مُركب تبسيطي مجرد

في علم التوافيق ، يُعرف المركب التبسيطي المجرد (ASC)، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم المركب المجرد أو ببساطة المركب ، بأنه عائلة من المجموعات المغلقة تحت عملية أخذ المجموعات الجزئية ، أي أن كل مجموعة جزئية من مجموعة في هذه العائلة تنتمي أيضًا إلى هذه العائلة. وهو وصف توافيقي بحت للمفهوم الهندسي للمركب التبسيطي . ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، في مركب تبسيطي ثنائي الأبعاد، تكون المجموعات في هذه العائلة هي المثلثات (مجموعات من 3 عناصر)، وحوافها (مجموعات من عنصرين)، ورؤوسها (مجموعات من عنصر واحد).

في سياق الماترويدات والجريدويدات ، تسمى المجمعات التبسيطية المجردة أيضًا أنظمة الاستقلال . ^{[ 2 ]}

يمكن دراسة المبسط المجرد جبريًا عن طريق تشكيل حلقة ستانلي-ريزنر الخاصة به ؛ وهذا يؤدي إلى علاقة قوية بين التوافقية والجبر التبادلي .

التعريفات

تُسمى مجموعة $Δ$ من المجموعات الجزئية المنتهية غير الفارغة لمجموعة S عائلة المجموعات.

تُسمى عائلة المجموعات $Δ$ مجمعًا تبسيطيًا مجردًا إذا كان، لكل مجموعة $X$ في $Δ$ ، ولكل مجموعة فرعية غير فارغة $Y \subseteq X$ ، تنتمي المجموعة $Y$ أيضًا إلى $Δ$ .

تُسمى المجموعات المنتهية التي تنتمي إلى $Δ$ وجوه المركب، ويُقال إن الوجه $Y$ ينتمي إلى وجه آخر $X$ إذا كان $Y \subseteq X$ ، لذا يمكن إعادة صياغة تعريف المركب التبسيطي المجرد على النحو التالي: كل وجه من وجوه المركب $Δ$ هو نفسه وجه من وجوه $Δ$ . تُعرَّف مجموعة رؤوس Δ على أنها V ( $Δ$ $) = \cupΔ$ ، أي اتحاد جميع وجوه $Δ$ . تُسمى عناصر مجموعة الرؤوس رؤوس المركب. لكل رأس v من رؤوس $Δ$ ، تُعتبر المجموعة { v } وجهًا من وجوه المركب، وكل وجه من وجوه المركب هو مجموعة جزئية منتهية من مجموعة الرؤوس.

تُسمى الوجوه القصوى للمثلث $Δ (أي الوجوه التي لا تُشكل مجموعات جزئية من أي وجوه أخرى)$ وجوه المركب. يُعرَّف بُعد الوجه $X$ في $Δ على أنه$ $dim(X) = | X | - 1$ : الوجوه المكونة من عنصر واحد تكون ذات بُعد صفري، والوجوه المكونة من عنصرين تكون ذات بُعد واحد، وهكذا. يُعرَّف بُعد المركب $dim(Δ)$ بأنه أكبر بُعد لأي من وجوهه، أو اللانهاية إذا لم يكن هناك حد نهائي لأبعاد الوجوه.

يُقال عن المجسم المركب $Δ أنه$ منتهٍ إذا كان له عدد منتهٍ من الأوجه، أو بعبارة أخرى، إذا كانت مجموعة رؤوسه منتهية. كما يُقال عن $Δ$ أنه نقي إذا كان ذا بُعد منتهٍ (ولكن ليس بالضرورة منتهيًا) وكان لكل وجه من أوجهه البُعد نفسه. بعبارة أخرى، يكون $Δ$ نقيًا إذا كان $بُعده (dim(Δ))$ منتهيًا وكان كل وجه من أوجهه محصورًا في وجه من أوجهه بُعده $(dim(Δ))$ .

تُكافئ المُركبات التبسيطية المجردة أحادية البُعد رياضيًا الرسوم البيانية البسيطة غير الموجهة : إذ يُمكن اعتبار مجموعة رؤوس المُركب بمثابة مجموعة رؤوس الرسم البياني، وتُقابل أوجه المُركب ثنائية العناصر حوافًا غير موجهة في الرسم البياني. وبناءً على هذا المنظور، تُقابل أوجه المُركب أحادية العنصر رؤوسًا معزولة لا تتصل بها أي حواف.

