ميكانيكا المصفوفة

في عام ١٩٢٥، كان فيرنر هايزنبرغ يعمل في غوتينغن على مشكلة حساب الخطوط الطيفية للهيدروجين . وبحلول مايو من العام نفسه ، بدأ محاولاته لوصف الأنظمة الذرية باستخدام الكميات القابلة للرصد فقط. وفي ٧ يونيو، وبعد أسابيع من محاولات فاشلة لتخفيف حمى القش لديه باستخدام الأسبرين والكوكايين، ^{[ ٣ ]} غادر هايزنبرغ إلى جزيرة هيليغولاند في بحر الشمال الخالية من حبوب اللقاح . وهناك، وبينما كان يتسلق الجبال ويحفظ قصائد من ديوان غوته " الديوان الشرقي الغربي" ، واصل التفكير في مسألة الطيف، وأدرك في النهاية أن اعتماد الكميات القابلة للرصد غير التبادلية قد يحل المشكلة. وقد كتب لاحقًا:

كانت الساعة حوالي الثالثة ليلاً عندما ظهرت لي النتيجة النهائية للحساب. في البداية، شعرتُ بصدمةٍ شديدة. كنتُ متحمسًا للغاية لدرجة أنني لم أستطع التفكير في النوم. لذلك غادرتُ المنزل وانتظرتُ شروق الشمس على قمة صخرة. ^{[ 4 ] : ​​275}

بعد عودة هايزنبرغ إلى غوتينغن، عرض حساباته على فولفغانغ باولي ، معلقاً في إحدى المراحل:

لا يزال كل شيء غامضاً وغير واضح بالنسبة لي، ولكن يبدو كما لو أن الإلكترونات لن تتحرك بعد الآن في مداراتها. ^{[ 5 ]}

في التاسع من يوليو، قدّم هايزنبرغ الورقة البحثية نفسها التي تتضمن حساباته إلى ماكس بورن، قائلاً إنه "كتب ورقة بحثية غريبة ولم يجرؤ على إرسالها للنشر، وأن على بورن قراءتها وإسداء النصح له" قبل النشر. ثم انصرف هايزنبرغ لفترة، تاركاً بورن ليحلل الورقة. ^{[ 6 ]}

في الورقة البحثية، صاغ هايزنبرغ نظرية الكم بدون مدارات إلكترونية محددة بدقة، داعياً بشكل مباشر إلى إعادة تفسير نظرية الكم التي تركز فقط على المشاهدات التجريبية مثل الترددات واحتمالات الانتقال.

قبل ورقة هايزنبرغ، كان هندريك كرامرز قد حسب الشدة النسبية لخطوط الطيف في نموذج سومرفيلد بتفسير معاملات فورييه للمدارات على أنها شدة. لكن إجابته، مثل جميع الحسابات الأخرى في نظرية الكم القديمة ، كانت صحيحة فقط للمدارات الكبيرة .

بدأ هايزنبرغ، بعد تعاونه مع كرامرز، ^{[ 7 ]} يعتقد أن احتمالات الانتقال التي تصف الانتقالات الكمومية ستحتاج إلى تفسير جديد يختلف عن الميكانيكا الكلاسيكية، لأن هايزنبرغ كان يعتقد أن الترددات التي يجب أن تظهر في سلسلة تصف موضع الإلكترون يجب أن تكون فقط تلك التي يتم رصدها تجريبياً في الانتقالات الكمومية (مثل الخطوط الطيفية)، وليس المجموعة الكاملة من الترددات المكانية التي تأتي من إنشاء سلسلة فورييه تقليدية للمدارات الكلاسيكية.

تضمنت الكميات في صياغة هايزنبرغ الأصلية سلسلة تصف الموضع على أنه سلسلة من "المذبذبات الافتراضية" ذات مؤشرين، يمثلان الحالتين الابتدائية والنهائية للانتقال الكمومي. ^{[ 8 ]} وبدلاً من اتباع قاعدة الضرب المتوقعة من ضرب متسلسلات فورييه، وضع هايزنبرغ قاعدة ضرب غير تبادلية لضمان أن ضرب حالات الموضع سيحافظ على الترددات الموجودة فقط في الانتقالات الكمومية.

عندما قرأ بورن الورقة البحثية، أدرك أن الصياغة، ولا سيما قاعدة الضرب غير التبادلية، قابلة للنسخ والتوسيع إلى لغة المصفوفات النظامية ، ^{[ 9 ]} التي تعلمها من دراسته على يد جاكوب روزانيس ^{[ 10 ]} في جامعة بريسلاو . شرع بورن، بمساعدة مساعده وطالبه السابق باسكوال جوردان، على الفور في نسخ وتوسيع الصياغة، وقدّما نتائجهما للنشر؛ وقد نُشرت الورقة بعد 60 يومًا فقط من نشر ورقة هايزنبرغ. ^{[ 11 ]}

قُدِّمت ورقة بحثية لاحقة للنشر قبل نهاية العام من قِبَل المؤلفين الثلاثة. ^{[ 12 ]} (يمكن الاطلاع على مراجعة موجزة لدور بورن في تطوير صياغة ميكانيكا المصفوفات لميكانيكا الكم، بالإضافة إلى مناقشة الصيغة الرئيسية التي تتضمن عدم تبادلية سعات الاحتمال، في مقال لجيريمي بيرنشتاين . ^{[ 13 ]} ويمكن الاطلاع على سرد تاريخي وتقني مفصل في كتاب مهرا وريتشنبرغ " التطور التاريخي لنظرية الكم. المجلد 3: صياغة ميكانيكا المصفوفات وتعديلاتها 1925-1926". ^{[ 14 ]} )

حتى ذلك الحين، كان استخدام المصفوفات نادرًا بين الفيزيائيين؛ إذ كان يُنظر إليها على أنها من صميم الرياضيات البحتة، مما استدعى نشر ورقة بورن وجوردان لتعريف الفيزيائيين غير الملمين باستخدامها بجبر المصفوفات. استخدمها غوستاف مي في ورقة بحثية عن الديناميكا الكهربائية عام ١٩١٢، واستخدمها بورن في عمله على نظرية الشبكات البلورية عام ١٩٢١. مع أن المصفوفات استُخدمت في هذه الحالات، إلا أن جبر المصفوفات وضربها لم يكن حاضرًا كما هو الحال في صياغة المصفوفات لميكانيكا الكم. ^{[ ١٥ ]}

ومع ذلك، فقد تعلم بورن جبر المصفوفات من روزانيس، كما سبق ذكره، ولكن بورن تعلم أيضًا نظرية هيلبرت للمعادلات التكاملية والصيغ التربيعية لعدد لا نهائي من المتغيرات كما يتضح من اقتباس بورن لعمل هيلبرت Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen المنشور عام 1912. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

كان جوردان أيضاً مؤهلاً تماماً لهذه المهمة. فقد عمل لسنوات عديدة مساعداً لريتشارد كوران في غوتينغن في إعداد كتاب كوران وديفيد هيلبرت " Methoden der mathematischen Physik I" ، الذي نُشر عام 1924. ^{[ 18 ]} وقد احتوى هذا الكتاب، لحسن الحظ، على العديد من الأدوات الرياضية اللازمة لمواصلة تطوير ميكانيكا الكم.

في عام 1926، أصبح جون فون نيومان مساعدًا لديفيد هيلبرت، وقد صاغ مصطلح " فضاء هيلبرت" لوصف الجبر والتحليل اللذين استُخدما في تطوير ميكانيكا الكم. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

تم تحقيق مساهمة محورية في هذه الصياغة في ورقة ديراك لإعادة التفسير / التركيب لعام 1925، ^{[ 21 ]} التي ابتكرت اللغة والإطار المستخدم عادة اليوم، في عرض كامل للبنية غير التبادلية للبناء بأكمله.

