الربط (الطوبولوجيا)

• إن وصل شكلين بسيطين يُسمى شكلًا بسيطًا: وصل شكل بسيط ذي بُعد n مع شكل بسيط ذي بُعد m يُسمى شكلًا بسيطًا ذي بُعد ( m + n + 1). ومن الحالات الخاصة ما يلي:
  • وصل نقطتين منفصلتين هو فترة ( م = ن = 0).
  • إن وصلة نقطة وفترة زمنية هي مثلث (m=0، n=1).
  • إن وصلة قطعتين مستقيمتين متماثلة شكليًا مع رباعي الأوجه الصلب أو ثنائي الإسفين ، كما هو موضح في الشكل أعلاه على اليمين ( m = n = 1).
  • إن وصلة نقطة مع معقد بسيط ذي ( ن - 1) أبعاد هي معقد بسيط ذو ن أبعاد.
• إنّ وصلة نقطة بمضلع ( أو أي شكل متعدد الأوجه ) تُشكّل هرماً ، كما أنّ وصلة نقطة بمربع تُشكّل هرماً مربعاً . ووصلة نقطة بمكعب تُشكّل هرماً مكعباً .
• وصلة نقطة ودائرة هي مخروط ، ووصلة نقطة وكرة هي مخروط فائق .

• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$و${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$أي مجموعتين بنقطة واحدة. ثم${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$، وهو ما يمثل قطعة مستقيمة. لاحظ أن مجموعتي رؤوس A و B منفصلتان؛ وإلا لكان ينبغي أن نجعلهما منفصلتين. على سبيل المثال،${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$حيث يمثل a ₁ و a ₂ نسختين من العنصر الوحيد في V(A). من الناحية الطوبولوجية، تكون النتيجة مماثلة لـ${\displaystyle A\star B}$- قطعة مستقيمة.
• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$و${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$. ثم${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$، وهو ما يمثل مثلثًا.
• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$و${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$أي مجموعتين تحتويان على نقطتين منفصلتين.${\displaystyle A\star B}$هو مركب ذو أوجه${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$، وهو ما يمثل "مربعًا".

التعريف التوافقي مكافئ للتعريف الطوبولوجي بالمعنى التالي: ^{[ 3 ] : 77، التمرين 3} لكل مركبين تبسيطيين مجردين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$،${\displaystyle ||A\star B||}$متماثل الشكل مع${\displaystyle ||A||\star ||B||}$، أين${\displaystyle ||X||}$يشير إلى أي تمثيل هندسي للمركب${\displaystyle X}$.

عملية ضم فضاءين تبادلية حتى التشاكل الموضعي ، أي${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$.

ليس صحيحًا أن عملية الربط المحددة أعلاه تجميعية حتى التشاكل الموضعي للفضاءات الطوبولوجية العشوائية. ومع ذلك، بالنسبة للفضاءات الهاوسدورفية المدمجة محليًا${\displaystyle A,B,C}$لدينا${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$لذلك، يمكن تعريف عملية الربط k مرة بين فضاء ونفسه،${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$( ك مرات).

من الممكن تعريف عملية ربط مختلفة${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$والتي تستخدم نفس المجموعة الأساسية مثل${\displaystyle A\star B}$لكنها ذات طوبولوجيا مختلفة، وهذه العملية ترابطية لجميع الفضاءات الطوبولوجية. بالنسبة لفضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، الوصلات${\displaystyle A\star B}$و${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$يتزامن. ^{[ 4 ]}

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle A'}$إذا كانت متكافئة من حيث التماثل ، فإن${\displaystyle A\star B}$و${\displaystyle A'\star B}$وهي متكافئة تماثليًا أيضًا. ^{[ 3 ] : 77، التمرين 2}

بالنظر إلى مركبات CW ذات نقطة الأساس${\displaystyle (A,a_{0})}$و${\displaystyle (B,b_{0})}$، "الوصلة المخفضة"

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

متماثل الشكل مع المعلق المختزل

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

من المنتج المحطم . وبالتالي، بما أن${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$قابل للانكماش ، وهناك تكافؤ تماثلي

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

يثبت هذا التكافؤ التشاكل${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$.

