نظرية ستوكس

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 86 صور
الموسوعة الحرة
توضيح لنظرية ستوكس. السطح Σ له حدود ∂Σ ومتجه عمودي n . يرتبط الاتجاه الموجب حول الحدود والاتجاه العمودي الموجب بقاعدة اليد اليمنى .

نظرية ستوكس ، المعروفة أيضًا بنظرية كلفن-ستوكس ، هي نظرية في حساب المتجهات تربط سلوك حقل متجهي على طول حافة سطح ما بسلوك التفافه على السطح نفسه. [ 1 ] في صيغتها ثلاثية الأبعاد المعتادة، تنص على أن الدوران الكلي لحقل متجهي حول منحنى مغلق يساوي الدوران الكلي للحقل عبر سطح محدد بذلك المنحنى.

إذا كانت Σ سطحًا موجهًا بحدود ∂Σ ، فإن نظرية ستوكس تُكتب عادةً على النحو التالي:

∮∂ΣF⋅در=∬Σ(∇×F)⋅ندS.{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} \,dS.}

هنا، يمثل الطرف الأيسر التكامل الخطي لحقل المتجهات حول منحنى الحدود، بينما يمثل الطرف الأيمن التكامل السطحي لدورانه على السطح. وبصورة مبسطة، تنص النظرية على أن مجموع الدوران الموضعي لحقل متجه عبر سطح ما يعطي الدوران الكلي حول حافته.

تُعرف هذه النظرية أيضًا باسم النظرية الأساسية للدوران ، أو نظرية الدوران ، أو نظرية الدوّار . [ 2 ] وهي حالة خاصة من نظرية ستوكس المعممة . [ 3 ] [ 4 ] في لغة الأشكال التفاضلية ، يتوافق حقل المتجهات مع شكل تفاضلي من الدرجة الأولى، ويتوافق دورانه مع المشتقة الخارجية لهذا الشكل.

نظرية

يتركΣ{\displaystyle \Sigma }أن يكون سطحًا أملسًا موجهًا فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، مُعَلمة بواسطةΣ(u،v){\displaystyle \mathbf {\Sigma } (u,v)}، مع الحدود∂Σ≡Γ{\displaystyle \partial \Sigma \equiv \Gamma }، مُعَلمة بواسطةΓ(ت){\displaystyle \mathbf {\Gamma } (t)}إذا كان حقل متجه

F(x،y،z)=(Fx(x،y،z)،Fy(x،y،z)،Fz(x،y،z)){\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))}

لها مشتقات جزئية متصلة من الرتبة الأولى فيΣ{\displaystyle \Sigma }، ثم ∬Σ(∇×F)⋅دΣ=∮∂ΣF⋅دΓ{\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Gamma } } مع الاختصارات لعنصر الخطدΓ=دΓدتدت{\displaystyle d\mathbf {\Gamma } ={\frac {d\mathbf {\Gamma } }{dt}}dt}والعنصر السطحي دΣ=ندΣ=(∂Σ∂u×∂Σ∂v)دuدv{\displaystyle d\mathbf {\Sigma } =\mathbf {n} d\Sigma =\left({\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {\Sigma } }{\partial v}}\right)dudv} أينن(u،v){\displaystyle \mathbf {n} (u,v)}المتجه عمودي على السطح عند النقطةΣ(u،v){\displaystyle \mathbf {\Sigma } (u,v)}.

يمكن التعبير عن المساواة بدلالة الأشكال التفاضلية ، مع∧{\displaystyle \wedge }كونه ناتج الوتد ود{\displaystyle {\text{d}}}المشتق الخارجي : ∬Σ((∂Fz∂y-∂Fy∂z)دy∧دz+(∂Fx∂z-∂Fz∂x)دz∧دx+(∂Fy∂x-∂Fx∂y)دx∧دy)=∮∂Σ(Fxدx+Fyدy+Fzدz).{\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{aligned}}}

يكمن التحدي الرئيسي في صياغة نظرية ستوكس بدقة في تعريف مفهوم الحدود. فمن المعروف أن أسطحًا مثل ندفة كوخ الثلجية ، على سبيل المثال، لا تُظهر حدودًا قابلة للتكامل وفقًا لريمان، ولا يمكن تعريف مفهوم قياس السطح في نظرية ليبيغ لسطح غير ليبشيتز . تتمثل إحدى التقنيات (المتقدمة) في الانتقال إلى صياغة ضعيفة ثم تطبيق آليات نظرية القياس الهندسي ؛ وللاطلاع على هذا النهج، انظر صيغة المساحة المشتركة . في هذه المقالة، نستخدم تعريفًا أبسط، قائمًا على حقيقة أنه يمكن تمييز الحدود للمجموعات الفرعية كاملة الأبعاد منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