قبل ظهور ميكانيكا المصفوفات، وصفت نظرية الكم القديمة حركة الجسيم بمدار كلاسيكي، بموقع وزخم محددين جيدًا X ( t ) و P ( t ) ، مع القيد القائل بأن التكامل الزمني على مدى دورة واحدة T للزخم مضروبًا في السرعة يجب أن يكون مضاعفًا صحيحًا موجبًا لثابت بلانك ( h ) كما هو موضح في شرط التكميم سومرفيلد-ويلسون.$${\displaystyle \ \int _{0}^{T}P\;{\frac {\ \mathrm {d} X\ }{\mathrm {d} t}}\;\mathrm {d} t\ =\ \int _{0}^{T}P\;\mathrm {d} X=n\ h~.}$$ في حين أن هذا التقييد يختار المدارات بشكل صحيح بقيم الطاقة الصحيحة E _n ، فإن الصيغة الكمومية القديمة لم تصف العمليات المعتمدة على الوقت، مثل انبعاث أو امتصاص الإشعاع.

عندما يرتبط جسيم كلاسيكي بمجال إشعاعي ارتباطًا ضعيفًا، بحيث يمكن إهمال التخميد الإشعاعي، فإنه سيصدر إشعاعًا بنمط يتكرر في كل دورة مدارية . وتكون الترددات التي تُكوّن الموجة الخارجة مضاعفات صحيحة للتردد المداري، وهذا يعكس حقيقة أن X ( t ) دورية، وبالتالي فإن تمثيلها في تحويل فورييه يحتوي على ترددات 2πn / T فقط . $${\displaystyle X(t)\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\ 2\pi nt/T}X_{n}~.}$$ المعاملات X _n هي أعداد مركبة . يجب أن تكون المعاملات ذات الترددات السالبة هي المرافقات المركبة للمعاملات ذات الترددات الموجبة، بحيث يكون X ( t ) دائمًا عددًا حقيقيًا.$${\displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}~.}$$

من ناحية أخرى، لا يمكن للجسيم الكمومي أن يُصدر إشعاعًا بشكل مستمر؛ بل يُصدر فوتونات فقط. وفقًا لنموذج بور ، بالنسبة لجسيم كمومي يبدأ من العدد الكمومي n ثم يُصدر فوتونًا بانتقاله إلى المدار m ، فإن طاقة الفوتون هي E _{_n} - E_{_m} ، مما يُعطي فوتونًا بتردد E _n - E_{_m} / h .

بالنسبة لقيم n و m الكبيرة ، ولكن مع كون n − m صغيرة نسبيًا، يتوقع مبدأ بور للتوافق نفس الترددات الكلاسيكية. $${\displaystyle E_{n}-E_{m}\approx {\frac {\ h\ (nm)\ }{T}}~.}$$ في الصيغة أعلاه، T هي الفترة الكلاسيكية إما للمدار n أو المدار m ، لأن الفرق بينهما من رتبة أعلى في h . ولكن بالنسبة لقيم n و m الصغيرة ، أو إذا كان n − m كبيرًا، فإن الترددات ليست مضاعفات صحيحة لأي تردد واحد.

بما أن الترددات التي يصدرها الجسيم في الميكانيكا الكلاسيكية هي نفسها الترددات في وصف فورييه لحركته، فقد استنتج هايزنبرغ أنه في الوصف الزمني للجسيم، يجب أن يكون هناك شيء يتذبذب بتردد ⁠E n − E _{m /} h ⁠ . أطلق هايزنبرغ على هذه الكمية اسم X _nm ، واشترط أن تختزل إلى معاملات فورييه الكلاسيكية في الحد الكلاسيكي . بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n و m ولكن مع n − m صغيرة نسبيًا، فإن X _nm هو معامل فورييه ( n − m ) للحركة الكلاسيكية عند المدار n . بما أن X _nm له تردد معاكس لتردد X _mn ، فإن شرط كون X حقيقيًا يصبح $${\displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}~.}$$

بحسب التعريف، فإن X _nm لها التردد ⁠ E _n − E _m / h ⁠ فقط ، لذا يمكن وصف تطورها الزمني على النحو التالي: $${\displaystyle \ X_{nm}(t)\ =\ e^{i\ 2\pi \left(E_{n}-E_{m}\right)t/h}\ X_{nm}(0)\ =\ e^{i\ \left(E_{n}-E_{m}\right)t/\hbar }\ X_{nm}(0)~.}$$ هذا هو الشكل الأصلي لمعادلة هايزنبرغ للحركة.

بافتراض وجود مصفوفتين X _nm و P _nm تصفان كميتين فيزيائيتين، عند نمذجة كل منهما كمتسلسلة فورييه كلاسيكية، يُتوقع أن ينتج عن ضربهما X _nk P _km تردد جديد كجزء من متسلسلة فورييه جديدة. وبينما معاملات فورييه لحاصل ضرب الكميتين هي التفاف معاملات فورييه لكل منهما على حدة، فقد عدّل هايزنبرغ قاعدة الضرب لضمان أن الترددات الجديدة الناتجة عن ضرب كل مكون ستتوافق فقط مع الترددات الموجودة مسبقًا في المدار الكمومي. $${\displaystyle \ \left(X\ P\right)_{mn}\ =\ \sum _{k=0}^{\infty }\ X_{mk}\ P_{kn}~.}$$

لاحظ بورن أن هذا هو قانون ضرب المصفوفات ، بحيث تُفسَّر جميع الكميات القابلة للرصد في النظرية، من حيث الموضع والزخم والطاقة، على أنها مصفوفات. وبموجب قاعدة الضرب هذه، يعتمد الناتج على الترتيب: X P يختلف عن P X.

تُمثل المصفوفة X وصفًا كاملاً لحركة جسيم ميكانيكي كمومي. ولأن ترددات الحركة الكمومية ليست مضاعفات لتردد مشترك، فلا يمكن تفسير عناصر المصفوفة على أنها معاملات فورييه لمسار كلاسيكي حاد . ومع ذلك، وبصفتها مصفوفات، فإن X ( t ) و P ( t ) تُحققان معادلات الحركة الكلاسيكية؛ انظر أيضًا نظرية إهرنفست أدناه.

عندما قدمها فيرنر هايزنبرغ وماكس بورن وباسكوال جوردان عام 1925، لم تُقبل ميكانيكا المصفوفات على الفور، وكانت مصدرًا للجدل في البداية. أما تقديم شرودنغر لميكانيكا الموجات لاحقًا فقد لاقى استحسانًا كبيرًا.

يعود جزء من السبب إلى أن صياغة هايزنبرغ كانت بلغة رياضية غريبة في ذلك الوقت، بينما استندت صياغة شرودنغر إلى معادلات موجية مألوفة. ولكن كان هناك أيضًا سبب اجتماعي أعمق. فقد تطورت ميكانيكا الكم عبر مسارين، أحدهما بقيادة أينشتاين، الذي أكد على ازدواجية الموجة والجسيم التي اقترحها للفوتونات، والآخر بقيادة بور، الذي أكد على حالات الطاقة المنفصلة والقفزات الكمومية التي اكتشفها بور. وقد أعاد دي برولي إنتاج حالات الطاقة المنفصلة ضمن إطار أينشتاين - الشرط الكمومي هو شرط الموجة المستقرة، وهذا أعطى الأمل لأنصار مدرسة أينشتاين بأن جميع الجوانب المنفصلة لميكانيكا الكم ستُدمج في ميكانيكا الموجة المستمرة.

من ناحية أخرى، انبثقت ميكانيكا المصفوفات من مدرسة بور، التي اهتمت بحالات الطاقة المنفصلة والقفزات الكمومية. لم يتقبل أتباع بور النماذج الفيزيائية التي تصور الإلكترونات كموجات، أو كأي شيء آخر على الإطلاق. بل فضلوا التركيز على الكميات المرتبطة مباشرة بالتجارب.

