الهندسة الإهليلجية

الهندسة الإهليلجية مثال على الهندسة التي لا تنطبق عليها مسلمة التوازي لإقليدس . فبدلاً من ذلك، كما هو الحال في الهندسة الكروية ، لا توجد خطوط متوازية لأن أي خطين يجب أن يتقاطعا. ومع ذلك، على عكس الهندسة الكروية، يُفترض عادةً أن الخطين يتقاطعان في نقطة واحدة (بدلاً من نقطتين). ولهذا السبب، يُشار أحيانًا إلى الهندسة الإهليلجية الموصوفة في هذه المقالة باسم الهندسة الإهليلجية المفردة، بينما يُشار أحيانًا إلى الهندسة الكروية باسم الهندسة الإهليلجية المزدوجة .

أدى ظهور الأعمال المتعلقة بهذا النوع من الهندسة في القرن التاسع عشر إلى تحفيز تطوير الهندسة غير الإقليدية بشكل عام، بما في ذلك الهندسة الزائدية .

تتميز الهندسة الإهليلجية بخصائص متنوعة تختلف عن خصائص الهندسة الإقليدية الكلاسيكية المستوية. فعلى سبيل المثال، يكون مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث دائمًا أكبر من 180 درجة.

التعريفات

يمكن اشتقاق الهندسة الإهليلجية من الهندسة الكروية بتحديد النقاط المتقابلة على سطح الكرة لتكوين نقطة إهليلجية واحدة. تتوافق الخطوط الإهليلجية مع دوائر عظمى مُختزلة بتحديد النقاط المتقابلة. وبما أن أي دائرتين عظميين تتقاطعان، فلا توجد خطوط متوازية في الهندسة الإهليلجية.

في الهندسة الإهليلجية، يجب أن يتقاطع خطان عموديان على خط معين. في الواقع، تتقاطع جميع الخطوط العمودية على خط معين في نقطة واحدة تسمى القطب المطلق لذلك الخط.

كل نقطة تُقابل خطًا قطبيًا مطلقًا، وهي قطبه المطلق. أي نقطة على هذا الخط القطبي تُشكّل زوجًا مترافقًا مطلقًا مع القطب. هذا الزوج من النقاط متعامد ، والمسافة بينهما ربع دائرة . ^{[ 1 ]}^{: 89}

المسافة بين نقطتين تتناسب طرديًا مع الزاوية بين قطبيهما المطلقين. ^{[ 1 ]}^{: 101}

كما أوضح السيد كوكسيتر :

قد يكون مصطلح "إهليلجي" مُضللاً بعض الشيء. فهو لا يُشير إلى أي صلة مباشرة بالمنحنى المسمى قطع ناقص، بل إلى تشبيه بعيد المدى. يُسمى القطع المخروطي المركزي قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا بحسب ما إذا كان لا يحتوي على خط تقارب أو يحتوي على خطي تقارب . وبالمثل، يُقال إن المستوى غير الإقليدي إهليلجي أو زائد بحسب ما إذا كان كل خط من خطوطه لا يحتوي على نقطة في اللانهاية أو يحتوي على نقطتين في اللانهاية. ^{[ 2 ]}

بعدين

المستوى الإهليلجي

المستوى الإهليلجي هو المستوى الإسقاطي الحقيقي المزود بمقياس . استخدم كبلر وديسارج الإسقاط الزنوموني لربط مستوى σ بنقاط على نصف كرة مماسة له. إذا كانت O مركز نصف الكرة، فإن أي نقطة P في σ تحدد خطًا OP يقطع نصف الكرة، وأي خط L ⊂ σ يحدد مستوى OL يقطع نصف الكرة في نصف دائرة عظمى . نصف الكرة محصور بمستوى يمر عبر O وموازٍ لـ σ . لا يوجد خط عادي على σ يقابل هذا المستوى؛ بل يُضاف خط عند اللانهاية إلى σ . بما أن أي خط في هذا الامتداد لـ σ يُقابل مستوىً يمر بالنقطة O ، وبما أن أي زوج من هذه المستويات يتقاطع في خط يمر بالنقطة O ، فإنه يُمكن استنتاج أن أي زوج من الخطوط في هذا الامتداد يتقاطع: تقع نقطة التقاطع حيث يلتقي تقاطع المستوى مع σ أو الخط عند اللانهاية. وبذلك، يتم تأكيد بديهية الهندسة الإسقاطية، التي تنص على أن جميع أزواج الخطوط في مستوى ما تتقاطع. ^[³^]

بمعلومية النقطتين P و Q في الفضاء الإهليلجي σ ، فإن المسافة الإهليلجية بينهما هي قياس الزاوية POQ ، والتي تُقاس عادةً بالراديان. بدأ آرثر كايلي دراسة الهندسة الإهليلجية عندما كتب "حول تعريف المسافة". ^{[ 4 ]}^{: 82} وقد تبع هذا التوجه نحو التجريد في الهندسة كلٌ من فيليكس كلاين وبرنهارد ريمان، مما أدى إلى ظهور الهندسة غير الإقليدية والهندسة الريمانية .

