نظرية التقاطع

نظرية التقاطع ، والمعروفة أيضًا بنظرية طاليس ، أو نظرية التناسب الأساسية ، أو نظرية فاصل الأضلاع ، هي نظرية مهمة في الهندسة الابتدائية تتعلق بنسب أطوال القطع المستقيمة المختلفة الناتجة عن تقاطع شعاعين لهما نقطة بداية مشتركة مع خطين متوازيين . وهي مكافئة لنظرية النسب في المثلثات المتشابهة . تُنسب هذه النظرية تقليديًا إلى عالم الرياضيات اليوناني طاليس . وقد عرفها البابليون والمصريون القدماء ، على الرغم من أن أول برهان معروف لها يظهر في كتاب الأصول لإقليدس . يُعرف الجهاز الميكانيكي الذي يُنتج أشكالًا متشابهة هندسيًا باسم البانتوغراف .

لنفترض أن S هي نقطة البداية المشتركة لشعاعين، وأن خطين متوازيين يتقاطعان مع هذين الشعاعين (انظر الشكل). ولتكن A وB نقطتي تقاطع الشعاع الأول مع الخطين المتوازيين، بحيث تكون B أبعد عن S من A، وبالمثل، C وD نقطتي تقاطع الشعاع الثاني مع الخطين المتوازيين بحيث تكون D أبعد عن S من C. في هذه الحالة، تتحقق العبارات التالية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. نسبة أي قطعتين مستقيمتين على الشعاع الأول تساوي نسبة القطعتين المستقيمتين المقابلتين على الشعاع الثاني: ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$،${\displaystyle {\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}}$،${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}}$
2. نسبة القطعتين على نفس الشعاع بدءًا من النقطة S تساوي نسبة القطعتين على الخطوط المتوازية: ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$
3. وعكس العبارة الأولى صحيح أيضاً، أي إذا تم اعتراض الشعاعين بخطين عشوائيين و${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$إذا تحققت هذه الفرضية، فإن الخطين المتقاطعين متوازيان. ومع ذلك، فإن عكس العبارة الثانية غير صحيح (انظر الرسم البياني لمثال مضاد).

تبقى العبارتان الأوليان صحيحتين إذا تم استبدال الشعاعين بخطين متقاطعين في${\displaystyle S}$في هذه الحالة، يوجد سيناريوهان فيما يتعلق بـ${\displaystyle S}$إما أن يقع بين الخطين المتوازيين (الشكل X) أو لا يقع بينهما (الشكل V). إذا${\displaystyle S}$إذا لم يقع الخط بين الخطين المتوازيين، فإن النظرية الأصلية تنطبق مباشرة. ${\displaystyle S}$يقع بين الخطين المتوازيين، ثم انعكاس لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle C}$في${\displaystyle S}$ينتج عنه شكل V بمقاييس متطابقة تنطبق عليها النظرية الأصلية الآن. ^{[ 2 ]}

لكن العبارة الثالثة (العكس) لا تبقى صحيحة بالنسبة للخطوط بدلاً من الأشعة. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} ومع ذلك، إذا استبدلنا نسبة الأطوال بنسب موجهة لقطع مستقيمة موجهة ، فإن جميع عبارات نظرية التقاطع، بما في ذلك العكس، تظل صالحة للخطوط أيضًا. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$نقطتان على خط مستقيم و${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$إذا كانت نقطتان على نفس الخط أو على خط موازٍ، فإن النسبة الموقعة${\textstyle {\frac {AB}{CD}}}$يكون${\textstyle {\frac {|AB|}{|CD|}}}$إذا كان الاتجاه من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$هو نفس الاتجاه من${\displaystyle C}$ل${\displaystyle D,}$وهو${\textstyle -{\frac {|AB|}{|CD|}}}$وإلا. ^{[ 3 ]}

إذا كان هناك أكثر من شعاعين يبدآن من${\displaystyle S}$أو أكثر من خطين يتقاطعان عند${\displaystyle S}$إذا كان كل خط عرضي يحتوي على أكثر من قطعة مستقيمة، فإن نسبة قطعتين مستقيمتين على أحد الخطين العرضيين تساوي نسبة القطعتين المستقيمتين المناظرتين لهما على الخط العرضي الآخر. على سبيل المثال، إذا كان هناك شعاع ثالث يبدأ من${\displaystyle S}$وتقاطع أوجه التشابه في${\displaystyle E}$و${\displaystyle F}$بحيث ${\displaystyle F}$أبعد من ${\displaystyle S}$من${\displaystyle E}$إذاً، تتحقق المساواة التالية: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}}$،${\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}}$

بالنسبة للمعادلة الثانية، فإن العكس صحيح أيضاً، أي إذا تقاطعت الأشعة الثلاثة مع خطين وكانت نسب أطوال القطع المستقيمة المقابلة على كل خط متساوية، فإن هذين الخطين يجب أن يكونا متوازيين. ^{[ 4 ]}

تُنسب هذه النظرية تقليديًا إلى عالم الرياضيات اليوناني طاليس الملطي ، الذي ربما استخدم شكلاً من أشكالها لتحديد ارتفاعات الأهرامات في مصر وحساب المسافة بين السفينة والشاطئ. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