في الفيزياء الذرية، وفر التحليل الطيفي بيانات رصدية حول الانتقالات الذرية الناجمة عن تفاعلات الذرات مع كمات الضوء . اشترطت مدرسة بور أن تقتصر النظرية على الكميات التي يمكن قياسها من حيث المبدأ باستخدام التحليل الطيفي. تشمل هذه الكميات مستويات الطاقة وشدتها، لكنها لا تشمل الموقع الدقيق للجسيم في مداره وفقًا لمدار بور. من الصعب جدًا تصور تجربة قادرة على تحديد ما إذا كان الإلكترون في الحالة الأرضية لذرة الهيدروجين يقع على يمين النواة أو يسارها. كان هناك اعتقاد راسخ بأن مثل هذه الأسئلة لا إجابة لها.

بُنيت صياغة المصفوفة على أساس أن جميع الكميات الفيزيائية القابلة للرصد تُمثَّل بمصفوفات، تُفهرس عناصرها بمستويين مختلفين من الطاقة. ^{[ 22 ]} وقد فُهمت مجموعة القيم الذاتية للمصفوفة في نهاية المطاف على أنها مجموعة جميع القيم الممكنة التي يمكن أن تأخذها الكمية القابلة للرصد. وبما أن مصفوفات هايزنبرغ هيرميتية ، فإن قيمها الذاتية حقيقية.

إذا تم قياس كمية قابلة للرصد وكانت النتيجة قيمة ذاتية معينة، فإن المتجه الذاتي المقابل يمثل حالة النظام مباشرةً بعد القياس. في ميكانيكا المصفوفات، يؤدي القياس إلى انهيار حالة النظام. إذا تم قياس كميتين قابلتين للرصد في آنٍ واحد، فإن حالة النظام تنهار إلى متجه ذاتي مشترك لهاتين الكميتين. ولأن معظم المصفوفات لا تشترك في أي متجهات ذاتية، فإنه لا يمكن قياس معظم الكميات القابلة للرصد بدقة في الوقت نفسه. هذا هو مبدأ عدم اليقين .

إذا اشتركت مصفوفتان في متجهاتهما الذاتية، فيمكن تحويلهما إلى مصفوفتين قطريتين في آنٍ واحد. في الأساس الذي تكون فيه كلتاهما قطريتين، من الواضح أن حاصل ضربهما لا يعتمد على رتبتهما، لأن ضرب المصفوفات القطرية هو مجرد ضرب أعداد. على النقيض من ذلك، فإن مبدأ عدم اليقين هو تعبير عن حقيقة أن المصفوفتين A و B لا تتبادلان دائمًا، أي أن AB − BA لا يساوي بالضرورة صفرًا. علاقة التبادل الأساسية في ميكانيكا المصفوفات، $${\displaystyle \sum _{k}\left(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km}\right)=i\hbar \,\delta _{nm}}$$ وهذا يعني أنه لا توجد حالات لها في نفس الوقت موقع وزخم محددين .

ينطبق مبدأ عدم اليقين هذا على العديد من أزواج الكميات القابلة للرصد الأخرى أيضاً. فعلى سبيل المثال، لا تتبادل الطاقة مع الموضع، لذا يستحيل تحديد موضع وطاقة الإلكترون في الذرة بدقة.

في عام 1928، رشّح ألبرت أينشتاين كلاً من هايزنبرغ وبورن وجوردان لجائزة نوبل في الفيزياء . ^{[ 23 ]} تأخر الإعلان عن جائزة نوبل في الفيزياء لعام 1932 حتى نوفمبر 1933. ^{[ 24 ]} في ذلك الوقت، أُعلن فوز هايزنبرغ بالجائزة لعام 1932 "لإسهامه في ابتكار ميكانيكا الكم، التي أدى تطبيقها، من بين أمور أخرى ، إلى اكتشاف الأشكال المتآصلة للهيدروجين" ^{[ 25 ]} ، وتقاسم إرفين شرودنغر وبول أدريان موريس ديراك جائزة عام 1933 "لاكتشافهما أشكالاً جديدة مثمرة لنظرية الذرة". ^{[ 25 ]}

في 25 نوفمبر 1933، تلقى بورن رسالة من هايزنبرغ ذكر فيها أنه تأخر في الكتابة بسبب "تأنيب ضمير" لأنه هو وحده من نال الجائزة "عن عملٍ أُنجز في غوتينغن بالتعاون مع جوردان وأنا". وأضاف هايزنبرغ أن إسهام بورن وجوردان في ميكانيكا الكم لا يمكن تغييره "بقرار خاطئ من الخارج". ^{[ 26 ]} وفي عام 1954، كتب هايزنبرغ مقالًا يُشيد فيه بماكس بلانك لإسهاماته الرائدة عام 1900. وفي المقال، نسب هايزنبرغ الفضل إلى بورن وجوردان في الصياغة الرياضية النهائية لميكانيكا المصفوفات، وأكد على عظمة إسهاماتهما في ميكانيكا الكم، والتي لم تحظَ "بالتقدير الكافي في الأوساط العامة". ^{[ 27 ]}

في الوحدات التي تكون فيها كتلة المذبذب وتردده مساويين للواحد (انظر إلى مفهوم اللابعدية )، تكون طاقة المذبذب هي $${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ P^{2}+X^{2}\right)~.}$$

تمثل مجموعات المستويات لـ H المدارات التي تدور باتجاه عقارب الساعة، وهي عبارة عن دوائر متداخلة في فضاء الطور. المدار الكلاسيكي ذو الطاقة E هو

${\textstyle \ X(t)=+{\sqrt {2E\ }}\ \cos(t)\qquad }$و${\textstyle \qquad P(t)=-{\sqrt {2E\ }}\ \sin(t)~.}$

ينص شرط الكم القديم على أن تكامل P d X على مدار، والذي يمثل مساحة الدائرة في فضاء الطور، يجب أن يكون مضاعفًا صحيحًا لثابت بلانك . مساحة الدائرة التي نصف قطرها √2E هي 2πE .$${\displaystyle E={\frac {\ n\ h\ }{2\pi }}=n\ \hbar \ ,}$$ أو، في الوحدات الطبيعية حيث ħ ≡ 1 ، تصبح الطاقة عددًا صحيحًا .

مكونات فورييه لـ X ( t ) و P ( t ) بسيطة، وتصبح أبسط عندما يتم إعادة التعبير عنها كمجموع وفرق للموضع X والزخم P : 

${\textstyle \ A(t)=X(t)+i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{-i\ t}\qquad }$و${\textstyle \qquad A^{\dagger }(t)=X(t)-i\ P(t)={\sqrt {2E\ }}\ e^{+i\ t}~.}$

لكل من A و A ^† تردد واحد فقط، ويمكن استعادة X و P من مجموع وفرق A و A ^† المتشابهين .

بما أن A ( t ) لها متسلسلة فورييه كلاسيكية ذات تردد منخفض فقط، وبما أن عنصر المصفوفة Amn هو معامل فورييه ( m - n ) للمدار الكلاسيكي، فإن مصفوفة _A لا تساوي الصفر إلا على الخط أعلى القطر مباشرةً، حيث تساوي √2En _. وبالمثل ، فإن مصفوفة A ^† لا تساوي الصفر إلا على الخط أسفل القطر، ولها نفس العناصر. وبالتالي، من A و A † ، ^ينتج عن إعادة البناء $${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ X(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1\ }}&0&{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2\ }}&0&{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3\ }}&0&{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$ و $${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\ P(0)={\sqrt {\hbar \ }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1\ }}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2\ }}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2\ }}&0&-i{\sqrt {3\ }}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3\ }}&0&-i{\sqrt {4\ }}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}}\ ,}$$ وهي، بحسب اختيار الوحدات، مصفوفات هايزنبرغ للمذبذب التوافقي. كلا المصفوفتين هيرميتيتان ، لأنهما مبنيتان من معاملات فورييه لكميات حقيقية.

