قاعدة التقسيم المحدود

في الرياضيات، تُعرف قاعدة التقسيم الجزئي المحدود بأنها طريقة تكرارية لتقسيم المضلعات أو الأشكال ثنائية الأبعاد الأخرى إلى أجزاء أصغر فأصغر. تُعد قواعد التقسيم الجزئي، بمعنى ما، تعميمًا للكسور الهندسية المنتظمة . فبدلًا من تكرار التصميم نفسه بدقة، تتضمن هذه القواعد اختلافات طفيفة في كل مرحلة، مما يسمح ببنية أكثر ثراءً مع الحفاظ على الأسلوب الأنيق للكسور الهندسية. ^{[ 1 ]} وقد استُخدمت قواعد التقسيم الجزئي في الهندسة المعمارية، وعلم الأحياء، وعلوم الحاسوب، بالإضافة إلى دراسة المشعبات الزائدية . وتُعد تبليطات الاستبدال نوعًا مدروسًا جيدًا من قواعد التقسيم الجزئي.

تُحوّل قاعدة التقسيم الفرعي تبليطًا للسطح المستوي باستخدام المضلعات إلى تبليط جديد بتقسيم كل مضلع إلى مضلعات أصغر. وتكون هذه القاعدة منتهية إذا كان عدد طرق تقسيم كل مضلع محدودًا. يُطلق على كل طريقة تقسيم اسم نوع البلاطة ، ويُرمز لكل نوع بلاطة برمز (عادةً حرف). وينقسم كل نوع بلاطة إلى أنواع بلاطات أصغر. كما تُقسّم كل حافة وفقًا لعدد محدود من أنواع الحواف . لا تستطيع قواعد التقسيم الفرعي المنتهية تقسيم التبليطات إلا إذا كانت مُكوّنة من مضلعات مُصنّفة حسب أنواع البلاطات. تُسمى هذه التبليطات مُجمّعات التقسيم الفرعي لقاعدة التقسيم الفرعي. وبإعطاء أي مُجمّع تقسيم فرعي لقاعدة تقسيم فرعي، يُمكننا تقسيمه مرارًا وتكرارًا للحصول على سلسلة من التبليطات. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، يحتوي التقسيم الثنائي على نوع واحد من البلاطات ونوع واحد من الحواف. جميع الأشكال الرباعية هي بلاطات من النوع أ. ^{[ 3 ]}

بما أن نوع البلاط الوحيد هو الرباعي، فإن التقسيم الثنائي لا يُمكنه تقسيم التبليطات إلا إذا كانت مُكوّنة من رباعيات. هذا يعني أن مُجمّعات التقسيم الوحيدة هي التبليطات الرباعية. يُمكن أن يكون التبليط مُنتظمًا ، ولكن ليس بالضرورة. يبدأ المثال التالي بمُجمّع مُكوّن من أربعة رباعيات ويُقسّمه مرتين. ^{[ 4 ]}

يُعدّ التقسيم الباريسنتري مثالاً على قاعدة تقسيم فرعية ذات نوع واحد من الحواف (التي تُقسّم إلى حافتين) ونوع واحد من البلاطات (مثلث يُقسّم إلى 6 مثلثات أصغر). أي سطح مُثلّث هو مُركّب تقسيم باريسنتري. ^{[ 1 ]}

يمكن إنشاء تبليط بنروز بواسطة قاعدة تقسيم فرعية على مجموعة من أربعة أنواع من البلاط (الخطوط المنحنية في الجدول أدناه تساعد فقط في إظهار كيفية تركيب البلاط معًا): ^{[ 5 ]}

اسم	البلاطات الأولية	الجيل الأول	الجيل الثاني	الجيل الثالث
نصف طائرة ورقية
نصف سهم
شمس
نجم

تُنتج بعض الخرائط العقلانية قواعد تقسيم فرعية محدودة. ^{[ 6 ]} ويشمل ذلك معظم خرائط لاتيس . ^{[ 7 ]}

لكل عقدة متناوبة أولية غير منقسمة أو مكمل رابط قاعدة تقسيم فرعي، مع وجود بعض البلاطات التي لا تخضع للتقسيم الفرعي، والتي تُقابل حدود مكمل الرابط. ^{[ 8 ]} تُظهر قواعد التقسيم الفرعي كيف ستبدو سماء الليل لشخص يعيش في مكمل عقدة ؛ لأن الكون يلتف حول نفسه (أي أنه ليس متصلاً ببساطة )، سيرى المراقب الكون المرئي يُكرر نفسه في نمط لانهائي. ^{[ 9 ]} تصف قاعدة التقسيم الفرعي هذا النمط. ^{[ 8 ]}

