دالة المجموعة الجمعية سيجما

في الرياضيات ، دالة المجموعة الجمعية هي دالة$μ$ربط المجموعات بالأرقام، بحيث تكون قيمتها على اتحاد مجموعتين منفصلتين تساوي مجموع قيمها على هاتين المجموعتين، أي${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$إذا تحققت خاصية الجمع هذه لأي مجموعتين، فإنها تتحقق أيضًا لأي عدد محدود من المجموعات، أي أن قيمة الدالة على اتحاد k مجموعة منفصلة (حيث k عدد محدود) تساوي مجموع قيمها على تلك المجموعات. لذلك، تُسمى دالة المجموعة الجمعية أيضًا دالة مجموعة جمعية محدودة (المصطلحان متكافئان). مع ذلك، قد لا تتمتع دالة المجموعة الجمعية المحدودة بخاصية الجمع لاتحاد عدد لا نهائي من المجموعات. أما دالة المجموعة الجمعية من النوع σ فهي دالة تتمتع بخاصية الجمع حتى لعدد لا نهائي قابل للعد من المجموعات، أي${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

تُعدّ خاصيتا الجمع والجمعية-سيجما من الخصائص المهمة للمقاييس . وهما تجريدان لخصائص الحجم ( الطول ، المساحة ، الحجم ) البديهية لمجموع مجموعة عند النظر إلى عدة عناصر. والجمعية شرط أضعف من الجمعية- سيجما ؛ أي أن الجمعية- سيجما تستلزم الجمعية.

مصطلح دالة المجموعة المعيارية يعادل دالة المجموعة الجمعية؛ انظر المعيارية أدناه.

يترك${\displaystyle \mu }$لتكن دالة مجموعة معرفة على جبر المجموعات${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$مع القيم في${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$(انظر إلى خط الأعداد الحقيقية الممتد ). الدالة${\displaystyle \mu }$يُطلق عليه اسممادة مضافة أوجمعي نهائي ، إذا كان كلما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات منفصلة في${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ثم $${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$$ نتيجة لذلك، لا يمكن للدالة الجمعية أن تأخذ كلا${\displaystyle -\infty }$و${\displaystyle +\infty }$كقيم، للتعبير${\displaystyle \infty -\infty }$غير مُعرَّف.

يمكن إثبات أن الدالة الجمعية تحقق الشرط التالي بالاستقراء الرياضي:$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$ لأي${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$المجموعات المنفصلة في${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

لنفترض أن${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$هي جبر سيجما . إذا كان لكل متتالية${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$من المجموعات المنفصلة ثنائياً في${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$ ثم يحفظ${\displaystyle \mu }$يُقال إنها دالة جمعية قابلة للعد أو دالة جمعية من النوع π . كل دالة جمعية من النوع π هي دالة جمعية، ولكن ليس العكس، كما هو موضح أدناه.

لنفترض أنه بالإضافة إلى جبر سيجما${\textstyle {\mathcal {A}},}$لدينا بنية طوبولوجية${\displaystyle \tau .}$إذا كان لكل عائلة موجهة من المجموعات المفتوحة القابلة للقياس${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$ نقول ذلك${\displaystyle \mu }$يكون${\displaystyle \tau }$-إضافي. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \mu }$إذا كانت منتظمة داخليًا (بالنسبة للمجموعات المدمجة)، فإنها${\displaystyle \tau }$-مضاف. ^{[ 1 ]}

الخصائص المفيدة لدالة المجموعة الجمعية${\displaystyle \mu }$يتضمن ما يلي.

من أمثلة الدوال الجمعية من النوع 𝜎 الدالة${\displaystyle \mu }$معرفة على مجموعة القوى للأعداد الحقيقية ، بحيث $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

لو${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$إذا كانت متتالية من مجموعات الأعداد الحقيقية المنفصلة، ​​فإما أن لا تحتوي أي من المجموعات على الصفر، أو أن واحدة منها فقط تحتوي عليه. في كلتا الحالتين، تكون المساواة $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ يحجز.

انظر إلى القياس والقياس الموجه لمزيد من الأمثلة على الدوال الجمعية 𝜎 .

تُعرَّف الشحنة بأنها دالة مجموعة جمعية منتهية تُسقط${\displaystyle \varnothing }$ل${\displaystyle 0.}$^{[ 2 ]} (انظر إلىفضاء baللحصول على معلومات حولالمحدودة، حيث نقول أن الشحنةمحدودةبمعنى أن مداها هو مجموعة فرعية محدودة منR.)

يمكن تعريف الدوال الجمعية بقيم تنتمي إلى أي زمرة جمعية (مثل أي زمرة أو، بشكل أكثر شيوعًا، فضاء متجهي ). وللحصول على خاصية الجمعية-سيجما، يلزم بالإضافة إلى ذلك تعريف مفهوم نهاية المتتالية على تلك المجموعة. على سبيل المثال، تُعد المقاييس الطيفية دوالًا جمعية-سيجما بقيم تنتمي إلى جبر باناخ . مثال آخر، من ميكانيكا الكم أيضًا ، هو المقياس ذو القيم الموجبة للمؤثر .

• الخريطة الجمعية – تماثل وحدة Z 
• نظرية هان-كولموغوروف – نظرية توسع نطاق التدابير المسبقة لتشمل التدابير. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• القياس (في الرياضيات) – تعميم للكتلة والطول والمساحة والحجم 
• مقياس سيجما-المحدود - مفهوم في نظرية القياس 
• القياس الموقّع – مفهوم عام للقياس في الرياضيات 
• دالة المجموعة شبه المعيارية – خريطة تحويل المجموعة إلى حقيقي مع تناقص العائدات 
• دالة المجموعة الفرعية الجمعية
• خاصية الجمع من النوع τ – خاصية لبعض المقاييس على الفضاءات الطوبولوجية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فضاء ba - مجموعة الشحنات المحدودة على جبر سيجما معين

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع "أدفيتيف" على موقع "بلانيت ماث" ، وهو مرخص بموجب رخصة "كرييتف كومنز" للنسبة والتوزيع/المشاركة بالمثل .