معادلة أويلر-لاغرانج

في حساب التفاضل والتكامل والميكانيكا الكلاسيكية ، تُعدّ معادلات أويلر-لاغرانج ^{[ 1 ]} نظامًا من المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الثانية، وحلولها هي نقاط ثابتة للدالة الفعلية المعطاة . وقد اكتشف هذه المعادلات في خمسينيات القرن الثامن عشر عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر وعالم الرياضيات الإيطالي جوزيف لويس لاغرانج .

نظرًا لأن الدالة القابلة للتفاضل تكون ثابتة عند قيمها القصوى المحلية ، فإن معادلة أويلر-لاغرانج مفيدة لحل مسائل التحسين التي تتطلب، عند إعطاء دالة معينة، إيجاد الدالة التي تُصغّرها أو تُعظّمها. وهذا يُشابه نظرية فيرما في حساب التفاضل والتكامل ، التي تنص على أن مشتقة الدالة القابلة للتفاضل تساوي صفرًا عند أي نقطة تصل عندها إلى قيمة قصوى محلية. في ميكانيكا لاغرانج ، ووفقًا لمبدأ هاميلتون للفعل الثابت، يُوصف تطور النظام الفيزيائي بحلول معادلة أويلر لفعل النظام . في هذا السياق، تُسمى معادلات أويلر عادةً معادلات لاغرانج . في الميكانيكا الكلاسيكية ، ^{[ 2 ]} تُكافئ هذه المعادلات قوانين نيوتن للحركة ؛ بل إن معادلات أويلر-لاغرانج تُنتج نفس معادلات قوانين نيوتن. وهذا مفيد بشكل خاص عند تحليل الأنظمة التي تكون متجهات قواها معقدة للغاية. تتميز هذه الطريقة بأنها تأخذ نفس الشكل في أي نظام إحداثيات معممة ، وهي أنسب للتعميمات. وفي نظرية الحقول الكلاسيكية، توجد معادلة مماثلة لحساب ديناميكيات الحقل .

تاريخ

طُوِّرت معادلة أويلر-لاغرانج في خمسينيات القرن الثامن عشر الميلادي على يد أويلر ولاغرانج في سياق دراساتهما لمسألة التزامن الزمني . وتتمثل هذه المسألة في تحديد منحنى يسقط عليه جسيم مُثقَّل إلى نقطة ثابتة خلال فترة زمنية محددة، بغض النظر عن نقطة البداية.

حلّ لاغرانج هذه المسألة عام 1755 وأرسل الحل إلى أويلر. قام كلاهما بتطوير طريقة لاغرانج وتطبيقها على الميكانيكا ، مما أدى إلى صياغة الميكانيكا اللاغرانجية . وأفضت مراسلاتهما في نهاية المطاف إلى حساب التفاضل والتكامل ، وهو مصطلح صاغه أويلر نفسه عام 1766. ^{[ 3 ]}

إفادة

يترك $(X,L)$ أن يكون نظامًا ديناميكيًا حقيقيًا مع $n$ درجات الحرية. هنا $X$ مساحة التكوين و $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ الدالة اللاغرانجية ، أي دالة حقيقية سلسة بحيث ${\boldsymbol {q}}(t)\in X,$ و ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ هو $n$ "متجه السرعة" ذو الأبعاد n، حيث ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ هي المشتقة الزمنية لـ ${\boldsymbol {q}}(t)$ (لأولئك الذين لديهم معرفة بالهندسة التفاضلية ، $X$ هو مشعب أملس ، و $L\colon {\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ أين $TX$ هي حزمة المماس لـ $X$ ). ^{[ 4 ]}

يترك ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ لتكن مجموعة المسارات الملساء ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ والتي ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ و ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}$ .

الوظيفة العملية $S\colon {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ يتم تعريفها عبر $S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.$

مسار ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ هي نقطة ثابتة لـ $S$ إذا وفقط إذا

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

عندما نقول نقطة ثابتة، فإننا نعني نقطة ثابتة لـ $S$ فيما يتعلق بأي اضطراب صغير في ${\boldsymbol {q}}$ انظر الأدلة أدناه لمزيد من التفاصيل الدقيقة.

اشتقاق معادلة أويلر-لاغرانج أحادية البعد

يُعدّ اشتقاق معادلة أويلر-لاغرانج أحادية البعد أحد البراهين الكلاسيكية في الرياضيات ، وهو يعتمد على اللمة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل .

نرغب في إيجاد وظيفة $f$ والتي تحقق الشروط الحدية $f(a)=A$ ، $f(b)=B$ ، والتي تزيد من الوظيفة $J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$

نفترض أن $L$ قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر. ^{[ 5 ]} يمكن استخدام فرضية أضعف، لكن البرهان يصبح أكثر صعوبة.

لو $f$ يُعظّم هذا الأسلوب الدالة الخاضعة لشروط الحدود، ثم أي اضطراب طفيف في $f$ يجب أن تزيد القيم الحدية التي تحافظ على الحدود $J$ (لو $f$ (مُصغِّر) أو يُقلِّل $J$ (لو $f$ (يسعى إلى تحقيق أقصى قدر من الفائدة).

يترك $f+\varepsilon \eta$ قد يكون ذلك نتيجة لمثل هذا الاضطراب $\varepsilon \eta$ ل $f$ ، أين $\varepsilon$ صغير و $\eta$ دالة قابلة للتفاضل تحقق $\eta (a)=\eta (b)=0$ ثم حدد $\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .$

نريد الآن حساب المشتقة الكلية لـ $\Phi$ فيما يتعلق بـ ε . ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}$

وينتج السطر الثالث عن حقيقة أن $x$ لا يعتمد على $\varepsilon$ ، أي ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ .

متى $\varepsilon =0$ ، $\Phi$ لها قيمة قصوى ، بحيث $\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .$

تتمثل الخطوة التالية في استخدام التكامل بالتجزئة على الحد الثاني من الدالة المراد تكاملها، مما ينتج عنه $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .$

باستخدام الشروط الحدية $\eta (a)=\eta (b)=0$ ، $\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$

بتطبيق اللمة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، نحصل الآن على معادلة أويلر-لاغرانج ${\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.$

اشتقاق بديل لمعادلة أويلر-لاغرانج أحادية البعد

بالنظر إلى دالة $J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$ على $C^{1}([a,b])$ مع الشروط الحدية $y(a)=A$ و $y(b)=B$ نتابع بتقريب المنحنى المتطرف بخط متعدد الأضلاع مع $n$ القطاعات والانتقال إلى الحد الأقصى مع ازدياد عدد القطاعات بشكل كبير.

قسّم الفترة $[a,b]$ داخل $n$ قطاعات متساوية ذات نقاط نهاية $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ ودع $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$ بدلاً من دالة سلسة $y(t)$ نعتبر الخط المضلع ذو الرؤوس $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$ ، أين $y_{0}=A$ و $y_{n}=B$ وبناءً على ذلك، تصبح دالتنا دالة حقيقية لـ $n-1$ المتغيرات المعطاة بواسطة $J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

القيم القصوى لهذه الدالة الجديدة المعرفة على النقاط المنفصلة $t_{0},\ldots ,t_{n}$ تتوافق مع النقاط حيث ${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

لاحظ أن التغيير $y_{m}$ يؤثر على L ليس فقط عند m ولكن أيضًا عند m-1 بالنسبة لمشتقة الوسيط الثالث. $L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$ $L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$

بتقييم المشتقة الجزئية نحصل على ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$

بقسمة المعادلة أعلاه على $\Delta t$ أعطِ ${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$ وباعتبار الحد كما $\Delta t\to 0$ ينتج عن الطرف الأيمن من هذا التعبير $L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$

يمثل الطرف الأيسر من المعادلة السابقة المشتقة الوظيفية $\delta J/\delta y$ من الوظيفية $J$ . الشرط الضروري لكي يكون للدالة التفاضلية قيمة قصوى على دالة ما هو أن مشتقتها الوظيفية عند تلك الدالة تتلاشى، وهو ما تضمنه المعادلة الأخيرة.

مثال

ومن الأمثلة القياسية إيجاد الدالة الحقيقية y ( x ) على الفترة [ a , b ] ، بحيث يكون y ( a ) = c و y ( b ) = d ، والتي يكون طول المسار على طول المنحنى الذي ترسمه y أقصر ما يمكن.

{\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,

دالة التكامل هي ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ .

المشتقات الجزئية لـ L هي:

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.

وبإدخال هذه القيم في معادلة أويلر-لاغرانج، نحصل على

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}

أي أن الدالة يجب أن يكون لها مشتقة أولى ثابتة، وبالتالي فإن رسمها البياني عبارة عن خط مستقيم .

الزخم الكنسي وثوابت الحركة

يُعرَّف الزخم المرافق $p k$ للإحداثي المعمم $q k$ بالمعادلة $p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.$

تحدث حالة خاصة مهمة لمعادلة أويلر-لاغرانج عندما لا تحتوي L على إحداثية معممة $q k$ بشكل صريح، ${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$ أي أن الزخم المرافق هو ثابت للحركة .

في مثل هذه الحالات، يُطلق على الإحداثي $q k$ اسم الإحداثي الدوري . على سبيل المثال، إذا استخدمنا الإحداثيات القطبية $t$ و $r$ و $θ$ لوصف الحركة المستوية لجسيم، وإذا لم يعتمد $L$ $على θ ، فإن الزخم المرافق هو$ الزخم الزاوي المحفوظ .

التعميمات

دالة واحدة لمتغير واحد بمشتقات أعلى

القيم الثابتة للدالة

I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}

يمكن الحصول عليها من معادلة أويلر-لاغرانج ^{[ 6 ]}

{\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0

في ظل شروط حدودية ثابتة للدالة نفسها وكذلك للأولى $k-1$ المشتقات (أي لجميع $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ ). قيم نقطة النهاية لأعلى مشتق $f^{(k)}$ حافظ على مرونتك.

عدة دوال لمتغير واحد ذات مشتقة واحدة

إذا كانت المشكلة تتضمن إيجاد عدة دوال ( $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ ) لمتغير مستقل واحد ( $x$ ) التي تحدد قيمة قصوى للدالة

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}

ثم تكون معادلات أويلر-لاغرانج المقابلة هي ^{[ 7 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}

دالة واحدة لعدة متغيرات ذات مشتقة واحدة

ينتج التعميم متعدد الأبعاد عن دراسة دالة على n متغيرًا. إذا $\Omega$ إذا كان هناك سطح ما، فإن

I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}

لا تكون الدالة f في قيمتها القصوى إلا إذا كانت تحقق المعادلة التفاضلية الجزئية

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.

عندما n = 2 ودالة ${\mathcal {I}}$ هذه هي دالة الطاقة ، وهذا يؤدي إلى مشكلة السطح الأدنى لغشاء الصابون .

عدة دوال لعدة متغيرات ذات مشتقة واحدة

إذا كان هناك عدة دوال مجهولة يتعين تحديدها وعدة متغيرات بحيث

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}

نظام معادلات أويلر-لاغرانج هو ^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}

دالة واحدة لمتغيرين ذات مشتقات أعلى

إذا كانت هناك دالة مجهولة واحدة f مطلوب تحديدها وتعتمد على متغيرين x1 و x2 _{، وإذا}_كانت الدالة تعتمد على مشتقات أعلى من f حتى الرتبة n بحيث

{\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

ثم تكون معادلة أويلر-لاغرانج هي ^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}

والتي يمكن تمثيلها باختصار على النحو التالي:

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

حيث $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ هي مؤشرات تغطي عدد المتغيرات، أي أنها هنا تتراوح من 1 إلى 2. هنا يتم الجمع على $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ المؤشرات فقط $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ لتجنب حساب نفس المشتقة الجزئية عدة مرات، على سبيل المثال $f_{12}=f_{21}$ يظهر مرة واحدة فقط في المعادلة السابقة.

عدة دوال لعدة متغيرات ذات مشتقات أعلى

_إذا_كان هناك p دالة مجهولة fᵢ مطلوب تحديدها وتعتمد على m متغيرات x₁ ... xₘ _، وإذا كانت الدالة تعتمد على مشتقات أعلى من fᵢ حتى الرتبة n _بحيث

{\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

أين $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ هي مؤشرات تغطي عدد المتغيرات، أي أنها تتراوح من 1 إلى m. عندئذٍ تكون معادلة أويلر-لاغرانج هي

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

حيث يكون المجموع على $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ تجنب حساب نفس المشتق $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ عدة مرات، تمامًا كما في القسم الفرعي السابق. ويمكن التعبير عن ذلك بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:

\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0

نظريات المجال

التعميم على متعددات الشعب

يترك $M$ ليكن مشعبًا أملسًا ، وليكن $C^{\infty }([a,b])$ يرمز إلى فضاء الدوال الملساء $f\colon [a,b]\to M$ ثم، بالنسبة للدوال $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ من الشكل

S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t

أين $L\colon TM\to \mathbb {R}$ هو لاغرانجيان، البيان $\mathrm {d} S_{f}=0$ وهو ما يعادل القول بأنه، بالنسبة لجميع $t\in [a,b]$ ، كل تبسيط لنظام الإحداثيات $(x^{i},X^{i})$ في حي من ${\dot {f}}(t)$ ينتج عنه ما يلي $\dim M$ المعادلات:

\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.

