فئة التزاوج

في الرياضيات ، وخاصة نظرية الزمر ، عنصران${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تكون عناصر المجموعة مترافقة إذا كان هناك عنصر${\displaystyle g}$في المجموعة بحيث${\displaystyle b=gag^{-1}.}$هذه علاقة تكافؤ تُسمى فئات التكافؤ فيها فئات الترافق . بعبارة أخرى، كل فئة ترافق مغلقة تحت التطبيقات${\displaystyle a\mapsto هفوة^{-1},}$مع${\displaystyle g}$عنصر من عناصر المجموعة.

لا يمكن التمييز بين عناصر فئة الترافق نفسها باستخدام بنية المجموعة فقط، ولذلك فهي تشترك في العديد من الخصائص. تُعد دراسة فئات الترافق للمجموعات غير التبديلية أساسية لدراسة بنيتها. ^{[ 1 ] [ 2 ]} أما بالنسبة للمجموعة التبديلية ، فإن كل فئة ترافق هي مجموعة تحتوي على عنصر واحد ( مجموعة أحادية ).

تُسمى الدوال الثابتة لأعضاء نفس فئة الترافق دوال الفئة .

يمكن توسيع مفهوم المرافق من العناصر إلى المجموعات الجزئية: المجموعات الجزئية${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$ل${\displaystyle G}$تكون مترافقة إذا كان هناك عنصر${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle T=gSg^{-1},}$أين${\displaystyle gSg^{-1}=\left\{gsg^{-1}:s\in S\right\}.}$فئة الاقتران لـ${\displaystyle S}$هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle G}$مرافق لـ${\displaystyle S.}$تُعرَّف المجموعة الجزئية الطبيعية بأنها المجموعة التي تحتوي فئة اقترانها على عنصر واحد فقط، وهو المجموعة نفسها. وتلعب المجموعات الجزئية الطبيعية دورًا محوريًا في دراسة مجموعات القسمة وتشاكلات المجموعات .

قد ينشأ مفهوم الاقتران من محاولة صياغة فكرة أن عنصرين من عناصر المجموعة يعتبران "متماثلين" بعد إعادة تسمية العناصر.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{5}}$من الرتبة 5!، والعناصر${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$العناصر المترافقة. عنصر${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$يمكن اعتبار ذلك مجرد "إعادة تسمية" للعناصر${\displaystyle 1,2,3,4,5}$ل${\displaystyle \pi (1)،\pi (2)،\pi (3)،\pi (4)،\pi (5)}$ثم تطبيق التبديل${\displaystyle \sigma }$بخصوص هذه الملصقات الجديدة.

$إذا كانت σ = 1 ∘ 3، 2 ∘ 1، 3 ∘ 5، 4 ∘ 2، 5 ∘ 4، فإن π σ π⁻¹ = π(1) ∘ π(3)، π(2) ∘ π(1)، π(3) ∘ π(5)، π(4) ∘ π(2)، π(5) ∘ π(4).$

فعل الاقتران بواسطة${\displaystyle \pi }$لا يغير ذلك البنية الأساسية لـ${\displaystyle \sigma }$بمعنى ما، التباديل${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$لها نفس "الشكل". ^{[ 3 ]} وهذا يشمل ترتيبها، وتكافؤها، ودرجتها، ونوع دورتها ، وما إلى ذلك.

بشكل عام، خريطة${\displaystyle a\mapsto هفوة^{-1},}$أين${\displaystyle g}$هو عنصر ثابت من مجموعة${\displaystyle G}$هو شكل ذاتي لـ${\displaystyle G}$أي خريطة من${\displaystyle G}$إلى نفسه الذي يحافظ على بنية المجموعة. يُطلق على هذا التشاكل الذاتي اسم التشاكل الذاتي الداخلي .

هناك طريقة أخرى لتوضيح فعل الاقتران وهي النظر إلى المجموعة الخطية العامة.${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$من المصفوفات القابلة للعكس . مصفوفتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$المرافق إذا وُجدت مصفوفة${\displaystyle P}$بحيث${\displaystyle B=PAP^{-1}}$وهو نفس شرط تشابه المصفوفات . تكون المصفوفتان مترافقتين إذا كانتا "متطابقتين" تحت أساسين مختلفين محتملين، مع${\displaystyle P}$كونها مصفوفة تغيير الأساس.