مقارنة بالهندسة الإقليدية

في الهندسة الإقليدية، يمكن تكبير أو تصغير أي شكل إلى ما لا نهاية، وتبقى الأشكال الناتجة متشابهة، أي أنها تمتلك نفس الزوايا والنسب الداخلية. أما في الهندسة الإهليلجية، فالأمر مختلف. على سبيل المثال، في النموذج الكروي، نلاحظ أن المسافة بين أي نقطتين يجب أن تكون أقل من نصف محيط الكرة (لأن النقاط المتقابلة تُحدد). لذا، لا يمكن تكبير قطعة مستقيمة إلى ما لا نهاية.

يُمكن تطبيق الكثير من مبادئ الهندسة الإقليدية مباشرةً على الهندسة الإهليلجية. فعلى سبيل المثال، تنطبق المسلمتان الأولى والرابعة من مسلمات إقليدس، وهما وجود خط مستقيم وحيد بين أي نقطتين وتساوي جميع الزوايا القائمة، على الهندسة الإهليلجية. أما المسلمة الثالثة، التي تنص على إمكانية إنشاء دائرة بأي مركز ونصف قطر مُعطى، فتفشل إذا فُسِّر "أي نصف قطر" على أنه "أي عدد حقيقي"، ولكنها تنطبق إذا فُسِّر على أنه "طول أي قطعة مستقيمة مُعطاة". ولذلك، فإن أي نتيجة في الهندسة الإقليدية تترتب على هذه المسلمات الثلاث تنطبق على الهندسة الإهليلجية، مثل القضية الأولى من الكتاب الأول من كتاب الأصول ، التي تنص على أنه بمعلومية أي قطعة مستقيمة، يُمكن إنشاء مثلث متساوي الأضلاع باستخدام تلك القطعة كقاعدة له.

تتشابه الهندسة الإهليلجية مع الهندسة الإقليدية في كون الفضاء متصلاً ومتجانساً ومتساوي الخواص وبدون حدود. ويضمن التساوي في الخواص المسلّمة الرابعة، وهي أن جميع الزوايا القائمة متساوية. وللحصول على مثال على التجانس، تجدر الإشارة إلى أن القضية الأولى لإقليدس (1.1) تشير إلى إمكانية إنشاء المثلث متساوي الأضلاع نفسه في أي مكان، وليس فقط في مواقع مميزة. أما انعدام الحدود فينتج عن المسلّمة الثانية، وهي قابلية تمديد القطعة المستقيمة.

أحد أوجه الاختلاف بين الهندسة الإهليلجية والهندسة الإقليدية هو أن مجموع زوايا المثلث الداخلية أكبر من 180 درجة. ففي النموذج الكروي، على سبيل المثال، يمكن إنشاء مثلث برؤوس تقع عند نقاط تقاطع محاور الإحداثيات الديكارتية الموجبة الثلاثة مع الكرة، وتكون جميع زواياه الداخلية الثلاث 90 درجة، أي أن مجموعها 270 درجة. أما بالنسبة للمثلثات الصغيرة جدًا، فيمكن تقليل الزيادة عن 180 درجة إلى حد كبير.

لا تنطبق نظرية فيثاغورس في الهندسة الإهليلجية. ففي المثلث ذي الزوايا القائمة (90°–90°–90°) الموصوف أعلاه، تتساوى أطوال أضلاعه الثلاثة، وبالتالي لا تحقق هذه النظرية. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . يتم استعادة نتيجة فيثاغورس في نهاية المثلثات الصغيرة.

نسبة محيط الدائرة إلى مساحتها أصغر منها في الهندسة الإقليدية. وبشكل عام، لا تتناسب المساحة والحجم طرديًا مع القوة الثانية والثالثة للأبعاد الخطية.

الفضاء الإهليلجي (الحالة ثلاثية الأبعاد)

ملاحظة: يستخدم هذا القسم مصطلح "الفضاء الإهليلجي" للإشارة تحديدًا إلى الهندسة الإهليلجية ثلاثية الأبعاد. وهذا يختلف عن القسم السابق الذي تناول الهندسة الإهليلجية ثنائية الأبعاد. وتُستخدم الأعداد الرباعية لتوضيح هذا الفضاء.