بافتراض وجود فضاءين قابلين للمثلث${\displaystyle A,B}$، الاتصال المتماثل (${\displaystyle \eta _{\pi }}$) من وصلتهم هو على الأقل مجموع اتصالات أجزائها: ^{[ 3 ] : 81، الخاصية 4.4.3}

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle A=B=S^{0}}$لنفترض أن لدينا مجموعتين من النقاط المنفصلة. يوجد ثقب أحادي البعد بين النقطتين، لذا${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$. الوصل${\displaystyle A*B}$هو مربع، وهو متماثل شكليًا مع دائرة بها ثقب ثنائي الأبعاد، لذا${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$. وصل هذا المربع بنسخة ثالثة من${\displaystyle S^{0}}$هو ثماني السطوح ، وهو متماثل الشكل مع${\displaystyle S^{2}}$، والتي يكون ثقبها ثلاثي الأبعاد. بشكل عام، فإن وصل n نسخة من${\displaystyle S^{0}}$متماثل الشكل مع${\displaystyle S^{n-1}}$و${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$.

• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$(نقطة واحدة). ثم${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$أي فضاء منفصل يحتوي على نقطتين منفصلتين (تذكر أن${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$= فترة زمنية).
• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$(نقطتان). ثم${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$هو مركب ذو أوجه${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$(حافتان منفصلتان).
• يفترض${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$(حافة). ثم${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$هو مركب ذو أوجه${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$(مربع). تذكر ذلك${\displaystyle A^{\star 2}}$يمثل شكلاً رباعي الأوجه صلباً.
• لنفترض أن A يمثل مُجَسَّمًا بسيطًا ( n -1) الأبعاد (مع n رأسًا). عندئذٍ يكون الوصل${\displaystyle A^{\star 2}}$ هو مُجَسَّم بسيط ذو بُعد ( 2n- 1) (بـ 2n رأسًا ): وهو مجموعة جميع النقاط (x1 _, ..., x2n ₎ ذات الإحداثيات غير السالبة بحيث يكون _x1 + ... + x2n ₌ 1. تم حذف عملية الربط${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$يمكن اعتبارها مجموعة فرعية من هذا المعقد البسيط: إنها مجموعة جميع النقاط (x ₁ ,...,x _2n ) في ذلك المعقد البسيط، بحيث تكون الإحداثيات غير الصفرية الوحيدة هي بعض الإحداثيات k في x ₁ ,..,x _n ، والإحداثيات nk المكملة في x _n+1 ,...,x _2n .

عملية الضم المحذوفة تتبادل مع عملية الضم. أي، لكل مركبين مجردين A و B : ^{[ 3 ] : المبرهنة 5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

البرهان . كل مُعقَّد بسيط في المُركَّب الموجود على الجانب الأيسر يكون على الشكل التالي: ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$، أين${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$، و${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$منفصلة. وبسبب خصائص الاتحاد المنفصل، فإن الشرط الأخير يعادل ما يلي:${\displaystyle a_{1},a_{2}}$منفصلة و${\displaystyle b_{1},b_{2}}$منفصلة.

كل عنصر بسيط في المجموعة الموجودة على الجانب الأيمن يكون على الشكل التالي ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$، أين${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$، و ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$منفصلة و${\displaystyle b_{1},b_{2}}$منفصلة. لذا فإن مجموعات الأشكال البسيطة على كلا الجانبين متطابقة تمامًا. □

على وجه الخصوص، عملية الضم المحذوف للشكل البسيط ذي الأبعاد n${\displaystyle \Delta ^{n}}$مع نفسه هو متعدد السطوح المتقاطع ذو الأبعاد n ، وهو متماثل شكليًا مع الكرة ذات الأبعاد n${\displaystyle S^{n}}$[ ^{3 ] : كور .5.5.3}

يُعرَّف الربط المحذوف من الرتبة n-wise k-wise للمركب التبسيطي A على النحو التالي:

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$، حيث تعني عبارة "منفصلة على مستوى k" أن كل مجموعة فرعية من k لها تقاطع فارغ.

على وجه الخصوص، تحتوي عملية الضم المحذوف من الرتبة n -fold n -wise على جميع الاتحادات المنفصلة لـ n وجهًا التي يكون تقاطعها فارغًا، بينما تكون عملية الضم المحذوف من الرتبة n- fold 2-wise أصغر حجمًا: فهي تحتوي فقط على الاتحادات المنفصلة لـ n وجهًا التي تكون منفصلة مثنى مثنى. أما عملية الضم المحذوف من الرتبة 2-fold 2-wise فهي ببساطة عملية الضم المحذوف البسيطة الموضحة أعلاه.

يُطلق على عملية الضم المحذوف ثنائي الاتجاه من الرتبة n لفضاء منفصل يحتوي على m نقطة اسم مركب رقعة الشطرنج ( m , n ) .