يُعدّ إيجاد X ( t ) و P ( t ) أمرًا مباشرًا، لأنهما معاملات فورييه الكمومية، لذا فهما يتطوران ببساطة مع الزمن، كما

${\textstyle \ X_{mn}(t)\ =\ X_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}\qquad }$و${\textstyle \qquad P_{mn}(t)\ =\ P_{mn}(0)\ e^{i\ (E_{m}-E_{n})t}~.}$

حاصل ضرب المصفوفات X و P ليس هيرميتيًا، ولكنه يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. الجزء الحقيقي هو نصف التعبير المتناظر XP + PX ، بينما الجزء التخيلي يتناسب مع المبدل ، والذي يُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle \ {\bigl [}\ X\ ,\ P\ {\bigr ]}\ \equiv \ X\ P-P\ X~.}$$ في الحالة الخاصة للمذبذب التوافقي، من السهل التحقق بشكل صريح من أن XP − PX هو i ħ I ، حيث I هي مصفوفة الوحدة .

ومن السهل أيضاً التحقق من أن المصفوفة $${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\left(\ X^{2}+P^{2}\right)}$$ هي مصفوفة قطرية ، ذات قيم ذاتية E _i .

يُعدّ المذبذب التوافقي حالةً مهمة. فإيجاد المصفوفات أسهل من تحديد الشروط العامة انطلاقًا من هذه الأشكال الخاصة. ولهذا السبب، درس هايزنبرغ المذبذب غير التوافقي ، ذي الهاميلتوني.$${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}P^{2}+{\tfrac {1}{2}}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.}$$

في هذه الحالة، لم تعد المصفوفتان X و P مصفوفتين بسيطتين غير قطريتين، لأن المدارات الكلاسيكية المقابلة لهما مضغوطة ومزاحة قليلاً، بحيث يكون لهما معاملات فورييه عند كل تردد كلاسيكي. ولتحديد عناصر المصفوفة، اشترط هايزنبرغ أن تُطبق معادلات الحركة الكلاسيكية كمعادلات مصفوفية. $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=P~,\qquad {\frac {dP}{dt}}=-X-3\varepsilon X^{2}~.}$$

لقد لاحظ أنه إذا أمكن القيام بذلك، فإن H ، باعتبارها دالة مصفوفة لـ X و P ، سيكون لها مشتق زمني صفري. $${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=P*{\frac {dP}{dt}}+\left(X+3\varepsilon X^{2}\right)*{\frac {dX}{dt}}=0~,}$$ حيث A ∗ B هو مضاد التبديل ، $${\displaystyle A*B={\tfrac {1}{2}}(AB+BA)~.}$$

بما أن جميع العناصر غير القطرية لها تردد غير صفري، فإن ثبات H يعني أن H قطري. كان واضحًا لهايزنبرغ أنه في هذا النظام، يمكن الحفاظ على الطاقة بدقة في أي نظام كمومي، وهي علامة مشجعة للغاية.

بدا أن عملية انبعاث وامتصاص الفوتونات تتطلب أن يظل قانون حفظ الطاقة ساريًا في أفضل الأحوال. فإذا مرت موجة تحتوي على فوتون واحد فوق بعض الذرات، وامتصتها إحداها، فعلى تلك الذرة أن تُعلم الذرات الأخرى بأنها لم تعد قادرة على امتصاص الفوتون. ولكن إذا كانت الذرات متباعدة، فلن تصل أي إشارة إلى الذرات الأخرى في الوقت المناسب، وقد ينتهي بها الأمر بامتصاص الفوتون نفسه على أي حال وتبديد الطاقة في البيئة المحيطة. وعندما تصل الإشارة إليها، سيتعين على الذرات الأخرى استعادة تلك الطاقة بطريقة ما. هذه المفارقة دفعت بور وكريمرز وسلاتر إلى التخلي عن مبدأ حفظ الطاقة بدقة. ومن الواضح أن صيغة هايزنبرغ، عند توسيعها لتشمل المجال الكهرومغناطيسي، ستتجاوز هذه المشكلة، مما يشير إلى أن تفسير النظرية سيتضمن انهيار دالة الموجة .

إنّ اشتراط الحفاظ على معادلات الحركة الكلاسيكية ليس شرطًا كافيًا لتحديد عناصر المصفوفة. فثابت بلانك لا يظهر في المعادلات الكلاسيكية، لذا يمكن إنشاء المصفوفات لقيم مختلفة لـ ħ مع الحفاظ على استيفاء معادلات الحركة، ولكن بمستويات طاقة مختلفة.

لذا، ولتنفيذ برنامجه، احتاج هايزنبرغ إلى استخدام الشروط الكمومية القديمة لتحديد مستويات الطاقة، ثم ملء المصفوفات بمعاملات فورييه للمعادلات الكلاسيكية، ثم تعديل معاملات المصفوفة ومستويات الطاقة تعديلاً طفيفاً للتأكد من استيفاء المعادلات الكلاسيكية. من الواضح أن هذا غير مُرضٍ. تشير الشروط الكمومية القديمة إلى المنطقة المحصورة بالمدارات الكلاسيكية الحادة، والتي لا وجود لها في الصيغة الجديدة.

أهم ما اكتشفه هايزنبرغ هو كيفية ترجمة الشرط الكمي القديم إلى عبارة بسيطة في ميكانيكا المصفوفات.

وللقيام بذلك، قام بدراسة التكامل الفعلي ككمية مصفوفية، $${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){\frac {dX_{kn}}{dt}}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle$$ ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.}

توجد عدة مشاكل في هذا التكامل، وكلها تنبع من عدم توافق صيغة المصفوفة مع التصور القديم للمدارات. ما هي الدورة T التي يجب استخدامها؟ من الناحية شبه الكلاسيكية ، يجب أن تكون إما m أو n ، لكن الفرق يكمن في الرتبة ħ ، والمطلوب هو إيجاد إجابة من الرتبة ħ . يخبرنا الشرط الكمي أن J _mn يساوي 2πn على القطر الرئيسي، لذا فإن كون J ثابتًا كلاسيكيًا يدل على أن العناصر غير القطرية تساوي صفرًا.

كانت رؤيته الحاسمة هي تفريق الشرط الكمومي بالنسبة إلى n . هذه الفكرة لا تكون ذات معنى كامل إلا في الحد الكلاسيكي، حيث n ليس عددًا صحيحًا بل متغير الفعل المستمر J ، لكن هايزنبرغ أجرى عمليات مماثلة باستخدام المصفوفات، حيث تكون التعبيرات الوسيطة أحيانًا فروقًا منفصلة وأحيانًا مشتقات.

في المناقشة التالية، ولأغراض التوضيح، سيتم إجراء التفاضل على المتغيرات الكلاسيكية، وسيتم الانتقال إلى ميكانيكا المصفوفات بعد ذلك، مسترشدين بمبدأ التوافق.

في الإطار الكلاسيكي، المشتقة هي المشتقة بالنسبة إلى J للتكامل الذي يحدد J ، لذا فهي تساوي 1 بشكل تلقائي. $${\displaystyle {\begin{aligned}{}{\frac {d}{dJ}}\int _{0}^{T}PdX&=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}+P{\frac {d}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{dt}}-{\frac {dP}{dt}}{\frac {dX}{dJ}}\right)\end{aligned}}}$$ حيث ينبغي تفسير المشتقات ⁠ dP / dJ ⁠ و ⁠ dX / dJ ⁠ على أنها فروق بالنسبة إلى J في أوقات متناظرة على مدارات قريبة، وهو ما يمكن الحصول عليه بالضبط إذا تم تفاضل معاملات فورييه للحركة المدارية. (هذه المشتقات متعامدة تماثليًا في فضاء الطور مع المشتقات الزمنية ⁠ dP / dt ⁠ و ⁠ dX / dt ⁠ ).

