ثنائي الوتد

يمكن وضع السطحين الإسفينيين الرباعي والثنائي داخل متوازي مستطيلات ينصف كل منهما وجهين متقابلين. لكل منهما أربعة أضلاع متساوية تحيط بالجوانب. يحتوي السطح الإسفيني الثنائي على زوجين من أوجه المثلثات المتساوية الساقين المتطابقة، بينما يحتوي السطح الإسفيني الرباعي على أربعة أوجه مثلثية متساوية الساقين متطابقة.

يتميز الشكل المعيني ثنائي الإسفين بوجوه مثلثية مختلفة الأضلاع متطابقة ، ويمكن وضعه قطريًا داخل متوازي مستطيلات . وله ثلاث مجموعات من أطوال الحواف، موجودة على شكل أزواج متقابلة.

في الهندسة ، يُعرف الشكل الإسفيني المزدوج ( من اليونانية sphenoeides بمعنى " شبيه بالوتد " ) بأنه شكل رباعي الأوجه تتكون أوجهه الأربعة من مثلثات حادة الزوايا متطابقة . ^{[ 1 ]} ويمكن وصفه أيضًا بأنه شكل رباعي الأوجه تتساوى فيه أطوال كل ضلعين متقابلين. ومن الأسماء الأخرى لهذا الشكل: الشكل الرباعي الأوجه متساوي الأوجه ، ^{[ 2 ]} الإسفيني ، ^{[ 3 ]} ثنائي الإسفيني ، ^{[ 3 ]} رباعي الأوجه متساوي الساقين ، ^{[ 4 ]} رباعي الأوجه متساوي الأوجه ، ^{[ 5 ]} رباعي الأوجه شبه منتظم ، ^{[ 6 ]} ورباعي الأوجه أحادي الوجه . ^{[ 7 ]} 

جميع الزوايا المجسمة وأشكال الرؤوس في المجسم ثنائي السطوح متساوية، ومجموع زوايا كل رأس يساوي زاويتين قائمتين . مع ذلك، فإن المجسم ثنائي السطوح ليس متعدد السطوح منتظمًا ، لأن وجوهه، بشكل عام، ليست مضلعات منتظمة ، وحوافه لها ثلاثة أطوال مختلفة.

إذا كانت أوجه الشكل الإسفيني المزدوج مثلثات متساوية الأضلاع ، فإنه يكون شكلاً رباعي الأوجه منتظماً${\displaystyle T_{d}}$يتمتع هذا النوع من الأسطح بتناظر رباعي الأوجه ، على الرغم من أنه لا يُطلق عليه عادةً اسم "ديسفينويد". عندما تكون أوجه الديسفينويد مثلثات متساوية الساقين ، يُطلق عليه اسم " ديسفينويد رباعي الأضلاع ". في هذه الحالة، يكون له${\displaystyle D_{2d}}$التناظر ثنائي السطوح . يُطلق على الجسم الإسفيني ذي المثلثات المختلفة الأضلاع اسم الجسم الإسفيني المعيني، وله${\displaystyle D_{2}}$التناظر ثنائي السطوح. على عكس ثنائي الوتدي الرباعي، لا يمتلك ثنائي الوتدي المعيني تناظرًا انعكاسيًا ، لذا فهو كيرالي . ^{[ 8 ]} كل من ثنائي الوتدي الرباعي وثنائي الوتدي المعيني متساوي السطوح : بالإضافة إلى تطابقهما، فإن جميع أوجههما متناظرة بالنسبة لبعضها البعض.

لا يمكن إنشاء سطح ثنائي الإسفين بوجوه مثلثات قائمة الزاوية أو منفرجة الزاوية . ^{[ 4 ]} عند لصق المثلثات القائمة الزاوية معًا على شكل سطح ثنائي الإسفين، فإنها تُشكّل شكلًا مسطحًا (مستطيلًا مزدوج التغطية) لا يُحيط بأي حجم. ^{[ 8 ]} عند لصق المثلثات منفرجة الزاوية بهذه الطريقة، يمكن طي السطح الناتج لتشكيل سطح ثنائي الإسفين (بحسب نظرية ألكسندروف للتفرد )، ولكنه ذو وجوه مثلثات حادة الزوايا وحواف لا تقع عمومًا على طول حواف المثلثات منفرجة الزاوية المعطاة.