سيتم تقديم بيان أكثر تفصيلاً للمناقشات اللاحقة.γ:[أ،ب]→R2{\displaystyle \gamma لتكن ℝ² منحنى جوردان مستويًا أملسًا جزئيًا : منحنى مغلق بسيط في المستوى.تنص نظرية منحنى جوردان على أنγ{\displaystyle \gamma }يقسمR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}إلى مكونين، أحدهما مضغوط والآخر غير مضغوط. ليكند{\displaystyle D}لنرمز إلى الجزء المضغوط؛ ثمد{\displaystyle D}يحدهاγ{\displaystyle \gamma }يكفي الآن نقل مفهوم الحدود هذا على طول خريطة متصلة إلى سطحنا فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}لكن لدينا بالفعل مثل هذه الخريطة: تحديد معلماتΣ{\displaystyle \Sigma }.

يفترضψ:د→R3{\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}تكون ناعمة بشكل متقطع في جوارد{\displaystyle D}[ ملاحظة 1 ] ، معΣ=ψ(د){\displaystyle \Sigma =\psi (D)}[ ملاحظة 2 ] إذاΓ{\displaystyle \Gamma }هو منحنى الفضاء المحدد بواسطةΓ(ت)=ψ(γ(ت)){\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}[ ملاحظة 3 ] ثم نسميΓ{\displaystyle \Gamma }حدودΣ{\displaystyle \Sigma }، مكتوب∂Σ{\displaystyle \partial \Sigma }[ ملاحظة 4 ]

باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، إذاF{\displaystyle \mathbf {F} }أي حقل متجهي أملس علىR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}ثم [ 5 ] [ 6 ]∮∂ΣF⋅دΓ=∬Σ∇×F⋅دΣ.{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {\Sigma } .}

هنا، "⋅{\displaystyle \cdot }يمثل " الضرب النقطي فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

حالة خاصة من نظرية أكثر عمومية

يمكن اعتبار نظرية ستوكس حالة خاصة من المتطابقة التالية: [ 7 ]∮∂Σ(F⋅دΓ)ز=∬Σ[دΣ⋅(∇×F-F×∇)]ز،{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } })\,\mathbf {g} =\iint _{\Sigma }\left[d\mathbf {\Sigma } \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} -\mathbf {F} \times \nabla \right)\right]\mathbf {g} ,} أينز{\displaystyle \mathbf {g} }أي حقل متجه أو حقل قياسي أملس فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. متىز{\displaystyle \mathbf {g} }إذا كان حقلًا قياسيًا منتظمًا، فسيتم استعادة نظرية ستوكس القياسية.

دليل

يتألف برهان النظرية من أربع خطوات. نفترض صحة نظرية غرين ، لذا فإنّ المهم هو كيفية تبسيط المسألة المعقدة ثلاثية الأبعاد (نظرية ستوكس) إلى مسألة بسيطة ثنائية الأبعاد (نظرية غرين). [ 8 ] عند إثبات هذه النظرية، يستنتجها علماء الرياضيات عادةً كحالة خاصة من نتيجة أعمّ ، تُصاغ بدلالة الصيغ التفاضلية ، وتُثبت باستخدام أدوات أكثر تطورًا. مع أنّ هذه التقنيات فعّالة، إلا أنها تتطلب خلفية واسعة، لذا يتجنبها البرهان التالي، ولا يفترض أي معرفة تتجاوز الإلمام بحساب المتجهات الأساسي والجبر الخطي. [ 6 ] في نهاية هذا القسم، يُقدّم برهان بديل موجز لنظرية ستوكس، كنتيجة لنظرية ستوكس المعممة.

برهان ابتدائي

الخطوة الأولى من البرهان الأولي (تحديد معلمات التكامل)

كما في القسم §  نظرية ، نُقلل البُعد باستخدام المعايرة الطبيعية للسطح. لنفترض أن ψ و γ كما في ذلك القسم، ونلاحظ أنه بتغيير المتغيرات ∮∂ΣF(x)⋅دΓ=∮γF(ψ(γ))⋅دψ(γ)=∮γF(ψ(y))⋅جy(ψ)دγ{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } ))\cdot \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {\gamma } )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\,\mathrm {d} \gamma }} حيث يمثل J y ψ مصفوفة جاكوبي لـ ψ عند y = γ ( t ) .

