التكميم الأول

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

التكميم الأول هو إجراء لتحويل معادلات الجسيمات الكلاسيكية إلى معادلات موجية كمومية. أما المفهوم المصاحب له، وهو التكميم الثاني، فيحول معادلات المجال الكلاسيكية إلى معادلات مجال كمومية. [ 1 ]

مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون الأمر كذلك. على وجه الخصوص، يمكن إنشاء نسخة كمومية كاملة من النظرية بتفسير الحقول المتفاعلة وجهودها المرتبطة بها كمؤثرات ضرب، شريطة أن يُكتب الجهد بالإحداثيات الكنسية المتوافقة مع الإحداثيات الإقليدية للميكانيكا الكلاسيكية القياسية . [ 2 ] يُعد التكميم الأول مناسبًا لدراسة نظام كمومي واحد (لا ينبغي الخلط بينه وبين نظام جسيم واحد، حيث تصف دالة موجية كمومية واحدة حالة نظام كمومي واحد، والذي قد يحتوي على عدد كبير من الأجزاء المكونة المعقدة، ويُعطى تطوره بمعادلة شرودنغر واحدة غير مقترنة ) يتم التحكم فيه بواسطة أجهزة مختبرية تخضع للميكانيكا الكلاسيكية ، على سبيل المثال فولتميتر تقليدي (خالٍ من أجهزة أشباه الموصلات الحديثة التي تعتمد على نظرية الكم - مع أن هذا كافٍ، إلا أنه ليس ضروريًا)، ومقياس حرارة بسيط، ومولد مجال مغناطيسي، وما إلى ذلك.

تاريخ

في عام 1901، استنتج ماكس بلانك وجود وقيمة الثابت الذي يحمل اسمه، وذلك بالاعتماد فقط على قانون إزاحة فين ، والميكانيكا الإحصائية ، والنظرية الكهرومغناطيسية . [ 3 ] وبعد أربع سنوات، في عام 1905، تعمق ألبرت أينشتاين في شرح هذا الثابت وعلاقته الوثيقة بجهد إيقاف الإلكترونات المنبعثة في التأثير الكهروضوئي . [ 4 ] لم تكن الطاقة في التأثير الكهروضوئي تعتمد فقط على عدد الفوتونات الساقطة (شدة الضوء)، بل أيضًا على تردد الضوء، وهي ظاهرة جديدة في ذلك الوقت. (وقد نال أينشتاين جائزة نوبل في الفيزياء عام 1921 عن هذا العمل . [ 5 ] ) ويمكن الاستنتاج من ذلك أن هذا كان بدايةً رئيسيةً للتكميم، أي تقسيم المادة إلى مكوناتها الأساسية.

بعد حوالي ثماني سنوات، في عام 1913، نشر نيلز بور سلسلته الشهيرة المكونة من ثلاثة أجزاء، حيث افترض، بشكل أساسي، تكميم الزخم الزاوي في الهيدروجين والمعادن الشبيهة بالهيدروجين. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] حيث في الواقع، الزخم الزاوي المداريL{\displaystyle L}من إلكترون التكافؤ، يأخذ الشكلL=لℏ{\displaystyle L=l\hbar }، أينل{\displaystyle l}، والذي يُشار إليه باسم العدد الكمي، يُفترض أنه عدد صحيح0،1،2،3،...{\displaystyle 0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots \,}في العرض التقديمي الأصلي، سُمّي الزخم الزاوي المداري للإلكترون بـم{\displaystyle M}ثابت بلانك مقسومًا على اثنين باي كما يلي:م0{\displaystyle M_{0}}والعدد الكمي أو "حساب عدد مرات المرور بين النقاط الثابتة"، كما ذكره بور في الأصل على النحو التالي:τ{\displaystyle \tau }انظر المراجع أعلاه لمزيد من التفاصيل.