هناك نوعان آخران من رباعي الأوجه يُعمّمان شكل ثنائي الوتدي، ويحملان أسماءً مشابهة. يتميز ثنائي الوتدي ثنائي الزوايا بوجوه ذات شكلين مختلفين، كلاهما مثلثان متساويا الساقين، ولكل وجه شكلان مختلفان. وبالمثل، يتميز ثنائي الوتدي ذو الشكل الورقي بوجوه ذات شكلين مختلفين من المثلثات المختلفة الأضلاع.

يمكن أيضًا اعتبار العظام الوتدية بمثابة موشورات مضادة ثنائية الزوايا أو موشورات رباعية متبادلة .

يكون رباعي الأوجه ثنائي الإسفين إذا وفقط إذا كان متوازي المستطيلات المحيط به قائم الزاوية. ^{[ 9 ]}

كما أن لدينا أن رباعي الأوجه يكون ثنائي الإسفين إذا وفقط إذا تطابق المركز في الكرة المحيطة والكرة المحيطة به . ^{[ 10 ]}

وتنص إحدى التوصيفات الأخرى على أنه إذا${\displaystyle d_{1}}$،${\displaystyle d_{2}}$و${\displaystyle d_{3}}$هي الأعمدة المشتركة لـ${\displaystyle AB}$و${\displaystyle CD}$؛${\displaystyle AC}$و${\displaystyle BD}$؛ و${\displaystyle AD}$و${\displaystyle BC}$على التوالي في رباعي الأوجه${\displaystyle ABCD}$إذاً، يكون رباعي الأوجه ثنائي الوتدي إذا وفقط إذا${\displaystyle d_{1}}$،${\displaystyle d_{2}}$و${\displaystyle d_{3}}$متعامدتان بشكل متبادل . ^{[ 9 ]}

تُعدّ الأشكال ثنائية السطوح المجسمة الوحيدة التي تحتوي على عدد لا نهائي من الخطوط الجيوديسية المغلقة غير المتقاطعة ذاتيًا . على سطح ثنائي السطوح المجسم، تكون جميع الخطوط الجيوديسية المغلقة غير متقاطعة ذاتيًا. ^{[ 11 ]}

الأشكال ثنائية الإسفين هي رباعيات الأوجه التي تتساوى فيها جميع الأوجه الأربعة في المحيط ، ^{[ 10 ]} ورباعيات الأوجه التي تتساوى فيها جميع الأوجه الأربعة في المساحة، ^{[ 10 ] [ 12 ]} ورباعيات الأوجه التي تتساوى فيها العيوب الزاوية لجميع الرؤوس الأربعة${\displaystyle \pi }$وهي عبارة عن مجسمات متعددة الأوجه ذات شبكة على شكل مثلث حاد الزوايا، مقسمة إلى أربعة مثلثات متشابهة بواسطة قطع مستقيمة تصل بين منتصفات الحواف. ^{[ 6 ]}

حجم العظم الوتدي ذي الحواف المتقابلة التي طولها${\displaystyle l}$،${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 13 ]}

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {(l^{2}+m^{2}-n^{2})(l^{2}-m^{2}+n^{2})(-l^{2}+m^{2}+n^{2})}{72}}}.}$

نصف قطر الكرة المحيطة هو ^{[ 13 ]} (نصف قطر الدائرة المحيطة)

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {l^{2}+m^{2}+n^{2}}{8}}},}$

والكرة المحيطة بها نصف قطرها ^{[ 13 ]}

${\displaystyle r={\frac {3V}{4T}},}$

أين${\displaystyle V}$حجم العظم الوتدي و${\displaystyle T}$هي مساحة أي وجه، والتي تُعطى بصيغة هيرون . وهناك أيضًا العلاقة المثيرة للاهتمام التالية التي تربط الحجم ونصف القطر المحيط: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle 16T^{2}R^{2}=l^{2}m^{2}n^{2}+9V^{2}.}$