والآن، لنفترض أن { e u , e v } هي أساس متعامد في اتجاهات الإحداثيات لـ R 2 . [ ملاحظة 5 ]

بإدراك أن أعمدة J y ψ هي تحديدًا المشتقات الجزئية لـ ψ عند y ، يمكننا توسيع المعادلة السابقة في الإحداثيات على النحو التالي: ∮∂ΣF(x)⋅دΓ=∮γF(ψ(y))⋅جy(ψ)هـu(هـu⋅دy)+F(ψ(y))⋅جy(ψ)هـv(هـv⋅دy)=∮γ((F(ψ(y))⋅∂ψ∂u(y))هـu+(F(ψ(y))⋅∂ψ∂v(y))هـv)⋅دy{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Gamma } }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{u}(\mathbf {e} _{u}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )+\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot J_{\mathbf {y} }({\boldsymbol {\psi }})\mathbf {e} _{v}(\mathbf {e} _{v}\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {y} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(\mathbf {y} )\right)\mathbf {e} _{v}\right)\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {y} }\end{aligned}}}

الخطوة الثانية في البرهان الأولي (تحديد التراجع)

تشير الخطوة السابقة إلى أننا نحدد الدالة P(u،v)=(F(ψ(u،v))⋅∂ψ∂u(u،v))هـu+(F(ψ(u،v))⋅∂ψ∂v(u،v))هـv{\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{u}+\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {e} _{v}}

الآن، إذا كانت دوال القيمة العدديةPu{\displaystyle P_{u}}وPv{\displaystyle P_{v}}يتم تعريفها على النحو التالي، Pu(u،v)=(F(ψ(u،v))⋅∂ψ∂u(u،v)){\displaystyle {P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\right)}Pv(u،v)=(F(ψ(u،v))⋅∂ψ∂v(u،v)){\displaystyle {P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {F} ({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\right)} ثم، P(u،v)=Pu(u،v)هـu+Pv(u،v)هـv.{\displaystyle \mathbf {P} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v}.}

هذا هو التراجع لـ F على طول ψ ، وبناءً على ما سبق، فإنه يحقق ∮∂ΣF(x)⋅دل=∮γP(y)⋅دل=∮γ(Pu(u،v)هـu+Pv(u،v)هـv)⋅دل{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {P} (\mathbf {y} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }}

لقد نجحنا في اختزال أحد جانبي نظرية ستوكس إلى صيغة ثنائية الأبعاد؛ والآن ننتقل إلى الجانب الآخر.

الخطوة الثالثة من البرهان الأولي (المعادلة الثانية)

أولاً، احسب المشتقات الجزئية التي تظهر في نظرية غرين ، عبر قاعدة الضرب : ∂Pu∂v=∂(F∘ψ)∂v⋅∂ψ∂u+(F∘ψ)⋅∂2ψ∂v∂u∂Pv∂u=∂(F∘ψ)∂u⋅∂ψ∂v+(F∘ψ)⋅∂2ψ∂u∂v{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial v\,\partial u}}\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}+(\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}{\partial u\,\partial v}}\end{aligned}}}

لحسن الحظ، يختفي الحد الثاني في الفرق، وذلك بسبب تساوي الدوال الجزئية المختلطة . لذا، [ ملاحظة 6 ]∂Pv∂u-∂Pu∂v=∂(F∘ψ)∂u⋅∂ψ∂v-∂(F∘ψ)∂v⋅∂ψ∂u=∂ψ∂v⋅(جψ(u،v)F)∂ψ∂u-∂ψ∂u⋅(جψ(u،v)F)∂ψ∂v(قاعدة السلسلة)=∂ψ∂v⋅(جψ(u،v)F-(جψ(u،v)F)تي)∂ψ∂u{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {F} \circ {\boldsymbol {\psi }})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}&&{\text{(chain rule)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\end{aligned}}}

لكن الآن، لننظر إلى المصفوفة في ذلك الشكل التربيعي - أيجψ(u،v)F-(جψ(u،v)F)تي{\displaystyle J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} -(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )^{\mathsf {T}}}نزعم أن هذه المصفوفة تصف في الواقع عملية ضرب اتجاهي. هنا يشير الرمز العلوي "تي{\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}يمثل " عملية نقل المصفوفات " .

