عدد الكم المغزلي

في الكيمياء وميكانيكا الكم ، يُعرف عدد الكم المغزلي بأنه عدد كمي (يرمز له بـ s ) يصف الزخم الزاوي الذاتي (أو الزخم الزاوي المغزلي، أو ببساطة المغزل ) للإلكترون أو أي جسيم آخر . وله القيمة نفسها لجميع الجسيمات من النوع نفسه، مثل s = 1/2 لجميع الإلكترونات . وهو عدد صحيح لجميع البوزونات ، مثل الفوتونات ، ونصف عدد صحيح فردي لجميع الفرميونات ، مثل الإلكترونات والبروتونات .

يُعطى مُركّب العزم المغزلي على طول محور مُحدد بواسطة العدد الكمي المغناطيسي المغزلي ، ويُكتب عادةً m _s . ^{[ 1 ] [ 2 ]} قيمة m _s هي مُركّبة الزخم الزاوي المغزلي، بوحدات ثابت بلانك المُختزل ħ ، الموازي لاتجاه مُحدد (يُسمى عادةً المحور z ) . يُمكن أن تأخذ قيمًا تتراوح من + s إلى - s بزيادات صحيحة . بالنسبة للإلكترون، يُمكن أن تكون m _s إما + ½ أو - ½ .

يشير مصطلح العدد الكمي المغزلي إلى الزخم الزاوي المغزلي الكمي. يُستخدم الرمز s للدلالة على العدد الكمي المغزلي، ويُعرف m _s بأنه العدد الكمي المغناطيسي المغزلي ^{[ 3 ]} أو بأنه المركبة z من المغزل s _z . ^{[ 4 ]}

يتم تكميم كل من العزم المغزلي الكلي والمركبة z للعزم المغزلي، مما يؤدي إلى وجود عددين كميين: عدد العزم المغزلي وعدد العزم المغزلي المغناطيسي. ^{[ 5 ]} للعدد الكمي للعزم المغزلي (الكلي) قيمة واحدة فقط لكل جسيم أولي. تصف بعض كتب الكيمياء التمهيدية m _s بأنه العدد الكمي للعزم المغزلي ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} ولا يُذكر s لأن قيمته 1/2 خاصية ثابتة للإلكترون؛ بل إن بعضها يستخدم المتغير ^s بدلاً من m _s . ^[ 5 ^]

العددان الكميان للدوران${\displaystyle s}$و${\displaystyle m_{s}}$هي نظائر الزخم الزاوي الدوراني لأعداد الكم الزخم الزاوي المداري${\displaystyle l}$و${\displaystyle m_{l}}$[ ^{8 ] : 152​}

_{تنطبق أعداد الكم الدوراني أيضًا على أنظمة الدورانات المترابطة ،} مثل الذرات التي قد تحتوي على أكثر من إلكترون واحد. تُستخدم الرموز المكتوبة بأحرف كبيرة: S للدوران الإلكتروني الكلي، و _mS أو MS لمركبة الدوران على المحور z . زوج من الإلكترونات في حالة الدوران المفرد له S = 0، وزوج في حالة الدوران الثلاثي له S = 1، مع mS = −1 أو 0 _أو +1. تُكتب أعداد الكم الدوراني النووي عادةً I للدوران، و mI أو MI لمركبة _{الدوران على} المحور z .

خلال الفترة ما بين عامي 1916 و1925، أُحرز تقدم كبير في فهم ترتيب الإلكترونات في الجدول الدوري . ولتفسير تأثير زيمان في نموذج بور للذرة، اقترح أرنولد سومرفيلد أن الإلكترونات تُبنى على ثلاثة "أعداد كمية"، هي n و k و m ، تصف حجم المدار وشكله واتجاهه. ^{[ 9 ]} وقد أوضح إيرفينغ لانغمير في بحثه المنشور عام 1919 حول الإلكترونات في مداراتها، أن "ريدبيرغ أشار إلى أن هذه الأعداد تُستمد من المتسلسلة${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$يشير العامل اثنان إلى تناظر ثنائي أساسي لجميع الذرات المستقرة. ^{[ 10 ]} هذا${\displaystyle 2n^{2}}$تم اعتماد هذا التكوين من قبل إدموند ستونر ، في أكتوبر 1924 في ورقته البحثية "توزيع الإلكترونات بين المستويات الذرية" المنشورة في المجلة الفلسفية .

لم ينجح مخطط سومرفيلد الكمي، من الناحية النوعية، في تفسير تأثير زيمان في المجالات المغناطيسية الضعيفة، وهو ما يُعرف بتأثير زيمان الشاذ . في ديسمبر 1924، أثبت فولفغانغ باولي أن الزخم الزاوي للإلكترونات الداخلية لا يرتبط بهذا التأثير كما كان يُفترض سابقًا. ^{[ 11 ] : 563} بل اقترح أن الإلكترونات الخارجية "الخفيفة" فقط هي التي تحدد الزخم الزاوي، وافترض أن هذا يتطلب عددًا كميًا رابعًا ذا قيمتين. ^{[ 12 ]} أصبح هذا العدد الكمي الرابع يُعرف بالعدد الكمي المغناطيسي الدوراني .

