حلم الطالب الجديد

في الرياضيات، يُعرف ما يُسمى بحلم الطالب المبتدئ ، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]،} أو ما يُسمى أيضًا بالأسس المبسطة ، ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو نظرية ذات الحدين البسيطة ، ^{[ 6 ]} أو (نادرًا) نظرية ذات الحدين السهلة ، ^{[ 7 ]} أو متطابقة فروبينيوس ^{، [ 3 ]} بالمعادلة الخاطئة عمومًا ( س  + ص ) ^ⁿ = سⁿ + صⁿ . يقع الطلاب المبتدئون عادةً في هذا الخطأ عند حساب قوة مجموع الأعداد الحقيقية ، حيث يفترضون خطأً ^أن القوى موزعة على المجاميع.     

تُعطى النتيجة الصحيحة بواسطة نظرية ذات الحدين ، ^{[ 5 ]} والتي تحتوي على حدود إضافية في المنتصف عندما يكون n ≥  2.  [ ^{1 ] على} سبيل المثال، عندما يكون n = 2، تكون النتيجة الصحيحة هي x² + 2xy +  y²  ، والتي ^يمكن إثباتها أيضًا بضرب ( ^x + y ) ( x + y ) باستخدام خاصية التوزيع بشكل صحيح، أو طريقة FOIL .        

إن حلم الطالب الجديد صحيح بالفعل في الحلقات التبادلية ذات الخاصية p ، مثل الحقل المنتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$حيث p عدد أولي ، بشرط أن يكون الأس n هو p أو، بشكل أعم، قوة من قوى p . وبالمثل، فإن تطبيق فروبينيوس للحلقة هو تشاكل داخلي . إحدى طرق إثبات ذلك هي إظهار أن p يقسم جميع معاملات ذات الحدين باستثناء الأول والأخير، وبالتالي فإن جميع الحدود الوسيطة تساوي صفرًا . ^{[ 1 ] [ 5 ]} وهناك طريقة أخرى لإثبات الحالة الخاصة الشائعة لهذا${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$يتمثل الحل في استخدام نظرية فيرما الصغيرة التي تنص على أن a ^p ≡ a mod p لجميع الأعداد الصحيحة a . ^{[ 6 ]} (يمكن تكرار ذلك لقوى p ، باستخدام خاصية الأسية التي تنص على أن أخذ قوة لقوة ما يؤدي إلى ضرب الأسس، وبالتالي إثبات ذلك بشكل عام باستخدام الاستقراء .)    

حلم الطالب الجديد صالح لجميع قيم n في الهندسة الاستوائية ^{[ 2 ] [ 3 ]} (حيث يتم استبدال الضرب بالجمع ، وبالتالي يصبح الأس ضربًا، ويتم استبدال الجمع بالحد الأدنى ).

معادلة حلم الطالب الجديد صحيحة أيضًا في بعض الحالات الشاذة ، مثل عندما يكون n  =  1، وعندما${\displaystyle n\geq 1}$ويكون أحد المتغيرين x أو y على الأقل يساوي صفرًا، وذلك عندما يكون n عددًا فرديًا و${\displaystyle y=-x}$هذه هي جميع الحالات الصحيحة لـ n  ∈  {0, 1, 2, 3}، ولكن عندما يكون n  ≥  4 أو n سالبًا أو غير صحيح ، توجد عمومًا أزواج إضافية من الأعداد المركبة x و y التي تحقق المعادلة.

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$، لكن${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$لا يساوي${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$. على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5}$وهذا لا يساوي 3 + 4 = 7. في هذا المثال ، يكمن الخطأ في الأس n = 1 / 2 .

