مجموعة جبرية أديلية

في نظرية الأعداد والهندسة الحسابية ، النقاط الأديلية لمجموعة جبرية${\displaystyle G}$على نطاق عالمي${\displaystyle K}$تشكل مجموعة طوبولوجية يُرمز لها بـ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$، أين${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$هل خاتم أديل${\displaystyle K}$بالنسبة لمجموعة جبرية خطية ،${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$يمكن وصفها بأنها المنتج المحدود للمجموعات المحلية${\displaystyle G(K_{v})}$في جميع الأماكن${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$، فيما يتعلق بالمجموعات الفرعية المفتوحة المدمجة${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$في جميع الأماكن غير الأرخميدية تقريباً.

تُوفّر المجموعات الأديلية بيئةً طبيعيةً للأشكال التلقائية والتمثيلات التلقائية. وتُعدّ نواتج قسمتها الأساسية، مثل${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$، قم بتشفير المعلومات الحسابية من جميع عمليات إكمال${\displaystyle K}$دفعة واحدة. ومن الأمثلة المهمة مجموعة إيديلي${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})}$، مجموعات خطية عامة أديلي${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})}$، والحلقات الأديلية، والنقاط الأديلية للمجموعات المختزلة . تُعرَّف مقاييس تاماغاوا وأعداد تاماغاوا باستخدام مقاييس هار على هذه المجموعات.

تاريخيًا، قدّم شيڤالي (1936) مفهوم " الإيديلات " ( بالفرنسية : idèles ) تحت اسم " élément idéal " ، أي "العنصر المثالي" بالفرنسية، ثم اختصره شيڤالي (1940) إلى "idèle" بناءً على اقتراح من هاس . (في هذه الأبحاث، منح شيڤالي أيضًا الإيديلات طوبولوجيا غير هاوسدورف ). كان الهدف من ذلك صياغة نظرية حقل الأصناف للامتدادات اللانهائية بدلالة الزمر الطوبولوجية. عرّف ويل (1938) حلقة الأديلات (دون تسميتها) في حالة حقل الدوال، وأشار إلى أن زمرة شيڤالي للعناصر المثالية هي زمرة العناصر القابلة للعكس في هذه الحلقة. عرّف تيت (1950) حلقة الأديلات على أنها جداء مباشر مقيد، مع أنه أطلق على عناصرها اسم "متجهات التقييم" بدلًا من الأديلات. 

عرّف شيڤالي (1951) حلقة الأديل في حالة حقل الدوال، تحت اسم "إعادة التقسيم"؛ ويُشير مصطلح " أديل " المعاصر إلى "الأديل الجمعية"، وقد يكون أيضًا اسمًا فرنسيًا لامرأة. وقد شاع استخدام مصطلح "أديل" بعد ذلك بفترة وجيزة ( جافارد 1953 ) ، ويُحتمل أن يكون أندريه ويل هو من أدخله . واتبع البناء العام للمجموعات الجبرية الأديلية الذي وضعه أونو (1957) نظرية المجموعات الجبرية التي أسسها أرماند بوريل وهاريش تشاندرا .

يترك${\displaystyle K}$ليكن مجالاً عالمياً ، وليكن${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ليكن خاتم أديل الخاص بها . إذا${\displaystyle G}$هي مجموعة جبرية على${\displaystyle K}$، التدوين ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$يشير إلى مجموعة النقاط الأديلية لـ${\displaystyle G}$بشكل غير رسمي، عنصر من${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$هي مجموعة متوافقة من النقاط المحلية لـ${\displaystyle G}$واحد فوق كل عملية إنجاز${\displaystyle K_{v}}$ل${\displaystyle K}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