لنكن دقيقين، دعأ=(أأناج)أناج{\displaystyle A=(A_{ij})_{ij}}لتكن مصفوفة عشوائية من الرتبة 3 × 3 ولتكن أ=[أ1أ2أ3]=[أ32-أ23أ13-أ31أ21-أ12]{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}}

لاحظ أن العلاقة بين x و a × x خطية، لذا فهي تتحدد بتأثيرها على عناصر الأساس. ولكن بالحساب المباشر (أ-أتي)هـ1=[0أ3-أ2]=أ×هـ1(أ-أتي)هـ2=[-أ30أ1]=أ×هـ2(أ-أتي)هـ3=[أ2-أ10]=أ×هـ3{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{1}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{2}\\\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {e} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {a} \times \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}} هنا، يمثل { e1 , e2 , e3 } أساسًا متعامدًا في اتجاهات إحداثياتR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}[ ملاحظة 7 ]

وبالتالي ( A − A T ) x = a × x لأي x .

الاستبدال(جψ(u،v)F){\displaystyle {(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}}بالنسبة لـ A ، نحصل على ((جψ(u،v)F)-(جψ(u،v)F)تي)x=(∇×F)×x،للجميعx∈R3{\displaystyle \left({(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}-{(J_{{\boldsymbol {\psi }}(u,v)}\mathbf {F} )}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =(\nabla \times \mathbf {F} )\times \mathbf {x} ,\quad {\text{for all}}\,\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}

يمكننا الآن أن ندرك الفرق بين الدوال الجزئية كحاصل ضرب ثلاثي (قياسي) : ∂Pv∂u-∂Pu∂v=∂ψ∂v⋅(∇×F)×∂ψ∂u=(∇×F)⋅∂ψ∂u×∂ψ∂v{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\end{aligned}}}

من ناحية أخرى، يشمل تعريف التكامل السطحي أيضًا الضرب الثلاثي - وهو نفسه تمامًا! ∬Σ(∇×F)⋅دΣ=∬د(∇×F)(ψ(u،v))⋅∂ψ∂u(u،v)×∂ψ∂v(u،v)دuدv{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,d\mathbf {\Sigma } &=\iint _{D}{(\nabla \times \mathbf {F} )({\boldsymbol {\psi }}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}(u,v)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}\end{aligned}}}

وهكذا نحصل ∬Σ(∇×F)⋅دΣ=∬د(∂Pv∂u-∂Pu∂v)دuدv{\displaystyle \iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}

الخطوة الرابعة من البرهان الأولي (الاختزال إلى نظرية غرين)

بدمج الخطوتين الثانية والثالثة ثم تطبيق نظرية غرين، يكتمل البرهان. تنص نظرية غرين على ما يلي: لأي منطقة D محصورة بين منحنى جوردان المغلق γ ودالتين سلسلتين ذواتي قيم قياسيةPu(u،v)،Pv(u،v){\displaystyle P_{u}(u,v),P_{v}(u,v)}محدد على D؛

∮γ(Pu(u،v)هـu+Pv(u،v)هـv)⋅دل=∬د(∂Pv∂u-∂Pu∂v)دuدv{\displaystyle \oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {e} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {e} _{v})\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {l} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}

يمكننا استبدال نتيجة الخطوة الثانية في الطرف الأيسر من نظرية غرين أعلاه، واستبدال نتيجة الخطوة الثالثة في الطرف الأيمن. وهو المطلوب إثباته.

البرهان باستخدام الصيغ التفاضلية

الوظائفR3→R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}يمكن تحديدها باستخدام الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى علىR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}عبر الخريطة Fxهـ1+Fyهـ2+Fzهـ3↦Fxدx+Fyدy+Fzدz.{\displaystyle F_{x}\mathbf {e} _{1}+F_{y}\mathbf {e} _{2}+F_{z}\mathbf {e} _{3}\mapsto F_{x}\,\mathrm {d} x+F_{y}\,\mathrm {d} y+F_{z}\,\mathrm {d} z.}

اكتب الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى المرتبط بالدالة F على الصورة ωF . عندئذٍ يمكن حساب ذلك .⋆ω∇×F=دωF،{\displaystyle \star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }=\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} },} حيث ★ هي نجمة هودج ود{\displaystyle \mathrm {d} }هي المشتقة الخارجية . وبالتالي، وفقًا لنظرية ستوكس المعممة، [ 9 ]∮∂ΣF⋅دγ=∮∂ΣωF=∫ΣدωF=∫Σ⋆ω∇×F=∬Σ∇×F⋅دΣ{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\gamma } }=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\mathrm {d} \omega _{\mathbf {F} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {F} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {F} \cdot \,\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }}

التطبيقات

المجالات غير الدورانية

في هذا القسم، سنناقش المجال غير الدوراني ( مجال المتجهات الصفائحي ) استنادًا إلى نظرية ستوكس.

التعريف 2-1 (حقل غير دوراني). حقل متجه أملس F على فضاء مفتوحيو⊆R3{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}يكون غير دوراني ( حقل متجه صفائحي ) إذا كان ∇ × F = 0 .

هذا المفهوم أساسي للغاية في الميكانيكا؛ كما سنثبت لاحقًا، إذا كان F غير دوراني وكان مجال F متصلًا ببساطة ، فإن F هو حقل متجه محافظ .

نظرية هيلمهولتز

في هذا القسم، سنقدم نظرية مشتقة من نظرية ستوكس، وتصف حقول المتجهات الخالية من الدوامات. تُعرف هذه النظرية في الميكانيكا الكلاسيكية وديناميكا الموائع باسم نظرية هيلمهولتز .

النظرية 2-1 (نظرية هيلمهولتز في ديناميكا الموائع). [ 3 ] [ 10 ] : 142 ليكنيو⊆R3{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}لتكن U مجموعة جزئية مفتوحة ذات حقل متجهي صفائحي F ، ولتكن c₀ و c₁ حلقتين سلسلتين جزئيًا من [0, 1] إلى U. إذا وُجدت دالة H من [0, 1] × [0, 1] إلى U بحيث

  • [TLH0] H دالة ملساء على أجزاء،
  • [TLH1] H ( t , 0) = c 0 ( t ) لجميع قيم t ∈ [0, 1] ،
  • [TLH2] H ( t , 1) = c 1 ( t ) لجميع t ∈ [0, 1] ،
  • [TLH3] H (0, s ) = H (1, s ) لجميع s ∈ [0, 1] .

ثم، ∫ج0Fدج0=∫ج1Fدج1{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{1}}

تُطلق بعض الكتب الدراسية، مثل كتاب لورانس [ 3 ]، على العلاقة بين c0 و c1 المذكورة في النظرية 2-1 اسم "التماثلية"، وعلى الدالة H : [0, 1] × [0, 1] → U اسم "التماثلية بين c0 و c1 ". مع ذلك، فإن مصطلحي "التماثلية" و"التماثلية" بالمعنى المذكور أعلاه يختلفان (بل هما أقوى) من التعريفات التقليدية لهما؛ إذ تُغفل الأخيرة الشرط [TLH3]. لذا، سنشير من الآن فصاعدًا إلى التماثلية (أو التماثلية الأنبوبية) بالمعنى الوارد في النظرية 2-1 باسم التماثلية الأنبوبية (أو التماثلية الأنبوبية) . [ ملاحظة 8 ]

برهان نظرية هيلمهولتز
تعريفات γ 1 ، ...، γ 4

فيما يلي، سنستخدم رموزاً غير مألوفة ونستخدم "⊕{\displaystyle \oplus }"لربط المسارات في المجموعة الأساسية و"⊖{\displaystyle \ominus }"لعكس اتجاه المسار".

لنفترض أن D = [0, 1] × [0, 1] ، ونقسم ∂ D إلى أربعة أجزاء مستقيمة γ j . γ1:[0،1]→د؛γ1(ت)=(ت،0)γ2:[0،1]→د؛γ2(s)=(1،s)γ3:[0،1]→د؛γ3(ت)=(1-ت،1)γ4:[0،1]→د؛γ4(s)=(0،1-s){\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0)\\\gamma _{2}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s)\\\gamma _{3}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1)\\\gamma _{4}:[0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\end{aligned}}} لهذا السبب.∂د=γ1⊕γ2⊕γ3⊕γ4{\displaystyle \partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}}

بافتراضنا أن c 0 و c 1 متماثلتان مجزأتان، يوجد تماثل مجزأ H : D → MΓأنا(ت)=ح(γأنا(ت))أنا=1،2،3،4Γ(ت)=ح(γ(ت))=(Γ1⊕Γ2⊕Γ3⊕Γ4)(ت){\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)\end{aligned}}}

لتكن S صورة D تحت تأثير H.∬S∇×FدS=∮ΓFدΓ{\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma } ويترتب على ذلك مباشرة من نظرية ستوكس. القوة F صفائحية، لذا فإن الطرف الأيسر يتلاشى، أي 0=∮ΓFدΓ=∑أنا=14∮ΓأناFدΓ{\displaystyle 0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }

بما أن H أنبوبي (يحقق [TLH3])،Γ2=⊖Γ4{\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}وΓ2=⊖Γ4{\displaystyle \Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}}وبالتالي، فإن التكاملات الخطية على طول Γ 2 ( s ) و Γ 4 ( s ) تلغي بعضها بعضًا، تاركةً 0=∮Γ1FدΓ+∮Γ3FدΓ{\displaystyle 0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \Gamma }

من ناحية أخرى، c 1 = Γ 1 ،ج3=⊖Γ3{\displaystyle c_{3}=\ominus \Gamma _{3}}وبالتالي فإن المساواة المطلوبة تتحقق على الفور تقريباً.

القوى المحافظة

تُقدّم نظرية هيلمهولتز المذكورة أعلاه تفسيراً لسبب كون الشغل المبذول بواسطة قوة محافظة لتغيير موضع جسم ما مستقلاً عن المسار. أولاً، نُقدّم اللمة 2-2، وهي نتيجة منطقية وحالة خاصة من نظرية هيلمهولتز.

اللمة 2-2. [ 3 ] [ 4 ] ليكنيو⊆R3{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}لتكن U مجموعة جزئية مفتوحة ، مع حقل متجهي لاميلاري F وحلقة سلسة جزئيًا c 0 : [0, 1] → U. ثبت نقطة p ∈ U ، إذا كان هناك تماثل H : [0, 1] × [0, 1] → U بحيث

  • [SC0] H دالة ملساء على أجزاء ،
  • [SC1] H ( t , 0) = c 0 ( t ) لجميع t ∈ [0, 1] ،
  • [SC2] H ( t , 1) = p لجميع t ∈ [0, 1] ،
  • [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p لجميع s ∈ [0, 1] .

ثم، ∫ج0Fدج0=0{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}

تُستنتج اللمة 2-2 أعلاه من النظرية 2-1. في اللمة 2-2، يُعدّ وجود H الذي يحقق [SC0] إلى [SC3] أمرًا بالغ الأهمية؛ والسؤال المطروح هو ما إذا كان من الممكن إيجاد مثل هذا التماثل لأي حلقات. إذا كانت U متصلة ببساطة، فإن H موجود. وفيما يلي تعريف الفضاء المتصل ببساطة :

التعريف 2-2 (الفضاء المتصل ببساطة). [ 3 ] [ 4 ] ليكنم⊆Rن{\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} ^{n}}يجب أن تكون M غير فارغة ومتصلة مساريًا . تُسمى M متصلة ببساطة إذا وفقط إذا كان لأي حلقة متصلة c : [0, 1] → M يوجد تماثل أنبوبي متصل H : [0, 1] × [0, 1] → M من c إلى نقطة ثابتة p ∈ c ؛ أي،

  • [ SC0'] H متصلة ،
  • [SC1] H ( t , 0) = c ( t ) لجميع قيم t ∈ [0, 1] ،
  • [SC2] H ( t , 1) = p لجميع t ∈ [0, 1] ،
  • [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p لجميع s ∈ [0, 1] .

قد يبدو الادعاء القائل بأن "الشغل المبذول لتغيير موضع جسم ما، بالنسبة لقوة محافظة، مستقل عن المسار" منطقيًا إذا كانت M متصلة ببساطة. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الاتصال البسيط يضمن فقط وجود تماثل متصل يحقق [SC1-3]؛ بينما نسعى نحن إلى إيجاد تماثل سلس جزئيًا يحقق هذه الشروط.

لحسن الحظ، يُحلّ الخلل في الانتظام بواسطة نظرية ويتني للتقريب . [ 4 ] : ​​136، 421 [ 11 ] بعبارة أخرى، تُزال إمكانية إيجاد تماثل متصل، مع عدم القدرة على التكامل عليه، بفضل الرياضيات المتقدمة. وبذلك نحصل على النظرية التالية.

