بونس أسينوروم

في الهندسة ، تُعرف النظرية التي تنص على أن الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في مثلث متساوي الساقين متساوية في حد ذاتها باسم pons asinorum ( / ˈpɒnzˌæsɪˈnɔːrəm / PONZ ass -ih- NOR -əm ) ، وهي كلمة لاتينية تعني "جسر الحمير " ، أو بشكل أكثر وصفًا باسم نظرية المثلث متساوي الساقين . تظهر النظرية في الاقتراح 5 من الكتاب الأول في عناصر إقليدس . [ 1 ] ^والعكس صحيح أيضًا : إذا كانت زاويتان في مثلث متساويتين، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان أيضًا.

تُستخدم كلمة Pons asinorum أيضًا مجازيًا للإشارة إلى مشكلة أو تحدٍ يعمل كاختبار للتفكير النقدي ، في إشارة إلى قدرة "جسر الحمير" على الفصل بين المفكرين القادرين وغير القادرين. وكان أول استخدام معروف لها في هذا السياق في عام 1645. ^[2]

هناك تفسيران شائعان لاسم pons asinorum ، وأبسطهما هو أن الرسم البياني المستخدم يشبه جسرًا ماديًا . لكن التفسير الأكثر شيوعًا هو أنه أول اختبار حقيقي في عناصر ذكاء القارئ ويعمل كـ "جسر" للمقترحات الأصعب التي تليها. ^[3]

كان مصطلح آخر من العصور الوسطى لنظرية المثلث متساوي الساقين هو Elefuga ، والذي وفقًا لروجر بيكون ، مشتق من الكلمة اليونانية elegia "بؤس"، والكلمة اللاتينية fuga "هروب"، أي "هروب الأشرار". وعلى الرغم من أن هذا الأصل مشكوك فيه، إلا أنه يتردد صداه في استخدام تشوسر لمصطلح "فليمينج الأشرار" للنظرية. ^[4]

أُطلق اسم دولكارنون على الاقتراح السابع والأربعين من الكتاب الأول لإقليدس، والمعروف باسم نظرية فيثاغورس ، نسبةً إلى الكلمة العربية "ذو القرنين" (ذُو ٱلْقَرْنَيْن)، والتي تعني "صاحب القرنين"، لأن مخططات النظرية أظهرت مربعين أصغر حجمًا يشبهان القرنين في الجزء العلوي من الشكل. وقد استُخدم هذا المصطلح أيضًا كاستعارة لمعضلة. ^[4] وقد تم تطبيق اسم "pons asinorum" نفسه أحيانًا على نظرية فيثاغورس. ^[5]

يُقال إن كارل فريدريش جاوس اقترح ذات مرة أن فهم هوية أويلر قد يلعب دورًا مماثلًا، كمعيار يشير إلى ما إذا كان شخص ما يمكن أن يصبح عالم رياضيات من الدرجة الأولى . ^[6]

يتضمن بيان إقليدس حول الجسر المتساوي استنتاجًا ثانيًا مفاده أنه إذا امتدت الأضلاع المتساوية للمثلث أسفل القاعدة، فإن الزوايا بين الامتدادات والقاعدة تكون متساوية أيضًا. يتضمن إثبات إقليدس رسم خطوط مساعدة لهذه الامتدادات. ولكن كما يشير معلق إقليدس بروكلوس ، فإن إقليدس لم يستخدم الاستنتاج الثاني مطلقًا ويمكن تبسيط إثباته إلى حد ما عن طريق رسم الخطوط المساعدة إلى أضلاع المثلث بدلاً من ذلك، بينما يستمر بقية الإثبات بنفس الطريقة تقريبًا.

كان هناك الكثير من التكهنات والمناقشات حول سبب إضافة إقليدس للاستنتاج الثاني إلى النظرية، نظرًا لأنه يجعل الإثبات أكثر تعقيدًا. أحد التفسيرات المعقولة، التي قدمها بروكلس، هو أنه يمكن استخدام الاستنتاج الثاني في الاعتراضات المحتملة على أدلة المقترحات اللاحقة حيث لا يغطي إقليدس كل حالة. ^[7] يعتمد الإثبات بشكل كبير على ما يسمى اليوم ضلع-زاوية-ضلع (SAS)، الاقتراح السابق في العناصر ، والذي يقول أنه إذا كان هناك مثلثان حيث يكون زوجان من الأضلاع المتناظرة وزواياهما المتضمنة متطابقين على التوالي ، فإن المثلثين متطابقان.