يتم توضيح التعبير النهائي من خلال إدخال المتغير المرافق بشكل قانوني لـ J ، والذي يسمى متغير الزاوية θ : المشتقة بالنسبة للزمن هي مشتقة بالنسبة لـ θ ، حتى عامل 2πT ،$${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\int _{0}^{T}dt\left({\frac {dP}{dJ}}{\frac {dX}{d\theta }}-{\frac {dP}{d\theta }}{\frac {dX}{dJ}}\right)=1\,.}$$لذا فإن التكامل الشرطي الكمي هو القيمة المتوسطة على مدار دورة واحدة لقوس بواسون لـ X و P.

يُظهر تفاضل مماثل لمتسلسلة فورييه لـ P dX أن جميع العناصر غير القطرية لقوس بواسون تساوي صفرًا. قوس بواسون لمتغيرين مترافقين قانونيًا، مثل X و P ، هو القيمة الثابتة 1، لذا فإن هذا التكامل هو في الواقع متوسط ​​القيمة 1؛ أي أنه يساوي 1، كما كنا نعلم مسبقًا، لأنه في النهاية dJ / dJ . لكن هايزنبرغ وبورن وجوردان، على عكس ديراك ، لم يكونوا على دراية بنظرية أقواس بواسون، لذا، بالنسبة لهم، كان التفاضل يُقيّم { X, P } فعليًا في إحداثيات J و θ .

إن قوس بواسون، على عكس التكامل الفعلي، له ترجمة بسيطة إلى ميكانيكا المصفوفات - فهو يتوافق عادة مع الجزء التخيلي من حاصل ضرب متغيرين، وهو المبدل .

ولرؤية ذلك، قم بفحص حاصل ضرب المصفوفتين A و B (المتناظرة عكسياً) في حد التوافق، حيث تكون عناصر المصفوفة دوال متغيرة ببطء للمؤشر، مع الأخذ في الاعتبار أن الإجابة تساوي صفرًا كلاسيكيًا.

في حالة التناظر، عندما تكون المؤشرات m و n كبيرة ومتقاربة، بينما تكون k و r صغيرة، فإن معدل تغير عناصر المصفوفة في الاتجاه القطري هو عنصر المصفوفة للمشتقة J للكمية الكلاسيكية المناظرة. لذا، من الممكن إزاحة أي عنصر من عناصر المصفوفة قطريًا من خلال التناظر. $${\displaystyle A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({\frac {dA}{dJ}}\right)_{mn}}$$ حيث أن الجانب الأيمن هو في الواقع المكون ( m − n ) من فورييه لـ dA / dJ عند المدار بالقرب من m لهذا الترتيب شبه الكلاسيكي، وليس مصفوفة كاملة محددة جيدًا.

يتم الحصول على المشتق الزمني شبه الكلاسيكي لعنصر المصفوفة حتى عامل i عن طريق الضرب في المسافة من القطر الرئيسي. $${\displaystyle ikA_{m(m+k)}\approx \left({\frac {T}{2\pi }}{\frac {dA}{dt}}\right)_{m(m+k)}=\left({\frac {dA}{d\theta }}\right)_{m(m+k)}\,.}$$ بما أن المعامل A _{m ( m + k )} هو شبه كلاسيكي معامل فورييه رقم k للمدار الكلاسيكي رقم m .

يمكن حساب الجزء التخيلي من حاصل ضرب A و B عن طريق تحريك عناصر المصفوفة بحيث يتم إعادة إنتاج الإجابة الكلاسيكية، وهي صفر.

يُعطى الباقي الرئيسي غير الصفري بالكامل عن طريق الإزاحة. وبما أن جميع عناصر المصفوفة تقع عند مؤشرات ذات مسافة صغيرة من موضع المؤشر الكبير ( m , m ) ، فمن المفيد إدخال ترميزين مؤقتين: A [ r , k ] = A _{( m + r )( m + k )} للمصفوفات، و dA / dJ [ r ] للمكونات r من تحويل فورييه للكميات الكلاسيكية .$${\displaystyle {\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }{\bigl (}A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]{\bigr )}\\&=\sum _{r}\left(A[-r+k,k]+(r-k){\frac {dA}{dJ}}[r]\right)\left(B[0,k-r]+r{\frac {dB}{dJ}}[r-k]\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}}$$

بقلب متغير الجمع في المجموع الأول من r إلى r ′ = k − r ، يصبح عنصر المصفوفة، $${\displaystyle \sum _{r'}\left(A[r',k]-r'{\frac {dA}{dJ}}[k-r']\right)\left(B[0,r']+(k-r'){\frac {dB}{dJ}}[r']\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]}$$ ومن الواضح أن الجزء الرئيسي (الكلاسيكي) يلغي نفسه.

الجزء الكمومي الرئيسي، مع إهمال حاصل ضرب المشتقات من الرتبة الأعلى في التعبير المتبقي، يساوي حينها: $${\displaystyle \sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r'](k-r')A[r',k]-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']r'B[0,r']\right)}$$ بحيث يكون ذلك في النهاية، $${\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left({\frac {dB}{dJ}}[r']i{\frac {dA}{d\theta }}[k-r']-{\frac {dA}{dJ}}[k-r']i{\frac {dB}{d\theta }}[r']\right)}$$ والتي يمكن تحديدها بـ i مضروبة في المكون الكلاسيكي k من قوس بواسون.

تم توسيع خدعة التفاضل الأصلية لهايزنبرغ في النهاية لتشمل اشتقاقًا شبه كلاسيكي كامل للشرط الكمي، بالتعاون مع بورن وجوردان. بمجرد أن تمكنوا من إثبات ذلك $${\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \longmapsto \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,}$$وقد حل هذا الشرط محل قاعدة التكميم القديمة ووسعها، مما يسمح بتحديد عناصر المصفوفة P و X لنظام عشوائي ببساطة من شكل الهاميلتوني.

كان يُفترض أن قاعدة التكميم الجديدة صحيحة عالميًا ، على الرغم من أن اشتقاقها من نظرية الكم القديمة تطلب استدلالًا شبه كلاسيكي. (مع ذلك، فقد تم تقدير المعالجة الكمية الكاملة، لحجج أكثر تفصيلًا للأقواس، في أربعينيات القرن العشرين على أنها بمثابة توسيع لأقواس بواسون لتشمل أقواس مويال ).

للانتقال إلى ميكانيكا الكم القياسية، كانت الإضافة الأهم هي متجه الحالة الكمومية ، الذي يُكتب الآن | ψ⟩ ، وهو المتجه الذي تؤثر عليه المصفوفات. وبدون متجه الحالة، لا يتضح أي حركة محددة تصفها مصفوفات هايزنبرغ، لأنها تشمل جميع الحركات في مكان ما.

قدّم بورن تفسيرًا لمتجه الحالة، الذي تُكتب مكوناته ψ _m . هذا التفسير إحصائي: نتيجة قياس الكمية الفيزيائية المقابلة للمصفوفة A عشوائية، بمتوسط ​​قيمة يساوي $${\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.}$$ بدلاً من ذلك، وبشكل مكافئ، يعطي متجه الحالة سعة الاحتمال ψ _n للنظام الكمومي ليكون في حالة الطاقة n .