بالنسبة لمجموعة جبرية خطية ، يمكن وصف المجموعة الأديلية بأنها ناتج مقيد$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'G(K_{v}),}$$ أين${\displaystyle v}$يمر فوق أماكن${\displaystyle K}$في جميع الأماكن غير الأرخميدية تقريباً${\displaystyle v}$، يتم أخذ المنتج المقيد بالنسبة للمجموعة الفرعية المفتوحة المدمجة${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$، أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$هي حلقة التقييم لـ${\displaystyle K_{v}}$بعد اختيار نموذج متكامل لـ${\displaystyle G}$خارج مجموعة محدودة من الأماكن. ^{[ 2 ]} وبالتالي فإن عنصرًا من${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$هو زوج مرتب $${\displaystyle (g_{v})_{v}\in \prod _{v}G(K_{v})}$$ بحيث${\displaystyle g_{v}\in G({\mathcal {O}}_{v})}$بالنسبة لجميع الأماكن غير الأرخميدية باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle v}$.

إن بنية المنتج المقيدة تجعل${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$مجموعة طوبولوجية متراصة محليًا في الحالات الجبرية الخطية المعتادة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}}$، ثم $${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'\operatorname {GL} _{n}(K_{v}),}$$ فيما يتعلق بالمجموعات الفرعية المفتوحة المدمجة${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}({\mathcal {O}}_{v})}$في جميع الأماكن غير الأرخميدية تقريباً.

النقاط المنطقية${\displaystyle G(K)}$قم بتضمينها قطريًا في${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$بالنسبة للمجموعات الجبرية الخطية، تكون هذه الصورة القطرية منفصلة في ظل الطوبولوجيا الأديلية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} الناتج هو خارج القسمة $${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$$^{[ 3 ]} هي إحدى الفضاءات الأساسية التي تُعرَّف عليها الأشكال التلقائية والتمثيلات التلقائية .

أبسط الأمثلة هي المجموعات الجمعية والضربية. بالنسبة للمجموعة الجمعية${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$، $${\displaystyle \mathbb {G} _{a}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}.}$$ بالنسبة للمجموعة الضربية${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$، $${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}^{\times },}$$مجموعة إيديلي​${\displaystyle K}$الطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$هي بنية المنتج المقيدة فيما يتعلق بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$في جميع المواضع غير الأرخميدية تقريبًا؛ أو بعبارة أخرى، هي الطوبولوجيا الناتجة عن التضمين. $${\displaystyle x\longmapsto (x,x^{-1})}$$ ل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$داخل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$وهي عمومًا أدق من طوبولوجيا الفضاء الفرعي الموروثة من${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$[ ^{1 ]​}

يترك${\displaystyle G}$ليكن زمرة جبرية خطية متصلة على حقل شامل${\displaystyle K}$ودع${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$كن خاتم أديل${\displaystyle K}$مقياس تاماغاوا هو مقياس هار معياري متعارف عليه على المجموعة الأديلية${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$، مبنية من أشكال تفاضلية جبرية على${\displaystyle G}$[ ^{1 ] [ 4 ]​}

لنفترض أولاً أن${\displaystyle G}$ناعم الأبعاد${\displaystyle d}$ودع${\displaystyle \omega }$ليكن شكلاً تفاضلياً كسرياً غير صفري ثابت من اليسار من الدرجة العليا على${\displaystyle G}$، مُعرَّف على${\displaystyle K}$هنا، تعني كلمة "عقلاني" أن${\displaystyle \omega }$هو قسم منطقي من الحزمة القانونية${\displaystyle \Omega _{G/K}^{d}}$أو ما يعادله شكل تفاضلي من الدرجة العليا مُعرَّف عند النقطة العامة لـ${\displaystyle G}$، بمعاملات في حقل الدالة${\displaystyle K(G)}$لكل مكان${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$، النموذج${\displaystyle \omega }$يُعرّف مقياس هار المحلي${\displaystyle |\omega |_{v}}$على المجموعة المدمجة محليًا${\displaystyle G(K_{v})}$مع تطبيق معايير التقارب المعتادة في جميع المواضع تقريبًا، تحدد هذه المقاييس المحلية مقياسًا على المنتج المقيد.${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$[ ^{1 ]​}