على الرغم من أنه سيتبين لاحقًا أن هذا الافتراض ليس صحيحًا تمامًا، إلا أنه في الواقع ينتهي به الأمر قريبًا جدًا من التعبير الصحيح للعدد الكمي (القيمة الذاتية) لمؤثر الزخم الزاوي المداري للقيم الكبيرة للعدد الكميل{\displaystyle l}بل إن هذا كان جزءًا من افتراض بور ​​نفسه. انظر إلى نتيجة افتراض بورL2=ل2ℏ2{\displaystyle L^{2}=l^{2}\hbar ^{2}}وقارنها بالنسخة الصحيحة المعروفة اليوم باسمL2=ل(ل+1)ℏ2{\displaystyle L^{2}=l(l+1)\hbar ^{2}}من الواضح أن هذا ينطبق على الأحجام الكبيرةل{\displaystyle l}لا يوجد فرق يُذكر، وهذا أمر جيد بالنسبة لـل=0{\displaystyle l=0}إن التكافؤ تام. ودون الخوض في مزيد من التفاصيل التاريخية، يكفي التوقف هنا واعتبار هذه الحقبة من تاريخ التكميم بمثابة " نظرية الكم القديمة "، أي فترة في تاريخ الفيزياء حيث بدأت الطبيعة الجسيمية للجسيمات دون الذرية تلعب دورًا متزايد الأهمية في فهم نتائج التجارب الفيزيائية، والتي كان نتيجتها الحتمية هي تجزئة الكميات الفيزيائية الرئيسية القابلة للملاحظة. ومع ذلك، وعلى عكس الحقبة الموصوفة أدناه بأنها حقبة التكميم الأول ، فقد استندت هذه الحقبة فقط إلى حجج كلاسيكية بحتة مثل قانون إزاحة فين ، والديناميكا الحرارية ، والميكانيكا الإحصائية ، والنظرية الكهرومغناطيسية . في الواقع، يعود تاريخ رصد سلسلة بالمر للهيدروجين في تاريخ التحليل الطيفي إلى عام 1885. [ 9 ]

مع ذلك، وقعت الأحداث المفصلية التي ستُشير إلى عصر التكميم الأول في السنوات الحاسمة الممتدة من عام 1925 إلى عام 1928. ففي ديسمبر 1925، نشر المؤلفان ماكس بورن وباسكوال جوردان [ 10 ] ، بالتعاون مع بول ديراك في ديسمبر 1925 أيضًا [ 11 ] ، ثم إرفين شرودنغر في يناير 1926 [ 12 ]، وبعد ذلك، نشر فيرنر هايزنبرغ بالتعاون مع بورن وجوردان في أغسطس 1926 [ 13 ] ، وأخيرًا ديراك في عام 1928 [ 14 ]. أسفرت هذه المنشورات عن ثلاثة صيغ نظرية، ثبت أن اثنتين منها متكافئتان؛ إذ كانت صيغة بورن وهايزنبرغ وجوردان مكافئة لصيغة شرودنغر، بينما اعتُبرت نظرية ديراك لعام 1928 النسخة النسبية للصيغتين السابقتين. وأخيرًا، تجدر الإشارة إلى نشر هايزنبرغ وباولي في عام 1929، [ 15 ] والذي يمكن اعتباره المحاولة الأولى لـ " التكميم الثاني "، وهو مصطلح استخدمه باولي حرفيًا في منشور عام 1943 للجمعية الفيزيائية الأمريكية . [ 16 ]

لأغراض التوضيح وفهم المصطلحات وتطورها عبر التاريخ، يكفي أن نختتم بالمنشور الرئيسي الذي ساهم في إدراك تكافؤ ميكانيكا المصفوفات لبورن وهايزنبرغ وجوردان (1925-1926) مع معادلة الموجة لشرودنغر (1926). وقد أظهرت الأعمال المجمعة والموسعة لجون فون نيومان أن النظريتين متكافئتان رياضيًا، [ 17 ] وهذا الإدراك هو ما يُعرف اليوم بالتكميم الأول . [ ملاحظة 1 ] [ 18 ] [ ملاحظة 2 ]

مقدمات رياضية نوعية

لفهم مصطلح التكميم الأول، يجب أولاً فهم معنى أن يكون الشيء كموميًا في المقام الأول. نظرية نيوتن الكلاسيكية هي معادلة تفاضلية غير خطية من الدرجة الثانية تعطي المسار الحتمي لنظام كتلي .م{\displaystyle m}التسارع ،​أ{\displaystyle a}، في قانون نيوتن الثاني للحركة،F=مأ{\displaystyle F=ma}، هي المشتقة الثانية لموضع النظام كدالة للزمن. لذلك، من الطبيعي البحث عن حلول لمعادلة نيوتن قابلة للتفاضل من الرتبة الثانية على الأقل .

