مجموعة أساسية

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 36 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وخاصةً في نظرية القياس ، يُعرَّف المدى الأساسي ، أو مجموعة القيم الأساسية ، للدالة بأنه المدى "غير المهمل" للدالة : فهو لا يتغير بين دالتين متساويتين تقريبًا في كل مكان . ويمكن تصور المدى الأساسي للدالة على أنه المجموعة التي يتركز عليها مدى الدالة.

التعريف الرسمي

يترك(X،أ،μ){\displaystyle (X,{\cal {A}},\mu )}ليكن فضاء قياس ، وليكن(Y،تي){\displaystyle (Y,{\cal {T}})}ليكن فضاءً طوبولوجيًا . لأي(أ،σ(تي)){\displaystyle ({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))}- وظيفة قابلة للقياسو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}نقول إن النطاق الأساسي لـو{\displaystyle f}بمعنى المجموعة

هـss.أنام⁡(و)={y∈Y|0<μ(و-1(يو)) للجميع يو∈تي مع y∈يو}.{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.}[ 1 ] : مثال 0.أ.5 [ 2 ] [ 3 ]

وبعبارة أخرى،هـss.أنام⁡(و)=مكمل غذائي⁡(و*μ){\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )}، أينو*μ{\displaystyle f_{*}\mu }هو إجراء الدفع إلى الأمامσ(تي){\displaystyle \sigma ({\cal {T}})}لμ{\displaystyle \mu }تحتو{\displaystyle f}ومكمل غذائي⁡(و*μ){\displaystyle \operatorname {supp} (f_{*}\mu )}يدل على دعمو*μ.{\displaystyle f_{*}\mu .}[ 4 ]

القيم الأساسية

عبارة " القيمة الأساسية لـو{\displaystyle f}يُستخدم مصطلح "أحيانًا" للدلالة على عنصر من عناصر النطاق الأساسي لـو.{\displaystyle f.}[ 5 ] : التمرين 4.1.6 [ 6 ] : المثال 7.1.11

حالات خاصة ذات اهتمام مشترك

ص = ج

يقول(Y،تي){\displaystyle (Y,{\cal {T}})}يكونج{\displaystyle \mathbb {C} }مزودة بطوبولوجيتها المعتادة. عندئذٍ، يُعطى المدى الأساسي للدالة f بالصيغة التالية:

هـss.أنام⁡(و)={z∈ج|للجميع ε∈R>0:0<μ{x∈X:|و(x)-z|<ε}}.{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.}[ 7 ] : التعريف 4.36 [ 8 ] [ 9 ] : انظر التمرين 6.11 [ 10 ] : التمرين 3.19 [ 11 ] : التعريف 2.61

بمعنى آخر: المدى الأساسي لدالة ذات قيم مركبة هو مجموعة جميع الأعداد المركبة z بحيث يكون للصورة العكسية لكل جوار ε لـ z تحت f قياس موجب.

( Y , T ) منفصلة

يقول(Y،تي){\displaystyle (Y,{\cal {T}})}منفصل ، أيتي=P(Y){\displaystyle {\cal {T}}={\cal {P}}(Y)}هي مجموعة القوى لـY،{\displaystyle Y,}أي، الطوبولوجيا المنفصلة علىY.{\displaystyle Y.}إذن، المدى الأساسي للدالة f هو مجموعة القيم y في Y ذات القيم الموجبة تمامًا.و*μ{\displaystyle f_{*}\mu }-يقيس:

هـss.أنام⁡(و)={y∈Y:0<μ(وتحذير{y})}={y∈Y:0<(و*μ){y}}.{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.}[ 12 ] : مثال 1.1.29 [ 13 ] [ 14 ]

ملكيات

  • إن النطاق الأساسي للدالة القابلة للقياس، كونه نطاق القياس ، يكون مغلقًا دائمًا.
  • المدى الأساسي ess.im(f) لدالة قابلة للقياس هو دائمًا مجموعة جزئية منأنا⁡(و)¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {im} (f)}}}.
  • لا يمكن استخدام الصورة الأساسية للتمييز بين الدوال المتساوية تقريبًا في كل مكان: إذاو=ز{\displaystyle f=g}البشرμ{\displaystyle \mu }- في كل مكان تقريبًا ، إذنهـss.أنام⁡(و)=هـss.أنام⁡(ز){\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)}.
  • تُحدد هاتان الحقيقتان الصورة الأساسية: إنها أكبر مجموعة موجودة في إغلاقاتأنا⁡(ز){\displaystyle \operatorname {im} (g)}لكل g التي تساوي f:
هـss.أنام⁡(و)=⋂و=زaeأنا⁡(ز)¯{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}}.
  • تُلبي المجموعة الأساسية احتياجاتك∀أ⊆X:و(أ)∩هـss.أنام⁡(و)=∅⟹μ(أ)=0{\displaystyle \forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0}.
  • هذه الحقيقة تميز الصورة الأساسية: إنها أصغر مجموعة فرعية مغلقة منج{\displaystyle \mathbb {C} }مع هذه الخاصية.
  • القيمة العليا الأساسية لدالة حقيقية تساوي القيمة العليا لصورتها الأساسية، والقيمة الدنيا الأساسية تساوي القيمة الدنيا لمدىها الأساسي. وبالتالي، تكون الدالة محدودة أساسًا إذا وفقط إذا كان مداها الأساسي محدودًا.
  • المدى الأساسي للدالة f المحدودة أساسًا يساوي الطيفσ(و){\displaystyle \sigma (f)}حيث يُعتبر f عنصرًا من عناصر الجبر C*ل∞(μ){\displaystyle L^{\infty }(\mu )}.

