متسلسلة فورييه المعممة

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 42 صور
الموسوعة الحرة

متسلسلة فورييه المعممة هي توسيع دالة قابلة للتكامل التربيعي إلى مجموع دوال أساسية متعامدة قابلة للتكامل التربيعي. تستخدم متسلسلة فورييه القياسية أساسًا متعامدًا من الدوال المثلثية ، ويُطبق توسيع المتسلسلة على الدوال الدورية. في المقابل، تستخدم متسلسلة فورييه المعممة أي مجموعة من الدوال الأساسية المتعامدة، ويمكن تطبيقها على أي دالة قابلة للتكامل التربيعي . [ 1 ] [ 2 ]

تعريف

لنفترض مجموعةΦ={ϕن:[أ،ب]→ج}ن=0∞{\displaystyle \Phi =\{\phi _{n}:[a,b]\to \mathbb {C} \}_{n=0}^{\infty }}من الدوال المركبة القابلة للتكامل التربيعي المعرفة على الفترة المغلقة[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}التي تكون متعامدة ثنائياً تحت الضرب الداخلي الموزون :

⟨و،ز⟩w=∫أبو(x)ز(x)¯w(x)دx،{\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}w(x)dx,}

أينw(x){\displaystyle w(x)}هي دالة وزن وز¯{\displaystyle {\overline {g}}}هو المرافق المعقد لـز{\displaystyle g}ثم، متسلسلة فورييه المعممة لدالةو{\displaystyle f}يكون: و(x)=∑ن=0∞جنϕن(x)،{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\phi _{n}(x),}حيث تُعطى المعاملات بالصيغة التالية: جن=⟨و،ϕن⟩w‖ϕن‖w2.{\displaystyle c_{n}={\langle f,\phi _{n}\rangle _{w} \over \|\phi _{n}\|_{w}^{2}}.}

مسائل ستورم-ليوفيل

بالنظر إلى المساحةل2(أ،ب){\displaystyle L^{2}(a,b)}بالنسبة للدوال القابلة للتكامل التربيعي المعرفة على فترة معينة، يمكن إيجاد قواعد متعامدة من خلال النظر في فئة من مسائل القيم الحدية على تلك الفترة.[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}تُسمى هذه المسائل بمسائل ستورم-ليوفيل المنتظمة . وتُعرَّف على النحو التالي: (رو′)′+صو+λwو=0{\displaystyle (rf')'+pf+\lambda wf=0}ب1(و)=ب2(و)=0{\displaystyle B_{1}(f)=B_{2}(f)=0} أينر،ر′{\displaystyle r,r'}وص{\displaystyle p}حقيقية ومستمرة على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}ور>0{\displaystyle r>0}على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}،ب1{\displaystyle B_{1}}وب2{\displaystyle B_{2}}هي شروط حدودية ذاتية الترافق ، وw{\displaystyle w}هي دالة موجبة متصلة على[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}.

بالنظر إلى مسألة ستورم-ليوفيل العادية كما هو مُعرّف أعلاه، فإن المجموعة{ϕن}1∞{\displaystyle \{\phi _{n}\}_{1}^{\infty }}تشكل الدوال الذاتية المقابلة لحلول القيم الذاتية المتميزة للمسألة أساسًا متعامدًا لـل2(أ،ب){\displaystyle L^{2}(a,b)}فيما يتعلق بالضرب الداخلي المرجح⟨⋅،⋅⟩w{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{w}}[ 3 ] لدينا أيضًا ذلك بالنسبة للدالةو∈ل2(أ،ب){\displaystyle f\in L^{2}(a,b)}التي تحقق الشروط الحدية لمسألة ستورم-ليوفيل هذه، السلسلة∑ن=1∞⟨و،ϕن⟩ϕن{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\langle f,\phi _{n}\rangle \phi _{n}}يتقارب بانتظام إلىو{\displaystyle f}[ 4 ]​

أمثلة

متسلسلة فورييه-ليجندر

وظيفةو(x){\displaystyle f(x)}يُطلق على النظام المعرّف على خط الأعداد بأكمله اسم النظام الدوري ذو الدورة.تي{\displaystyle T}إذا كان رقمًاتي>0{\displaystyle T>0}يوجد بحيث، لأي عدد حقيقيx{\displaystyle x}المساواةو(x+تي)=و(x){\displaystyle f(x+T)=f(x)}يحجز.

إذا كانت الدالة دورية ولها دورةتي{\displaystyle T}إذن، فهي دورية أيضاً ولها فترات2تي{\displaystyle 2T}،3تي{\displaystyle 3T}وهكذا. عادةً، يُفهم دور الدالة على أنه أصغر عدد من هذا النوع.تي{\displaystyle T}ومع ذلك، بالنسبة لبعض الدوال، فإن القيم الصغيرة بشكل تعسفي لـتي{\displaystyle T}يخرج.