يتبع اختلاف بروكلوس لإثبات إقليدس ما يلي: ^[8] ليكن مثلثًا${\displaystyle \triangle ABC}$ متساوي الساقين له ضلعان متطابقان . اختر نقطة${\displaystyle AB\cong AC}$ عشوائية على طول الضلع ثم أنشئ${\displaystyle D}$ نقطة على لتكوين قطع مستقيمة متطابقة . ارسم قطع مستقيمة مساعدة و و و . حسب الضلع والزاوية والضلع ، المثلثات . وبالتالي ، و و و و . بطرح قطع مستقيمة متطابقة ، . يؤدي هذا إلى إنشاء زوج آخر من المثلثات المتطابقة، ⁠ ⁠ ، مرة أخرى عن طريق الضلع-الزاوية-الضلع. وبالتالي ⁠ ⁠ و ⁠ ⁠ . عن طريق طرح الزوايا المتطابقة، ⁠ ⁠ . وأخيرًا ⁠ ⁠ عن طريق تطبيق ثالث للضلع-الزاوية-الضلع. وبالتالي ⁠ ⁠ ، والذي كان من المقرر إثباته. ${\displaystyle AB}$${\displaystyle E}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle AD\cong AE}$${\displaystyle BE}$${\displaystyle DC}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$${\displaystyle \angle ABE\cong \angle ACD}$${\displaystyle \angle ADC\cong \angle AEB}$${\displaystyle BE\cong CD}$${\displaystyle BD\cong CE}$${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$${\displaystyle \angle BDE\cong \angle CED}$${\displaystyle \angle BED\cong \angle CDE}$${\displaystyle \angle BDC\cong \angle CEB}$${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$${\displaystyle \angle CBD\cong \angle BCE}$

يقدم بروكلس دليلاً أقصر كثيرًا يُنسب إلى بابوس الإسكندري . هذا ليس أبسط فحسب، بل إنه لا يتطلب أي بناء إضافي على الإطلاق. طريقة الإثبات هي تطبيق ضلع-زاوية-ضلع على المثلث وصورته المرآة. وصف المؤلفون الأكثر حداثة، تقليدًا لطريقة الإثبات المقدمة للاقتراح السابق، هذه الطريقة بأنها التقاط المثلث وقلبه ووضعه على نفسه. ^{[9] [10]} سخر تشارلز دودجسون من هذه الطريقة في كتاب إقليدس وخصومه المعاصرين ، واصفًا إياها بـ " الثور الأيرلندي " لأنها تتطلب على ما يبدو أن يكون المثلث في مكانين في وقت واحد. ^[11]

الدليل هو كما يلي: ^[12] ليكن ABC مثلثًا متساوي الساقين حيث AB و AC هما الضلعان المتساويان. ضع في اعتبارك المثلثين ABC و ACB ، حيث يُعتبر ACB مثلثًا ثانيًا برؤوس A و C و B المقابلة على التوالي لـ A و B و C في المثلث الأصلي. يساوي نفسه، AB  =  AC و AC  =  AB ، لذا من حيث الضلع والزاوية والضلع، فإن المثلثين ABC و ACB متطابقان. على وجه الخصوص، . ^[13]${\displaystyle \angle A}$${\displaystyle \angle B=\angle C}$

الطريقة القياسية في الكتب المدرسية هي إنشاء منصف الزاوية عند A. ^[14] وهذا أبسط من إثبات إقليدس ، لكن إقليدس لم يقدم إنشاء منصف الزاوية حتى الاقتراح 9. لذا يجب تغيير ترتيب عرض اقتراحات إقليدس لتجنب إمكانية الاستدلال الدائري.

يتم الإثبات على النحو التالي: ^[15] كما في السابق، ليكن المثلث ABC مع AB  =  AC . أنشئ منصف الزاوية ومدده ليلتقي بالزاوية BC عند X. AB  =  AC و AX يساوي نفسه. علاوة على ذلك ، لذا، بتطبيق ضلع-زاوية- ضلع ، المثلث BAX والمثلث CAX متطابقان. ويترتب على ذلك أن الزوايا عند B و C متساوية. ${\displaystyle \angle BAC}$${\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}$

يستخدم ليجيندر بنية مماثلة في عناصر الهندسة ، لكنه يأخذ X كنقطة منتصف BC . ^[16] والدليل مشابه لكن يجب استخدام جانب-جانب-جانب بدلاً من جانب-زاوية-جانب، ولم يقدم إقليدس جانب-جانب-جانب حتى وقت لاحق في عناصر .

