خط أويلر

أثبت أويلر عام ١٧٦٥ أن مركز التعامد ومركز الدائرة المحيطة ومركز الثقل في أي مثلث تقع على استقامة واحدة . ^{[ ٢ ]} تنطبق هذه الخاصية أيضًا على مركز مثلث آخر ، وهو مركز النقاط التسع ، على الرغم من أنه لم يكن مُعرَّفًا في زمن أويلر. في المثلثات متساوية الأضلاع، تتطابق هذه النقاط الأربع، ولكن في أي مثلث آخر تكون جميعها متميزة عن بعضها البعض، ويُحدَّد خط أويلر بأي نقطتين منها.

تشمل النقاط البارزة الأخرى التي تقع على خط أويلر نقطة دي لونغشامب ، ونقطة شيفلر ، ونقطة إكستر ، ونقطة غوسارد . ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن مركز الدائرة الداخلية لا يقع عمومًا على خط أويلر؛ ^{[ 3 ]} بل يقع عليه فقط في حالة المثلثات متساوية الساقين ، ^{[ 4 ]} حيث يتطابق خط أويلر مع محور التناظر للمثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلثات.

المثلث المماسي للمثلث المرجعي يمس الدائرة المحيطة به عند رؤوس المثلث المرجعي. يقع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المماسي على خط أويلر للمثلث المرجعي. ^{[ 5 ] : ص 447 [ 6 ] : ص 104، #211، ص 242، #346.} يقع مركز التشابه بين المثلثين القائم والمماسي أيضًا على خط أويلر. ^{[ 5 ] : ص 447 [ 6 ] : ص 102}

يترك${\displaystyle ABC}$أن يكون مثلثًا. دليل على حقيقة أن مركز الدائرة المحيطة به${\displaystyle O}$، المركز${\displaystyle G}$والمركز التقويمي${\displaystyle H}$تعتمد المتجهات الخطية على المتجهات الحرة . نبدأ بتحديد المتطلبات الأساسية. أولاً،${\displaystyle G}$يفي بالعلاقة $${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$$

وينتج هذا عن حقيقة أن الإحداثيات الباريسنترية المطلقة لـ${\displaystyle G}$نكون${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$علاوة على ذلك، فإن مشكلة سيلفستر ^{[ 7 ]} تُقرأ على النحو التالي $${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$$

والآن، باستخدام جمع المتجهات، نستنتج أن $$\begin{aligned}{\vec {GO}}&=\vec {GA}}+{\vec {AO}}&&{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\\{\vec {GO}}&=\vec {GB}}+{\vec {BO}}&&{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\\{\vec {GO}}&=\vec {GC}}+{\vec {CO}}&&{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.\end{aligned}}}$$

بإضافة هذه العلاقات الثلاث، حدًا حدًا، نحصل على ما يلي: $${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$$

ختاماً،${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$وهكذا النقاط الثلاث${\displaystyle O}$،${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$(بهذا الترتيب) تقع على خط مستقيم واحد.

في كتاب دوري ^{[ 7 ]} ، جُمِعَ خط أويلر ومسألة سيلفستر في برهان واحد. مع ذلك، تعتمد معظم براهين مسألة سيلفستر على الخصائص الأساسية للمتجهات الحرة، بغض النظر عن خط أويلر.

على خط أويلر، مركز الثقل${\displaystyle G}$يقع بين مركز الدائرة المحيطة${\displaystyle O}$والمركز التقويمي​${\displaystyle H}$وهي تبعد عن مركز التعامد ضعف بعدها عن مركز الدائرة المحيطة: ^{[ 6 ] : ص 102}$${\displaystyle GH=2OG;}$$$${\displaystyle OH=3OG.}$$

الجزء​${\displaystyle GH}$⁠ هو قطر الدائرة المتعامدة المركزية .