تختلف نظرية الكم اختلافًا جذريًا في أنها تستبدل الكميات الفيزيائية القابلة للرصد، مثل موقع النظام، ووقت الرصد، وكتلته، وسرعته لحظة الرصد، بمفهوم الكميات المؤثرة القابلة للرصد. تُغير المؤثرات، بوصفها كميات قابلة للرصد، مفهوم ما هو قابل للقياس، وتُفضي إلى النتيجة الحتمية لنظرية ماكس بورن الاحتمالية. في هذا الإطار من اللا حتمية، يُعطى احتمال وجود النظام في حالة قابلة للرصد معينة بواسطة كثافة احتمالية ديناميكية تُعرَّف بأنها مربع القيمة المطلقة لحل معادلة شرودنغر . ولأن كثافات الاحتمالية قابلة للتكامل وقابلة للتطبيع إلى الوحدة، فإن حلول معادلة شرودنغر يجب أن تكون قابلة للتكامل التربيعي. يُعرف فضاء المتجهات للمتتاليات اللانهائية، التي يُمثل مجموع مربعاتها متسلسلة متقاربة، باسمℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}(تُنطق "ليتل إل تو"). وهي في تناظر واحد لواحد مع فضاء المتجهات اللانهائي الأبعاد للدوال القابلة للتكامل التربيعي،L2(Rد){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}، من الفضاء الإقليديRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}إلى المستوى المركب ،ج{\displaystyle \mathbb {C} }ولهذا السبب،ℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}وL2(Rد){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}كثيراً ما يُشار إليها بشكل عشوائي باسم "فضاء هيلبرت". وهذا مضلل إلى حد ما لأنRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}كما أنها فضاء هيلبرت عند تجهيزها وإكمالها تحت الضرب الداخلي الإقليدي ، على الرغم من أنها فضاء ذو ​​أبعاد محدودة.

أنواع الأنظمة

تتضمن كل من نظرية نيوتن ونظرية شرودنغر معامل الكتلة، وبالتالي يمكنهما وصف تطور مجموعة من الكتل أو نظام مكون واحد ذي كتلة كلية واحدة، بالإضافة إلى جسيم مثالي واحد ضمن نظام كتلة مثالي واحد. فيما يلي أمثلة على أنواع مختلفة من الأنظمة.

أنظمة الجسيمات المفردة

بشكل عام، يمكن وصف حالة الجسيم الواحد بمجموعة كاملة من الأعداد الكمومية التي يُرمز لها بـν{\displaystyle \nu }على سبيل المثال، الأعداد الكمومية الثلاثةن،ل،م{\displaystyle n,l,m}تشكل الإلكترونات المرتبطة بإلكترون في جهد كولوم ، مثل ذرة الهيدروجين ، مجموعة كاملة (مع إهمال اللف المغزلي). ولذلك، تُسمى هذه الحالة|ν⟩{\displaystyle |\nu \rangle }وهو متجه ذاتي لمؤثر هاميلتوني. يمكن الحصول على تمثيل دالة الحالة للحالة باستخدامψν(ر)=⟨ر|ν⟩{\displaystyle \psi _{\nu }(\mathbf {r} )=\langle \mathbf {r} |\nu \rangle }تشكل جميع المتجهات الذاتية لمؤثر هيرميتي أساسًا كاملاً، لذا يمكن للمرء بناء أي حالة|ψ⟩=∑ν|ν⟩⟨ν|ψ⟩{\textstyle |\psi \rangle =\sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |\psi \rangle }الحصول على علاقة الاكتمال:

∑ν|ν⟩⟨ν|=أنا{\displaystyle \sum _{\nu }|\nu \rangle \langle \nu |=\mathbf {I} }

اعتقد الكثيرون أنه يمكن معرفة جميع خصائص الجسيم باستخدام هذا الأساس المتجهي، والذي يُعبَّر عنه هنا باستخدام ترميز ديراك براكيت . ومع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون هذا صحيحًا. [ 19 ]

أنظمة الجسيمات المتعددة

عند الانتقال إلى أنظمة مكونة من N جسيمًا، أي أنظمة تحتوي على N جسيمًا متطابقًا ، أي جسيمات تتميز بنفس المعايير الفيزيائية مثل الكتلة والشحنة واللف المغزلي ، فإن ذلك يمثل امتدادًا لدالة حالة الجسيم الواحد.ψ(ر){\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}إلى دالة حالة الجسيمات Nψ(ر1،ر2،...،رشمال){\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},...,\mathbf {r} _{N})}ضروري. [ 20 ] يتمثل أحد الاختلافات الجوهرية بين الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية في مفهوم عدم إمكانية التمييز بين الجسيمات المتطابقة. وبالتالي ، لا يوجد في الفيزياء الكمية سوى نوعين من الجسيمات، وهما ما يُسمى بالبوزونات والفيرميونات التي تخضع للقواعد التالية:

ψ(ر1،...،رج،...،رك،...،رشمال)=+ψ(ر1،...،رك،...،رج،...،رشمال){\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=+\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{ي},...,\mathbf {r} _{N})}(بوزونات)،
ψ(ر1،...،رج،...،رك،...،رشمال)=-ψ(ر1،...،رك،...،رج،...،رشمال){\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{j},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r_{N}} )=-\psi (\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{k},...,\mathbf {r} _{ي},...,\mathbf {r} _{N})}(الفيرميونات).

حيث قمنا بتبديل إحداثيين(رج،رك){\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}من دالة الحالة. تُستخلص دالة الموجة المعتادة باستخدام محدد سلاتر ونظرية الجسيمات المتطابقة. باستخدام هذا الأساس، يُمكن حل أي مسألة متعددة الجسيمات يُمكن وصفها بوضوح ودقة بواسطة دالة موجة واحدة وحالة قطرية واحدة على مستوى النظام. من هذا المنظور، لا يُعد التكميم الأول نظرية متعددة الجسيمات بالمعنى الحقيقي، ولكن مفهوم "النظام" لا يقتصر بالضرورة على جسيم واحد.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هذا البيان ليس فريدًا من نوعه حيث يمكن القول أن الترميز غير الدقيق رياضيًا لديراك، حتى اليوم، يمكن أن يوضح التكافؤ.
  2. ↑ وبالمثل، يمكن اعتبار "أرضية الاختبار" للهيدروجين دليلاً قوياً على استنتاج التكافؤ.