تختلف قاعدة التقسيم الفرعي باختلاف الأشكال الهندسية. هذه قاعدة تقسيم فرعي لعقدة البرسيم الثلاثي ، وهي ليست عقدة زائدية : ^{[ 8 ]}

وهذه هي قاعدة التقسيم الفرعي لحلقات بوروميان ، وهي زائدية: ^{[ 8 ]}

في كلتا الحالتين، تعمل قاعدة التقسيم على جزء من سطح الكرة (أي سماء الليل)، ولكن من الأسهل رسم جزء صغير من سماء الليل، بما يتوافق مع بلاطة واحدة يتم تقسيمها بشكل متكرر. هذا ما يحدث لعقدة البرسيم الثلاثي: ^{[ 8 ]}

أما بالنسبة لحلقات بوروميان: ^{[ 8 ]}

يمكن تعميم قواعد التقسيم الفرعي بسهولة إلى أبعاد أخرى. ^{[ 10 ]} على سبيل المثال، يُستخدم التقسيم الفرعي المركزي في جميع الأبعاد. ^{[ 11 ]} كما يمكن تعميم التقسيم الفرعي الثنائي إلى أبعاد أخرى (حيث تُقسّم المكعبات الفائقة بواسطة كل مستوى متوسط)، كما هو مستخدم في بعض البراهين في التحليل الرياضي متعدد الأبعاد ، مثل مبرهنة بولزانو-فايرشتراس ومبرهنة هاين-بوريل . ^{[ 12 ]}

قاعدة التقسيم المحدود${\displaystyle R}$يتكون مما يلي. ^{[ 2 ]}

1. مركب CW ثنائي الأبعاد محدود${\displaystyle S_{R}}$، والتي تسمى معقد التقسيم الفرعي ، ذات بنية خلوية ثابتة بحيث${\displaystyle S_{R}}$هو اتحاد خلاياه المغلقة المكونة من 2 خانات. نفترض أنه لكل خلية مغلقة مكونة من 2 خانات${\displaystyle {\tilde {s}}}$ل${\displaystyle S_{R}}$يوجد هيكل CW${\displaystyle s}$على قرصين مغلقين بحيث${\displaystyle s}$يحتوي على رأسين على الأقل، وهما رأس وحواف${\displaystyle s}$موجودة في${\displaystyle \partial s}$والخريطة المميزة${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$والتي تُسقط على${\displaystyle {\tilde {s}}}$^{[ 2 ]} يقتصر على تماثل شكلي على كل خلية مفتوحة.
2. مُركب CW ثنائي الأبعاد محدود${\displaystyle R(S_{R})}$، وهو قسم فرعي من${\displaystyle S_{R}}$[ ^{2 ]​}
3. خريطة خلوية متصلة${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$تُسمى خريطة التقسيم الفرعي ، والتي يكون تقييدها على كل خلية مفتوحة بمثابة تماثل شكلي على خلية مفتوحة. ^{[ 2 ]}

كل مجمع CW${\displaystyle s}$في التعريف أعلاه (مع خريطته المميزة المعطاة)${\displaystyle \psi _{s}}$يُطلق عليه نوع البلاط . ^{[ 2 ]}

أن${\displaystyle R}$-معقد لقاعدة التقسيم الفرعي${\displaystyle R}$هو مركب CW ثنائي الأبعاد${\displaystyle X}$وهو اتحاد خليتيه المغلقتين، بالإضافة إلى خريطة خلوية متصلة${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$والتي يكون تقييدها على كل خلية مفتوحة تماثلًا شكليًا. يمكننا تقسيمها إلى أجزاء.${\displaystyle X}$إلى مجمع${\displaystyle R(X)}$من خلال اشتراط أن تكون الخريطة المستحثة${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$يقتصر على التماثل الموضعي على كل خلية مفتوحة.${\displaystyle R(X)}$هو مرة أخرى${\displaystyle R}$مجمع مع خريطة${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$يؤدي تكرار هذه العملية إلى إنتاج سلسلة من الأجزاء الفرعية${\displaystyle R}$-المجمعات${\displaystyle R^{n}(X)}$مع الخرائط${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$[ ^{2 ]​}