بمجرد إدخال متجه الحالة، أصبح بالإمكان تدوير ميكانيكا المصفوفات إلى أي أساس ، حيث لم تعد المصفوفة H بحاجة لأن تكون قطرية. تنص معادلة هايزنبرغ للحركة في شكلها الأصلي على أن A _mn تتطور مع الزمن مثل أحد مكونات فورييه. $${\displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$$ والتي يمكن إعادة صياغتها في شكل تفاضلي $${\displaystyle {\frac {dA_{mn}}{dt}}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$$ ويمكن إعادة صياغتها بحيث تكون صحيحة في أي أساس، مع ملاحظة أن المصفوفة H قطرية بقيم قطرية E _m ، $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=i(HA-AH)~.}$$ هذه الآن معادلة مصفوفية، لذا فهي صالحة في أي أساس. هذا هو الشكل الحديث لمعادلة هايزنبرغ للحركة.

حلها الرسمي هو: $${\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$$

تقول جميع هذه الأشكال لمعادلة الحركة أعلاه نفس الشيء، وهو أن A ( t ) مكافئ لـ A (0 ) ، من خلال دوران أساسي بواسطة المصفوفة الوحدوية e ^iHt ، وهي صورة منهجية أوضحها ديراك في تدوينه bra–ket.

وعلى النقيض من ذلك، بتدوير أساس متجه الحالة في كل لحظة بمقدار e ^iHt ، يمكن التخلص من اعتماد المصفوفات على الزمن. تصبح المصفوفات الآن مستقلة عن الزمن، لكن متجه الحالة يدور. $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\qquad {\frac {d|\psi \rangle }{dt}}=-iH|\psi \rangle \,.}$$ هذه هي معادلة شرودنغر لمتجه الحالة، وهذا التغيير المعتمد على الوقت للأساس يعادل التحويل إلى صورة شرودنغر ، مع ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x ) .

في ميكانيكا الكم، في صورة هايزنبرغ ، لا يتغير متجه الحالة |ψ⟩ مع الزمن، بينما تحقق الكمية القابلة للرصد A معادلة هايزنبرغ للحركة .

المصطلح الإضافي مخصص لعوامل مثل $${\displaystyle A=\left(X+t^{2}P\right)}$$ والتي لها اعتماد زمني صريح ، بالإضافة إلى الاعتماد الزمني الناتج عن التطور الوحدوي الذي تمت مناقشته.

لا يُميّز نموذج هايزنبرغ بين الزمان والمكان، لذا فهو أنسب للنظريات النسبية من معادلة شرودنغر. علاوة على ذلك، فإن التشابه مع الفيزياء الكلاسيكية أكثر وضوحًا: إذ تُستعاد معادلات هاميلتون للحركة في الميكانيكا الكلاسيكية باستبدال المُبدِّل أعلاه بقوس بواسون (انظر أيضًا أدناه). وبحسب نظرية ستون-فون نيومان ، يجب أن يكون نموذج هايزنبرغ ونموذج شرودنغر متكافئين وحدويًا، كما هو مُفصَّل أدناه.

وأشار جوردان إلى أن علاقات التبادل تضمن أن P يعمل كمؤثر تفاضلي .

هوية المشغل $${\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}$$ يسمح بتقييم مبدل P مع أي قوة من X ، وهذا يعني أن $${\displaystyle \left[P,X^{n}\right]=-in~X^{n-1}}$$ وهذا، بالإضافة إلى الخطية، يعني أن المبدل P يفرق بشكل فعال أي دالة مصفوفة تحليلية لـ X.

بافتراض أن النهايات محددة بشكل معقول، فإن هذا يمتد إلى الدوال التعسفية - ولكن لا يلزم توضيح هذا الامتداد إلا عند الحاجة إلى درجة معينة من الدقة الرياضية.

بما أن X مصفوفة هيرميتية، فينبغي أن تكون قابلة للتقطير، وسيتضح من الشكل النهائي لـ P أن كل عدد حقيقي يمكن أن يكون قيمة ذاتية. وهذا يجعل بعض العمليات الحسابية دقيقة، إذ يوجد متجه ذاتي منفصل لكل نقطة في الفضاء.

في الأساس الذي تكون فيه X قطرية، يمكن كتابة أي حالة على أنها تراكب لحالات ذات قيم ذاتية x ، $${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,}$$ بحيث يكون ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ ، ويضرب المؤثر X كل متجه ذاتي في x ، $${\displaystyle X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.}$$

عرّف مؤثرًا خطيًا D يقوم بتفاضل ψ ، $${\displaystyle D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ ولاحظ أن $${\displaystyle (DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,}$$ بحيث يخضع المؤثر − iD لنفس علاقة التبادل التي يخضع لها المؤثر P. وبالتالي، يجب أن يكون الفرق بين P و − iD تبادليًا مع X.$${\displaystyle [P+iD,X]=0\,,}$$ لذلك يمكن قطريتها في نفس الوقت مع X : قيمتها التي تؤثر على أي حالة ذاتية لـ X هي دالة f للقيمة الذاتية x .

يجب أن تكون هذه الدالة حقيقية، لأن كلاً من P و − iD دالتان هيرميتيتان. $${\displaystyle (P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,}$$ تدوير كل حالة |x⟩ بمقدار طور f ( x ) ، أي إعادة تعريف طور الدالة الموجية: $${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.}$$يتم إعادة تعريف معرف المشغل بمقدار: $${\displaystyle iD\rightarrow iD+f(X)\,,}$$ وهذا يعني أنه في الأساس المدور، فإن P يساوي − iD .

وبالتالي، يوجد دائمًا أساس للقيم الذاتية لـ X حيث يكون تأثير P على أي دالة موجية معروفًا: $${\displaystyle P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ ويكون الهاميلتوني في هذا الأساس عبارة عن مؤثر تفاضلي خطي على مكونات متجه الحالة، $${\displaystyle \left[{\frac {P^{2}}{2m}}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{\frac {1}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle }$$

وبالتالي، فإن معادلة الحركة لمتجه الحالة ليست سوى معادلة تفاضلية شهيرة.

بما أن D مؤثر تفاضلي، فلكي يُعرَّف تعريفًا منطقيًا، يجب أن توجد قيم ذاتية لـ X تجاور كل قيمة معطاة. وهذا يشير إلى أن الاحتمال الوحيد هو أن فضاء جميع القيم الذاتية لـ X هو جميع الأعداد الحقيقية، وأن P هو iD ، مع مراعاة دوران الطور .

يتطلب جعل هذا الأمر دقيقًا مناقشةً منطقيةً للفضاء الحدي للدوال، وفي هذا الفضاء، تتمثل هذه المناقشة في نظرية ستون-فون نيومان : أي مؤثرين X و P يخضعان لعلاقات التبادل يمكن جعلهما يؤثران على فضاء الدوال الموجية، حيث P مؤثر اشتقاقي. وهذا يعني أن صورة شرودنغر متاحة دائمًا.

يمكن توسيع ميكانيكا المصفوفات بسهولة لتشمل العديد من درجات الحرية بطريقة طبيعية. لكل درجة حرية مؤثر X منفصل ومؤثر تفاضلي فعال P منفصل ، والدالة الموجية هي دالة لجميع القيم الذاتية الممكنة لمتغيرات X المستقلة المتبادلة . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}}$$

على وجه الخصوص، يعني هذا أن نظامًا من N جسيمًا متفاعلًا في ثلاثة أبعاد يُوصف بمتجه واحد، تكون مركباته في أساس تكون فيه جميع عناصر X قطرية، دالة رياضية في فضاء ثلاثي الأبعاد N ، تصف جميع مواقعها الممكنة ، أي مجموعة قيم أكبر بكثير من مجرد مجموعة N دالة موجية ثلاثية الأبعاد في فضاء فيزيائي واحد. وقد توصل شرودنغر إلى النتيجة نفسها بشكل مستقل، وأثبت في النهاية تكافؤ صيغته مع صيغة هايزنبرغ.

بما أن الدالة الموجية خاصية للنظام ككل، وليست خاصية لأي جزء منه، فإن الوصف في ميكانيكا الكم ليس محليًا تمامًا. يصف هذا النموذج عدة جسيمات كمومية على أنها مترابطة أو متشابكة . يؤدي هذا التشابك إلى ارتباطات غريبة بين الجسيمات البعيدة، مما يخالف متباينة بيل الكلاسيكية .