مربعات أطوال ثنائيات الوسيط هي ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(l^{2}+m^{2}-n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(l^{2}-m^{2}+n^{2}),\quad {\tfrac {1}{2}}(-l^{2}+m^{2}+n^{2}).}$

إذا كانت الأوجه الأربعة للهرم الرباعي لها نفس المحيط، فإن الهرم الرباعي يكون شكلاً ثنائي الوتد. ^{[ 10 ]}

إذا كانت الأوجه الأربعة للهرم الرباعي متساوية في المساحة، فإنه يكون شكلاً ثنائي الإسفين. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

تتطابق المراكز في الكرات المحيطة والمحاطة مع مركز ثقل الشكل الإسفيني المزدوج. ^{[ 13 ]}

تكون الخطوط الثنائية متعامدة على الحواف التي تربطها وعلى بعضها البعض. ^{[ 13 ]}

بعض العظام الوتدية الرباعية تشكل أشكالاً تشبه خلايا النحل . العظم الوتدي الذي رؤوسه الأربعة هي${\displaystyle (-1,0,0)}$،${\displaystyle (1,0,0)}$،${\displaystyle (0,1,1)}$، و${\displaystyle (0,1,-1)}$وهو من هذا النوع من الأشكال ثنائية الوتدية. ^{[ 14 ] [ 15 ]} كل وجه من أوجهه الأربعة عبارة عن مثلث متساوي الساقين بأضلاع طولها${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،${\displaystyle {\sqrt {3}}}$، و${\displaystyle 2}$يمكنه تقسيم الفراغ لتشكيل خلية نحل رباعية الأوجه ثنائية الوتدية . وكما يصف جيب (1990) ، يمكن طيه دون قص أو تداخل من ورقة واحدة من مقاس A4 . ^{[ 16 ]}

يُستخدم مصطلح "ثنائي الوتد" أيضاً لوصف شكلين من أشكال البلورات :

• شكل بلوري إسفيني من النظام الرباعي أو المعيني القائم . له أربعة أوجه مثلثة متماثلة، تتطابق مواقعها مع الأوجه المتبادلة للهرم الثنائي الرباعي أو المعيني القائم . وهو متناظر حول كل محور من محاور التناظر الثنائية الثلاثة المتعامدة في جميع الفئات باستثناء الرباعي الإسفيني، حيث يتولد الشكل من محور تناظر رباعي معكوس.
• شكل بلوري محاط بثمانية مثلثات مختلفة الأضلاع مرتبة في أزواج، تشكل شكلاً رباعي الأضلاع مختلف الأضلاع .

ستة أشكال رباعية الأضلاع متصلة طرفًا بطرف في حلقة تُشكل كاليدوسايكل ، وهي لعبة ورقية تدور على 4 مجموعات من الأوجه في شكل سداسي. دوران الأشكال الستة ذات الأضلاع المتقابلة بطول${\displaystyle l}$،${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$( دون الإخلال بعمومية النتائج)${\displaystyle n\leq l}$،${\displaystyle n\leq m}$) يكون قابلاً للتحقيق فيزيائياً إذا وفقط إذا ^{[ 17 ]}

${\displaystyle -8(l^{2}-m^{2})^{2}(l^{2}+m^{2})-5n^{6}+11(l^{2}-m^{2})^{2}n^{2}+2(l^{2}+m^{2})n^{4}\geq 0.}$

• رباعيات الأوجه غير منتظمة
• رباعي الأوجه متعامد المركز
• السطح الإسفيني المقطوع - مجسم جونسون ذو 12 وجهًا مثلثًا متساوي الأضلاع و${\displaystyle D_{2d}}$التناظر.
• رباعي الأوجه ثلاثي الأضلاع

• التحليل الرياضي للعظم الوتدي المزدوج بقلم إتش سي راجبوت من موقع Academia.edu
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "ديسفينويد" ، ماث وورلد
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "هرم رباعي الأوجه متساوي الساقين" ، عالم الرياضيات