يمكن بناء الفضاء الإهليلجي بطريقة مشابهة لبناء الفضاء المتجهي ثلاثي الأبعاد: باستخدام فئات التكافؤ . يُستخدم في ذلك أقواس موجهة على دوائر عظمى للكرة. وبما أن القطع المستقيمة الموجهة تكون متساوية القوة عندما تكون متوازية، ومتساوية الطول، ومتشابهة الاتجاه، فإن الأقواس الموجهة الموجودة على الدوائر العظمى تكون متساوية القوة عندما تكون متساوية الطول والاتجاه والدائرة العظمى. تُنتج علاقات التكافؤ هذه الفضاء المتجهي ثلاثي الأبعاد والفضاء الإهليلجي، على التوالي.

يُتاح الوصول إلى بنية الفضاء الإهليلجي من خلال الجبر المتجهي لويليام روان هاميلتون : فقد تصور الكرة كمجال للجذور التربيعية للعدد سالب واحد. ثم صيغة أويلر $\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta$ يمثل (حيث r على الكرة) الدائرة العظمى في المستوى الذي يحتوي على 1 و r . تتوافق النقطتان المتقابلتان r و -r مع دائرتين متعاكستين في الاتجاه. القوس بين θ و φ مكافئ للقوس بين 0 و φ - θ. في الفضاء الإهليلجي، يكون طول القوس أقل من π، لذا يمكن تمثيل الأقواس باستخدام θ في الفترة [0, π) أو (-π/2, π/2). ^{[ 5 ]}

ل $z=\exp(\theta r),\ z^{*}=\exp(-\theta r)\implies zz^{*}=1.$ يُقال إن معيار أو معامل z يساوي واحدًا (وقد سماه هاميلتون موتر z). ولكن بما أن r يمتد على كرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن exp( θr ) يمتد على كرة في الفضاء رباعي الأبعاد، والذي يُسمى الآن الكرة ثلاثية الأبعاد ، لأن سطحها ثلاثي الأبعاد. أطلق هاميلتون على جبره اسم الكواترنيونات ، وسرعان ما أصبح أداة رياضية مفيدة وشهيرة. ويتطور فضاءه رباعي الأبعاد في الإحداثيات القطبية. $t\exp(\theta r),$ حيث t من الأعداد الحقيقية الموجبة .

عند إجراء حساب المثلثات على الأرض أو الكرة السماوية ، تكون أضلاع المثلثات عبارة عن أقواس دوائر عظمى. وكان أول نجاح للأعداد الرباعية هو تحويل حساب المثلثات الكروية إلى جبر. ^{[ 6 ]} أطلق هاميلتون على العدد الرباعي ذي المعيار واحد اسم " المتجه" ، وهذه هي نقاط الفضاء الإهليلجي.

مع تثبيت قيمة $r$ ، فإن المتجهات

e^{ar},\quad 0\leq a<\pi

يشكل خطًا إهليلجيًا . المسافة من $e^{ar}$ إلى 1 هو $أ$ . بالنسبة لمتجه عشوائي $u$ ، ستكون المسافة هي تلك θ التي يكون عندها $cos θ = ($ $u$ $+$ $u$ $*$ $)/2$ لأن هذه هي صيغة الجزء القياسي لأي رباعي.

يتم وصف الحركة الإهليلجية بواسطة رسم الخرائط الرباعية

q\mapsto uqv,

حيث

u

و

v

عبارة عن متجهات ثابتة.

المسافات بين النقاط هي نفسها المسافات بين نقاط الصورة في الحركة الإهليلجية. عندما يكون $u$ و $v$ مترافقين رباعيين، تكون الحركة دورانًا مكانيًا ، ويكون الجزء المتجه منهما هو محور الدوران. في حالة $u = 1،$ تُسمى الحركة الإهليلجية إزاحة كليفورد يمينًا ، أو حركة موازية . أما في حالة $v$ $= 1،$ فتُسمى إزاحة كليفورد يسارًا.

قد تكون الخطوط الإهليلجية المارة بالرأس $u$ على الشكل التالي

\lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace

أو

\lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace

لقيمة ثابتة لـ

r

.

هما إزاحتا كليفورد اليمنى واليسرى للنقطة $u$ على طول خط إهليلجي يمر بالنقطة 1. ويتكون الفضاء الإهليلجي من $S$ $3$ بتحديد النقاط المتقابلة. ^[⁷^]

يحتوي الفضاء الإهليلجي على هياكل خاصة تسمى متوازيات كليفورد وأسطح كليفورد .

