الحدسية

في فلسفة الرياضيات ، تُعرف الحدسية ، أو الحدسية الجديدة (في مقابل ما قبل الحدسية )، بأنها منهج يُنظر فيه إلى الرياضيات على أنها نتاج محض للنشاط الذهني البنّاء للإنسان، وليست اكتشافًا لمبادئ أساسية يُزعم وجودها في واقع موضوعي. ^{[ 1 ]} أي أن المنطق والرياضيات لا يُعتبران نشاطين تحليليين يتم فيهما الكشف عن خصائص عميقة للواقع الموضوعي وتطبيقها، بل يُعتبران تطبيقًا لأساليب متسقة داخليًا تُستخدم لتحقيق بنى ذهنية أكثر تعقيدًا، بغض النظر عن إمكانية وجودها بشكل مستقل في واقع موضوعي.

السمة المميزة الأساسية للحدسية هي تفسيرها لمعنى صحة العبارة الرياضية. ففي الحدسية الأصلية لبروير ، تُعدّ صحة العبارة الرياضية ادعاءً ذاتيًا: إذ تُقابل العبارة الرياضية بناءً ذهنيًا، ولا يستطيع عالم الرياضيات تأكيد صحة العبارة إلا بالتحقق من صحة ذلك البناء حدسيًا . غالبًا ما يؤدي غموض المفهوم الحدسي للحقيقة إلى سوء فهم معناه. عرّف كلين الحقيقة الحدسية تعريفًا رسميًا من منظور واقعي، إلا أن بروير كان سيرفض على الأرجح هذا التعريف الرسمي باعتباره عديم المعنى، نظرًا لرفضه الموقف الواقعي/الأفلاطوني. ولذلك، تبقى الحقيقة الحدسية غير محددة بدقة. مع ذلك، ولأن المفهوم الحدسي للحقيقة أكثر تقييدًا من مفهوم الرياضيات الكلاسيكية، يتعين على الحدسي رفض بعض افتراضات المنطق الكلاسيكي لضمان أن كل ما يثبته صحيح حدسيًا في الواقع. وهذا ما يُنشئ المنطق الحدسي .

بالنسبة للمذهب الحدسي، يُعدّ الادعاء بوجود شيء ذي خصائص معينة بمثابة ادعاء بإمكانية بناء شيء آخر بتلك الخصائص. يُعتبر أي كائن رياضي نتاجًا لبناء ذهني ، وبالتالي، فإن وجود الكائن يُعادل إمكانية بنائه. وهذا يتناقض مع المنهج الكلاسيكي الذي ينص على إمكانية إثبات وجود كيان ما بنفي عدم وجوده. بالنسبة للمذهب الحدسي، هذا غير صحيح؛ فنفي عدم الوجود لا يعني إمكانية إيجاد بناء للكائن المفترض، كما هو مطلوب لإثبات وجوده. وهكذا، يُعدّ المذهب الحدسي أحد أشكال البنائية الرياضية ، ولكنه ليس النوع الوحيد.

يختلف تفسير النفي في المنطق الحدسي عنه في المنطق الكلاسيكي. ففي المنطق الكلاسيكي، يُؤكد نفي العبارة أنها خاطئة ؛ أما في المنطق الحدسي، فيعني ذلك أنها قابلة للدحض . ^{[ 2 ]} وبالتالي، يوجد تباين بين العبارة الإيجابية والسلبية في المنطق الحدسي. فإذا كانت العبارة (P) قابلة للإثبات، فلا يمكن دحضها قطعًا. ولكن حتى لو أمكن إثبات عدم إمكانية دحضها ، فإن هذا لا يُعدّ برهانًا عليها . لذا، فإن (P) أقوى من عبارة " ليس-ليس-P " .