في دراسة الدوران ثلاثي الأبعاد، يمكن تمثيل المتجهات بواسطة${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات المعقدة. يتم تحقيق دوران المتجه حينها عن طريق اقترانه بمتجه آخر.${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة معقدة عناصرها هي معلمات كايلي-كلاين ، وهي عملية يمكن التعبير عنها أيضًا من حيث الكواترنيونات الوحدوية .

تظهر الزمر الجزئية المترافقة في بعض النظريات المهمة في نظرية الزمر. ومن الأمثلة على ذلك إحدى نظريات سيلو ، التي تنص على أنه بالنسبة لعدد أولي ثابت${\displaystyle p}$، كل سيلو${\displaystyle p}$-المجموعات الفرعية لمجموعة منتهية${\displaystyle G}$هي مترافقة مع بعضها البعض.

يترك${\displaystyle G}$أن تكون مجموعة. عنصران${\displaystyle a,b\in G}$تكون مترافقة إذا وُجد عنصر${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle gag^{-1}=b,}$وفي هذه الحالة${\displaystyle b}$يُطلق عليه اسم المرافق لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle a}$يُطلق عليه اسم المرافق لـ${\displaystyle b.}$

في حالة المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$بالنسبة للمصفوفات القابلة للعكس ، تسمى علاقة الاقتران تشابه المصفوفات .

يمكن إثبات بسهولة أن الاقتران هو علاقة تكافؤ، وبالتالي فهو يقسم${\displaystyle G}$إلى فئات التكافؤ. (هذا يعني أن كل عنصر من عناصر المجموعة ينتمي إلى فئة اقتران واحدة فقط، والفئات${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$و${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$تكون متساوية إذا وفقط إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$(مترافقة، ومنفصلة خلاف ذلك.) فئة التكافؤ التي تحتوي على العنصر${\displaystyle a\in G}$يكون $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ ويُطلق عليها فئة الاقتران لـ${\displaystyle a.}$الرقم الفصل الدراسي لـ${\displaystyle G}$يمثل عدد فئات الاقتران المتميزة (غير المتكافئة).

يمكن الإشارة إلى فئات الترافق من خلال وصفها، أو باختصار باستخدام اختصارات مثل "6A"، والتي تعني "فئة ترافق معينة بعناصر من الرتبة 6"، و"6B" ستكون فئة ترافق مختلفة بعناصر من الرتبة 6؛ فئة الترافق 1A هي فئة ترافق العنصر المحايد التي لها الرتبة 1. في بعض الحالات، يمكن وصف فئات الترافق بطريقة موحدة؛ على سبيل المثال، في المجموعة المتناظرة، يمكن وصفها بنوع الدورة .

العنصر المحايد هو دائماً العنصر الوحيد في فئته، أي${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$وبشكل أعم، عنصر${\displaystyle a\in G}$يقع في المركز${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ل${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا كانت فئة الترافق الخاصة بها تحتوي على عنصر واحد فقط،${\displaystyle a}$نفسه. وهذا يتبع لأنه إذا${\displaystyle a\in \operatorname {Z} (G)}$ثم${\displaystyle gag^{-1}=a}$للجميع${\displaystyle g\in G.}$وبالتالي إذا${\displaystyle G}$هو أبيلي ،${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$للجميع${\displaystyle a\in G}$(والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت جميع فئات الترافق عبارة عن مجموعات فردية)${\displaystyle G}$(أبلية).

