طول الوحدة

يترك${\displaystyle M}$أن تكون وحدة (يسارية أو يمينية) فوق حلقة ما${\displaystyle R}$. بالنظر إلى سلسلة من الوحدات الفرعية لـ${\displaystyle M}$من الشكل

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

يقول أحدهم ذلك${\displaystyle n}$هو طول السلسلة . ^{[ 1 ]} طول​${\displaystyle M}$هو أطول طول لأي من سلاسله. إذا لم يكن هناك مثل هذا الطول الأطول، نقول إن${\displaystyle M}$لها طول لانهائي . من الواضح أنه إذا كان طول السلسلة يساوي طول الوحدة، فإن المرء يكون${\displaystyle M_{0}=0}$و${\displaystyle M_{n}=M.}$

طول الخاتم${\displaystyle R}$هو طول أطول سلسلة من المُثُل ؛ أي طول${\displaystyle R}$يُعتبر وحدة نمطية على نفسه عن طريق الضرب من اليسار. في المقابل، بُعد كرول لـ${\displaystyle R}$هو طول أطول سلسلة من المُثُل الأولية .

إذا كان${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$إذا كان طولها محدودًا، فإنها مولدة توليدًا محدودًا . ^{[ 2 ]} إذا كان R حقلًا، فإن العكس صحيح أيضًا.

أن${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$تكون الحلقة ذات طول محدود إذا وفقط إذا كانت وحدة نوثرية ووحدة أرتينية في آن واحد ^{[ 1 ]} (انظر نظرية هوبكنز ). وبما أن جميع الحلقات الأرتينية هي حلقات نوثرية، فإن هذا يعني أن الحلقة ذات طول محدود إذا وفقط إذا كانت أرتينية.

يفترض$${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$هي سلسلة قصيرة دقيقة من${\displaystyle R}$-وحدات. إذن، يكون لـ M طول محدود إذا وفقط إذا كان لـ L و N طول محدود، ولدينا$${\displaystyle {\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)}$$وعلى وجه الخصوص، ينطوي ذلك على الخاصيتين التاليتين

• المجموع المباشر لوحدتين ذواتي طول محدود له طول محدود
• الوحدة الفرعية لوحدة ذات طول محدود لها طول محدود، وطولها أقل من أو يساوي طول وحدتها الأصلية.

سلسلة تركيبية من الوحدة M هي سلسلة على الشكل التالي:

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

بحيث

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ بسيط لـ }}i=0,\dots ,n-1}$

يكون للوحدة النمطية M طول محدود إذا وفقط إذا كان لها سلسلة تركيب (محدودة)، ويكون طول كل سلسلة تركيب من هذا القبيل مساوياً لطول M.

أي فضاء متجهي محدود الأبعاد${\displaystyle V}$فوق حقل${\displaystyle k}$له طول محدود. بالنظر إلى أساس${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$هناك السلسلة$${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$وهو ذو طول${\displaystyle n}$وهي قيمة قصوى لأنه بالنظر إلى أي سلسلة،$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$سيزداد حجم كل عنصر مضمن بما لا يقل عن${\displaystyle 1}$لذلك، يتطابق طوله مع أبعاده.

فوق حلقة أساسية${\displaystyle R}$تشكل الوحدات الأرتينية فئة من الأمثلة على الوحدات المنتهية. في الواقع ، تُعد هذه الأمثلة بمثابة الأدوات الأساسية لتحديد رتبة التلاشي في نظرية التقاطع . ^{[ 3 ]}

تُعد رتبة تلاشي دالة جبرية غير صفرية حالة خاصة من هذا التعريف العام للتعددية${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$على مجموعة جبرية. بالنظر إلى مجموعة جبرية${\displaystyle X}$ونوع فرعي${\displaystyle V}$من البُعد المشترك 1 ^{[ 3 ]} رتبة التلاشي لكثير الحدود${\displaystyle f\in R(X)}$يُعرَّف على أنه ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$الحلقة المحلية المحددة بواسطة ساق${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$على طول الصنف الفرعي${\displaystyle V}$^{[ 3 ] الصفحات 426-227}يعادلها،ساق${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$في النقطة العامة لـ${\displaystyle V}$^{[ 5 ] الصفحة 22.}إذا${\displaystyle X}$هو نوع من الأنواع ذات التقارب ، و${\displaystyle V}$يُعرَّف ذلك باختفاء الموضع${\displaystyle V(f)}$ثم هناك التشاكل$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$ويمكن بعد ذلك توسيع هذه الفكرة لتشمل الدوال الكسرية${\displaystyle F=f/g}$على التنوع${\displaystyle X}$حيث يتم تعريف الترتيب على أنه ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$وهو ما يشبه تحديد ترتيب الأصفار والأقطاب في التحليل المركب .