وبالمثل، فإنّ تأكيد صحة A أو B ، بالنسبة للمنطق الحدسي، يعني الادعاء بإمكانية إثبات أيٍّ من A أو B. وعلى وجه الخصوص، لا يُقبل قانون الوسط المرفوع ، " A أو ليس A "، كمبدأ صحيح. فعلى سبيل المثال، إذا كانت A عبارة رياضية لم يثبتها أو ينفيها أحد أنصار المنطق الحدسي بعد، فلن يؤكد صحة " A أو ليس A ". ومع ذلك، سيقبل أن " A وليس A " لا يمكن أن تكون صحيحة. وبالتالي، فإنّ رابطي "و" و"أو" في المنطق الحدسي لا يُحققان قوانين دي مورغان كما هو الحال في المنطق الكلاسيكي.

يستبدل المنطق الحدسي قابلية البناء بالحقيقة المجردة ، ويرتبط بالانتقال من برهان نظرية النموذج إلى الحقيقة المجردة في الرياضيات الحديثة . يحافظ الحساب المنطقي على التبرير، لا الحقيقة، عبر التحويلات التي تُنتج قضايا مشتقة. وقد اعتُبر هذا المنطق بمثابة دعم فلسفي لعدة مدارس فلسفية، أبرزها مذهب مناهضة الواقعية لمايكل دوميت . وبالتالي، وخلافًا للانطباع الأولي الذي قد يوحي به اسمه، وكما يتجلى في مناهج وتخصصات محددة (مثل المجموعات الضبابية والأنظمة الضبابية)، فإن الرياضيات الحدسية أكثر دقة من الرياضيات التقليدية، حيث تُعتبر العناصر الأساسية التي تسعى الحدسية إلى بنائها/دحضها/إعادة تأسيسها، من المفارقات، معطاة حدسيًا.

من بين الصيغ المختلفة للحدسية، توجد عدة مواقف مختلفة حول معنى وحقيقة اللانهاية.

يشير مصطلح "اللانهاية المحتملة" إلى إجراء رياضي يتضمن سلسلة لا نهائية من الخطوات. فبعد إتمام كل خطوة، تظهر دائمًا خطوة أخرى يجب القيام بها. على سبيل المثال، لنأخذ عملية العد كمثال:${\displaystyle 1,2,...}$

يشير مصطلح اللانهاية الفعلية إلى كائن رياضي مكتمل يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة الأعداد الطبيعية .${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,...\}}$.

في صياغة كانتور لنظرية المجموعات، توجد العديد من المجموعات اللانهائية المختلفة، بعضها أكبر من غيرها. على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أكبر من${\displaystyle \mathbb {N} }$لأن أي محاولة لوضع الأعداد الطبيعية في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الحقيقية ستفشل حتمًا: سيبقى دائمًا عدد لا نهائي من الأعداد الحقيقية "متبقية". يُقال إن أي مجموعة لا نهائية يمكن وضعها في تناظر واحد لواحد مع الأعداد الطبيعية "قابلة للعد". أما المجموعات اللانهائية الأكبر من ذلك فتُسمى "غير قابلة للعد". ^{[ 3 ]}

أدت نظرية المجموعات لكانتور إلى النظام البديهي لنظرية المجموعات لزيرميلو-فرانكل (ZFC)، والتي تُعد الآن الأساس الأكثر شيوعًا للرياضيات الحديثة . وقد نشأت المذهب الحدسي، جزئيًا، كرد فعل على نظرية المجموعات لكانتور.

تتضمن نظرية المجموعات البنائية الحديثة بديهية اللانهاية من ZFC (أو نسخة منقحة من هذه البديهية) والمجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الطبيعية. يقبل معظم علماء الرياضيات البنائية المعاصرين حقيقة المجموعات اللانهائية القابلة للعد (ومع ذلك، انظر ألكسندر إيسينين-فولبين للحصول على مثال مضاد).

رفض براور مفهوم اللانهاية الفعلية، لكنه أقر بفكرة اللانهاية المحتملة.