المركز​${\displaystyle N}$تقع نقطة من الدائرة ذات النقاط التسع على طول خط أويلر في منتصف المسافة بين مركز التعامد ومركز الدائرة المحيطة: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$$

وبالتالي، يمكن إعادة وضع خط أويلر على خط الأعداد مع مركز الدائرة المحيطة به .${\displaystyle O}$في الموقع 0، مركز الثقل${\displaystyle G}$في​​${\displaystyle 2t}$، مركز النقاط التسع${\displaystyle N}$في​​${\displaystyle 3t}$، ومركز تقويم العظام${\displaystyle H}$في​​${\displaystyle 6t}$لبعض عوامل المقياس${\displaystyle t}$⁠ .

علاوة على ذلك، فإن مربع المسافة بين مركز الثقل ومركز الدائرة المحيطة على طول خط أويلر أقل من مربع نصف قطر الدائرة المحيطة .${\displaystyle R^{2}}$بمقدار يساوي تسع مجموع مربعي أطوال الأضلاع${\displaystyle a}$،​​${\displaystyle b}$، و​${\displaystyle c}$⁠ : ^{[ 6 ] : ص 71}$${\displaystyle OG^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

بالإضافة إلى ذلك، ^{[ 6 ] : ص 102}$${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$$$${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$$

دع​${\displaystyle A}$،​​${\displaystyle B}$،​​${\displaystyle C}$لنرمز إلى زوايا رؤوس المثلث المرجعي، ولندع${\displaystyle x:y:z}$لتكن نقطة متغيرة في الإحداثيات الثلاثية ؛ عندئذٍ تكون معادلة خط أويلر هي $${\displaystyle \sin(2A)\sin(BC)x+\sin(2B)\sin(CA)y+\sin(2C)\sin(AB)z=0.}$$

معادلة خط أويلر في الإحداثيات الباريسنترية${\displaystyle \alpha$ } :\beta  :\gamma } هو ^{[ 8 ]}$${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$$

هناك طريقة أخرى لتمثيل خط أويلر وهي بدلالة مُعامل .${\displaystyle t}$. بدءًا من مركز الدائرة المحيطة (بإحداثيات ثلاثية الخطوط)${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$) والمركز التقويمي (مع الخطوط الثلاثية${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)،}$تُعطى كل نقطة على خط أويلر، باستثناء مركز التعامد، بواسطة الإحداثيات الثلاثية. $${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$$ تتكون من توليفة خطية من الخطوط الثلاثية لهاتين النقطتين، لبعض${\displaystyle t}$⁠ .

على سبيل المثال:

• يحتوي مركز الدائرة المحيطة على خطوط ثلاثية${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$يتوافق مع قيمة المعلمة${\displaystyle t=0.}$
• يحتوي مركز الثقل على خطوط ثلاثية${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$يتوافق مع قيمة المعلمة${\displaystyle t=1.}$
• يحتوي مركز النقاط التسع على خطوط ثلاثية${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$يتوافق مع قيمة المعلمة${\displaystyle t=2.}$
• تتميز نقطة دي لونغشامب بخطوط ثلاثية${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$يتوافق مع قيمة المعلمة${\displaystyle t=-1.}$

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يُرمز إلى ميول أضلاع المثلث بـ${\displaystyle m_{1},}$${\displaystyle m_{2},}$و${\displaystyle m_{3},}$ونرمز إلى ميل خط أويلر الخاص به بـ${\displaystyle m_{E}}$ثم ترتبط هذه المنحدرات وفقًا لـ ^{[ 9 ] : اللمة 1}$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}m_{2}&+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}\\{}&+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، يمكن التعبير عن ميل خط أويلر (إذا كان محدودًا) بدلالة ميول الجوانب كما يلي: $${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$$

علاوة على ذلك، فإن خط أويلر موازٍ لضلع المثلث الحاد الزوايا${\displaystyle BC}$إذا وفقط إذا ^{[ 9 ] : ص 173}${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

في المثلث القائم الزاوية ، يتطابق خط أويلر مع المتوسط ​​المؤدي إلى الوتر ، أي أنه يمر برأس المثلث القائم الزاوية وبمنتصف الضلع المقابل له. وذلك لأن مركز تعامد المثلث القائم الزاوية، وهو نقطة تقاطع ارتفاعاته ، يقع على رأس المثلث القائم الزاوية، بينما يقع مركز محيطه، وهو نقطة تقاطع منصفات أضلاعه العمودية ، على منتصف الوتر.