يتم تحويل نقاط المتجه للفضاء الإهليلجي بواسطة تحويل كايلي إلى $\mathbb {R} ^{3}$ للحصول على تمثيل بديل للفضاء.

الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى

نموذج كروي فائق

يُعدّ النموذج الكروي الفائق تعميمًا للنموذج الكروي إلى أبعاد أعلى. تمثل نقاط الفضاء الإهليلجي ذي البعد n أزواج متجهات الوحدة $(x, -x) في$ Rⁿ⁺¹ ، ^أي أزواج النقاط المتقابلة على سطح كرة الوحدة في الفضاء ذي البعد ( n +1) (الكرة الفائقة ذات البعد n ). ^أما الخطوط في هذا النموذج فهي دوائر عظمى ، أي نقاط تقاطع الكرة الفائقة مع أسطح فائقة مستوية ذات البعد n تمر بنقطة الأصل.

الهندسة الإهليلجية الإسقاطية

في النموذج الإسقاطي للهندسة الإهليلجية، تُستخدم نقاط الفضاء الإسقاطي الحقيقي ذي الأبعاد n كنقاط للنموذج. وهذا يُمثل هندسة إهليلجية مجردة تُعرف أيضًا بالهندسة الإسقاطية .

يمكن تحديد نقاط الفضاء الإسقاطي ذي البعد n بخطوط تمر بنقطة الأصل في فضاء ذي بعد ( n + 1) ، ويمكن تمثيلها بشكل غير فريد بمتجهات غير صفرية في R ^{n + 1} ، مع العلم أن $u$ و $λ u$ ، لأي عدد قياسي غير صفري $λ$ ، يمثلان النقطة نفسها. تُعرَّف المسافة باستخدام المقياس.

d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);

أي أن المسافة بين نقطتين هي الزاوية بين خطيهما المتناظرين في R ^{n +1} . صيغة المسافة متجانسة في كل متغير، حيث $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ إذا كان $λ$ و $μ$ قيمتين قياسيتين غير صفريتين، لذا فهي تُعرّف مسافة على نقاط الفضاء الإسقاطي.

من الخصائص البارزة للهندسة الإهليلجية الإسقاطية أنها غير قابلة للتوجيه في الأبعاد الزوجية، مثل المستوى . فهي تلغي التمييز بين الدوران باتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة من خلال تحديدهما.

نموذج التصوير المجسم

يمكن الحصول على نموذج يُمثل نفس الفضاء الذي يُمثله النموذج الكروي الفائق باستخدام الإسقاط المجسم . لنفترض أن E ^n يُمثل R ^n ∪ {∞}، أي الفضاء الحقيقي ذو البعد $n$ الممتد بنقطة واحدة عند اللانهاية. يُمكننا تعريف مقياس، وهو المقياس الوتر ، على E ^n كما يلي:

\delta (u,v)={\frac {2\|uv\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}

حيث $u$ و $v$ متجهان في R ⁿ و $\|\cdot \|$ هو المعيار الإقليدي المعتاد. كما نُعرّف

\delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.

والنتيجة هي فضاء متري على E ⁿ ، يمثل المسافة على طول وتر بين النقاط المتناظرة على النموذج الكروي الفائق، والذي يُسقط عليه بشكل تقابلي بواسطة الإسقاط المجسم. نحصل على نموذج للهندسة الكروية إذا استخدمنا المقياس

d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right).

يتم الحصول على الهندسة الإهليلجية من هذا عن طريق تحديد النقاط المتقابلة $u$ و $- u / ‖ u ‖ 2$ ، وأخذ المسافة من $v$ إلى هذا الزوج لتكون الحد الأدنى للمسافات من $v$ إلى كل من هاتين النقطتين.

الاتساق الذاتي

بما أن الهندسة الإهليلجية الكروية يمكن نمذجتها، على سبيل المثال، كفضاء فرعي كروي من فضاء إقليدي، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا كانت الهندسة الإقليدية متسقة ذاتيًا، فإن الهندسة الإهليلجية الكروية متسقة ذاتيًا أيضًا. لذلك، لا يمكن إثبات مسلمة التوازي بالاعتماد على المسلمات الأربع الأخرى للهندسة الإقليدية.

أثبت تارسكي أن الهندسة الإقليدية الابتدائية كاملة : إذ توجد خوارزمية، لكل قضية، يمكنها إثبات صحتها أو خطئها. ^{[ 8 ]} (لا يُخالف هذا مبرهنة غودل ، لأن الهندسة الإقليدية لا تستطيع وصف قدر كافٍ من العمليات الحسابية لتطبيق المبرهنة. ^{[ 9 ]} ) وبالتالي، فإن الهندسة الإهليلجية الابتدائية متسقة ذاتيًا وكاملة أيضًا.