بحسب فايل (1946)، أوضح براور، كما أعتقد دون أدنى شك، أنه لا يوجد دليل يدعم الاعتقاد بالطابع الوجودي لمجموع الأعداد الطبيعية... إن سلسلة الأعداد التي تتجاوز أي مرحلة تم بلوغها بالانتقال إلى العدد التالي، هي فضاءٌ زاخرٌ بالإمكانيات مفتوحٌ نحو اللانهاية؛ فهي تبقى دائمًا في حالة الخلق، لكنها ليست عالمًا مغلقًا من الأشياء الموجودة في ذاتها. إن تحويلنا الأعمى لأحدهما إلى الآخر هو المصدر الحقيقي لصعوباتنا، بما في ذلك التناقضات - وهو مصدرٌ ذو طبيعةٍ أكثر جوهريةً مما أشار إليه مبدأ الحلقة المفرغة لراسل. لقد فتح براور أعيننا وجعلنا نرى إلى أي مدى تتجاوز الرياضيات الكلاسيكية، التي تتغذى على الإيمان بـ"المطلق" الذي يتجاوز كل إمكانيات التحقيق البشري، تلك العبارات التي يمكنها أن تدّعي معنىً حقيقيًا وحقيقةً قائمةً على الأدلة.

يمكن تتبع تاريخ الحدسية إلى جدلين في الرياضيات في القرن التاسع عشر.

كان أول هذه الأمور هو اختراع الحساب المتسامي من قبل جورج كانتور ورفضه اللاحق من قبل عدد من علماء الرياضيات البارزين، بمن فيهم أشهرهم معلمه ليوبولد كرونيكر - وهو من أنصار نظرية المحدودية المؤكدة .

أما المحاولة الثانية فكانت سعي غوتلوب فريجه إلى اختزال الرياضيات برمتها إلى صياغة منطقية عبر نظرية المجموعات، وما عرقلها من قبل برتراند راسل الشاب ، مكتشف مفارقة راسل . كان فريجه قد خطط لعمل مرجعي شامل من ثلاثة مجلدات، ولكن مع اقتراب موعد طباعة المجلد الثاني، أرسل راسل إلى فريجه رسالةً يشرح فيها مفارقته، موضحًا أن إحدى قواعد فريجه المتعلقة بالإحالة الذاتية متناقضة في حد ذاتها. وفي ملحق للمجلد الثاني، أقر فريجه بأن إحدى بديهيات نظامه قد أدت بالفعل إلى مفارقة راسل. ^{[ 4 ]}

يُروى أن فريجه انزلق في دوامة الاكتئاب ولم ينشر المجلد الثالث من أعماله كما كان مُخططًا له. للمزيد، انظر ديفيس (2000)، الفصلين 3 و4: فريجه: من الانطلاقة إلى اليأس، وكانتور: رحلة عبر اللانهاية. للاطلاع على الأعمال الأصلية وتعليق فان هيجينورت، انظر فان هيجينورت.

ترتبط هذه الخلافات ارتباطًا وثيقًا، إذ إن الأساليب المنطقية التي استخدمها كانتور في إثبات نتائجه في الحساب المتسامي هي نفسها التي استخدمها راسل في بناء مفارقته. وبالتالي، فإن الطريقة التي يختارها المرء لحل مفارقة راسل لها آثار مباشرة على مكانة حساب كانتور المتسامي.

في أوائل القرن العشرين، مثّل إل إي جيه براور الموقف الحدسي ، بينما مثّل ديفيد هيلبرت الموقف الشكلي (انظر فان هيجينورت). وقدّم كورت غودل آراءً عُرفت بالأفلاطونية (انظر مصادر مختلفة حول غودل). ويرى آلان تورينج أن: " أنظمة المنطق غير البنّاءة التي لا تكون فيها جميع خطوات البرهان آلية، بل بعضها حدسي". ^{[ 5 ]} وفي وقت لاحق، قدّم ستيفن كول كلين دراسة أكثر عقلانية للحدسية في كتابه " مقدمة في ما وراء الرياضيات " (1952). ^{[ 6 ]}

يتبنى نيكولاس جيسين الرياضيات الحدسية لإعادة تفسير عدم التحديد الكمي ونظرية المعلومات وفيزياء الزمن . ^{[ 7 ]}