المعقد الفرعي من $Δ$ هو معقد تبسيطي مجرد L بحيث ينتمي كل وجه من L إلى $Δ$ ؛ أي أن $L \subseteq Δ$ و L معقد تبسيطي مجرد. يُطلق على المعقد الفرعي الذي يتكون من جميع المجموعات الجزئية لوجه واحد من $Δ$ اسم " معقد بسيط من $Δ"$ . (مع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "معقد بسيط" للوجه، أو بشكل مبهم، للوجه والمعقد الفرعي المرتبط به، قياسًا على مصطلحات المعقدات التبسيطية غير المجردة (الهندسية) . لتجنب الالتباس، لا نستخدم في هذه المقالة مصطلح "معقد بسيط" للوجه في سياق المعقدات المجردة).

الهيكل ذو البعد d للمثلث $Δ$ هو مجموعة فرعية من $Δ$ تتكون من جميع أوجه $Δ$ التي لا يتجاوز بُعدها d . ويُطلق على الهيكل ذو البعد 1 تحديدًا اسم الرسم البياني الأساسي لـ $Δ$ . ويمكن تعريف الهيكل ذو البعد 0 للمثلث $Δ$ بمجموعة رؤوسه، على الرغم من أنهما ليسا متطابقين تمامًا من الناحية الشكلية (فمجموعة الرؤوس هي مجموعة واحدة تضم جميع الرؤوس، بينما الهيكل ذو البعد 0 هو مجموعة من المجموعات ذات العنصر الواحد).

الرابط الخاص بالوجه $Y$ في $Δ$ ، والذي يُشار إليه غالبًا بـ $Δ/ Y$ أو $lk Δ (Y)$ ، هو المركب الفرعي من $Δ$ المحدد بواسطة

\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.

لاحظ أن رابط المجموعة الفارغة هو $Δ$ نفسه.

الخرائط المبسطة

بفرض وجود مُركّبين تبسيطيين مجردين، $Δ$ و $Γ$ ، فإنّ الخريطة التبسيطية هي دالة $f$ تُسقط رؤوس $Δ$ على رؤوس $Γ،$ وتتميز بخاصية أنه لأي وجه $X$ من $Δ$ ، فإنّ الصورة $f$ $($ $X$ $)$ هي وجه من $Γ$ . توجد فئة SCpx تحتوي على المُركّبات التبسيطية المجردة ككائنات، والخرائط التبسيطية كتشاكلات . وهذا يُكافئ فئة مناسبة مُعرّفة باستخدام المُركّبات التبسيطية غير المجردة .

علاوة على ذلك، يسمح لنا المنظور التصنيفي بتعزيز العلاقة بين المجموعة الأساسية S لمركب تبسيطي مجرد $Δ$ ومجموعة الرؤوس $V (Δ) \subseteq S$ لـ $Δ$ : لأغراض تعريف فئة المركبات التبسيطية المجردة، فإن عناصر S التي لا تقع في $V (Δ)$ غير ذات صلة. بتعبير أدق، SCpx مكافئ للفئة حيث:

الكائن هو مجموعة S مزودة بمجموعة من المجموعات الفرعية المنتهية غير الفارغة $Δ$ التي تحتوي على جميع العناصر الفردية بحيث إذا كان $X$ في $Δ$ و $Y \subseteq X$ غير فارغ، فإن $Y$ ينتمي أيضًا إلى $Δ$ .
التشكل من $(S ، Δ)$ إلى $(T ، Γ)$ هو دالة $f : S \to T$ بحيث تكون صورة أي عنصر من $Δ$ عنصرًا من $Γ$ .

تحقيق هندسي

يمكننا أن نربط بأي مركب تبسيطي مجرد (ASC) K فضاءً طوبولوجيًا $|K|$ ، وتسمى تحقيقها الهندسي . هناك عدة طرق لتعريفها $|K|$ .