في عام 1876، بينما كان عضوًا في الكونجرس الأمريكي ، طور الرئيس المستقبلي جيمس أ. جارفيلد برهانًا باستخدام شبه المنحرف، والذي نُشر في مجلة نيو إنجلاند للتعليم . ^[17] كتب المؤرخ الرياضي ويليام دونهام أن عمل جارفيلد في شبه المنحرف كان "برهانًا ذكيًا للغاية حقًا". ^[18] وفقًا للمجلة ، توصل جارفيلد إلى البرهان "من خلال التسلية الرياضية والمناقشات مع أعضاء آخرين في الكونجرس". ^[19]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (May 2024) (Learn how and when to remove this message)

تنطبق نظرية المثلث متساوي الساقين في فضاءات الضرب الداخلية على الأعداد الحقيقية أو المركبة . في مثل هذه الفضاءات، مع الأخذ في الاعتبار المتجهات x و y و z ، تنص النظرية على أنه إذا و${\displaystyle x+y+z=0}$${\displaystyle \|x\|=\|y\|,}$${\displaystyle \|x-z\|=\|y-z\|.}$

وبما أن θ هي الزاوية بين المتجهين، فإن استنتاج شكل فضاء الضرب الداخلي هذا للنظرية يعادل عبارة تساوي الزوايا .${\displaystyle \|x-z\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}}$${\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,}$

تشمل استخدامات جسر asinorum كاستعارة لاختبار التفكير النقدي ما يلي:

• ريتشارد أونجرفيل'س القرن الرابع عشر فيلوبون يحتوي على المقطع "Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus، qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus، inquiunt، est his sermo؛ quis Potest eum audire؟"، الذي يقارن النظرية بـ منحدر شديد الانحدار لا يمكن لأي سلم أن يساعد في تسلقه ويسأل عن عدد المقاييس الهندسية المحتملة التي تم إبعادها. ^[4]
• يُستخدم مصطلح pons asinorum ، بكل من معناه كجسر وكاختبار، كاستعارة لإيجاد الحد الأوسط للقياس المنطقي . ^[4]
• كتب الشاعر توماس كامبل في القرن الثامن عشر قصيدة فكاهية بعنوان "Pons asinorum" حيث هاجم فصل الهندسة النظرية كما قد تهاجم مجموعة من الجنود قلعة؛ لم تكن المعركة بدون خسائر. ^[20]
• أطلق عالم الاقتصاد جون ستيوارت ميل على قانون ريكاردو للإيجار اسم " الجسر الأساسي للاقتصاد". ^[21]
• إن أسلوب aasinsilta الفنلندي وأسلوب åsnebrygga السويدي هما أسلوبان أدبيان يستخدمان ارتباطًا ضعيفًا ومصطنعًا بين حجتين أو موضوعين، وهو ما يكاد يكون غير مترابط تمامًا، ولكن ليس تمامًا ، كنقطة انتقال محرجة بينهما. وفي النصوص الجادة، يُعتبر هذا خطأً أسلوبيًا، لأنه ينتمي بشكل صحيح إلى أسلوب الكتابة الذي يعتمد على تيار الوعي - أو أسلوب السببية . ومن الأمثلة النموذجية إنهاء قسم ما بإخبارنا بما يدور حوله القسم التالي، دون عناء شرح سبب ارتباط الموضوعات، أو توسيع ذكر عابر إلى معالجة مفصلة، ​​أو إيجاد ارتباط مصطنع بين الموضوعات (على سبيل المثال "لقد اشترينا بعض النبيذ الأحمر؛ وبالحديث عن السوائل الحمراء، غدًا هو يوم التبرع بالدم العالمي").
• في اللغة الهولندية ، ezelsbruggetje ('جسر الحمير الصغير') هي كلمة تستخدم للإشارة إلى وسيلة مساعدة على التذكر . وينطبق الأمر نفسه على Eselsbrücke الألمانية .
• في اللغة التشيكية ، تحمل كلمة oslí můstek معنيين - يمكن أن تصف إما اتصالاً مصطنعًا بين موضوعين أو وسيلة مساعدة على التذكر.

تزعم قطعة ثابتة من الفولكلور الرياضي أن برنامج الذكاء الاصطناعي اكتشف دليلاً أصليًا وأكثر أناقة لهذه النظرية. ^{[22] [23]} في الواقع، يروي مارفن مينسكي أنه أعاد اكتشاف دليل بابوس (الذي لم يكن على علم به) من خلال محاكاة ما قد يفعله مُثبت النظرية الميكانيكية. ^{[24] [10]}

• إقليدس، شرح وترجمة بقلم تي إل هيث إليمنتس، المجلد الأول (كامبريدج 1908) كتب جوجل
• إقليدس، تعليق بروكلس ، تحرير وترجمة تي تايلور، عناصر المجلد 2 (1789) كتب جوجل

• Pons asinorum في PlanetMath .
• عرض دي جويس لعناصر إقليدس