وحدة فرعية مفردة

في فرعي الجبر المجرد المعروفين بنظرية الحلقات ونظرية الوحدات ، تحتوي كل وحدة R يمين (أو يسار) M على وحدة فرعية مفردة تتكون من عناصر يكون مُفنيها مثاليات أساسية يمين (أو يسار) في R. ويُشار إليها عادةً في تدوين المجموعات بـ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$بالنسبة للحلقات العامة ،${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$يُعدّ هذا تعميمًا جيدًا للوحدة الفرعية للالتواء tors( M ) التي تُعرّف غالبًا للمجالات . في حالة كون R مجالًا تبادليًا ،${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$.

إذا كانت R أي حلقة،${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$يتم تعريفها مع اعتبار R وحدة نمطية يمنى، وفي هذه الحالة${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$هو مثالي ثنائي الجانب في R يُسمى المثالي الأيمن المفرد لـ R. نظيره الأيسر${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$يتم تعريفها بشكل مماثل. من الممكن لـ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$.

فيما يلي بعض التعريفات المستخدمة عند دراسة الوحدات الفرعية المفردة والمثاليات المفردة. في ما يلي، M هي وحدة R :

• يُطلق على M اسم وحدة نمطية مفردة إذا${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$.
• يُطلق على الوحدة النمطية M اسم وحدة نمطية غير منفردة إذا${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$.
• يُطلق على R اسم مصفوفة غير منفردة من اليمين إذا${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$يتم تعريف الحلقة غير المنفردة اليسرى بشكل مشابه، باستخدام المثالي المنفرد الأيسر، ومن الممكن تمامًا أن تكون الحلقة غير منفردة يمينًا ولكن ليس يسارًا.

في الحلقات التي تحتوي على عنصر الوحدة، يكون الأمر دائمًا كما يلي:${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$لذا، لا يُعرَّف مصطلح "الحلقة المفردة اليمنى" عادةً بنفس طريقة تعريف الوحدات المفردة. وقد استخدم بعض المؤلفين مصطلح "الحلقة المفردة" بمعنى "تحتوي على مثالي مفرد غير صفري"، إلا أن هذا الاستخدام لا يتوافق مع استخدام الصفات للوحدات.

تتضمن بعض الخصائص العامة للوحدة الفرعية المفردة ما يلي:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$أين${\displaystyle \mathrm {soc} (M_{R})\,}$يشير إلى قاعدة${\displaystyle R_{R}}$.
• إذا كان f تشاكلاً بين وحدات R من M إلى N ، فإن${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$.
• إذا كانت N وحدة فرعية من M ، فإن${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$.
• الخاصيتان "المفردة" و "غير المفردة" هما خاصيتان ثابتتان لموريتا .
• تحتوي المُثُل المفردة للحلقة على العناصر المركزية العديمة القوة فيها. وبالتالي، يحتوي المُثُل المفردة للحلقة التبديلية على الجذر العديمي للحلقة.
• تتمثل إحدى الخصائص العامة للوحدة الفرعية للالتواء في أن${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$لكن هذا لا ينطبق بالضرورة على الوحدة الفرعية المفردة. مع ذلك، إذا كانت R حلقة يمنى غير مفردة، فإن${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$.
• إذا كانت N وحدة فرعية أساسية من M (كلاهما وحدات يمينية)، فإن M / N تكون وحدة شاذة. أما إذا كانت M وحدة حرة ، أو إذا كانت R وحدة يمينية غير شاذة، فإن العكس صحيح.
• تكون الوحدة شبه البسيطة غير منفردة إذا وفقط إذا كانت وحدة إسقاطية .
• إذا كانت R حلقة ذاتية الحقن من اليمين ، فإن${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$، حيث J( R ) هو جذر جاكوبسون لـ R.

تُعد الحلقات غير المنفردة اليمنى فئة واسعة جدًا، بما في ذلك الحلقات المختزلة ، والحلقات الوراثية (شبه) اليمنى ، وحلقات فون نيومان المنتظمة ، والمجالات ، والحلقات شبه البسيطة ، وحلقات باير ، وحلقات ريكارت اليمنى .

بالنسبة للحلقات التبديلية، فإن كونها غير منفردة يعادل كونها حلقة مختزلة.

تتضمن نظرية جونسون (التي تعود إلى آر إي جونسون ( لام 1999 ، ص 376) ) العديد من المكافئات المهمة. بالنسبة لأي حلقة R ، فإن ما يلي متكافئ: 

1. R مصفوفة غير منفردة من اليمين.
2. الغلاف الحقني E( RR ) هو وحدة نمطية يمينية غير منفردة _R.
3. حلقة التشكل الداخلي${\displaystyle S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,}$هي حلقة شبه بدائية (أي،${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$).
4. الحلقة اليمنى القصوى من نواتج القسمة${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$هو منتظم فون نيومان.

للعدم التفردي الأيمن تفاعل قوي مع الحلقات ذاتية الحقن اليمنى أيضًا.

نظرية: إذا كانت R حلقة ذاتية الحقن من اليمين، فإن الشروط التالية على R متكافئة: غير منفردة من اليمين، منتظمة فون نيومان، شبه وراثية من اليمين، ريكارت من اليمين، باير من اليمين، شبه أولية. ( لام 1999 ، ص 262) 

استخدمت الورقة ( زيلمانوفيتز 1983 ) الوحدات غير المنفردة لتوصيف فئة الحلقات التي يكون لحلقة القسمة اليمنى القصوى الخاصة بها بنية معينة.

نظرية: إذا كانت R حلقة، فإن${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$تكون الحلقة خطية كاملة يمينية إذا وفقط إذا كان لـ R وحدة نمطية غير شاذة، ومخلصة ، ومنتظمة . علاوة على ذلك،${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$يكون حاصل ضرب مباشر محدود للحلقات الخطية الكاملة إذا وفقط إذا كان R يحتوي على وحدة نمطية غير منفردة ومخلصة ذات بُعد منتظم محدود .

• جوديرل، كيه آر (1976)، نظرية الحلقات: الحلقات والوحدات غير المنفردة ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، العدد 33، نيويورك: مارسيل ديكر، الصفحات  8+206، MR 0429962 
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 

• زيلمانوفيتز، ج.م. (1983)، "بنية الحلقات ذات الوحدات غير المنفردة الأمينة"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 278 (1): 347-359 ، doi : 10.2307/1999320 ، ISSN 0002-9947 ، MR 0697079