البناء مستقل عن الضرب${\displaystyle \omega }$بواسطة عنصر من${\displaystyle K^{\times }}$في الواقع، إذا${\displaystyle \omega }$يتم استبدالها بـ${\displaystyle a\omega }$، مع${\displaystyle a\in K^{\times }}$ثم المقياس المحلي عند${\displaystyle v}$يتم ضربها في${\displaystyle |a|_{v}}$صيغة الضرب للتقييمات ،$${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,}$$ يشير ذلك إلى أن المقياس الأديلي الناتج لا يتغير. وكانت هذه الملاحظة أحد الدوافع الأساسية لتعريف مقاييس تاماغاوا بشكل أديلي. ^{[ 1 ]}

عندما يكون للناتج قياس محدود، فإن عدد تاماغاوا لـ${\displaystyle G}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \tau (G)=\operatorname {vol} {\bigl (}G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K}){\bigr )},}$$ حيث يُحسب الحجم بالنسبة إلى مقياس تاماغاوا. ويستخدم بعض المؤلفين رمز القسمة المعاكس.${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})/G(K)}$يشير كلا الرمزين إلى نفس فضاء القسمة بعد اختيار اصطلاحات اليسار أو اليمين، ولكن${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$يُعدّ هذا الأمر معيارًا في نظرية الأشكال التلقائية. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

بالنسبة للعديد من الزمر الاختزالية، تُشفّر أعداد تاماغاوا معلومات حسابية. في حالة الطورات، ترتبط هذه الأعداد بزمر الأصناف وتماثل غالوا ، بينما في حالة الزمر شبه البسيطة، ترتبط بحساب الأشكال التربيعية وحجم نواتج القسمة الحسابية. ^{[ 5 ] [ 1 ]} افترض ويل أنه إذا${\displaystyle G}$إذا كانت زمرة جبرية شبه بسيطة متصلة ببساطة على حقل عددي، فإن $${\displaystyle \tau (G)=1.}$$ تم إثبات هذه الفرضية على حقول الأعداد من خلال عمل بلغ ذروته في برهان روبرت كوتويتز ، بالاعتماد على عمل سابق لروبرت لانجلاندز . ^{[ 6 ]}

• Chevalley، Claude (1936)، “Généralisation de la théorie du corps declasses pour les Extensions infinies.”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، 15 : 359–371 ، JFM 62.1153.02 
• Chevalley، Claude (1940)، “La théorie du corps de الطبقات”، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 41 (2): 394–418 ، دوى : 10.2307 / 1969013 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969013 ، MR 0002357   
• شيڤالي، كلود (1951)، مقدمة في نظرية الدوال الجبرية لمتغير واحد ، دراسات رياضية، العدد السادس، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، MR 0042164 
• جافارد، بول (1953)، Anneaux d'adèles (après Iwasawa) ، ندوة بورباكي، أمانة الرياضيات، باريس، MR 0157859 
• أونو ، تاكاشي (1957)، “Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs” ، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 85 : 307–323 ، دوى : 10.24033/bsmf.1491 ، ISSN 0037-9484 ، السيد 0094362  
• تيت، جون ت. (1950)، "تحليل فورييه في حقول الأعداد، ودوال زيتا لهيكه"، نظرية الأعداد الجبرية (وقائع المؤتمر التعليمي، برايتون، 1965) ، طومسون، واشنطن العاصمة، ص 305-347 ، ISBN  978-0-9502734-2-6، MR 0217026 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ويل، أندريه (1938)، “Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen”. ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية)، 179 : 129–133 ، doi : 10.1515/crll.1938.179.129 ، ISSN 0075-4102 ، S2CID 116472982  

• رابينتشوك، أ.س. (2001) [1994]، "عدد تاماغاوا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس