية (توزيعية)، وهذا يجعل${\displaystyle {\mathcal {R}}}$فئة ما قبل الجمع. غالبًا ما يفكر منظرو الفئات في الحلقة${\displaystyle R}$والفئة${\displaystyle {\mathcal {R}}}$باعتبارها تمثيلين مختلفين لنفس الشيء، بحيث قد يُعرّف أحد منظري الفئات المنحرفين بشكل خاص الحلقة على أنها فئة ما قبل الجمع مع كائن واحد بالضبط (بنفس الطريقة التي يمكن بها اعتبار المونويد فئة مع كائن واحد فقط - ونسيان البنية الجمعية للحلقة يعطينا مونويد).

وبهذا المعنى، يمكن اعتبار الفئات ما قبل الجمعية تعميمًا للحلقات. ويمكن تعميم العديد من مفاهيم نظرية الحلقات، مثل المُثُل ، وجذور جاكوبسون ، وحلقات العوامل ، بسهولة إلى هذا السياق. وعند محاولة صياغة هذه التعميمات، ينبغي اعتبار التشكلات في الفئة ما قبل الجمعية بمثابة "عناصر" "الحلقة المعممة".

لو${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$إذا كانت فئات ما قبل الجمع، فإن الدالة${\displaystyle F:C\rightarrow D}$تكون إضافية إذا تم إثراؤها أيضًا على مستوى الفئة${\displaystyle \mathbf {Ab} }$. إنه،${\displaystyle F}$تكون عملية الجمع جمعية إذا وفقط إذا ، بالنظر إلى أي كائنات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ل${\displaystyle C}$، الوظيفة${\displaystyle F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))}$هو تماثل جماعي . معظم الدوال التي تمت دراستها بين الفئات ما قبل الجمعية هي دوال جمعية.

على سبيل المثال، إذا كانت الحلقات${\displaystyle R}$و${\displaystyle S}$يتم تمثيلها بواسطة فئات الجمع المسبق ذات الكائن الواحد${\displaystyle C_{R}}$و${\displaystyle C_{S}}$ثم تماثل حلقي من${\displaystyle R}$ل${\displaystyle S}$يتم تمثيلها بواسطة دالة جمعية من${\displaystyle C_{R}}$ل${\displaystyle C_{S}}$، والعكس صحيح.

لو${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$هي فئات و${\displaystyle D}$إذا كانت خاصية الجمع المسبق، فإن فئة الدوال${\displaystyle D^{C}}$كما أنها قابلة للجمع المسبق، لأن التحولات الطبيعية يمكن إضافتها بطريقة طبيعية. إذا${\displaystyle C}$إذا كانت خاصية الجمع المسبق موجودة أيضًا، فإن الفئة${\displaystyle {\text{Add}}(C,D)}$إن الدوال الجمعية وجميع التحولات الطبيعية بينها هي أيضًا دوال ما قبل الجمعية.

يؤدي المثال الأخير إلى تعميم مفهوم الوحدات على الحلقات: إذا${\displaystyle C}$إذا كانت فئة ما قبل الجمع،${\displaystyle {\text{Mod}}(C)\mathbin {:=} {\text{Add}}(C,Ab)}$يُطلق عليه فئة الوحدة النمطية${\displaystyle C}$. متى${\displaystyle C}$هي فئة الجمع المسبق ذات الكائن الواحد المقابلة للحلقة${\displaystyle R}$، وهذا يختزل إلى الفئة العادية (يسار)${\displaystyle R}$-الوحدات . مرة أخرى، يمكن تعميم جميع المفاهيم تقريبًا من نظرية الوحدات على هذا الإطار.

بشكل عام، يمكن للمرء أن ينظر إلى فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$مُثرى على فئة الوحدات النمطية أحادية الشكل فوق حلقة تبديلية${\displaystyle R}$، ويسمى${\displaystyle R}$- فئة خطية . بعبارة أخرى، كل مجموعة متماثلة${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$له بنية${\displaystyle R}$-وحدة، وتركيب التشكلات هو${\displaystyle R}$-ثنائي الخطية.

عند النظر في الدوال بين اثنين${\displaystyle R}$في التصنيفات الخطية، غالباً ما يقتصر المرء على تلك التي${\displaystyle R}$-خطي، لذا فإن تلك التي تحفز${\displaystyle R}$الخرائط الخطية على كل مجموعة متماثلة.

أي ناتج محدود في فئة ما قبل الجمع يجب أن يكون أيضًا ناتجًا مشتركًا ، والعكس صحيح. في الواقع، يمكن تمييز النواتج المحدودة والنواتج المشتركة في فئات ما قبل الجمع بشرط الناتج الثنائي التالي :

الشيء${\displaystyle B}$هو نتاج ثانوي للأشياء${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$إذا وفقط إذا كانت هناك تشاكلات إسقاطية${\displaystyle \pi _{j}:B\to A_{j}}$ومورفولوجيات الحقن${\displaystyle \iota _{j}:A_{j}\to B}$بحيث${\displaystyle (\iota _{1}\circ \pi _{1})+\cdots +(\iota _{n}\circ \pi _{n})}$هو تشاكل الهوية لـ${\displaystyle B}$،${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{j}}$هو تشاكل الهوية لـ${\displaystyle A_{j}}$، و${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{k}}$هو التشاكل الصفري من${\displaystyle A_{k}}$ل${\displaystyle A_{j}}$حينما${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$متميزة .​

غالباً ما يُكتب هذا المنتج الثانوي${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$باستخدام رمز المجموع المباشر . وذلك لأن الضرب الثنائي في فئات الجمع المسبق المعروفة مثل${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هو المجموع المباشر. ومع ذلك، على الرغم من أن المجاميع المباشرة اللانهائية منطقية في بعض الفئات، مثل${\displaystyle \mathbf {Ab} }$، المنتجات الثنائية اللانهائية لا معنى لها (انظر فئة المجموعات الأبيلية §  الخصائص ).

