مسرد المصطلحات الأساسية في ميكانيكا الكم

في هذه الحالة، يتم إعطاء الخطأ المعياري بالشكل التالي$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial} {\partial t}}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right)\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi _{\alpha }(\mathbf {r} ,\,t)}$$ويمكن استنتاج ذلك من (1) من خلال النظر في${\displaystyle \Psi _{\alpha }(x,t):=\langle x|\alpha \rangle }$و${\displaystyle {\hat {H}}:=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\hat {V}}}$

حالة مقيدة

تُسمى الحالة حالة مقيدة إذا كانت كثافة احتمال وجودها عند اللانهاية تقترب من الصفر طوال الوقت. بعبارة أخرى، يمكننا أن نتوقع وجود الجسيم (أو الجسيمات) في منطقة ذات حجم محدود باحتمالية معينة. بتعبير أدق،${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\to 0}$ متى${\displaystyle |\mathbf {r} |\to +\infty }$للجميع${\displaystyle t>0}$.

هناك معيار فيما يتعلق بالطاقة:

يترك${\displaystyle E}$لتكن طاقة التوقع للحالة. وتكون حالة مقيدة إذا وفقط إذا${\displaystyle E<\operatorname {min} \{V(r\to -\infty ),V(r\to +\infty )\}}$.

تمثيل الموقع وتمثيل الزخم

تمثيل موضعي لدالة موجية

${\displaystyle \Psi _{\alpha }(x,t):=\langle x|\alpha \rangle }$،

تمثيل الزخم لدالة الموجة

${\displaystyle {\tilde {\Psi }} _ {\alpha }(p,t):=\langle p|\alpha \rangle }$ ؛

أين${\displaystyle |x\rangle }$هي الحالة الذاتية للموضع و${\displaystyle |p\rangle }$الحالة الذاتية للزخم على التوالي.

يرتبط التمثيلان بتحويل فورييه .

سعة الاحتمال

تكون سعة الاحتمال على الشكل التالي: ${\displaystyle \langle \alpha |\psi \rangle }$.

احتمال التيار

باستخدام استعارة كثافة الاحتمال ككثافة كتلة، فإن تيار الاحتمال${\displaystyle J}$هو التيار الحالي:${\displaystyle J(x,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\psi \right)}$يُحقق كل من التيار الاحتمالي وكثافة الاحتمال معًا معادلة الاستمرارية :$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (x,t)|^{2}+\nabla \cdot \mathbf {J} (x,t)=0}$$

كثافة الاحتمال

بمعرفة الدالة الموجية للجسيم،${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$هي كثافة الاحتمال عند الموضع${\displaystyle x}$والوقت${\displaystyle t}$.${\displaystyle |\psi (x_{0},t)|^{2}\,dx}$يعني احتمال العثور على الجسيم بالقرب${\displaystyle x_{0}}$.

حالة التشتت

يمكن فهم الدالة الموجية لحالة التشتت على أنها موجة منتشرة. انظر أيضًا "الحالة المقيدة".

هناك معيار فيما يتعلق بالطاقة:

يترك${\displaystyle E}$لتكن طاقة التوقع للحالة. وتكون حالة تشتت إذا وفقط إذا${\displaystyle E>\operatorname {min} \{V(r\to -\infty ),V(r\to +\infty )\}}$.

قابل للتكامل التربيعي

التكامل التربيعي هو شرط ضروري لكي تكون الدالة هي تمثيل الموضع/الزخم لدالة موجية لحالة مقيدة للنظام.

بالنظر إلى تمثيل الموضع${\displaystyle \Psi (x,t)}$بالنسبة لمتجه حالة دالة موجية، فإن التكامل التربيعي يعني:

• حالة 1D:${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|\Psi (x,t)|^{2}\,dx<+\infty }$.
• غلاف ثلاثي الأبعاد:${\displaystyle \int _{V}|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\,dV<+\infty }$.

حالة ثابتة

الحالة المستقرة لنظام مقيد هي حالة ذاتية لمؤثر هاميلتوني. كلاسيكيًا، تُقابل هذه الحالة موجة واقفة. وهي مكافئة لما يلي: ^{[ ملاحظة 2 ]}

• حالة ذاتية لمؤثر هاميلتوني
• دالة ذاتية لمعادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن
• حالة من الطاقة المحددة
• حالة يكون فيها "كل قيمة متوقعة ثابتة مع مرور الوقت"
• حالة يكون فيها احتمال الكثافة (${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$لا يتغير بمرور الوقت، أي${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\Psi (x,t)|^{2}=0}$