يمكن استخدام قواعد التقسيم الفرعي لدراسة خصائص شبه التماثل لبعض الفضاءات. ^{[ 13 ]} بالنظر إلى قاعدة تقسيم فرعي${\displaystyle R}$ومجمع تقسيم الأراضي${\displaystyle X}$يمكن للمرء إنشاء رسم بياني يسمى "الرسم البياني التاريخي" يسجل عمل قاعدة التقسيم الفرعي. يتكون الرسم البياني من الرسوم البيانية الثنائية لكل مرحلة${\displaystyle R^{n}(X)}$بالإضافة إلى الحواف التي تربط كل بلاطة في${\displaystyle R^{n}(X)}$مع تقسيماتها الفرعية في${\displaystyle R^{n+1}(X)}$[ ^{14 ]​}

يمكن دراسة خصائص شبه التساوي في الرسم البياني التاريخي باستخدام قواعد التقسيم الفرعي. على سبيل المثال، يكون الرسم البياني التاريخي شبه متساوي القياس مع الفضاء الزائدي تحديدًا عندما تكون قاعدة التقسيم الفرعي "متوافقة"، كما هو موضح في نظرية ريمان التوافقية . ^{[ 13 ]}

تطبيقات قواعد التقسيم الفرعي.

مثال على قاعدة التقسيم المستخدمة في الفن الإسلامي والمعروفة باسم التقسيم .

الخطوات الثلاث الأولى لتقسيم مكعب باستخدام طريقة كاتمول-كلارك مع سطح تقسيم فرعي أسفله.

يمكن نمذجة الطبيعة المتفرعة للشعب الهوائية بواسطة قواعد التقسيم الفرعي المحدود.

تُعدّ بلاطات الجيريه الإسلامية في العمارة الإسلامية بلاطات متشابهة ذاتيًا يمكن نمذجتها باستخدام قواعد التقسيم المحدود. ^{[ 15 ]} في عام 2007، نشر بيتر ج. لو من جامعة هارفارد والبروفيسور بول ج. شتاينهارت من جامعة برينستون بحثًا في مجلة ساينس يشير إلى أن بلاطات الجيريه تمتلك خصائص تتوافق مع البلاطات شبه البلورية الكسورية المتشابهة ذاتيًا، مثل بلاطات بنروز (التي عُرضت عام 1974، وبدأت أعمال سابقة لها حوالي عام 1964)، والتي سبقتها بخمسة قرون. ^{[ 15 ]}

تستخدم أسطح التقسيم الفرعي في رسومات الحاسوب قواعد التقسيم الفرعي لتحسين سطح ما إلى أي مستوى دقة مُحدد. تأخذ هذه الأسطح (مثل سطح كاتمول-كلارك للتقسيم الفرعي ) شبكة مضلعية (من النوع المستخدم في أفلام الرسوم المتحركة ثلاثية الأبعاد) وتُحسّنها إلى شبكة تحتوي على عدد أكبر من المضلعات عن طريق إضافة نقاط وتحريكها وفقًا لصيغ تكرارية مختلفة. على الرغم من تحريك العديد من النقاط في هذه العملية، فإن كل شبكة جديدة تُعتبر، من الناحية التركيبية، تقسيمًا فرعيًا للشبكة القديمة (بمعنى أنه لكل حافة ورأس في الشبكة القديمة، يمكن تحديد حافة ورأس مُقابلين في الشبكة الجديدة، بالإضافة إلى العديد من الحواف والرؤوس الأخرى). ^{[ 16 ]}

طبّق كانون وفلويد وباري (2000) قواعد التقسيم الفرعي لدراسة أنماط النمو واسعة النطاق للكائنات الحية. ^{[ 17 ]} وقد وضعوا نموذجًا رياضيًا للنمو يُبيّن أن بعض الأنظمة التي تُحدّدها قواعد التقسيم الفرعي المحدودة البسيطة يُمكن أن تُنتج أجسامًا (في مثالهم، جذع شجرة) يتذبذب شكلها واسع النطاق بشكلٍ كبير مع مرور الوقت، على الرغم من ثبات قوانين التقسيم الفرعي المحلية. كما طبّقوا نموذجهم على تحليل أنماط نمو أنسجة الفئران. واقترحوا أن الطبيعة "المنحنية سلبًا" (أو غير الإقليدية) لأنماط النمو المجهرية للكائنات الحية هي أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل الكائنات الحية واسعة النطاق لا تبدو كالبلورات أو الأشكال متعددة الأوجه، بل تُشبه في الواقع، في كثير من الحالات، الأشكال الكسورية ذاتية التشابه . وعلى وجه الخصوص، اقترحوا أن هذا التركيب المحلي "المنحني سلبًا" يتجلى في الطبيعة المطوية والمترابطة للغاية لأنسجة الدماغ والرئة. ^{[ 17 ]}

قام كانون وفلويد وباري بدراسة قواعد التقسيم المحدود لأول مرة كمحاولة لإثبات التخمين التالي : ^{[ 13 ]}

كل مجموعة غروموف الزائدية ذات كرة ثنائية الأبعاد عند اللانهاية تؤثر هندسيًا على الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد .

هنا، يُعرَّف الفعل الهندسي بأنه فعل متراص ومتقطع بشكل صحيح بواسطة التماثلات. وقد حل غريغوري بيرلمان هذا التخمين جزئيًا في برهانه لتخمين الهندسة ، الذي ينص (جزئيًا) على أن أي زمرة غروموف زائدية تُشكِّل زمرة متعددة الشعب ثلاثية الأبعاد يجب أن تؤثر هندسيًا على الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد. ومع ذلك، لا يزال يتعين إثبات أن زمرة غروموف الزائدية التي تحتوي على كرة ثنائية الأبعاد عند اللانهاية هي زمرة متعددة الشعب ثلاثية الأبعاد. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

أظهر كانون وسوينسون ^{[ 21 ]} أن الزمرة الزائدية ذات الكرة ثنائية الأبعاد عند اللانهاية لها قاعدة تقسيم فرعية مرتبطة بها. إذا كانت قاعدة التقسيم الفرعية هذه متطابقة بمعنى معين، فإن الزمرة ستكون زمرة متعددة الشعب ثلاثية الأبعاد ذات هندسة الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 13 ]}

تُوفّر قواعد التقسيم الفرعي سلسلة من تبليطات السطح، وتُتيح هذه التبليطات فهمًا بديهيًا للمسافة والطول والمساحة (بتخصيص طول ومساحة يساويان 1 لكل بلاطة). في النهاية، قد تتقارب المسافات الناتجة عن هذه التبليطات، بشكلٍ ما، إلى بنية تحليلية على السطح. تُقدّم نظرية ريمان التوافقية شروطًا ضرورية وكافية لحدوث ذلك. ^{[ 13 ]}

يحتاج هذا البيان إلى بعض التوضيح. تبليط${\displaystyle T}$من خاتم${\displaystyle R}$(أي، حلقة مغلقة) تعطي ثابتين،${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$و${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$تُسمى هذه المعاملات بالمعاملات التقريبية ، وهي مشابهة للمعامل الكلاسيكي للحلقة . ويتم تعريفها باستخدام "دوال الوزن". دالة الوزن${\displaystyle \rho }$يُخصص لكل بلاطة رقم غير سالب يُسمى "وزن".${\displaystyle T}$كل مسار في${\displaystyle R}$يمكن تحديد طول المسار، والذي يُعرَّف بأنه مجموع أوزان جميع البلاطات الموجودة فيه. حدد الارتفاع.${\displaystyle H(\rho )}$ل${\displaystyle R}$تحت${\displaystyle \rho }$أن يكون الحد الأدنى لطول جميع المسارات الممكنة التي تربط الحدود الداخلية لـ${\displaystyle R}$إلى الحد الخارجي. المحيط${\displaystyle C(\rho )}$ل${\displaystyle R}$تحت${\displaystyle \rho }$هي الحد الأدنى لطول جميع المسارات الممكنة التي تدور حول الحلقة (أي، ليست متماثلة صفريًا في R). المساحة${\displaystyle A(\rho )}$ل${\displaystyle R}$تحت${\displaystyle \rho }$يُعرَّف بأنه مجموع مربعات جميع الأوزان في${\displaystyle R}$. ثابتة تحت تغيير مقياس القياس، ويمكن تعريفها على النحو التالي: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\sup }(R,T)&=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},\\m_{\inf }(R,T)&=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.\end{aligned}}}$$

تسلسل${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$التبليط متطابق (${\displaystyle K}$) إذا اقتربت الشبكة من 0 و: ^{[ 13 ]}

1. لكل خاتم${\displaystyle R}$، المعاملات التقريبية${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$و${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$للجميع${\displaystyle i}$كبيرة بما يكفي، تقع في فاصل زمني واحد من الشكل${\displaystyle [r,Kr]}$؛ و
2. بافتراض نقطة${\displaystyle x}$في السطح، حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle x}$وعدد صحيح${\displaystyle I}$هناك خاتم${\displaystyle R}$في${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$فصل x عن متمم${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع الأحجام الكبيرة${\displaystyle i}$المعاملات التقريبية لـ${\displaystyle R}$جميعها أكبر من${\displaystyle I}$.

• صفحة أبحاث بيل فلويد . تحتوي هذه الصفحة على معظم الأبحاث التي أجراها كانون وفلويد وباري حول قواعد تقسيم الأراضي، بالإضافة إلى معرض لقواعد تقسيم الأراضي.