حالة المنتج الثانوي في هذه الحالة${\displaystyle n=0}$يبسط الأمر بشكل جذري؛${\displaystyle B}$يكون حاصل الضرب الثنائي الصفري إذا وفقط إذا كان تشاكل الهوية لـ${\displaystyle B}$هو التشاكل الصفري من${\displaystyle B}$إلى نفسها، أو بشكل مكافئ إذا كانت مجموعة التماثل${\displaystyle \mathrm {Hom} (B,B)}$هي الحلقة التافهة . لاحظ أنه نظرًا لأن الضرب الثنائي الصفري سيكون نهائيًا (ضرب صفري) وابتدائيًا (ضرب مشترك صفري)، فسيكون في الواقع كائنًا صفريًا . في الواقع، نشأ مصطلح "الكائن الصفري" في دراسة الفئات ما قبل الجمعية مثل${\displaystyle \mathbf {Ab} }$، حيث يكون العنصر الصفري هو المجموعة الصفرية .

تُسمى الفئة ما قبل الجمعية التي يوجد فيها كل ناتج ثنائي (بما في ذلك العنصر الصفري) فئة جمعية . ويمكن الاطلاع على المزيد من المعلومات حول النواتج الثنائية المفيدة بشكل أساسي في سياق الفئات الجمعية في هذا الموضوع.

لأن مجموعات التماثل في فئة ما قبل الجمع تحتوي على تشاكلات صفرية، فإن مفهوم النواة والنواة المساعدة يصبح منطقيًا. أي، إذا${\displaystyle f:A\to B}$إذا كان تشاكلاً في فئة ما قبل الجمع، فإن نواة${\displaystyle f}$هو عامل التكافؤ لـ${\displaystyle f}$والتشاكل الصفري من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$، بينما النواة${\displaystyle f}$هو العامل المشترك لـ${\displaystyle f}$وهذا التشكل الصفري. على عكس الضربات والمنتجات المشتركة، فإن النواة والنواة المشتركة لـ${\displaystyle f}$لا تتساوى عمومًا في فئة ما قبل الجمع.

عند التخصص في الفئات ما قبل الجمعية للمجموعات الأبيلية أو الوحدات النمطية على حلقة، يتطابق مفهوم النواة هذا مع المفهوم العادي لنواة التشاكل ، إذا تم تحديد النواة العادية${\displaystyle K}$ل${\displaystyle f:A\to B}$مع تضمينها${\displaystyle K\to A}$ومع ذلك، في فئة ما قبل الجمع العامة، قد توجد مورفيزمات بدون نوى و/أو نوى مشتركة.

توجد علاقة ملائمة بين النواة والنواة المساعدة وبنية المجموعة الأبيلية على مجموعات التماثل. بالنظر إلى التشكلات المتوازية${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، مُعادلة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$إنها مجرد نواة${\displaystyle gf}$إذا وُجد أيٌّ منهما، وينطبق الأمر نفسه على المعادلات المشتركة. ويُشتق المصطلح البديل "نواة الفرق" للمعادلات الثنائية من هذه الحقيقة.

تُسمى الفئة ما قبل الجمعية التي تحتوي على جميع النواتج الثانوية والنوى والنوى المشتركة بالفئة ما قبل الأبيلية . ويمكن الاطلاع على مزيد من المعلومات حول النوى والنوى المشتركة في الفئات ما قبل الجمعية، والتي تُعدّ مفيدة بشكل أساسي في سياق الفئات ما قبل الأبيلية، ضمن هذا الموضوع.

تم ذكر معظم هذه الحالات الخاصة من الفئات ما قبل الجمع أعلاه، ولكن تم تجميعها هنا للرجوع إليها.

• الحلقة هي فئة ما قبل الجمع تحتوي على عنصر واحد فقط .
• الفئة الإضافية هي فئة ما قبل الإضافية ذات جميع المنتجات الثانوية المحدودة.
• الفئة ما قبل الأبيلية هي فئة إضافية تحتوي على جميع النوى والنوى المشتركة.
• الفئة الأبيلية هي فئة ما قبل أبيلية بحيث يكون كل شكل أحادي وشكل فوقي طبيعيًا .

الفئات ما قبل الجمعية الأكثر شيوعًا في الدراسة هي في الواقع فئات أبيلية؛ على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة أبيلية.

• نيكولاي بوبيسكو ؛ 1973؛ الفئات الأبيلية مع تطبيقات على الحلقات والوحدات ؛ دار النشر الأكاديمية؛ نفدت الطبعة
• تشارلز ويبل ؛ 1994؛ مقدمة في الجبر التماثلي ؛ مطبعة جامعة كامبريدج