إذا كان هناك عنصران${\displaystyle a,b\in G}$إذا كانت الأعداد تنتمي إلى نفس فئة الترافق (أي إذا كانت مترافقة)، فإن لها نفس الترتيب . وبشكل أعم، فإن كل عبارة حول${\displaystyle a}$يمكن ترجمة ذلك إلى بيان حول${\displaystyle b=gag^{-1},}$لأن الخريطة${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1},}$كما ذُكر سابقاً، هو شكل ذاتي من${\displaystyle G}$.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت مترافقة، فإن قواها تكون كذلك.${\displaystyle a^{k}}$و${\displaystyle b^{k}.}$(الإثبات: إذا${\displaystyle a=gbg^{-1}}$ثم${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$وبالتالي، فإن رفع العنصر إلى القوة k يُعطي دالة على فئات الترافق، ويمكن للمرء أن ينظر في فئات الترافق الموجودة في صورته العكسية. على سبيل المثال، في المجموعة المتناظرة، يكون مربع عنصر من النوع (3)(2) (دورة ثلاثية ودورة ثنائية) عنصرًا من النوع (3)، وبالتالي فإن إحدى فئات رفع القوة للعنصر (3) هي الفئة (3)(2) (حيث${\displaystyle a}$هي فئة تعزيز القوة${\displaystyle a^{k}}$).

تماثل داخلي على${\displaystyle G}$مقدم من${\displaystyle a\mapsto gag^{-1}}$يكون التشاكل الذاتي متطابقاً إذا وفقط إذا${\displaystyle g\in \operatorname {Z} (G)}$وهذا يعني أن مجموعة القسمة${\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)}$متماثل مع مجموعة التشاكلات الداخلية لـ${\displaystyle G.}$

المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{3},}$تتكون من 6 تباديل لثلاثة عناصر، ولها ثلاث فئات اقتران:

1. لا تغيير:${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. نقل اثنين:${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. تبديل دوري للثلاثة جميعها:${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

تتوافق هذه الفئات الثلاث أيضًا مع تصنيف التماثلات الهندسية للمثلث متساوي الأضلاع .

على سبيل المثال، في الفئة الثالثة المذكورة أعلاه (والتي تُقابل دوران المثلث متساوي الأضلاع بزاوية 120 و240 درجة على التوالي)، سيكون أحد الخيارات الممكنة لـ g هو التبديل. ${\displaystyle abc\to acb}$من الفئة الثانية (المقابلة لقلب المثلث حول محوره المار بالزاوية a ، وهو معكوسه): قلب المثلث عموديًا، ثم تدويره بمقدار 120 درجة، ثم قلبه مرة أخرى (${\displaystyle abc\to acb\to bac\to bca}$) يعادل تدوير المثلث غير المقلوب بمقدار 270 درجة (${\displaystyle abc\to bca}$).

المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{4},}$تتكون من 24 تبديلًا لأربعة عناصر، ولها خمس فئات اقتران، مدرجة مع أعضائها باستخدام تدوين الدورة : ^{[ 4 ]}

1. لا تغيير:${\displaystyle \{(1)\}}$
2. تبديل اثنين:${\displaystyle \{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\}}$
3. تبديل دوري للثلاثة:${\displaystyle \{(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)\}}$
4. تبديل دوري للأربعة جميعها:${\displaystyle \{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\}}$
5. تبديل اثنين، وكذلك الاثنين الآخرين:${\displaystyle \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

بشكل عام، عدد فئات الاقتران في المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$يساوي عدد التقسيمات الصحيحة لـ${\displaystyle n.}$ وذلك لأن كل فئة من فئات الاقتران تتوافق مع قسم واحد فقط من${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$إلى دورات ، حتى تبديل عناصر${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$حجم${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma ),}$ل${\displaystyle \sigma \in S_{m},}$يمكن حسابها من أطوال الدورات. لنفترض${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$لتكن الأعداد الصحيحة المميزة التي تظهر كأطوال دورات في نوع الدورة من${\displaystyle \sigma }$(بما في ذلك الدورات الأحادية) ودع${\displaystyle k_{i}}$ليكن عدد الدورات ذات الطول${\displaystyle m_{i}}$لكل${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$(لهذا السبب${\textstyle \sum _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$ثم عدد العناصر في${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma )}$هو ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!\,m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\,m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!\,m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

المجموعة ثنائية السطوح${\displaystyle D_{5}}$يتكون من تناظرات خماسي الأضلاع، وله أربع فئات اقتران: ^{[ 5 ]}