أمثلة

  • لوμ{\displaystyle \mu }إذا كان المقياس صفراً، فإن الصورة الأساسية لجميع الدوال القابلة للقياس تكون فارغة.
  • وهذا يوضح أيضًا أنه على الرغم من أن المدى الأساسي للدالة هو مجموعة جزئية من إغلاق مدى تلك الدالة، إلا أنه ليس من الضروري أن تتحقق المساواة بين المجموعتين.
  • لوX⊆Rن{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}مفتوح،و:X→ج{\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }مستمر وμ{\displaystyle \mu }مقياس ليبيغ ، إذنهـss.أنام⁡(و)=أنا⁡(و)¯{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}ينطبق هذا بشكل عام على جميع مقاييس بوريل التي تُسند قياسًا غير صفري لكل مجموعة مفتوحة غير فارغة.

امتداد

يمكن توسيع مفهوم النطاق الأساسي ليشمل حالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}، أينY{\displaystyle Y}هو فضاء متري قابل للفصل . إذاX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}تكون مشعبات قابلة للتفاضل من نفس البعد، إذاو∈{\displaystyle f\in }VMO(X،Y){\displaystyle (X,Y)}وإذاهـss.أنام⁡(و)≠Y{\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}، ثمدرجة⁡و=0{\displaystyle \deg f=0}[ 15 ]​

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ زيمر، روبرت ج. (1990). النتائج الأساسية للتحليل الوظيفي . مطبعة جامعة شيكاغو. ص  2. ISBN 0-226-98337-4.
  2. ↑ كوكسين، سيرجي ؛ شيريكيان، أرمين (2012). رياضيات الاضطراب ثنائي الأبعاد . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 292. ISBN  978-1-107-02282-9.
  3. ↑ كون، مارك أ. (1985). توزيعات الاحتمالات في ميكانيكا الكم الإحصائية . سبرينغر. ص 74، 84. ISBN  3-540-15690-9.
  4. ↑ درايفر، بروس (7 مايو 2012). أدوات التحليل مع أمثلة (ملف PDF) . ص 327. انظر التمرين 30.5.1.
  5. ↑ سيغال، إيرفينغ إي .؛ كونز، راي أ. (1978). التكاملات والمؤثرات (الطبعة الثانية المنقحة والموسعة ). سبرينغر. ص 106. ISBN   0-387-08323-5.
  6. ↑ بوغاتشيف، فلاديمير إي.؛ سموليانوف، أوليغ جي. (2020). التحليل الحقيقي والوظيفي . محاضرات موسكو. سبرينغر. ص 283. ISBN  978-3-030-38219-3ISSN 2522-0314​​ 
  7. ↑ ويفر، نيك (2013). نظرية القياس والتحليل الوظيفي . وورلد ساينتيفيك. ص 142. ISBN  978-981-4508-56-8.
  8. ↑ بهاتيا، راجندرا (2009). ملاحظات حول التحليل الوظيفي . وكالة هندوستان للكتاب. ص 149. ISBN  978-81-85931-89-0.
  9. ↑ فولاند، جيرالد ب. (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها . وايلي. ص 187. ISBN  0-471-31716-0.
  10. ↑ رودين، والتر (1987). التحليل الحقيقي والمركب ( الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN  0-07-054234-1.
  11. ↑ دوغلاس، رونالد ج. (1998). تقنيات جبر باناخ في نظرية المؤثرات ( الطبعة الثانية). نيويورك - برلين - هايدلبرغ: سبرينغر. ISBN  0-387-98377-5.
  12. ↑ انظر: تاو، تيرينس (2012). موضوعات في نظرية المصفوفات العشوائية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 29. ISBN  978-0-8218-7430-1.
  13. ↑ انظر: فريدمان، ديفيد (1971). سلاسل ماركوف . هولدن-داي. ص 1. 
  14. ↑ انظر تشونغ، كاي لاي (1967). سلاسل ماركوف ذات احتمالات الانتقال الثابتة . سبرينغر. ص 135. 
  15. ↑ بريزيس، حاييم ؛ نيرنبرغ، لويس (سبتمبر 1995). "نظرية الدرجة وBMO. الجزء الأول: المشعبات المدمجة بدون حدود". Selecta Mathematica . 1 (2): 197–263 . doi : 10.1007/BF01671566 .