• هنري بوانكاريه ( ما قبل الحدس / التقليدية )
• إل إي جيه بروير
• مايكل دوميت
• أريند هيتينغ
• ستيفن كلين

• المنطق الحدسي
• الحساب الحدسي
• نظرية النمط الحدسي
• نظرية المجموعات الحدسية
• التحليل الحدسي

• "التحليل". موسوعة بريتانيكا . 2006. موسوعة بريتانيكا 2006، مجموعة المراجع النهائية، قرص DVD، 15 يونيو 2006، " التحليل البنّاء " ( إيان ستيوارت ، مؤلف).
• WS Anglin ، الرياضيات: تاريخ موجز وفلسفة ، Springer-Verlag، نيويورك، 1994.

في الفصل 39 الأسس ، فيما يتعلق بالقرن العشرين، يقدم أنجلين أوصافًا دقيقة وموجزة للغاية للأفلاطونية (فيما يتعلق بجودل)، والشكلانية (فيما يتعلق بهيلبرت)، والحدسية (فيما يتعلق ببروير).

• مارتن ديفيس (محرر) (1965)، غير القابل للحسم ، دار رافين للنشر، هيوليت، نيويورك. مجموعة من الأوراق الأصلية لغودل، تشيرش، كلين، تورينغ، روسر، وبوست. أعيد نشرها بعنوان: ديفيس، مارتن، محرر (2004). غير القابل للحسم . منشورات كوريير دوفر. رقم ISBN 978-0-486-43228-1.
• مارتن ديفيس (2000). محركات المنطق: علماء الرياضيات ونشأة الحاسوب (  الطبعة الأولى). دار دبليو دبليو نورتون وشركاه، نيويورك. رقم ISBN 0-393-32229-7.
• جون دبليو داوسون الابن، المعضلات المنطقية: حياة وعمل كورت غودل ، إيه كيه بيترز، ويليسلي، ماساتشوستس، 1997.

أقل قابلية للقراءة من غولدشتاين، ولكن في الفصل الثالث Excursis ، يقدم داوسون "تاريخًا موجزًا ​​لتطور المنطق حتى عام 1928".

• ريبيكا غولدشتاين ، عدم الاكتمال: برهان ومفارقة كورت غودل ، أطلس بوكس، دبليو دبليو نورتون، نيويورك، 2005.

في الفصل الثاني، "هيلبرت والشكلانيون"، يُقدّم غولدشتاين سياقًا تاريخيًا إضافيًا. وبصفته أفلاطونيًا، كان غودل متحفظًا في ظل الوضعية المنطقية لحلقة فيينا. يناقش غولدشتاين تأثير فيتغنشتاين وتأثير الشكلانيين. ويشير إلى أن الحدسيين كانوا أكثر معارضة للأفلاطونية من الشكلانية نفسها .

• (بالفرنسية) جاك هارتونج وجورج ريب ، Intuitionnisme 84 (نُشر لأول مرة في La Mathématique Non-standard ، éditions du CNRS)

إعادة تقييم الحدسية، من وجهة نظر (من بين أمور أخرى) الرياضيات البنائية والتحليل غير القياسي .

• فريجه، غوتلوب (1893). القوانين الأساسية للحساب (بالألمانية). المجلد  1. يينا: هيرمان بوله. ترجمة جزئية: مونتغمري فورث، 1964. القوانين الأساسية للحساب. مطبعة جامعة كاليفورنيا. ترجمة لأجزاء مختارة في فريجه (1960) . ترجمة كاملة للمجلدين: فيليب أ. إيبرت وماركوس روسبرغ، 2013، القوانين الأساسية للحساب. مطبعة جامعة أكسفورد.

• فريج، جوتلوب (1903). Grundgesetze der Arithmetik (في المانيا). المجلد.  2. جينا: هيرمان بوهل. ترجمة المقاطع المختارة في فريجه (1960) . الترجمة الكاملة لكلا المجلدين: Philip A. Ebert and Marcus Rossberg، 2013، القوانين الأساسية للحساب. مطبعة جامعة أكسفورد.

• فريج، جوتلوب (1960) [1893]. "Grundgesetze der Arithmetik: Nachwort" [ Frege on Russell's Paradox ] . في جيتش، بيتر؛ بلاك، ماكس (محرران). ترجمات من الكتابات الفلسفية لجوتلوب فريجه (2  ed.). أكسفورد: باسل بلاكويل.

• فان هيجينورت، ج. ، من فريجه إلى غودل، كتاب مصادر في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، 1967. أعيد طبعه مع تصحيحات، 1977. تظهر الأوراق التالية في كتاب فان هيجينورت:

• LEJ Brouwer ، 1923 ، حول أهمية مبدأ الوسط المرفوع في الرياضيات، وخاصة في نظرية الدوال [أعيد طبعه مع تعليق، ص ​​334، فان هيجينورت]
• أندريه نيكولايفيتش كولموغوروف ، 1925، حول مبدأ الوسط المرفوع ، [أعيد طبعه مع تعليق، ص ​​414، فان هيجينورت]
• LEJ Brouwer ، 1927 ، حول مجالات تعريفات الدوال ، [أعيد طبعه مع تعليق ، ص 446 ، فان هيجينورت]

على الرغم من أنها ليست ذات صلة مباشرة، إلا أن براور يستخدم في كتابه (1923) كلمات معينة محددة في هذه الورقة.

• LEJ Brouwer ، 1927(2)، تأملات حدسية حول الشكلية ، [أعيد طبعه مع تعليق، ص ​​490، فان هيجينورت]
• جاك هيربراند، (1931ب)، "حول اتساق الحساب"، [أعيد طبعه مع تعليق، ص ​​618 وما بعدها، فان هيجينورت]

من تعليق فان هيجينورت، لا يتضح ما إذا كان هيربراند "حدسيًا" حقيقيًا أم لا؛ فقد أكد غودل (1963) أنه بالفعل "...كان هيربراند حدسيًا". لكن فان هيجينورت يقول إن مفهوم هيربراند كان "أقرب عمومًا إلى مفهوم كلمة هيلبرت "المحدود" ("النهائي") منه إلى "الحدسي" كما يُطبق على مذهب براور".

• هيسلينغ، دينيس إي. (2003). الأقزام في الضباب: استقبال مذهب براور الحدسي في عشرينيات القرن العشرين . بيركهاوزر. ISBN 3-7643-6536-6.
• أرند هيتينغ : هيتينغ، أرند (1971) [1956]. الحدسية: مقدمة (الطبعة الثالثة المنقحة). أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ISBN  0-7204-2239-6.
• كلين، ستيفن سي. (1991) [1952]. مقدمة في ما وراء الرياضيات (الطبعة العاشرة، 1991  ). أمستردام، نيويورك: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-7204-2103-9.

في الفصل الثالث "نقد الاستدلال الرياضي"، القسم 11 "المفارقات "، يناقش كلين الحدسية والشكلية بتعمق. وفي بقية الكتاب، يتناول ويقارن بين المنطق الشكلي (الكلاسيكي) والحدسي مع التركيز على الأول.

• ستيفن كول كلين وريتشارد يوجين فيسلي ، أسس الرياضيات الحدسية ، دار نشر نورث هولاند، أمستردام، 1965. الجملة الافتتاحية تلخص كل شيء: "النزعة البنائية في الرياضيات...". نصٌّ للمتخصصين، ولكنه مكتوب بأسلوب كلين الواضح والرائع.
• لاكاتوس، إيمري (2015) [1976]. البراهين والتفنيدات: منطق الاكتشاف الرياضي . سلسلة كامبريدج للفلسفة الكلاسيكية. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-11346-6.

