النظام (نظرية الزمر)

في الرياضيات ، رتبة المجموعة المنتهية هي عدد عناصرها. أما إذا لم تكن المجموعة منتهية، فيُقال إن رتبتها لانهائية .

رتبة عنصر في زمرة (وتُسمى أيضًا طول الدورة أو الدورة ) هي رتبة الزمرة الجزئية التي يُولدها هذا العنصر. إذا رُمز لعملية الزمرة بالضرب ، فإن رتبة العنصر a في الزمرة هي أصغر عدد صحيح موجب m بحيث يكون a _^m = e ^m ، حيث e _m هو العنصر المحايد في الزمرة، و a _^m هو حاصل ضرب m نسخة من a . إذا لم يوجد مثل هذا العدد m ، فإن رتبة a تكون لانهائية.

يُرمز إلى رتبة المجموعة G بالرمز ord( G ) أو | G | ، ويُرمز إلى رتبة العنصر a بالرمز ord( a ) أو | a | ، بدلاً من${\displaystyle \operatorname {ord} (\langle a\rangle )،}$حيث تشير الأقواس إلى المجموعة المُولَّدة.

تنص نظرية لاغرانج على أنه لأي زمرة جزئية H من زمرة منتهية G ، فإن رتبة الزمرة الجزئية تقسم رتبة الزمرة؛ أي أن | H | قاسم لـ | G | . وبالتحديد، فإن رتبة | a | لأي عنصر هي قاسم لـ | G | .

تحتوي المجموعة المتناظرة S3 _على جدول الضرب التالي .

•	هـ	s	ت	u	v	w
هـ	هـ	s	ت	u	v	w
s	s	هـ	v	w	ت	u
ت	ت	u	هـ	s	w	v
u	u	ت	w	v	هـ	s
v	v	w	s	هـ	u	ت
w	w	v	u	ت	s	هـ

تحتوي هذه المجموعة على ستة عناصر، لذا فإن رتبة (S³ ₎ تساوي  6. وبحسب التعريف، فإن رتبة العنصر المحايد e تساوي واحدًا، لأن e¹ = e . كل من s و t و w مربعه يساوي e ، لذا فإن رتبة هذه العناصر في المجموعة تساوي اثنين: | s | = | t | = | w | = 2. وأخيرًا، فإن ^رتبة u و v تساوي ثلاثة، لأن u³ ⁼ vu  = e ،  و v³ = ^uv = e   .

يُقدّم ترتيب المجموعة G وترتيب عناصرها معلوماتٍ قيّمة حول بنية المجموعة. وبشكلٍ عام، كلما كان تحليل | G | أكثر تعقيداً، كانت بنية G أكثر تعقيداً .

^{عندما يكون عدد} عناصر المجموعة | G | يساوي 1، تكون المجموعة تافهة . في أي مجموعة، يكون العنصر المحايد a = e هو العنصر الوحيد الذي يكون رتبة a تساوي 1. إذا كان كل عنصر غير محايد في G يساوي معكوسه (بحيث يكون a² = e )، فإن رتبة a تساوي 2؛ وهذا يعني أن G مجموعة تبديلية .${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$. والعكس ليس صحيحاً؛ على سبيل المثال، المجموعة الدورية (الجمعية) Z ₆ للأعداد الصحيحة modulo 6 هي مجموعة تبديلية، لكن العدد 2 له رتبة 3:

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

العلاقة بين مفهومي النظام هي كالتالي: إذا كتبنا

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

بالنسبة للمجموعة الفرعية الناتجة عن a ، فإن

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}$

لأي عدد صحيح k ، لدينا

a ^k = e  إذا وفقط إذا كان  ord( a ) يقسم k .

بشكل عام، رتبة أي زمرة جزئية من G تقسم رتبة G. بتعبير أدق: إذا كانت H زمرة جزئية من G ، فإن

ord( G ) / ord( H ) = [ G  : H ]، حيث يُسمى [ G  : H ] دليل العنصر H في G ، وهو عدد صحيح. هذه هي نظرية لاغرانج . (مع ذلك، لا تصح هذه النظرية إلا عندما تكون رتبة G منتهية. إذا كانت ord( G ) = ∞، فإن ناتج قسمة ord( G ) / ord( H ) لا معنى له).

كنتيجة مباشرة لما سبق، نلاحظ أن رتبة كل عنصر من عناصر المجموعة تقسم رتبة المجموعة. على سبيل المثال، في المجموعة المتناظرة الموضحة أعلاه، حيث ord(S ₃ )  = 6، فإن الرتب الممكنة للعناصر هي 1 أو 2 أو 3 أو 6.