يستخدم برهانٌ بسيطٌ للنظرية مثلثاتٍ متساوية المساحة لاستنتاج العبارات الأساسية حول النسب (الادعاء 1). ثم تتبع الادعاءات الأخرى بتطبيق الادعاء الأول والتناقض. ^{[ 1 ]}

الادعاء 1

الترميز: بالنسبة للمثلث، الخطوط الرأسية (${\displaystyle |\ldots |}$) تشير إلى مساحتها، وبالنسبة لقطعة مستقيمة تشير إلى طولها. الدليل: بما أن${\displaystyle CA\parallel BD}$، ارتفاعات${\displaystyle \triangle CDA}$و${\displaystyle \triangle CBA}$لها أطوال متساوية. وبما أن هذه المثلثات تشترك في نفس القاعدة، فإن مساحاتها متطابقة. إذن لدينا${\displaystyle |\triangle CDA|=|\triangle CBA|}$والآن، نضيف مساحة المثلث${\displaystyle \triangle SCA}$لكلا جانبي هذه المساواة. على الجانب الأيسر، اتحاد${\displaystyle \triangle CDA}$و${\displaystyle \triangle SCA}$يشكل مثلثًا${\displaystyle \triangle SDA}$وعلى الجانب الأيمن، اتحاد${\displaystyle \triangle CBA}$و${\displaystyle \triangle SCA}$يشكل مثلثًا${\displaystyle \triangle SCB}$وبالتالي، نحصل على${\displaystyle |\triangle SCB|=|\triangle SDA|}$كذلك. وهذا ينتج عنه ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}}$و${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}}$ بتطبيق صيغة حساب مساحات المثلثات (${\displaystyle {\tfrac {{\text{baseline}}\cdot {\text{altitude}}}{2}}}$) يحول ذلك إلى ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}}$و${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}}$ يؤدي إلغاء العوامل المشتركة إلى: (أ)${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}}$و (ب)${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}}$ الآن استخدم (ب) للاستبدال${\displaystyle |SA|}$و${\displaystyle |SC|}$في (أ): ${\displaystyle {\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}}$ باستخدام (ب) مرة أخرى، يتبسط هذا إلى: (ج)${\displaystyle \,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}}$${\displaystyle \,\square }$

الادعاء 2

ارسم خطًا موازيًا إضافيًا لـ${\displaystyle SD}$يمر هذا الخط المتوازي عبر النقطة أ. ويتقاطع مع${\displaystyle BD}$في G. ثم يكون لدى المرء${\displaystyle |AC|=|DG|}$وبسبب المطالبة رقم 1${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}}$ وبالتالي ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$ ${\displaystyle \square }$

الادعاء 3

يفترض${\displaystyle AC}$و${\displaystyle BD}$الخطان ليسا متوازيين. ثم الخط الموازي لـ${\displaystyle AC}$خلال${\displaystyle D}$يتقاطع${\displaystyle SA}$في${\displaystyle B_{0}\neq B}$. منذ${\displaystyle |SB|:|SA|=|SD|:|SC|}$صحيح، لدينا${\displaystyle |SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$ ومن جهة أخرى، من الادعاء رقم 1 لدينا${\displaystyle |SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$. لذا${\displaystyle B}$و${\displaystyle B_{0}}$هم على نفس الجانب من${\displaystyle S}$ويكون لها نفس المسافة إلى${\displaystyle S}$وهذا يعني${\displaystyle B=B_{0}}$هذا تناقض، لذا لا يمكن أن يكون الافتراض صحيحًا، مما يعني${\displaystyle AC}$و${\displaystyle BD}$إنها متوازية بالفعل${\displaystyle \square }$

• فرينش، دوغ (2004). تدريس وتعلم الهندسة . بلومزبري. ص 84-87 . ISBN  9780826473622.( نسخة إلكترونية ، صفحة 84، على كتب جوجل )
• أغريكولا، إيلكا ؛ فريدريش، توماس (2008). الهندسة الابتدائية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. الصفحات 10-13 ، 16-18 . ISBN  0-8218-4347-8.( نسخة إلكترونية ، صفحة 10، على كتب جوجل )
• ستيلويل ، جون (2005). أركان الهندسة الأربعة . سبرينغر. ص 34. ISBN  978-0-387-25530-9.( نسخة إلكترونية ، صفحة 34، على كتب جوجل )
• أوسترمان، ألكسندر؛ وانر، جيرهارد (2012). الهندسة من خلال تاريخها . سبرينغر. ص 3-7 . ISBN  978-3-642-29163-0.( نسخة إلكترونية ، صفحة 3، على كتب جوجل )
• لورينز هالبيسن، نوربرت هونجربولر، خوان لوكلي: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. سبرينغر 2016، ردمك 9783662530344، الصفحات  191-208 (بالألمانية)

• نظرية التقاطع في بلانيت ماث
• ألكسندر بوغومولني: نظريات طاليس ، وخاصة نظرية طاليس في موقع Cut-the-Knot
• نظرية التقاطع التفاعلية