تسلسل الوظائف1،كوس⁡(x)،الخطيئة⁡(x)،كوس⁡(2x)،الخطيئة⁡(2x)،...،كوس⁡(نx)،الخطيئة⁡(نx)،...{\displaystyle 1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...}يُعرف هذا النظام باسم النظام المثلثي. أي تركيبة خطية من دوال النظام المثلثي، بما في ذلك التركيبة اللانهائية (أي المتسلسلة اللانهائية المتقاربة )، هي دالة دورية دورها 2π.

على أي قطعة مستقيمة طولها 2π (مثل القطعتين [−π,π] و[0,2π])، يكون النظام المثلثي نظامًا متعامدًا . هذا يعني أنه لأي دالتين في النظام المثلثي، يكون تكامل حاصل ضربهما على قطعة مستقيمة طولها 2π مساويًا للصفر. يمكن اعتبار هذا التكامل بمثابة حاصل ضرب قياسي في فضاء الدوال القابلة للتكامل على قطعة مستقيمة معينة طولها 2π.

لنفترض الدالةو(x){\displaystyle f(x)}تُعرَّف الدالة على القطعة المستقيمة [−π, π]. بافتراض شروط مناسبة للسلاسة والتفاضل،و(x){\displaystyle f(x)}يمكن تمثيلها على هذا الجزء كتركيبة خطية من دوال النظام المثلثي، ويشار إليها أيضًا باسم توسيع الدالةو(x){\displaystyle f(x)}إلى متسلسلة فورييه المثلثية.

كثيرات حدود ليجندرPن(x){\displaystyle P_{n}(x)}هي حلول لمسألة القيم الذاتية لستورم-ليوفيل

((1-x2)Pن′(x))′+ن(ن+1)Pن(x)=0.{\displaystyle \left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0.}

نتيجةً لنظرية ستورم-ليوفيل، فإن هذه كثيرات الحدود هي دوال ذاتية متعامدة بالنسبة للجداء الداخلي ذي الوزن الواحد. ويمكن كتابة ذلك على شكل متسلسلة فورييه معممة (تُعرف في هذه الحالة بمتسلسلة فورييه-ليجندر) تتضمن كثيرات حدود ليجندر، بحيث

و(x)∼∑ن=0∞جنPن(x)،{\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x),}
جن=⟨و،Pن⟩w‖Pن‖w2{\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}}

على سبيل المثال، يمكن حساب متسلسلة فورييه-ليجندر لـو(x)=كوس⁡x{\displaystyle f(x)=\cos x}زيادة[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}. ثم

ج0=∫-11كوس⁡xدx∫-11(1)2دx=الخطيئة⁡1ج1=∫-11xكوس⁡xدx∫-11x2دx=02/3=0ج2=∫-113x2-12كوس⁡xدx∫-119x4-6x2+14دx=6كوس⁡1-4الخطيئة⁡12/5{\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}}

وستكون السلسلة المختصرة التي تتضمن هذه الحدود فقط

ج2P2(x)+ج1P1(x)+ج0P0(x)=52(6كوس⁡1-4الخطيئة⁡1)(3x2-12)+الخطيئة⁡1=(452كوس⁡1-15الخطيئة⁡1)x2+6الخطيئة⁡1-152كوس⁡1{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}}

وهو ما يختلف عنكوس⁡x{\displaystyle \cos x}بمقدار 0.003 تقريبًا. في التطبيقات الحسابية، قد يكون من المفيد استخدام متسلسلات فورييه-ليجندر هذه بدلاً من متسلسلات فورييه، لأن دوال الأساس لتوسيع السلسلة كلها متعددة الحدود، وبالتالي قد يكون من الأسهل حساب التكاملات، وبالتالي المعاملات.

نظريات المعاملات

بعض النظريات المتعلقة بمعاملات المتسلسلةجن{\displaystyle c_{n}}يشمل:

متباينة بيسل

متباينة بيسل هي عبارة تتعلق بمعاملات عنصر ماx{\displaystyle x}في فضاء هيلبرت بالنسبة لمتتالية متعامدة . وقد اشتق إف دبليو بيسل هذه المتباينة في عام 1828: [ 5 ]

∑ن=0∞|جن|2≤∫أب|و(x)|2w(x)دx.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}

نظرية بارسيفال

تشير نظرية بارسيفال عادةً إلى النتيجة التي مفادها أن تحويل فورييه هو تحويل وحدوي ؛ وبشكل عام، أن مجموع (أو تكامل) مربع دالة ما يساوي مجموع (أو تكامل) مربع تحويلها. [ 6 ]

إذا كانت Φ أساسًا كاملاً، فإن:

∑ن=0∞|جن|2=∫أب|و(x)|2w(x)دx.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,dx.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هيرمان ص 82
  2. ↑ فولاند ص 84
  3. ↑ فولاند ص 89
  4. ↑ فولاند ص 90
  5. ↑ "متباينة بيسل - موسوعة الرياضيات" .
  6. ↑ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences Partielles linéaire du Second ordre, à coefficiency Constants "قُدمت أمام أكاديمية العلوم (باريس) في 5 أبريل 1799. نُشرت هذه المقالة في Mémoires présentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. العلوم والرياضيات والفيزياء (Savants étrangers.) ، المجلد 638-648 (1806).