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 دنكان سومرفيل (1914) عناصر الهندسة غير الإقليدية ، الفصل 3 الهندسة الإهليلجية، الصفحات من 88 إلى 122، جورج بيل وأولاده
↑ كوكسيتر 1969 94
↑ HSM Coxeter (1965) مقدمة في الهندسة، صفحة 92
↑ كايلي، آرثر (1859)، "مذكرة سادسة حول الكميات" ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 149 : 61-90 ، doi : 10.1098/rstl.1859.0004 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108690
↑ رافائيل أرتزي (1965) الهندسة الخطية ، الفصول 3-8: الكواترنيونات والفضاء الإهليلجي ثلاثي الأبعاد، الصفحات 186-194، أديسون-ويسلي
↑ دبليو آر هاميلتون (1844 إلى 1850) حول الرباعيات أو نظام جديد للأعداد التخيلية في الجبر ، مجلة الفلسفة ، رابط لمجموعة ديفيد آر ويلكنز في كلية ترينيتي، دبلن
^ لوميتر، جورج (1948)، “Quaternions et espace elliptique”، Pontificia Academia Scientiarum، Acta ، 12 : 57–78 ، ISSN 0370-2138
↑ تارسكي (1951)
^ فرانزين 2005، ص 25 – 26.

مراجع

آلان ف. بيردون، هندسة المجموعات المنفصلة ، سبرينغر-فيرلاغ، 1983
HSM Coxeter (1942) الهندسة غير الإقليدية ، الفصول 5 و6 و7: الهندسة الإهليلجية في بُعد واحد واثنين وثلاثة أبعاد، مطبعة جامعة تورنتو ، أعيد إصداره عام 1998 من قبل الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-88385-522-4.
HSM Coxeter (1969) مقدمة في الهندسة ، §6.9 المستوى الإهليلجي، ص 92-95. جون وايلي وأولاده .
"الهندسة الإهليلجية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
فيليكس كلاين (1871) "حول ما يسمى بالهندسة اللاإقليدية"، حوليات الرياضيات 4: 573-625، ترجمها وقدمها جون ستيلويل (1996) مصادر الهندسة الزائدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-8218-0529-0.
بوريس أودينال "حول التطابقات المتناحية للخطوط في الفضاء الإهليلجي ثلاثي الأبعاد"
دراسة إدوارد (1913) مترجم دي إتش ديلفينيتش، "أسس وأهداف علم الحركة التحليلي" ، الصفحة 20.
ألفريد تارسكي (1951) طريقة اتخاذ القرار للجبر والهندسة الابتدائية . مطبعة جامعة كاليفورنيا.
فرانزين، توركيل (2005). نظرية غودل: دليل غير مكتمل لاستخدامها وإساءة استخدامها . إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-238-8.
ألفريد نورث وايتهيد (1898) الجبر الشامل مؤرشف في 2014-09-03 في آلة Wayback ، الكتاب السادس الفصل 2: الهندسة الإهليلجية ، الصفحات 371-98.
وايسشتاين، إريك دبليو. "الهندسة الإهليلجية" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام . تم الاسترجاع في 26 نوفمبر 2024 .

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالهندسة الإهليلجية على ويكيميديا كومنز

[DS-1] 1 2 دنكان سومرفيل (1914) عناصر الهندسة غير الإقليدية ، الفصل 3 الهندسة الإهليلجية، الصفحات من 88 إلى 122، جورج بيل وأولاده

[2] كوكسيتر 1969 94

[3] HSM Coxeter (1965) مقدمة في الهندسة، صفحة 92

[4] كايلي، آرثر (1859)، "مذكرة سادسة حول الكميات" ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 149 : 61-90 ، doi : 10.1098/rstl.1859.0004 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108690

[5] رافائيل أرتزي (1965) الهندسة الخطية ، الفصول 3-8: الكواترنيونات والفضاء الإهليلجي ثلاثي الأبعاد، الصفحات 186-194، أديسون-ويسلي

[6] دبليو آر هاميلتون (1844 إلى 1850) حول الرباعيات أو نظام جديد للأعداد التخيلية في الجبر ، مجلة الفلسفة ، رابط لمجموعة ديفيد آر ويلكنز في كلية ترينيتي، دبلن

[7] لوميتر، جورج (1948)، “Quaternions et espace elliptique”، Pontificia Academia Scientiarum، Acta ، 12 : 57–78 ، ISSN 0370-2138

[8] تارسكي (1951)

[9] فرانزين 2005، ص 25 – 26.

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