التعريف الهندسي

يُحدد كل مُركب هندسي تبسيطي (GSC) مُركبًا هندسيًا تبسيطيًا مُبسطًا (ASC): ^{[ 3 ]}^{: 14} رؤوس المُركب الهندسي التبسيطي المُبسط هي رؤوس المُركب الهندسي التبسيطي، ووجوه المُركب الهندسي التبسيطي المُبسط هي مجموعات رؤوس وجوه المُركب الهندسي التبسيطي. على سبيل المثال، لنفترض مُركبًا هندسيًا تبسيطيًا بأربعة رؤوس {1، 2، 3، 4}، حيث الوجوه القصوى هي المثلث بين {1، 2، 3} والخطوط بين {2، 4} و{3، 4}. عندئذٍ، يحتوي المُركب الهندسي التبسيطي المُقابل على المجموعات {1، 2، 3}، {2، 4}، {3، 4}، وجميع مجموعاتها الجزئية. نقول إن المُركب الهندسي التبسيطي هو التمثيل الهندسي للمُركب الهندسي التبسيطي.

لكلّ مُعامل تناظري مُتناظر (ASC) تمثيل هندسي. وهذا واضحٌ بسهولة بالنسبة لمُعامل تناظري مُتناظر محدود. ^{[ 3 ]}^{: 14} ليكن $N:=|V(K)|$ حدد الرؤوس في $V(K)$ مع رؤوس مُجَسَّم بسيط ذي ( N - 1) بُعد في $\mathbb {R} ^{N}$ قم بإنشاء GSC { conv (F): F هو وجه في K }. من الواضح أن ASC المرتبط بـ GSC هذا مطابق لـ K ، لذلك فقد أنشأنا بالفعل تمثيلًا هندسيًا لـ K. في الواقع، يمكن تمثيل ASC باستخدام أبعاد أقل بكثير. إذا كان ASC ذو بُعد d (أي أن الحد الأقصى لعدد عناصر أي مُجَسَّم بسيط فيه هو d + 1)، فإنه يمتلك تمثيلًا هندسيًا في $\mathbb {R} ^{2d+1}$ ، ولكن قد لا يكون لها تمثيل هندسي في $\mathbb {R} ^{2d}$ ^{[ 3 ]}^{: 16} الحالة الخاصةd= 1 تتوافق مع الحقيقة المعروفة، وهي أنهيمكن رسمرسم بياني $\mathbb {R} ^{3}$ حيث تكون الحواف عبارة عن خطوط مستقيمة لا تتقاطع مع بعضها البعض إلا في الرؤوس المشتركة، ولكن لا يمكن رسم أي رسم بياني في $\mathbb {R} ^{2}$ بهذه الطريقة.

إذا كان K هو المعقد التوافقي القياسي من الرتبة n ، فإن $|K|$ يمكن تحديدها بشكل طبيعي مع $Δ n$ .

كل تمثيلين هندسيين لنفس ASC، حتى في الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المختلفة، متماثلان طوبولوجيًا . ^{[ 3 ]}^{: 14} لذلك، بالنظر إلى ASC K، يمكن للمرء أن يتحدث عن التمثيل الهندسي لـ K.

التعريف الطوبولوجي

تتم عملية البناء على النحو التالي. أولاً، حدد $|K|$ كجزء من $[0,1]^{S}$ تتكون من وظائف $t\colon S\to [0,1]$ تحقيق الشرطين التاليين:

\{s\in S:t_{s}>0\}\in K

\sum _{s\in S}t_{s}=1

والآن فكر في مجموعة عناصر $[0,1]^{S}$ مع دعم محدود كحد مباشر لـ $[0,1]^{A}$ حيث تتراوح A على مجموعات جزئية منتهية من S ، وأعطِ تلك النهاية المباشرة للطوبولوجيا المستحثة . الآن أعطِ $|K|$ طوبولوجيا الفضاء الجزئي .

التعريف الفئوي

أو دع ${\mathcal {K}}$ لنرمز إلى الفئة التي تكون عناصرها وجوه $K$ ، وتكون تشاكلاتها تضمينات. بعد ذلك، نختار ترتيبًا كليًا على مجموعة رؤوس $K،$ ونُعرّف دالة F من ${\mathcal {K}}$ إلى فئة الفضاءات الطوبولوجية كما يلي: لأي وجه X في K ذي بُعد n ، ليكن $F (X) = Δn هو$ المُعقَّد القياسي ذو البُعد $n$ . يُحدِّد الترتيب على مجموعة الرؤوس تقابلًا وحيدًا بين عناصر $X$ ورؤوس $Δn ،$ مُرتبة بالطريقة المعتادة $e₀ < e₁ < ... < eₙ .$ إذا كان $Y \subseteq X$ وجهًا ذا بُعد $m < n$ ، فإن هذا التقابل يُحدِّد وجهًا وحيدًا ذا بُعد m في $Δn .$ نُعرِّف $F (Y) \to F (X) على أنه$ التضمين الخطي الأفيني الوحيد لـ $Δm$ باعتباره ذلك الوجه المُميَّز في $Δn$ $،$ $بحيث$ يكون التطبيق على الرؤوس مُحافظًا على الترتيب.