العكس الجزئي التالي صحيح بالنسبة للمجموعات المنتهية : إذا كان d يقسم رتبة المجموعة G وكان d عددًا أوليًا ، فإنه يوجد عنصر رتبته d في G (وهذا ما يُعرف أحيانًا بنظرية كوشي ). لا تنطبق هذه العبارة على الرتب المركبة ، فمثلاً، لا تحتوي مجموعة كلاين الرباعية على عنصر رتبته أربعة. ويمكن إثبات ذلك بالاستقراء . ^{[ 1 ] ومن نتائج هذه النظرية: أن} رتبة المجموعة G هي قوة لعدد أولي p إذا وفقط إذا كانت ord( a ) قوة ما للعدد p لكل a في G. ^{[ 2} ]

إذا كان للعدد a رتبة لانهائية، فإن جميع قوى a غير الصفرية لها رتبة لانهائية أيضًا. أما إذا كان للعدد a رتبة محدودة، فلدينا الصيغة التالية لرتبة قوى a :

ord( a ^k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k ) ^{[ 3 ]}

لكل عدد صحيح k . على وجه الخصوص، فإن a ومعكوسها a ⁻¹ لهما نفس الرتبة.

في أي مجموعة،

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

لا توجد صيغة عامة تربط رتبة حاصل ضرب ab برتبتي a و b . في الواقع، من الممكن أن تكون رتبة كل من a و b منتهية بينما تكون رتبة ab غير منتهية، أو أن تكون رتبة كل من a و b غير منتهية بينما تكون رتبة ab منتهية. مثال على الحالة الأولى هو a ( x ) = 2 - x و b ( x ) = 1 - x ، حيث ab ( x ) = x - 1 في المجموعة.${\displaystyle Sym(\mathbb {Z} )}$مثال على ذلك هو a ( x ) = x + 1، b ( x ) = x - 1، حيث ab ( x ) = x . إذا كان ab = ba ، فيمكننا على الأقل القول إن ord( ab ) يقسم المضاعف المشترك الأصغر (ord( a ), ord( b )). ونتيجة لذلك، يمكن إثبات أنه في زمرة أبيلية منتهية، إذا كان m يمثل أكبر رتبة لجميع عناصر الزمرة، فإن رتبة كل عنصر تقسم m .

لنفترض أن G زمرة منتهية من الرتبة n ، وأن d قاسم للعدد n . عدد العناصر من الرتبة d في G هو مضاعف لـ φ( d ) (قد يكون صفرًا)، حيث φ هي دالة أويلر ، التي تُعطي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تتجاوز d وتكون أولية بالنسبة لها. على سبيل المثال، في حالة S³ _، φ(3)  = 2، ولدينا عنصران فقط من الرتبة 3. لا تُقدم هذه النظرية أي معلومات مفيدة حول العناصر من الرتبة 2، لأن φ(2)  = 1، وهي ذات فائدة محدودة فقط للأعداد المركبة من الرتبة d مثل d = 6، لأن φ(6) = 2، ولا يوجد أي عنصر من الرتبة 6 في _S³ .

تميل التشاكلات بين المجموعات إلى تقليل رتب العناصر: إذا كان f : G → H تشاكلاً، وكان a عنصرًا من G ذو رتبة منتهية، فإن ord( f ( a )) يقسم ord( a ). وإذا كان f أحاديًا ، فإن ord( f ( a )) = ord( a ). غالبًا ما يُستخدم هذا لإثبات عدم وجود تشاكلات، أو تشاكلات أحادية، بين مجموعتين معطيتين صراحةً. (على سبيل المثال، لا يمكن أن يوجد تشاكل غير تافه h : S³ → Z⁵ _{، لأن كل عدد في} Z⁵ _، باستثناء الصفر، _رتبته 5، وهي لا تقسم الرتب 1 و2 و3 لعناصر S³ ₎ . ومن النتائج الأخرى أن العناصر المترافقة لها نفس الرتبة.       

من النتائج المهمة المتعلقة بالترتيبات معادلة الفئة ؛ فهي تربط ترتيب المجموعة المنتهية G بترتيب مركزها Z ( G ) وأحجام فئات الترافق غير التافهة الخاصة بها :

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

حيث تمثل d_{_i} أحجام فئات الترافق غير التافهة؛ وهي قواسم حقيقية لـ | G | أكبر من واحد، وتساوي أيضًا مؤشرات المراكز في G لممثلي فئات الترافق غير التافهة. على سبيل المثال، مركز S_₃ هو ببساطة المجموعة التافهة التي تحتوي على العنصر الوحيد e ، وتكون المعادلة |S _₃ |  = 1 + 2 + 3.

• مجموعة فرعية للالتواء

• دوميت، ديفيد؛ فوت، ريتشارد. الجبر المجرد، ISBN 978-0471433347، الصفحات 20، 54-59، 90
• آرتين، مايكل. الجبر، رقم ISBN 0-13-004763-5، الصفحات 46-47