النظرية 2-2. [ 3 ] [ 4 ] ليكنيو⊆R3{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{3}}ليكن مفتوحًا ومتصلًا ببساطة بحقل متجه غير دوراني F. لكل حلقات ملساء جزئيًا c : [0, 1] → U∫ج0Fدج0=0{\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} c_{0}=0}

معادلات ماكسويل

في فيزياء الكهرومغناطيسية ، تُبرر نظرية ستوكس تكافؤ الصيغة التفاضلية لمعادلة ماكسويل-فاراداي ومعادلة ماكسويل-أمبير مع الصيغة التكاملية لهاتين المعادلتين. وبالنسبة لقانون فاراداي، تُطبق نظرية ستوكس على المجال الكهربائي.هـ{\displaystyle \mathbf {E} }: ∮∂Σهـ⋅دل=∬Σ∇×هـ⋅دS.{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}

بالنسبة لقانون أمبير، يتم تطبيق نظرية ستوكس على المجال المغناطيسي.ب{\displaystyle \mathbf {B} }: ∮∂Σب⋅دل=∬Σ∇×ب⋅دS.{\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{\Sigma }\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}

ملحوظات

  1. ↑ من تعريفد{\displaystyle D}،د{\displaystyle D}من الواضح أن مجموعة مغلقة محدودة فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"جوار D" يعني "مجموعة مفتوحة فيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}الذي يحتوي على د."
  2. ↑Σ=ψ(د){\displaystyle \Sigma =\psi (D)}يمثل مجموعة الصور الخاصة بـد{\displaystyle D}بواسطةψ{\displaystyle \psi }
  3. ↑Γ{\displaystyle \Gamma }قد لا يكون منحنى جوردان إذا كانت الحلقةγ{\displaystyle \gamma }يتفاعل بشكل سيئ معψ{\displaystyle \psi }. ومع ذلك،Γ{\displaystyle \Gamma }دائماً ما تكون حلقة أو حلقات، وهي من الناحية الطوبولوجية عبارة عن مجموع متصل لعدد لا يحصى من منحنيات جوردان، بحيث تكون التكاملات محددة جيدًا.
  4. حتى لو نظرنا إلى الإحداثيات القطبية ثنائية الأبعاد، فإذا افترضنا أن ∂Σ = Γ، فمن الواضح أن ∂Σ يمكن أن يحتوي على نقطة داخلية طوبولوجية لـ Σ. مع ذلك، في المشعبات التوافقية القابلة للتوجيه ، لا تُشكل هذه مشكلة كبيرة، لأن التكاملات الخطية على النقاط الداخلية تلغي بعضها بعضًا: في مشعب قابل للتوجيه، يتطابق التكامل الخطي على ∂Σ مع التكامل الخطي على الحدود الحقيقية. مثالٌ أكثر أهمية هو أن هذه النظرية تنطبق أيضًا على المشعبات التي لا تحتوي على حدود طوبولوجية، مثل الكرة أو الطارة. في مثل هذه الحالات، إذا كان ∂Σ = Γ، فإن ∂Σ مُحتوى بالكامل داخل Σ. مع ذلك، في مثل هذه الحالات، تلغي التكاملات الخطية الناتجة على Γ بعضها بعضًا تمامًا. هذا يسمح لنا بالتأكيد على أن التكامل السطحي لدوران حقل متجه على مشعب بدون حدود يساوي صفرًا .
  5. ↑ في هذه المقالة، هـu=(1،0)، هـv=(0،1).{\displaystyle \mathbf {e} _{u}=(1,0),\ \mathbf {e} _{v}=(0,1).} لاحظ أنه في بعض كتب تحليل المتجهات، تُنسب هذه الرموز إلى أشياء مختلفة. على سبيل المثال، في بعض الكتب، قد تعني { e u , e v } ما يلي { t u , t v } على التوالي. أما في هذه المقالة، فهما شيئان مختلفان تمامًا. تu=1حu∂φ∂u،تv=1حv∂φ∂v.{\displaystyle \mathbf {t} _{u}={\frac {1}{h_{u}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\,,\mathbf {t} _{v}={\frac {1}{h_{v}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}.} هنا، حu=‖∂φ∂u‖،حv=‖∂φ∂v‖،{\displaystyle h_{u}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right\|,h_{v}=\left\|{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right\|,} و"‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}"يمثل المعيار الإقليدي " .
  6. ↑ للجميعأ،ب∈Rن{\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}}\in \mathbb {R} ^{n}}للجميعأ؛ن×ن{\displaystyle A;n\times n}مصفوفة مربعة ،أ⋅أب=أتيأب{\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {a}}^{\mathsf {T}}A{\textbf {b}}}وبالتاليأ⋅أب=ب⋅أتيأ{\displaystyle {\textbf {a}}\cdot A{\textbf {b}}={\textbf {b}}\cdot A^{\mathsf {T}}{\textbf {a}}}.
  7. ↑ في هذه المقالة، هـ1=(1،0،0)، هـ2=(0،1،0)، هـ3=(0،0،1).{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\ \mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\ \mathbf {e} _{3}=(0,0,1).} لاحظ أنه في بعض الكتب الدراسية حول تحليل المتجهات، يتم تخصيص هذه الأشياء لأشياء مختلفة.
  8. توجد بالفعل كتب دراسية تستخدم مصطلحي "التماثل" و"المتماثل" بالمعنى الوارد في النظرية 2-1. [ 3 ] وهذا مفيد جدًا في مسألة القوى المحافظة. مع ذلك، فإن كلا استخدامي التماثل يظهران بشكل متكرر بما يكفي لضرورة وجود مصطلحات محددة للتمييز بينهما، ومصطلح "التماثل الأنبوبي" المُعتمد هنا يُفي بالغرض.