يمكننا بعد ذلك تحديد التمثيل الهندسي $|K|$ باعتبارها النهاية المشتركة للدالة F. وبشكل أكثر تحديدًا $|K|$ هو فضاء القسمة للاتحاد المنفصل

\coprod _{X\in K}{F(X)}

بواسطة علاقة التكافؤ التي تحدد النقطة $y \in F (Y)$ مع صورتها تحت الخريطة $F (Y) \to F (X)$ ، لكل تضمين $Y \subseteq X$ .

أمثلة

1. ليكن V مجموعة منتهية عدد عناصرها $n + 1.$ يُطلق على المُركّب التوافقي n- البسيط ذي مجموعة الرؤوس V اسم مُركّب توافقي مُبسط (ASC) تكون جميع وجوهه مجموعات جزئية غير فارغة من V (أي أنها مجموعة القوى لـ V ). إذا كانت $V = S = {0, 1, ..., n}،$ يُسمى هذا المُركّب التوافقي المُبسط (ASC) بالمُركّب التوافقي n- البسيط القياسي .

2. ليكن G رسمًا بيانيًا غير موجه. مُركّب الزمر في G هو مُركّب ASC تكون جميع وجوهه زمرًا (رسومًا بيانية فرعية كاملة) في G. مُركّب الاستقلال في G هو مُركّب ASC تكون جميع وجوهه مجموعات مستقلة في G (وهو مُركّب الزمر في الرسم البياني المُكمّل لـ G). تُعدّ مُركّبات الزمر مثالًا نموذجيًا لمُركّبات الأعلام . مُركّب العلم هو مُركّب K يتميّز بأن كل مجموعة، جميع مجموعاتها الفرعية المكونة من عنصرين هي وجوه لـ K ، هي نفسها وجه لـ K.

3. ليكن H مخططًا فائقًا . التطابق في H هو مجموعة من حواف H ، حيث كل حافتين منفصلتان . مُركّب التطابق في H هو مُركّب استقلال جميع وجوهه عبارة عن تطابقات في H. وهو مُركّب الاستقلال لمخطط الخطوط في H.

4. ليكن P مجموعة مرتبة جزئياً (poset). إن مُركّب الترتيب لـ P هو مُركّب ترتيبي متسلسل ( ASC) تكون جميع وجوهه سلاسل منتهية في P. تحتوي مجموعات التماثل الخاصة به وثوابته الطوبولوجية الأخرى على معلومات مهمة حول المجموعة المرتبة جزئياً P.

5. ليكن M فضاءً متريًا و δ عددًا حقيقيًا. مُركَّب فيتوريس-ريبس هو مُركَّب مُتَّسق (ASC) وجوهه هي مجموعات جزئية منتهية من M بقطر لا يتجاوز δ . وله تطبيقات في نظرية التماثل ، والمجموعات الزائدية ، ومعالجة الصور ، وشبكات الجوال المخصصة . وهو مثال آخر على مُركَّب الأعلام.

6. ليكن $I$ ليكن مثالي أحادي الحد خالي من المربعات في حلقة متعددة الحدود $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ (أي، مثال مثالي مُوَلَّد من نواتج مجموعات جزئية من المتغيرات). ثم متجهات الأسس لتلك الحدود الأحادية الخالية من المربعات لـ $S$ التي ليست في $I$ تحديد مُركّب تبسيطي مُجرّد عبر الخريطة $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$ في الواقع، يوجد تقابل بين المجمعات التبسيطية المجردة (غير الفارغة) ذات $n$ رأسًا والمثاليات الأحادية الخالية من المربعات في $S.$ إذا $I_{\Delta }$ هو المثالي الخالي من المربعات الذي يتوافق مع المركب التبسيطي $\Delta$ ثم ناتج القسمة $S/I_{\Delta }$ تُعرف باسم حلقة ستانلي-رايزنر ${\Delta }$ .

7. بالنسبة لأي غطاء مفتوح C لفضاء طوبولوجي، فإن مجموعة الأعصاب لـ C هي مجموعة تبسيطية مجردة تحتوي على العائلات الفرعية لـ C مع تقاطع غير فارغ .