يتطابق خط أويلر في المثلث متساوي الساقين مع محور التناظر . في المثلث متساوي الساقين، يقع مركز الدائرة الداخلية على خط أويلر.

يكون خط أويلر للمثلث المتوسط ​​الذاتي (وهو مثلث تكون فيه المتوسطات بنفس النسب، ولكن بترتيب معاكس، لأضلاعه) عموديًا على أحد المتوسطات. ^{[ 11 ]}

لنفترض مثلثًا${\displaystyle ABC}$باستخدام نقاط فيرما- توريتشيلي${\displaystyle F_{1}}$و​​${\displaystyle F_{2}}$خطوط أويلر للمثلثات العشرة ذات الرؤوس المختارة من${\displaystyle A}$،​​${\displaystyle B}$،​​${\displaystyle C}$،​​${\displaystyle F_{1}}$و​​${\displaystyle F_{2}}$تتقاطع النقاط عند مركز ثقل المثلث .${\displaystyle ABC}$[ ¹² ]^​​

تتقاطع خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتكونة من نظام متعامد (مجموعة من أربع نقاط، كل منها مركز تعامد المثلث الذي تقع رؤوسه عند النقاط الثلاث الأخرى) في مركز النقاط التسع المشترك بين جميع المثلثات. ^{[ 6 ] : ص 111}

في الشكل الرباعي المحدب ، يكون مركز التعامد شبه المتعامد${\displaystyle H}$، "مركز المنطقة "${\displaystyle G}$، وشبه مركز الدائرة${\displaystyle O}$تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد بهذا الترتيب على خط أويلر، و${\displaystyle HG=2GO}$[ ¹³ ]^​​

الهرم الرباعي هو مجسم ثلاثي الأبعاد محاط بأربعة أوجه مثلثية . تتقاطع سبعة خطوط مرتبطة به عند مركزه، وتتقاطع مستوياته الستة المتوسطة عند نقطة مونج ، وتوجد كرة محيطة تمر بجميع رؤوسه، ومركزها هو مركز الدائرة المحيطة. تُحدد هذه النقاط "خط أويلر" للهرم الرباعي، وهو مماثل لخط أويلر في المثلث. يقع مركز الهرم الرباعي في منتصف المسافة بين نقطة مونج ومركز الدائرة المحيطة على طول هذا الخط. كما يقع مركز الكرة ذات النقاط الاثنتي عشرة على خط أويلر.

المضلع البسيط هو مضلع تكون جميع أوجهه بسيطة (جمع بسيط). على سبيل المثال، كل مضلع هو مضلع بسيط. خط أويلر المرتبط بهذا المضلع هو الخط المحدد بمركز كتلته ومركز الدائرة المحيطة به . هذا التعريف لخط أويلر هو تعميم للتعريفات السابقة. ^{[ 14 ]}

لنفترض أن${\displaystyle P}$هو مضلع. خط أويلر${\displaystyle E}$حساس لتناظرات${\displaystyle P}$بالطرق التالية:

1. لو${\displaystyle P}$له خط تناظر انعكاسي${\displaystyle L}$، ثم${\displaystyle E}$إما${\displaystyle L}$أو نقطة على${\displaystyle L}$.
2. لو${\displaystyle P}$يحتوي على مركز تناظر دوراني${\displaystyle C}$، ثم${\displaystyle E=C}$.