نظرية غولدي

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية غولدي نتيجة هيكلية أساسية في نظرية الحلقات ، وقد أثبتها ألفريد غولدي خلال خمسينيات القرن العشرين. ما يُطلق عليه الآن حلقة غولدي اليمنى هو حلقة R ذات بُعد منتظم محدود ("رتبة محدودة") كوحدة نمطية يمنى على نفسها، وتُحقق شرط السلسلة الصاعدة على العناصر المُبيدة اليمنى للمجموعات الجزئية من R.

تنص نظرية غولدي على أن حلقات غولدي اليمنى شبه الأولية هي تحديدًا تلك التي تمتلك حلقة أرتينية يمنى كلاسيكية شبه بسيطة من خارج القسمة . ويتم تحديد بنية حلقة خارج القسمة هذه بشكل كامل بواسطة نظرية أرتين-ويدربورن .

ينطبق مبدأ غولدي تحديدًا على الحلقات النويثرية اليمنى شبه الأولية ، إذ أن الحلقات النويثرية اليمنى، بحكم تعريفها، تمتلك شرط السلسلة الصاعدة على جميع المُثُل اليمنى. وهذا كافٍ لضمان أن الحلقة النويثرية اليمنى هي حلقة غولدي يمنى. أما العكس فلا يصح: فكل مجال أور يميني هو مجال غولدي يميني، وبالتالي فإن كل مجال تكاملي تبديلي هو كذلك أيضًا .

من نتائج نظرية غولدي، التي تعود أيضاً إلى غولدي نفسه، أن كل حلقة مثالية رئيسية يمنى شبه أولية متماثلة مع مجموع مباشر منتهٍ لحلقات مثالية رئيسية يمنى أولية . وكل حلقة مثالية رئيسية يمنى أولية متماثلة مع حلقة مصفوفات على مجال أور يميني .

هذا ملخص للوصف المذكور في المقدمة. ويمكن الاطلاع عليه في ( لام 1999 ، ص 324) .

• إذا كانت R حلقة غولدي يمين شبه أولية، فإنها تمثل ترتيبًا يمينيًا في حلقة شبه بسيطة:
  • إن المُثُل اليمينية الأساسية لـ R هي تلك التي تحتوي على عنصر منتظم .
  • لا توجد مُثُل صفرية غير صفرية في R.
  • R هي حلقة يمينية غير شاذة . ^{[ 1 ]}
  • انطلاقًا من الملاحظات السابقة، فإن R حلقة أور يمنى ، وبالتالي فإن حلقة القسمة الكلاسيكية اليمنى الخاصة بها Q ^r موجودة. كما أن Q ^r حلقة شبه بسيطة . لذا فإن R ترتيب يميني في Q ^r .
• إذا كانت R ترتيبًا يمينيًا في حلقة شبه بسيطة Q ، فإنها تكون ترتيبًا يمينيًا شبه أولي Goldie:
  • أي ترتيب صحيح في حلقة نوثرية (مثل Q ) هو ترتيب صحيح في غولدي.
  • أي ترتيب يميني في حلقة شبه أولية نوثرية (مثل Q ) هو نفسه شبه أولي.
  • وبالتالي، فإن R هو عدد غولدي شبه أولي من اليمين.

• كوتينيو، إس سي؛ ماكونيل، جيه سي (2003). "البحث عن حلقات القسمة (للحلقات النويثرية غير التبادلية)". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 110 (4): 298-313 . CiteSeerX 10.1.1.296.8947 . doi : 10.2307/3647879 . JSTOR 3647879 .  
• جولدي، أ. و. (1958). "بنية الحلقات الأولية في ظل شروط السلسلة التصاعدية". وقائع جمعية لندن الرياضية . 8 (4): 589-608 . doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 .
• جولدي، أ. و. (1960). "الحلقات شبه الأولية ذات الشروط القصوى". وقائع جمعية لندن الرياضية 10 : 201-220 . doi : 10.1112 /plms/s3-10.1.201 .
• هيرستين، إن (1969). موضوعات في نظرية الحلقات . محاضرات شيكاغو في الرياضيات. شيكاغو، إلينوي: مطبعة جامعة شيكاغو. ص 61-86 . ISBN  978-0-226-32802-7.
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 

• نظرية غولدي في موقع PlanetMath .
• خاتم غولدي في بلانيت ماث .