يمكن أيضًا كتابة معادلات أويلر-لاغرانج في شكل خالٍ من الإحداثيات كما هو ^{[ 8 ]}

{\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL

أين $\theta _{L}$ الزخم الكنسي هو شكل 1 المقابل لدالة لاغرانج $L$ يُرمز إلى حقل المتجهات الذي يُولّد الإزاحات الزمنية بـ $\Delta$ ويُرمز إلى مشتقة لي بـ ${\mathcal {L}}$ يمكن استخدام الخرائط المحلية $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ في أي $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ و ${\displaystyle \Delta$ واستخدم تعابير الإحداثيات لمشتقة لي لإثبات التكافؤ مع تعابير الإحداثيات لمعادلة أويلر-لاغرانج. يُعدّ الشكل غير المعتمد على الإحداثيات مناسبًا بشكل خاص للتفسير الهندسي لمعادلات أويلر-لاغرانج.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ فوكس، تشارلز (1987). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل . منشورات كوريير دوفر. ISBN 978-0-486-65499-7.
↑ غولدشتاين، هـ .؛ بول، سي بي ؛ سافكو، ج. (2014). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). أديسون ويسلي.
↑ سيرة ذاتية مختصرة عن لاغرانج، مؤرشفة بتاريخ 14 يوليو 2007 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
↑ "مبادئ حساب التفاضل والتكامل" ، محاضرات في هندسة المتشعبات ( الطبعة الثالثة)، وورلد ساينتيفيك، نوفمبر 2020، الصفحات 201-226 ، doi : 10.1142/9789811214820_0005 ، ISBN 978-981-12-1481-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2025
↑ كوران وهيلبرت 1953 ، ص 184
1 2 3 كوران، ر .؛ هيلبرت، د. (1953). أساليب الفيزياء الرياضية . المجلد الأول (الطبعة الإنجليزية الأولى ). نيويورك: دار إنترساينس للنشر. ISBN 978-0471504474.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ وينستوك، ر. (1952). حساب التفاضل والتكامل مع تطبيقات في الفيزياء والهندسة . نيويورك: ماكجرو هيل.
↑ خوسيه ساليتان (1998). الديناميكا الكلاسيكية: منهج معاصر . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 9780521636360تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2023 .

مراجع

"معادلات لاغرانج (في الميكانيكا)" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
فايستين، إريك دبليو. “معادلة أويلر-لاجرانج التفاضلية” . عالم الرياضيات .
حساب التفاضل والتكامل في PlanetMath .
جيلفاند، إزريل مويسيفيتش (1963). حساب التفاضل والتكامل التغيري . دوفر. ISBN 0-486-41448-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
روبيسيك، ت.: حساب التفاضل والتكامل . الفصل 17 في: الأدوات الرياضية للفيزيائيين . (تحرير م. غرينفيلد) جون وايلي، فاينهايم، 2014، ISBN 978-3-527-41188-7، الصفحات 551-588.

[1] فوكس، تشارلز (1987). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل . منشورات كوريير دوفر. ISBN 978-0-486-65499-7.

[Goldstein-2] غولدشتاين، هـ .؛ بول، سي بي ؛ سافكو، ج. (2014). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). أديسون ويسلي.

[3] سيرة ذاتية مختصرة عن لاغرانج، مؤرشفة بتاريخ 14 يوليو 2007 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .

[4] "مبادئ حساب التفاضل والتكامل" ، محاضرات في هندسة المتشعبات ( الطبعة الثالثة)، وورلد ساينتيفيك، نوفمبر 2020، الصفحات 201-226 ، doi : 10.1142/9789811214820_0005 ، ISBN 978-981-12-1481-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2025

[CourantP184-5] كوران وهيلبرت 1953 ، ص 184

[Courant-6] 1 2 3 كوران، ر .؛ هيلبرت، د. (1953). أساليب الفيزياء الرياضية . المجلد الأول (الطبعة الإنجليزية الأولى ). نيويورك: دار إنترساينس للنشر. ISBN 978-0471504474.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[Weinstock-7] وينستوك، ر. (1952). حساب التفاضل والتكامل مع تطبيقات في الفيزياء والهندسة . نيويورك: ماكجرو هيل.

[8] خوسيه ساليتان (1998). الديناميكا الكلاسيكية: منهج معاصر . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 9780521636360تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 سبتمبر 2023 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