• ماركوف (1954) نظرية الخوارزميات . [ترجمة جاك ج. شور-كون وفريق برنامج الترجمات العلمية] منشور في موسكو، أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي، 1954 [أي القدس، إسرائيل، برنامج الترجمات العلمية، 1961؛ متوفر من مكتب الخدمات الفنية، وزارة التجارة الأمريكية، واشنطن]. الوصف: 444 صفحة،  28  سم. أُضيفت صفحة العنوان باللغة الروسية. ترجمة أعمال المعهد الرياضي، أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي، المجلد 42. العنوان الأصلي: Teoriya algorifmov. [QA248.M2943 مكتبة كلية دارتموث]. وزارة التجارة الأمريكية، مكتب الخدمات الفنية، رقم OTS 60-51085. مرجع ثانوي للمختصين: رأى ماركوف أن "الأهمية الكاملة للرياضيات في توضيح مفهوم الخوارزمية تظهر، مع ذلك، في سياق مشكلة وضع أساس بنائي للرياضيات ... [ص 3، مع إضافة التأكيد]". اعتقد ماركوف أن تطبيقات أخرى لعمله "تستحق كتابًا خاصًا، يأمل المؤلف في تأليفه مستقبلًا" (ص  3). وللأسف، يبدو أن هذا العمل لم يُنشر قط.
• هيلاري بوتنام وبول بيناسيراف ، فلسفة الرياضيات: مختارات ، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، 1964. الطبعة الثانية، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، 1983. ISBN 0-521-29648-X

الجزء الأول: أسس الرياضيات ، ندوة حول أسس الرياضيات

• رودولف كارناب ، الأسس المنطقية للرياضيات ، ص 41
• أرند هيتينغ ، الأسس الحدسية للرياضيات ، ص 52
• يوهان فون نيومان ، الأسس الشكلية للرياضيات ، ص 61
• أرند هيتينغ، المناظرة ، ص 66
• إل إي جيه بروير، الحدسية والشكلية ، ص 77
• إل إي جيه بروير، الوعي والفلسفة والرياضيات ، ص 90

• كونستانس ريد ، هيلبرت ، كوبرنيكوس - سبرينغر-فيرلاغ، الطبعة الأولى 1970، الطبعة الثانية 1996.

تضع السيرة الذاتية النهائية لهيلبرت "برنامجه" في سياقه التاريخي إلى جانب الصراع اللاحق، الذي كان في بعض الأحيان مريرًا، بين أصحاب الحدس وأصحاب الشكلية.

• بول روزنبلوم ، عناصر المنطق الرياضي ، منشورات دوفر، مينولا، نيويورك، 1950.

بأسلوب أقرب إلى كتاب "مبادئ الرياضيات" (Principia Mathematica) - رموز كثيرة، بعضها قديم وبعضها من الكتابة الألمانية. مناقشات ممتازة حول الحدسية في المواضع التالية: الصفحات 51-58 في القسم 4: منطق القيم المتعددة، المنطق الموجه، الحدسية؛ الصفحات 69-73 الفصل الثالث: منطق الدوال المنطقية، القسم 1: مقدمة غير رسمية؛ والصفحات 146-151 القسم 7: بديهية الاختيار.

• تورينج، آلان م. (1939). "أنظمة المنطق القائمة على الأعداد الترتيبية" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . المجلد 45، العدد 2 ،  الصفحات 161-228 . تاريخ الاطلاع: 17 يناير 2024 . 

• فيلدمان، ويم (فبراير 2021). "الحدسية: مصدر إلهام؟" . doi : 10.13140/RG.2.2.12313.54881 .

• فيزر، جيمس؛ داودن، برادلي (محرران). "الحدسية في الرياضيات" . موسوعة الإنترنت للفلسفة . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• إيمهوف، روزالي (11 يونيو 2019). "الحدسية في فلسفة الرياضيات" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (  طبعة صيف 2019). الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .  

• موشوفاكيس، جوان (16 ديسمبر 2022). "المنطق الحدسي" . في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة شتاء 2022  ). الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 . رقم OCLC 429049174 .  

• وولتشوفر، ناتالي (7 أبريل 2020). "هل يتدفق الزمن حقًا؟ أدلة جديدة تأتي من منهج رياضي عمره قرن من الزمان" . QuantaMagazine.org . مجلة كوانتا.