1. عنصر الهوية:${\displaystyle \{1\}}$
2. فئتان من فئات الاقتران بحجم 2:${\displaystyle \{r,r^{4}\},\{r^{2},r^{3}\}}$
3. جميع التأملات:${\displaystyle \{s,rs,r^{2}s,r^{3}s,r^{4}s\}}$

لأي عنصرين${\displaystyle g,x\in G,}$يترك $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ وهذا يحدد عملاً جماعياً لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle G.}$مدارات هذا الفعل هي فئات الاقتران. ليكن${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$يشير إلى مركزية${\displaystyle a\in G,}$أي المجموعة الفرعية التي تتكون من جميع العناصر${\displaystyle b\in G}$بحيث${\displaystyle ba=ab.}$ثم مُثبِّت عنصر معين${\displaystyle x\in G}$يكون${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x).}$^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، فإن مجموعة العناصر المحددة بواسطة${\displaystyle g\in G}$تحت التصريف هو${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g).}$

وبشكل أعم، بالنظر إلى أي مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq G}$(${\displaystyle S}$(ليس بالضرورة مجموعة فرعية)، عرّف مجموعة فرعية${\displaystyle T\subseteq G}$أن يكون مترافقًا مع${\displaystyle S}$إذا كان هناك بعض${\displaystyle g\in G}$بحيث${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$يترك${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$لتكن مجموعة جميع المجموعات الجزئية${\displaystyle T\subseteq G}$بحيث${\displaystyle T}$هو مرافق لـ${\displaystyle S.}$

حدد إجراءً جماعيًا لـ${\displaystyle G}$على مجموعة جميع المجموعات الجزئية من${\displaystyle G,}$عن طريق الكتابة $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1}.}$$تُعمَّم نتيجة عدد العناصر في فئة الترافق لعنصر ما على حالة المجموعات الجزئية باستخدام حجة مماثلة لتلك المستخدمة سابقًا: يوجد تناظر واحد لواحد بين عناصر فئة الترافق لـ${\displaystyle S}$والمجموعات المشاركة لـ${\displaystyle \operatorname {N} (S),}$مُعَدِّلُ​​${\displaystyle S,}$بما أن، إذا${\displaystyle g,h\in G,}$ثم${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$بمعنى آخر، إذا وفقط إذا${\displaystyle g{\text{ and }}h}$تقع في نفس المجموعة المشاركة لـ${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$ونتيجة لذلك، فإن مؤشر${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$في${\displaystyle G}$يساوي عدد عناصر${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$: $${\displaystyle |{\operatorname {Cl} (S)}|=[G:N(S)].}$$ باستخدام${\displaystyle S=\{a\},}$تتخصص هذه الصيغة إلى الصيغة المذكورة سابقًا لعدد العناصر في فئة الترافق لأن مُعَيِّرَةَ المجموعة الفردية يساوي مركزها.

ما سبق مفيد بشكل خاص عند الحديث عن مجموعات فرعية من${\displaystyle G.}$يمكن تقسيم المجموعات الفرعية إلى فئات اقتران، حيث تنتمي مجموعتان فرعيتان إلى الفئة نفسها إذا وفقط إذا كانتا مترافقتين. المجموعات الفرعية المترافقة متماثلة ، ولكن ليس بالضرورة أن تكون المجموعات الفرعية المتماثلة مترافقة. على سبيل المثال، قد تحتوي مجموعة أبيلية على مجموعتين فرعيتين مختلفتين متماثلتين، لكنهما ليستا مترافقتين أبدًا.

يمكن اعتبار فئات الاقتران في المجموعة الأساسية للفضاء الطوبولوجي المتصل بالمسار بمثابة فئات تكافؤ للحلقات الحرة تحت التماثل الحر.

في أي مجموعة منتهية ، يكون عدد التمثيلات غير المتماثلة وغير القابلة للاختزال على الأعداد المركبة هو بالضبط عدد فئات الاقتران.

• الاقتران الطوبولوجي – مفهوم في الطوبولوجيا 
• مجموعة FC - المجموعة في الرياضيات المتعلقة بنظرية المجموعات 
• مجموعة فرعية مغلقة بالاقتران

• غريليه، بيير أنطوان (2007). الجبر المجرد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  242 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-0-387-71567-4.

• "العناصر المترافقة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]