حتى لو اقتصر وجود الجسيمات على موضعين فقط، فإن دالة الموجة لعدد N من الجسيمات تتطلب 2^ ^N عددًا مركبًا، واحدًا لكل مجموعة من المواضع. هذا عدد هائل من الأعداد في N^N ، لذا فإن محاكاة ميكانيكا الكم على الحاسوب تتطلب موارد هائلة. في المقابل، يشير هذا إلى إمكانية إيجاد أنظمة كمومية بحجم N قادرة على حساب حلول مسائل تتطلب عادةً 2^ ^N بت لحلها. هذا هو الهدف من الحوسبة الكمومية .

بالنسبة للمؤثرين المستقلين عن الزمن X و P ، ⁠ ∂ A / ∂ t ⁠ = 0 ، وبالتالي فإن معادلة هايزنبرغ أعلاه تختزل إلى: ^{[ 28 ]}$${\displaystyle i\hbar {\frac {dA}{dt}}=[A,H]=AH-HA,}$$ حيث تشير الأقواس المربعة [ , ] إلى المبدل. بالنسبة لهاملتوني الذي هو ⁠ p ² / 2 m ⁠ + V ( x ) ، فإن المؤثرين X و P يحققان ما يلي: $${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}={\frac {P}{m}},\quad {\frac {dP}{dt}}=-\nabla V,}$$ حيث يمثل الأول السرعة في الحالة الكلاسيكية ، ويمثل الثاني القوة ، أو تدرج الجهد في الحالة الكلاسيكية . وهذان يمثلان صيغة هاميلتون لقوانين نيوتن للحركة . في صورة هايزنبرغ، يحقق المؤثران X و P معادلات الحركة الكلاسيكية. يمكنك حساب القيمة المتوقعة لكلا طرفي المعادلة لتلاحظ أنه في أي حالة | ψ⟩ :$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}}$$

إذن، تخضع قوانين نيوتن بدقة للقيم المتوقعة للمؤثرات في أي حالة معينة. هذه هي نظرية إهرنفست ، وهي نتيجة بديهية لمعادلات هايزنبرغ للحركة، لكنها أقل وضوحًا في نموذج شرودنغر، حيث اكتشفها إهرنفست.

في الميكانيكا الكلاسيكية، يُعد التحويل الكنسي لإحداثيات فضاء الطور تحويلاً يحافظ على بنية أقواس بواسون. فالمتغيران الجديدان x ′ و p ′ لهما نفس أقواس بواسون مع بعضهما البعض كما هو الحال مع المتغيرين الأصليين x و p . ويُعتبر التطور الزمني تحويلاً كنسياً، لأن فضاء الطور في أي لحظة زمنية يُعد خياراً جيداً للمتغيرات تماماً كما هو الحال في أي لحظة زمنية أخرى.

التدفق الهاميلتوني هو التحويل الكنسي : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}}$$

بما أن الهاميلتوني يمكن أن يكون دالة اختيارية لـ x و p ، فهناك تحويلات قانونية متناهية الصغر تتوافق مع كل كمية كلاسيكية G ، حيث يعمل G كهاميلتوني لتوليد تدفق من النقاط في فضاء الطور لفترة زمنية s . $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}}$$

بالنسبة لدالة عامة A ( x , p ) على فضاء الطور، فإن تغيرها المتناهي الصغر عند كل خطوة ds تحت هذا التطبيق هو $${\displaystyle dA={\frac {\partial A}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A}{\partial p}}dp=\{A,G\}ds\,.}$$تُسمى الكمية G بالمولد المتناهي الصغر للتحويل الكنسي.

في ميكانيكا الكم، أصبح النظير الكمي G الآن مصفوفة هيرميتية، وتُعطى معادلات الحركة بواسطة المبدلات. $${\displaystyle dA=i[G,A]ds\,.}$$

يمكن إجراء التكامل الرسمي للحركات الكنسية المتناهية الصغر، تمامًا كما تم إجراء التكامل لمعادلة هايزنبرغ للحركة. $${\displaystyle A'=U^{\dagger }AU}$$ حيث U = e ^iGs و s هو معامل اختياري.

وبالتالي، فإن تعريف التحويل الكنسي الكمومي هو تغيير وحدوي اعتباطي للأساس على فضاء جميع متجهات الحالة. U هي مصفوفة وحدوية اعتباطية، وهي دوران معقد في فضاء الطور. $${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}\,.}$$ هذه التحويلات تترك مجموع مربع القيمة المطلقة لمكونات الدالة الموجية ثابتًا ، بينما تأخذ الحالات التي هي مضاعفات لبعضها البعض (بما في ذلك الحالات التي هي مضاعفات تخيلية لبعضها البعض) إلى حالات هي نفس المضاعف لبعضها البعض.

تفسير المصفوفات هو أنها تعمل كمولدات للحركات على فضاء الحالات .

على سبيل المثال، يمكن إيجاد الحركة الناتجة عن P عن طريق حل معادلة هايزنبرغ للحركة باستخدام P كدالة هاميلتونية. $${\displaystyle {\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}}$$ هذه عبارة عن تحويلات للمصفوفة X بمضاعفات مصفوفة الوحدة، $${\displaystyle X\rightarrow X+sI~.}$$ هذا هو تفسير عامل الاشتقاق D : e ^iPs = e ^D ، الأسي لعامل الاشتقاق هو إزاحة (لذا عامل إزاحة لاغرانج ).

وبالمثل، يُولّد المؤثر X انتقالات في P. ويُولّد الهاميلتوني انتقالات في الزمن ، ويُولّد الزخم الزاوي دورانات في الفضاء الفيزيائي ، ويُولّد المؤثر X ² + P ² دورانات في فضاء الطور .

عندما يتبادل تحويلٌ ما، كالدوران في الفضاء الفيزيائي، مع الهاميلتوني، يُسمى هذا التحويل تناظرًا (خلف انحلال) للهاميلتوني - أي أن الهاميلتوني المُعبَّر عنه بدلالة الإحداثيات المُدوَّرة هو نفسه الهاميلتوني الأصلي. وهذا يعني أن التغير في الهاميلتوني تحت تأثير مولد التناظر المتناهي الصغر L يتلاشى. $${\displaystyle {\frac {dH}{ds}}=i[L,H]=0\,.}$$

ويترتب على ذلك أن التغير في المولد تحت تأثير التحويل الزمني يتلاشى أيضاً. $${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=i[H,L]=0}$$ بحيث تكون المصفوفة L ثابتة مع مرور الوقت: فهي محفوظة.

اكتشفت إيمي نوثر العلاقة التناظرية بين مولدات التناظر المتناهية الصغر وقوانين الحفظ في الميكانيكا الكلاسيكية، حيث تكون المبدلات عبارة عن أقواس بواسون ، لكن المنطق الكمومي متطابق. في الميكانيكا الكمومية، ينتج عن أي تحويل تناظر وحدوي قانون حفظ، لأنه إذا كانت المصفوفة U تتمتع بالخاصية التالية: $${\displaystyle U^{-1}HU=H}$$ وبناءً على ذلك $${\displaystyle UH=HU}$$ وأن المشتق الزمني لـ U يساوي صفرًا - فهو محفوظ.

القيم الذاتية للمصفوفات الوحدوية هي أطوار خالصة، لذا فإن قيمة الكمية المحفوظة الوحدوية هي عدد مركب مقداره الوحدة، وليس عددًا حقيقيًا. بعبارة أخرى، المصفوفة الوحدوية هي دالة أسية لـ i مضروبة في مصفوفة هيرميتية، وبالتالي فإن الكمية الحقيقية المحفوظة الجمعية، أي الطور، تكون محددة جيدًا فقط حتى مضاعف صحيح لـ 2π . فقط عندما تكون مصفوفة التناظر الوحدوية جزءًا من عائلة تقترب بشكل تعسفي من مصفوفة الوحدة، تصبح الكميات الحقيقية المحفوظة أحادية القيمة، وعندها يصبح شرط حفظها قيدًا أكثر دقة.