مراجع

  1. ↑ داك، إيان؛ سودارشان، إي سي جي (1998). باولي ونظرية الإحصاء الدوراني . وورلد ساينتيفيك. doi : 10.1142/3457 . ISBN 978-981-02-3114-9.
  2. ↑ ديراك، بام (1950). "ديناميكيات هاميلتون المعممة" . المجلة الكندية للرياضيات . 2 : 129-148 . doi : 10.4153/cjm-1950-012-1 . ISSN 0008-414X . S2CID 119748805 .  
  3. ^ بلانك ، ماكس (1901). "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum" . أنالين دير فيزيك . 309 (3): 553– 563. بيب كود : 1901AnP...309..553P . دوى : 10.1002/andp.19013090310 .
  4. ^ أينشتاين أ. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" . أنالين دير فيزيك . 322 (6): 132– 148. بيب كود : 1905AnP...322..132E . دوى : 10.1002/andp.19053220607 .
  5. ↑ "جميع جوائز نوبل في الفيزياء" . NobelPrize.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23 مايو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 أبريل 2021 .
  6. ↑ بور، ن. (نوفمبر 1913). "73. حول تركيب الذرات والجزيئات" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 26 (155): 857-875 . Bibcode : 1913PMag...26..857B . doi : 10.1080/14786441308635031 . مؤرشف من الأصل في 7 أكتوبر 2024. تم الاطلاع عليه في 4 أكتوبر 2022 .
  7. ↑ بور، ن. (سبتمبر 1913). "37. حول تركيب الذرات والجزيئات" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 26 (153): 476-502 . Bibcode : 1913PMag...26..476B . doi : 10.1080/14786441308634993 . مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2020. تم الاطلاع عليه في 4 أكتوبر 2022 .
  8. ↑ بور، ن. (يوليو 1913). "أولًا: في تركيب الذرات والجزيئات" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 26 (151): 1-25 . رمز Bibcode : 1913PMag...26....1B . doi : 10.1080/14786441308634955 . مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 4 أكتوبر 2022 .
  9. ^ بالمر ، يوهان (1885). "أخبرنا عن Spectrallinien des Wasserstoffs" . Annalen der Physik und Chemie . الخامس والعشرون (السلسلة الثالثة): 80– 87. بيب كود : 1885AnP...261...80B . دوى : 10.1002/andp.18852610506 . مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 2022-01-25 . تم الاسترجاع بتاريخ 2022-10-04 .
  10. ^ ولد م. الأردن، ص. (ديسمبر 1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858– 888. بيب كود : 1925ZPhy...34..858B . دوى : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 . 
  11. ↑ ديراك، بول (ديسمبر 1925). "المعادلات الأساسية لميكانيكا الكم" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي . 109 (752): 642-653 . Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
  12. ^ شرودنغر، إي. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem" . أنالين دير فيزيك . 384 (4): 361– 376. بيب كود : 1926AnP...384..361S . دوى : 10.1002/andp.19263840404 .
  13. ^ ولد م. هايزنبرغ، دبليو. الأردن، ص. (أغسطس 1926). "Zur Quantenmechanik. II". Zeitschrift für Physik . 35 ( 8– 9): 557– 615. بيب كود : 1926ZPhy...35..557B . دوى : 10.1007/BF01379806 . S2CID 186237037 . 
  14. ↑ ديراك، بول (فبراير 1928). "النظرية الكمية للإلكترون" . وقائع الجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي . 117 (778): 610-624 . Bibcode : 1928RSPSA.117..610D . doi : 10.1098/rspa.1928.0023 .
  15. ^ هايزنبرغ، دبليو. باولي ، دبليو (يناير 1929). "Zur Quantendynamik der Wellenfelder". Zeitschrift für Physik . 56 ( 1– 2): 1– 61. بيب كود : 1929ZPhy...56....1H . دوى : 10.1007/BF01340129 . S2CID 121928597 . 
  16. ↑ باولي، و. (1 يوليو 1943). "حول طريقة ديراك الجديدة لتكميم المجال". مراجعات الفيزياء الحديثة . 15 (3): 175-207 . Bibcode : 1943RvMP...15..175P . doi : 10.1103/RevModPhys.15.175 .
  17. ↑ نيومان، جون فون (2018). ويلر، نيكولاس أ. (محرر). الأسس الرياضية لميكانيكا الكم . مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.1515/9781400889921 . ISBN 978-1-4008-8992-1.
  18. ↑ كارفي، ديفيد (2010). أسس نظرية التراكب. المجلد 1، جبر التراكب في فضاء التوزيعات المعتدلة وتطبيقاته في الاقتصاد والفيزياء . ميسينا: إيل غابيانو. ISBN 9788896293119.
  19. ↑ كلاودر، جون (2001). "تكاملات المسار للحالة المتماسكة بدون حلول الوحدة". أسس الفيزياء . 31 (1): 57-67 . arXiv : quant-ph/0008132 . Bibcode : 2001FoPh...31...57K . doi : 10.1023/A:1004151804452 . S2CID 6041817 . 
  20. ↑ ميرزباخر، إي. (1970). ميكانيكا الكم . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0471887021.