تتميز الجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 برقم كمي للزخم الزاوي عند اللف المغزلي s = 1/2 . في حلول معادلة شرودنغر -باولي ، يكون الزخم الزاوي مُكمّمًا وفقًا لهذا الرقم، بحيث يكون مقدار الزخم الزاوي لللف المغزلي هو

$${\displaystyle \|{\mathbf {S}}\|=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\ \hbar ~.}$$

تُلاحظ البنية الدقيقة لطيف الهيدروجين على شكل ثنائي يتوافق مع احتمالين للمركبة z للزخم الزاوي، حيث لأي اتجاه معين z : $${\displaystyle s_{z}=\pm {\tfrac {1}{2}}\hbar ~.}$$

حلها لا يحتوي إلا على مركبتين محتملتين على المحور z للإلكترون. في الإلكترون، يُطلق على اتجاهي الدوران المختلفين أحيانًا اسم "الدوران لأعلى" أو "الدوران لأسفل".

إن خاصية الدوران للإلكترون ستؤدي إلى عزم مغناطيسي ، وهو شرط أساسي للعدد الكمي الرابع.

يُعطى متجه العزم المغناطيسي لدوران الإلكترون بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \ {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-{\frac {e}{\ 2m\ }}\ g_{\text{s}}\ {\mathbf {S}}\ }$$

أين${\displaystyle -e}$هي شحنة الإلكترون ،${\displaystyle m}$كتلة الإلكترون ، و${\displaystyle g_{\text{s}}}$يمثل عامل g للدوران الإلكتروني ، والذي يبلغ تقريبًا 2.0023. ويُعطى إسقاطه على المحور z بواسطة العدد الكمي المغناطيسي للدوران${\displaystyle m_{\text{s}}}$وفق:

$${\displaystyle \mu _{z}=-m_{\text{s}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}=\pm {\tfrac {1}{2}}\ g_{\text{s}}\ \mu _{\mathsf {B}}\ }$$

أين${\displaystyle \ \mu _{\mathsf {B}}\ }$هو مغنيتون بور .

عندما تحتوي الذرات على عدد زوجي من الإلكترونات، يكون دوران كل إلكترون في كل مدار معاكساً لدوران جيرانه المباشرين. مع ذلك، تحتوي العديد من الذرات على عدد فردي من الإلكترونات، أو على ترتيب إلكتروني يكون فيه عدد الإلكترونات ذات الدوران المغزلي للأعلى غير متساوٍ مع عدد الإلكترونات ذات الدوران المغزلي للأسفل. يُقال إن هذه الذرات أو الإلكترونات تمتلك دورانًا مغزليًا فرديًا، والذي يُرصد في رنين الدوران الإلكتروني .

تمتلك أنوية الذرات أيضًا عزمًا مغزليًا. يُعدّ العزم المغزلي النووي I خاصية ثابتة لكل نواة _، وقد يكون عددًا صحيحًا أو نصف عدد صحيح. يمكن أن يأخذ مُركّب العزم المغزلي النووي mI الموازي للمحور z القيم ( 2I + 1) من I ، I - 1، ...، -I . على سبيل المثال، نواة ^14N لها I = 1، وبالتالي توجد 3 اتجاهات ممكنة بالنسبة للمحور z ، تُقابل الحالات mI = ₊₁ ، 0، و-1. ^{[ 14 ]}

تُفسَّر اللفات المغزلية (I) للنوى المختلفة باستخدام نموذج الغلاف النووي . النوى ذات العدد الزوجي من البروتونات والنيوترونات، مثل الكربون ^-12 والأكسجين ^-16 ، يكون لفها المغزلي صفرًا. أما النوى ذات العدد الكتلي الفردي، فلها لفات مغزلية نصف صحيحة، مثل 3/2 لليثيوم ^{-7، و1/2 للكربون-13} ، و 5 / 2 للأكسجين -17 ، والتي عادةً ما تُقابل الزخم الزاوي للنيوكليون الأخير المُضاف . ^بينما النوى ذات العدد الفردي من البروتونات ^{والنيوترونات ، فلها لفات مغزلية} صحيحة ، مثل 3 للبورون -10 ^، و1 للنيتروجين -14 ^. [ ^{15 ] تُوجد} قيم اللف المغزلي النووي لنظير مُحدد في قوائم نظائر كل عنصر. (انظر نظائر الأكسجين ، نظائر الألومنيوم ، إلخ. إلخ.)

بالنسبة للذرات أو الجزيئات التي تحتوي على إلكترون منفرد، يمكن أيضًا رصد انتقالات في مجال مغناطيسي يتغير فيها عدد الكم المغزلي فقط، دون تغيير في مدار الإلكترون أو أعداد الكم الأخرى. هذه هي طريقة الرنين المغناطيسي الإلكتروني (EPR) أو رنين الدوران الإلكتروني (ESR)، المستخدمة لدراسة الجذور الحرة . ولأن التفاعل المغناطيسي للدوران فقط هو الذي يتغير، فإن تغير الطاقة يكون أصغر بكثير من تغير الطاقة في الانتقالات بين المدارات، وتُرصد الأطياف في نطاق الموجات الميكروية .