مراجع

  1. ↑ ستيوارت، جيمس (2012). حساب التفاضل والتكامل - الدوال المتسامية المبكرة (ملف PDF) (الطبعة السابعة  ). بروكس/كول . ص  1122. ISBN 978-0-538-49790-9.
  2. ↑ غريفيث، ديفيد ج. (2013). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الرابعة). بيرسون. ص 34. ISBN   978-0-321-85656-2.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 كونلون، لورانس (2008). المشعبات التفاضلية . كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة ( الطبعة الثانية). بوسطن؛ برلين: بيركهاوزر . ISBN  978-0-8176-4766-7.
  4. 1 2 3 4 5 لي، جون م. (2012). مقدمة في المشعبات الملساء . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 218 ( الطبعة الثانية). نيويورك؛ لندن: سبرينغر . ISBN   978-1-4419-9982-5.
  5. ↑ ستيوارت، جيمس (2010). حساب التفاضل والتكامل الأساسي: الدوال المتسامية المبكرة . أستراليا؛ الولايات المتحدة: بروكس/كول . ISBN 978-0-538-49739-8.
  6. 1 2 روبرت شايخل، ملاحظات محاضرات لمقررالرياضيات بجامعة باث
  7. ↑ بيريز-غاريدو، أ. (2024-05-01). "استعادة نظريات نادرة الاستخدام في حساب المتجهات وتطبيقها على مسائل الكهرومغناطيسية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 92 (5): 354-359 . arXiv : 2312.17268 . Bibcode : 2024AmJPh..92e.354P . doi : 10.1119/5.0182191 . ISSN 0002-9505 . 
  8. ↑ كولي، سوزان جين (2012). حساب المتجهات (ملف PDF) ( الطبعة الرابعة). بوسطن: بيرسون. الصفحات 500-503 . ISBN   978-0-321-78065-2. OCLC 732967769 . 
  9. ↑ إدواردز، هارولد م. (1994). حساب التفاضل والتكامل المتقدم: مدخل الأشكال التفاضلية ( الطبعة الثالثة). بوسطن: بيركهاوزر. ISBN  978-0-8176-3707-1.
  10. ^ أتسو، فوجيموتو (1979) . C 1، ベ ク ト ル 解析 (Gendai sūgaku rekuchāzu. C (1)، Bekutoru kaiseki) (في اليابانية). بايفوكان . او سي ال سي 674186011 . 
  11. ↑ بونترياغين، إل إس (1959). "المشعبات الملساء وتطبيقاتها في نظرية التماثل" (ملف PDF) . ترجمات الجمعية الأمريكية للرياضيات . السلسلة 2. 11. ترجمة هيلتون، بي جيه. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات : 1-114 . doi : 10.1090/trans2/011/01 . ISBN 978-0-8218-1711-7MR 0115178 .​ {{cite journal}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) انظر النظريتين 7 و 8.