تُسمى التناظرات التي يمكن ربطها بشكل مستمر بالتناظر المحايد بالتناظرات المستمرة ، ومن أمثلتها عمليات الإزاحة والدوران والتحويل. أما التناظرات التي لا يمكن ربطها بشكل مستمر بالتناظر المحايد فتُسمى بالتناظرات المنفصلة ، ​​ومن أمثلتها عملية انعكاس الفضاء، أو التكافؤ ، واقتران الشحنة .

يعود تفسير المصفوفات كمولدات للتحويلات الكنسية إلى بول ديراك. ^{[ 29 ]} وقد أظهر يوجين ويغنر أن التطابق بين التناظرات والمصفوفات كامل، إذا تم تضمين المصفوفات المضادة للوحدة التي تصف التناظرات التي تشمل انعكاس الزمن.

كان من الواضح فيزيائياً لهايزنبرغ أن المربعات المطلقة لعناصر المصفوفة X ، وهي معاملات فورييه للتذبذب، ستعطي معدل انبعاث الإشعاع الكهرومغناطيسي.

في الحد الكلاسيكي للمدارات الكبيرة، إذا كانت شحنة ذات موضع X ( t ) وشحنة q تتذبذب بجوار شحنة مساوية ومعاكسة في الموضع 0، فإن عزم ثنائي القطب اللحظي هو q X ( t ) ، ويترجم التغير الزمني لهذا العزم مباشرة إلى التغير المكاني الزمني للجهد المتجه، مما ينتج عنه موجات كروية خارجية متداخلة.

بالنسبة للذرات، يبلغ طول موجة الضوء المنبعث حوالي 10000 ضعف نصف قطر الذرة، وعزم ثنائي القطب هو المساهمة الوحيدة في المجال الإشعاعي، في حين يمكن تجاهل جميع التفاصيل الأخرى لتوزيع الشحنة الذرية.

بإهمال رد الفعل العكسي، فإن القدرة المشعة في كل نمط صادر هي مجموع مساهمات منفصلة من مربع كل نمط فورييه زمني مستقل لـ d . $${\displaystyle P(\omega )={\tfrac {2}{3}}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$$

أما في تمثيل هايزنبرغ، فإن معاملات فورييه لعزم ثنائي القطب هي عناصر المصفوفة X. وقد سمح هذا التوافق لهايزنبرغ بتقديم قاعدة لشدة الانتقال، وهي نسبة الوقت الذي ينبعث فيه فوتون من حالة ابتدائية i ، ثم تقفز الذرة إلى حالة نهائية j . $${\displaystyle P_{ij}={\tfrac {2}{3}}\left(E_{i}-E_{j}\right)^{4}\left|X_{ij}\right|^{2}\,.}$$

ثم سمح هذا بتفسير حجم عناصر المصفوفة إحصائياً: فهي تعطي شدة الخطوط الطيفية، واحتمالية حدوث قفزات كمومية من انبعاث إشعاع ثنائي القطب .

بما أن معدلات الانتقال تُعطى بواسطة عناصر المصفوفة X ، فحيثما تكون قيمة X _ij تساوي صفرًا، يجب أن يكون الانتقال المقابل غائبًا. وقد سُميت هذه بقواعد الاختيار ، والتي ظلت لغزًا حتى ظهور ميكانيكا المصفوفات.

تُرمز أي حالة لذرة الهيدروجين، مع إهمال اللف المغزلي، بالرمز | n ; l , m⟩ ، حيث تمثل قيمة l مقياسًا لعزم الدوران المداري الكلي، و m هي المركبة z التي تحدد اتجاه المدار. أما مركبات متجه عزم الدوران الزائف فهي $${\displaystyle L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}}$$ حيث تكون المنتجات في هذا التعبير مستقلة عن الترتيب والحقيقية، لأن المكونات المختلفة لـ X و P تتبادل.

يسهل إيجاد علاقات التبادل بين L وجميع مصفوفات الإحداثيات الثلاث X و Y و Z (أو مع أي متجه).$${\displaystyle \left[L_{i},X_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,}$$مما يؤكد أن العامل L يولد دورانات بين المكونات الثلاثة لمتجه مصفوفات الإحداثيات X.

ومن هذا، يمكن استنتاج مبدل L _z ومصفوفات الإحداثيات X و Y و Z.$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}}$$

هذا يعني أن الكميتين X + iY و X − iY تخضعان لقاعدة تبديل بسيطة، $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}}$$

تمامًا مثل عناصر المصفوفة X + iP و X − iP لهاملتونيان المذبذب التوافقي، فإن قانون التبادل هذا يعني أن هذه المؤثرات لا تحتوي إلا على عناصر مصفوفة غير قطرية معينة في حالات ذات قيمة m محددة . $${\displaystyle L_{z}{\bigl (}(X+iY)|m\rangle {\bigr )}=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle }$$ بمعنى أن المصفوفة ( X + iY ) تحوّل متجهًا ذاتيًا للمصفوفة L _z بقيمة ذاتية m إلى متجه ذاتي بقيمة ذاتية m + 1. وبالمثل، فإن ( X − iY ) تُنقص قيمة m بمقدار وحدة واحدة، بينما لا تُغيّر Z قيمة m .

لذا، في أساس | l , m ⟩ حيث يكون لـ L ² و L _z قيم محددة، تكون عناصر المصفوفة لأي من المكونات الثلاثة للموضع صفرًا، باستثناء عندما يكون m هو نفسه أو يتغير بمقدار وحدة واحدة.

يفرض هذا قيدًا على التغير في الزخم الزاوي الكلي. يمكن تدوير أي حالة بحيث يكون زخمها الزاوي في اتجاه المحور z قدر الإمكان، حيث m = l . لا يمكن لعنصر المصفوفة الخاص بالموضع المؤثر على | l , m⟩ أن ينتج إلا قيمًا لـ m أكبر بوحدة واحدة، لذا إذا تم تدوير الإحداثيات بحيث تكون الحالة النهائية | l ′, l′ ⟩ ، فإن قيمة l ′ يمكن أن تكون أكبر بوحدة واحدة على الأكثر من أكبر قيمة لـ l التي تظهر في الحالة الابتدائية. وبالتالي، فإن l ′ هي على الأكثر l + 1 .

تتلاشى عناصر المصفوفة عندما يكون l ′ > l + 1 ، ويتم تحديد عنصر المصفوفة العكسي بواسطة الهرميتية، لذلك تتلاشى هذه أيضًا عندما يكون l ′ < l − 1 : انتقالات ثنائي القطب ممنوعة مع تغيير في الزخم الزاوي بأكثر من وحدة واحدة.

تحدد معادلة هايزنبرغ للحركة عناصر المصفوفة P في أساس هايزنبرغ من عناصر المصفوفة X.$${\displaystyle P_{ij}=m{\frac {d}{dt}}X_{ij}=im\left(E_{i}-E_{j}\right)X_{ij}\,,}$$ مما يحول الجزء القطري من علاقة التبادل إلى قاعدة جمع لقيمة عناصر المصفوفة: $${\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=i\,.}$$

ينتج عن هذا علاقة لمجموع شدة الطيف من وإلى أي حالة معينة، على الرغم من أنه لكي تكون صحيحة تمامًا، يجب تضمين مساهمات احتمالية الالتقاط الإشعاعي لحالات التشتت غير المقيدة في المجموع: $${\displaystyle \sum _{j}2m\left(E_{i}-E_{j}\right)\left|X_{ij}\right|^{2}=1\,.}$$