بالنسبة لحل معادلة باولي غير النسبية أو معادلة ديراك النسبية ، يمكن كتابة الزخم الزاوي الكمي (انظر العدد الكمي للزخم الزاوي ) على النحو التالي:$${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)\,}}\,\hbar }$$ أين

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$هو متجه الدوران الكمي أو السبينور
• ${\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert }$هو معيار متجه الدوران
• يمثل s العدد الكمي المغزلي المرتبط بالزخم الزاوي المغزلي
• ${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل .

بالنظر إلى اتجاه عشوائي z (يُحدد عادةً بواسطة مجال مغناطيسي خارجي)، فإن إسقاط الدوران z يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle s_{z}=m_{s}\,\hbar }$

حيث يمثل m _s العدد الكمي المغناطيسي للدوران ، ويتراوح من − s إلى + s بخطوات مقدارها واحد. ينتج عن هذا 2 s + 1 قيمة مختلفة لـ m _s .

القيم المسموح بها لـ s هي أعداد صحيحة غير سالبة أو أنصاف أعداد صحيحة . تمتلك الفرميونات قيمًا نصف صحيحة، بما في ذلك الإلكترون والبروتون والنيوترون ، والتي جميعها لها s = ½ . أما البوزونات ، مثل الفوتون وجميع الميزونات ، فلها قيم لف مغزلي صحيحة .

تُعدّ النظرية الجبرية للدوران نسخة طبق الأصل من نظرية الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم . ^{[ 16 ]} أولاً وقبل كل شيء، يُحقق الدوران علاقة التبادل الأساسية : $${\displaystyle \ [S_{i},S_{j}]=i\ \hbar \ \epsilon _{ijk}\ S_{k}\ ,}$$$${\displaystyle \ \left[S_{i},S^{2}\right]=0\ }$$ أين${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\ }$هو رمز ليفي-تشيفيتا (غير المتناظر) . وهذا يعني أنه من المستحيل معرفة إحداثيتين للدوران في الوقت نفسه بسبب قيد مبدأ عدم اليقين .

بعد ذلك، المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle \ S^{2}\ }$و${\displaystyle \ S_{z}\ }$إرضاء: $${\displaystyle \ S^{2}\ |s,m_{s}\rangle ={\hbar }^{2}\ s(s+1)\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{z}\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ m_{s}\ |s,m_{s}\rangle \ }$$$${\displaystyle \ S_{\pm }\ |s,m_{s}\rangle =\hbar \ {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)\ }}\;|s,m_{s}\pm 1\rangle \ }$$ أين${\displaystyle \ S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}\ }$هم مشغلو السلم (أو مشغلو "الرفع" و"الخفض").

في بعض الذرات، تتحد دورانات العديد من الإلكترونات غير المزدوجة ( s1 _، s2 _، ...) لتكوين عدد كمي دوراني كلي S. ^{[ 17 ] [ 18 ]} يحدث هذا بشكل خاص في الذرات الخفيفة (أو في الجزيئات المكونة من ذرات خفيفة فقط) عندما يكون اقتران الدوران المداري ضعيفًا مقارنةً بالاقتران بين الدورانات أو الاقتران بين الزخم الزاوي المداري ، وهي حالة تُعرف باسم اقتران L - S لأن L و S ثابتان للحركة . هنا، L هو العدد الكمي للزخم الزاوي المداري الكلي . ^{[ 18 ]}

بالنسبة للذرات ذات قيمة S محددة جيدًا ، تُعرَّف تعددية الحالة بأنها 2S + 1. وهذا يساوي عدد القيم المختلفة الممكنة لعزم الدوران الكلي (المداري بالإضافة إلى المغزلي) J لمجموعة معينة ( L , S )، بشرط أن يكون S ≤ L (الحالة النموذجية). على سبيل المثال، إذا كانت S = 1، فهناك ثلاث حالات تُشكِّل ثلاثية . القيم الذاتية لـ Sz لهذه الحالات الثلاث هي +1ħ، 0، و -1ħ _. [ ^{17 ] يشير} رمز الحالة الذرية إلى قيم L و S و J الخاصة بها .

على سبيل المثال، تحتوي الحالة الأرضية لكل من ذرة الأكسجين وجزيء الأكسجين على إلكترونين منفردين ، وبالتالي فهي حالات ثلاثية. تُوصف الحالة الذرية بالرمز ^3P ، والحالة الجزيئية بالرمز ^{3Σ −} _g، حيث يشير الرقم "3" إلى التعددية.

• العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي
• التحليل الطيفي الدوراني
• أساسيات ميكانيكا الكم

• وايس، مايكل (2001). "معالجة شاملة للدوران المغزلي - بما في ذلك أصوله، وتطور نظرية الدوران المغزلي، وتفاصيل معادلات الدوران المغزلي" . قسم الرياضيات . جامعة كاليفورنيا، ريفرسايد .