تعداد

عدد المركبات التبسيطية المجردة على ما يصل إلى n عنصرًا مُصنَّفًا (أي على مجموعة S بحجم n ) أقل بواحد من عدد ديديكيند النوني . تنمو هذه الأعداد بسرعة كبيرة، ولا تُعرف إلا لـ $n$ $\leq 9$ ؛ أعداد ديديكيند هي (بدءًا من n = 0):

1، 2، 5، 19، 167، 7580، 7828353، 2414682040997، 56130437228687557907787، 286386577668298411128469151667598498812365 (التسلسل A014466 في OEIS ) . هذا يُطابق عدد السلاسل المضادة غير الفارغة للمجموعات الفرعية لمجموعة

n

.

يُعطى عدد المركبات التبسيطية المجردة التي تتكون رؤوسها من n عنصرًا مُصنفًا بالضبط بالتسلسل "1، 2، 9، 114، 6894، 7785062، 2414627396434، 56130437209370320359966، 286386577668298410623295216696338374471993" (التسلسل A006126 في OEIS ) ، بدءًا من n = 1. وهذا يُطابق عدد أغطية السلاسل المضادة لمجموعة n مُصنفة ؛ وهناك تقابل واضح بين أغطية السلاسل المضادة لمجموعة n والمركبات التبسيطية على n عنصرًا الموصوفة من حيث وجوهها القصوى.

يتم إعطاء عدد المجمعات التبسيطية المجردة على n عنصر غير مصنف بالضبط بواسطة التسلسل "1، 2، 5، 20، 180، 16143، 489996795، 1392195548399980210" (التسلسل A006602 في OEIS ) ، بدءًا من n = 1.

المشاكل الحسابية

تتمثل مشكلة التعرف على المركب التبسيطي فيما يلي: بالنظر إلى مركب تبسيطي محدود، حدد ما إذا كان تمثيله الهندسي متماثلًا مع شكل هندسي معين. هذه المشكلة غير قابلة للحل لأي مشعبات ذات بُعد d حيث d ≥ 5. ^{[ 4 ]}

العلاقة بالمفاهيم الأخرى

ينتج عن مُركّب تبسيطي مُجرّد ذو خاصية إضافية تُسمى خاصية التوسيع أو خاصية التبادل ، ماترويد . يُبيّن التعبير التالي العلاقات بين الحدود:

الرسوم البيانية الفائقة = عائلات المجموعات ⊃ أنظمة الاستقلال = المجمعات التبسيطية المجردة ⊃ المصفوفات.

انظر أيضاً

مراجع

↑ لي، جون م. ، مقدمة في المشعبات الطوبولوجية، سبرينغر 2011، رقم ISBN 1-4419-7939-5، ص153
^ كورتي، بيرنهارد ؛ الأماكن القريبة : شريدر، راينر (1991). الجشعون . سبرينغر-فيرلاغ. ص. 9. رقم ISBN 3-540-18190-3.
1 2 3 4 ماتوشيك، جيري (2007). استخدام نظرية بورزوك-أولام : محاضرات في الأساليب الطوبولوجية في التوافقية والهندسة ( الطبعة الثانية). برلين-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-00362-5كُتب بالتعاون مع أندرس بيورنر وغونتر إم. زيغلرالقسم 4.3
↑ ستيلويل، جون (1993)، الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية الزمر التوافقية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 72، سبرينغر، ص 247، ISBN 9780387979700.

[Lee-1] لي، جون م. ، مقدمة في المشعبات الطوبولوجية، سبرينغر 2011، رقم ISBN 1-4419-7939-5، ص153

[2] كورتي، بيرنهارد ؛ الأماكن القريبة : شريدر، راينر (1991). الجشعون . سبرينغر-فيرلاغ. ص. 9. رقم ISBN 3-540-18190-3.

[:0-3] 1 2 3 4 ماتوشيك، جيري (2007). استخدام نظرية بورزوك-أولام : محاضرات في الأساليب الطوبولوجية في التوافقية والهندسة ( الطبعة الثانية). برلين-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-00362-5كُتب بالتعاون مع أندرس بيورنر وغونتر إم. زيغلرالقسم 4.3

[4] ستيلويل، جون (1993)، الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية الزمر التوافقية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 72، سبرينغر، ص 247، ISBN 9780387979700.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 4 ]