التناسب (الرياضيات)

في الرياضيات ، تكون سلسلتان من الأعداد، غالباً بيانات تجريبية ، متناسبتين تناسباً طردياً إذا كانت عناصرهما المتناظرة لها نسبة ثابتة . تُسمى هذه النسبة معامل التناسب (أو ثابت التناسب )، ومقلوبها يُعرف بثابت التوحيد (أو ثابت التوحيد ). وتكون سلسلتان متناسبتين تناسباً عكسياً إذا كان حاصل ضرب عناصرهما المتناظرة ثابتاً .

وظيفتان​${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle g(x)}$تكون متناسبة إذا كانت نسبتها${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$هي دالة ثابتة .

إذا اشتركت عدة أزواج من المتغيرات في ثابت تناسب طردي واحد، فإن المعادلة التي تعبر عن تساوي هذه النسب تسمى تناسبًا ، على سبيل المثال، a / b = x / y = ... = k (للمزيد من التفاصيل، انظر النسبة ) . يرتبط التناسب ارتباطًا وثيقًا بالخطية .

إذا كان لدينا متغير مستقل x ومتغير تابع y ، فإن y يتناسب طرديًا مع x ^{[ 1 ]} إذا كان هناك ثابت موجب k بحيث: $${\displaystyle y=kx.}$$

غالباً ما يتم الإشارة إلى العلاقة باستخدام الرموز ∝(لا ينبغي الخلط بينها وبين الحرف اليوناني ألفا ) أو ~، باستثناء النصوص اليابانية، حيث ~يتم استخدام للدلالة على الفترات: $${\displaystyle y\propto x\quad {\text{or}}\quad y\sim x.}$$

بالنسبة لـ x ≠ 0، يمكن التعبير عن ثابت التناسب كنسبة : $${\displaystyle k={\frac {y}{x}}.}$$

يُطلق عليه أيضًا ثابت التغير أو ثابت التناسب . وبوجود هذا الثابت k ، فإن علاقة التناسب ∝ذات ثابت التناسب k بين مجموعتين A و B هي علاقة التكافؤ المعرفة بـ $${\displaystyle \{(a,b)\in A\times B:a=kb\}.}$$

يمكن أيضًا اعتبار التناسب المباشر معادلة خطية في متغيرين مع نقطة تقاطع y تساوي 0 وميل k > 0 ، وهو ما يتوافق مع النمو الخطي .

يكون المتغيران متناسبين عكسيًا ( ويُطلق عليهما أيضًا التناسب العكسي ) [ ^{2 ] إذا} كان كل متغير منهما متناسبًا طرديًا مع معكوسه الضربي (مقلوبه) ، أو بصورة مكافئة إذا كان حاصل ضربهما ثابتًا . ^{[ 3 ]} ويترتب على ذلك أن المتغير y متناسب عكسيًا مع المتغير x إذا وُجد ثابت غير صفري k بحيث $${\displaystyle y={\frac {k}{x}}\quad \iff \quad xy=k.}$$ وبالتالي فإن الثابت k هو حاصل ضرب x و y .

يمثل الرسم البياني لمتغيرين يتناسبان عكسيًا على المستوى الإحداثي الديكارتي قطعًا زائدًا قائمًا . حاصل ضرب قيمتي x و y لكل نقطة على المنحنى يساوي ثابت التناسب k . ولأن x و y لا يمكن أن يساويا صفرًا (لأن k لا يساوي صفرًا)، فإن الرسم البياني لا يتقاطع مع أي من المحورين.

يتباين التناسب الطردي والتناسب العكسي كما يلي: في التناسب الطردي، تزداد المتغيرات أو تنقص معًا. أما في التناسب العكسي، فترتبط زيادة أحد المتغيرات بنقصان الآخر. على سبيل المثال، في السفر، تفرض السرعة الثابتة تناسبًا طرديًا بين المسافة والزمن المستغرق؛ في المقابل، بالنسبة لمسافة معينة (ثابتة)، يكون زمن السفر متناسبًا عكسيًا مع السرعة: س × ز = م .

تؤدي مفاهيم التناسب الطردي والعكسي إلى تحديد موقع النقاط في المستوى الديكارتي بواسطة الإحداثيات الزائدية ؛ يتوافق الإحداثيان مع ثابت التناسب الطردي الذي يحدد نقطة على شعاع معين وثابت التناسب العكسي الذي يحدد نقطة على قطع زائد معين .

أحرف يونيكود الخاصة بالتناسب هي التالية:

• U+221D ∝ PROPORTIONAL TO ( & prop;, & Proportional;, & propto;, & varpropto;, & vprop; )
• U+007E ~ علامة المد
• U+2237 ∷ نسبة
• U+223C ∼ TILDE OPERATOR ( & sim;, & thicksim;, & thksim;, & Tilde; )
• U+223A ∺ النسبة الهندسية ( & mDDot; )

• خريطة خطية
• علاقة
• إيودوكسوس من كنيدوس
• النسبة الذهبية
• قانون التربيع العكسي
• خط متناسب
• نسبة
• قاعدة الثلاثة (في الرياضيات)
• حجم العينة
• تشابه
• ترايراشيكا
• نظرية التناسب الأساسية
• النمو الخطي
• النمو الزائدي

• بوريل، برايان: دليل ميريام-ويبستر للرياضيات اليومية: مرجع منزلي وتجاري . ميريام-ويبستر، 1998، رقم ISBN 9780877796213، ص 85-101 .
• لانيوس، سينثيا س.؛ ويليامز سوزان إي.: التناسب: موضوع موحد للمرحلة المتوسطة . تدريس الرياضيات في المدرسة المتوسطة 8.8 (2003)، ص  392-396.
• سيلي، كاثي؛ شيلاك، جين ف.: نظرة على تطور النسب والمعدلات والتناسب . تدريس الرياضيات في المدرسة المتوسطة، 13.3، 2007، ص  140-142.
• فان دورين، ويم؛ دي بوك، ديرك؛ إيفرز، مارلين؛ فيرشافيل، ليفين: الإفراط في استخدام الطلاب للتناسب في مسائل القيم المفقودة: كيف يمكن للأرقام أن تغير الحلول . مجلة أبحاث تعليم الرياضيات، 40.2، 2009، ص  187-211.
• زيلدوفيتش، يا. ب. ، ياغلوم، آي إم : الرياضيات العليا للمبتدئين ، ص 34-35 .