متى${\displaystyle p}$هو عدد أولي و${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$أعضاء في حلقة تبديلية ذات خصائص${\displaystyle p}$، ثم${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$ويمكن ملاحظة ذلك من خلال فحص العوامل الأولية لمعاملات ذات الحدين: معامل ذات الحدين رقم n هو

${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(pn)!}}.}$

البسط هو مضروب p ، وهو يقبل القسمة على p . ولكن، عندما يكون 0 < n < p ، فإن كلاً من n ! و ( p - n )! أوليان فيما بينهما مع p لأن جميع العوامل أصغر من p و p عدد أولي. وبما أن معامل ذات الحدين هو دائمًا عدد صحيح، فإن معامل ذات الحدين رقم n يقبل القسمة على p ، وبالتالي يساوي صفرًا في الحلقة. يتبقى لدينا المعاملان الصفري والـ p ، وكلاهما يساوي 1، مما ينتج عنه المعادلة المطلوبة.

وبالتالي، في الخاصية p، يُعد حلم الطالب الجديد هوية صحيحة. تُظهر هذه النتيجة أن الرفع إلى الأس p يُنتج تشاكلاً داخلياً ، يُعرف باسم تشاكل فروبينيوس للحلقة.

يُعدّ شرط أن يكون المتغير p عددًا أوليًا أساسيًا لتحقيق حلم الطالب الجامعي الجديد. وتنص نظرية ذات صلة على أن العدد n يكون أوليًا إذا وفقط إذا كان ( x + 1) ⁿ = xn ⁺ 1 في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )[x]}$تُعد هذه النظرية حقيقة أساسية في اختبار الأعداد الأولية الحديث. ^{[ 6 ]}

إن تاريخ مصطلح " حلم الطالب الجديد" غير واضح إلى حد ما.

تم تسجيل عبارة "حلم الطالب الجديد" في سياقات غير رياضية منذ أربعينيات القرن التاسع عشر على الأقل. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في السادس من سبتمبر عام ١٩٣٨، نشرت صحيفة "نيويورك صن" قصيدة من ستة عشر سطرًا للشاعر هارولد ويلارد غليسون بعنوان «"أرض مظلمة ودامية---" ( حلم الطالب الجديد )»، والتي تحمل بعض الشبه بهذه المعادلة. تبدأ القصيدة بعبارة «في مطروحات الجبر / تتشابك النتائج الجامحة »؛ وتنتهي بعبارة «أو ستحلل المكعبات ، للحصول على حدود / من متوالية لا نهائية !». تذكر القصيدة مصطلحي «ذات الحدين» و« الأقواس » ، وتحذر من «إزالة الأقواس والجذور [...] بحذر ». ومع ذلك، لا يوجد سياق أو تفسير يؤكد أو ينفي ما إذا كانت تشير بالفعل إلى هذه المعادلة. أُعيد نشر هذه القصيدة في دوريات أخرى خلال الشهرين التاليين ، بما في ذلك مجلة الرياضيات الوطنية التي تصدرها الجمعية الرياضية الأمريكية (MAA). ^{[ ١٠ ]}

في 30 ديسمبر 1939، ألقى سوندرز ماك لين خطابًا أمام جمعية الرياضيات الأمريكية في كولومبوس، أوهايو ، شرح فيه نظرية الحقول ذات الخاصية الأولية، ثم ذكر قائلًا: "كما أشار إس سي كلين ، فإن معرفة الحالة p = 2 لهذه المعادلة من شأنها أن تُفسد طلاب السنة الأولى في الجبر!" ^{[ 11 ]} قد يكون هذا أول ربط بين مصطلح "السنة الأولى" وتوسيع ذات الحدين في الحقول ذات الخاصية الموجبة. ^{[ 4 ]} ومنذ ذلك الحين، انتبه مؤلفو كتب الجبر الجامعية إلى هذا الخطأ الشائع.

في عام 1974، نشر توماس دبليو هانغرفورد تمرينًا بعنوان "حلم الطالب الجديد" في كتاب مدرسي عن الجبر لطلاب الدراسات العليا ، مع حاشية تنص على أن "المصطلحات تعود إلى فينسنت أو. ماكبراين ". ^{[ 12 ]}

• بونس أسينوروم
• اختبار الأسبقية
• حلم طالب السنة الثانية
• التماثل الداخلي لفروبينيوس